Tăng cường các hoạt động của học sinh trong dạy học bất đẳng thức bất phương trình ở lớp 10 THPT

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Định hớng đổi mới PPDH Toán ở trờng phổ thông hiện nay là tích
cực hoá hoạt động học tập của học sinh. Định hớng này có thể đợc diễn
đạt theo nhiều cách khác nhau, nhng tựu trung lại, bản chất của nó là
tăng cờng hoạt động của ngời học.
Tâm lý học đã chứng minh đợc rằng, năng lực, t duy và kỹ năng
của con ngời chỉ có thể đợc hình thành và phát triển thông qua hoạt
động. Do đó, muốn phát triển đợc trí tuệ cho học sinh thì đơng nhiên
phải tạo môi trờng cho họ đợc hoạt động.
Nhiều nhà khoa học uy tín đã khẳng định rằng dạy Toán là dạy
hoạt động Toán học, và cũng đã có những công trình nghiên cứu về các
hoạt động Toán học của học sinh. Nhờ những công trình này, giáo dục
học Toán học đã phát triển thêm một bớc.
Sách giáo khoa Toán phân ban sau nhiều năm thí điểm đã đợc đa
vào sử dụng chính thức từ năm học 2006 - 2007 với nhiều sự đổi mới về
nội dung và phơng pháp trình bày. Để dạy có hiệu quả theo chơng trình
và Sách giáo khoa mới, ắt phải có những cải tiến về phơng pháp và hình
thức tổ chức dạy học - mà trong đó cần quan tâm thích đáng tới các hoạt
động của học sinh.
Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học môn Toán đợc tác
giả Nguyễn Bá Kim đề xuất năm 1983. Quan điểm này đợc thể hiện qua
bốn T tởng chủ đạo. Vận dụng tốt quan điểm này là một tiền đề để góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán. Tuy nhiên, vận dụng quan
điểm này nh thế nào thì đây là một vấn đề cần đợc cụ thể hóa theo từng
chủ đề nhất định.
1
Trong môn Toán có rất nhiều dạng hoạt động, phát hiện ra các
dạng hoạt động đó và cho học sinh tập luyện những hoạt động này có ý
nghĩa then chốt để nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
Bất đẳng thức - Bất phơng trình là một chủ đề rất quan trọng của

Đại số 10, những kiến thức trong chủ đề này đóng vai trò nền tảng,
xuyên suốt và đợc vận dụng rất nhiều trong môn Toán bậc THPT. Nhng
cha có một công trình nào nghiên cứu việc tăng cờng hoạt động của học
sinh trong dạy học chủ đề này, do đó chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu
của Luận văn là: "Tăng cờng các hoạt động của học sinh trong dạy học
Bất đẳng thức - Bất phơng trình ở lớp 10 THPT"
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc tổ chức, tập luyện, tăng
cờng các hoạt động của học sinh trong dạy học BĐT - BPT ở lớp 10
THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến khái niệm hoạt động
trong Tâm lí học.
3.2. Tổng quan một số vấn đề về tích cực hoá hoạt động học tập
của học sinh.
3.3. Tìm hiểu Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán.
3.4. Làm sáng tỏ các dạng hoạt động và hoạt động thành phần đợc
thể hiện trong chủ đề BĐT - BPT.
3.5. Đề xuất những quan điểm cơ bản về việc tăng cờng các hoạt
động của học sinh trong dạy học BĐT - BPT.
3.6. Phân tích một số vấn đề về chơng trình và SGK Đại số lớp 10 phân
ban.
2
3.7. Thể hiện việc tăng cờng các hoạt động của học sinh trong dạy
học BĐT - BPT.
3.8. Thực nghiệm s phạm.
4. Phơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát và thực nghiệm s phạm.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu làm sáng tỏ đợc các dạng hoạt động thể hiện trong dạy học

BĐT-BPT ở lớp 10 THPT và tổ chức, thiết kế các hoạt động này một
cách hợp lí, thì sẽ góp phần nâng cao đợc hiệu quả dạy học Toán ở trờng
THPT, đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu và định hớng đổi mới phơng pháp
dạy học.
6. Cấu trúc luận văn
Chơng 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Về định hớng đổi mới PPDH
1.2. Hoạt động
1.3. Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán
1.3.1. Hoạt động và hoạt động thành phần
1.3.1.1. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung
1.3.1.2. Phân tích hoạt động thành những thành phần
1.3.1.3. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích
1.3.1.4. Tập trung vào những hoạt động Toán học
1.3.2. Động cơ hoạt động
1.3.3. Tri thức trong hoạt động
1.3.4. Phân bậc hoạt động
1.4. Một số vấn đề về SGK Đại số 10 Nâng cao
Kết luận Chơng 1
3
Chơng 2
Thiết kế, tổ chức các hoạt động của học sinh trong
dạy học Bất đẳng thức - bất phơng trình ở lớp 10
2.1. Các hoạt động tơng thích với Đ1 SGK Đại số 10 Nâng cao.
2.2. Các hoạt động tơng thích với Đ2 SGK Đại số 10 Nâng cao.
2.3. Các hoạt động tơng thích với Đ3 SGK Đại Số 10 Nâng cao.
2.4. Các dạng hoạt động tơng thích với Đ4 SGK Đại số 10. Nâng cao.
2.5. Các dạng hoạt động tơng thích với Đ5 SGK Đại số 10 nâng cao.
2.6. Các hoạt động tơng thích với Đ6 SGK Đại số 10 Nâng cao.

2.7. Các dạng hoạt động tơng thích với Đ7 SGK Đại số 10 Nâng cao.
2.8. Các hoạt động tơng thích với Đ8 SGK Đại số 10 Nâng cao.
Kết luận chơng 2
Chơng 3
thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4
Chơng 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Về định hớng đổi mới PPDH
Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ:
"Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào đào tạo những con ng-
ời lao động, tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thờng
gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là
dân giàu, nớc mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh".
Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định:
"Phải đổi mới phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc sâu lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho ngời học. Từng b-
ớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá
trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho
học sinh, nhất là sinh viên đại học".
Các quan điểm trên đây đã đợc pháp chế hoá trong Luật Giáo dục
nh sau:

"Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vơn lên" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 4).
"Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, từng môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
5
niềm vui, hứng thú học tập của học sinh". (Luật Giáo dục 1998, Chơng I,
Điều 24).
Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nớc đang đòi hỏi cấp bách phải
nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo. Theo tinh thần Nghị quyết trên,
cùng với những thay đổi về nội dung, cần phải có những đổi mới căn bản
về phơng pháp dạy học. Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay,
việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang ngự trị. PGS. TS
Trần Kiều đã nhận xét:
"Giáo viên vẫn dạy theo cách nh đã dạy từ mấy chục năm qua, với
phơng pháp "thuyết trình có kết hợp đàm thoại" là chủ yếu, về thực vẫn
là "thầy truyền đạt, trò tiếp nhận, ghi nhớ". Trong mấy năm gần đây
xuất hiện một hiện tợng là sử dụng khá phổ biến cách dạy "thầy đọc, trò
chép" thậm chí "thầy đọc, chép và trò chép", dạy theo kiểu nhồi nhét,
dạy chay, dạy theo kiểu luyện thi "(Trần Kiều 1997, tr.11).
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xã hội công
nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy
sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong
ngành giáo dục và đào tạo. Định hớng cho sự đổi mới PPDH hiện nay là
PPDH cần hớng vào việc tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động
và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo. Định hớng này còn đợc
gọi tắt là "Hoạt động hoá ngời học".
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động

nhất định. Phát hiện đợc những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung
là vạch đợc một con đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc
những mục đích dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hoá đợc mục
đích dạy học nội dung đó và chỉ ra cách kiểm tra xem mục đích dạy học
6
có đạt đợc hay không và đạt đợc đến mức độ nào. Quan điểm này thể
hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và phơng pháp dạy học.
Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học Mac-xit
cho rằng con ngời phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong
hoạt động.
Cụ thể hoá Định hớng "hoạt động hoá ngời học", có những hàm ý
sau đặc trng cho PPDH hiện đại:
- Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, bảo đảm tính tự giác, tích cực,
chủ động, sáng tạo của hoạt động học tập đợc thực hiện độc lập hoặc
giao lu.
- Ngời học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình
thành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo
lệnh của thầy giáo. Với Định hớng "hoạt động hóa ngời học", vai trò chủ
thể của ngời học đợc khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động của bản thân mình.
- Xây dựng những tình huống có dụng ý s phạm cho học sinh học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động đợc thực hiện độc lập hoặc trong
giao lu.
Tri thức là đối tợng của hoạt động học tập, chính vì thế để dạy một
tri thức nào đó, thầy giáo thờng không thể trao ngay cho học sinh điều
thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thờng là cài đặt tri thức đó vào những
tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo của bản thân.
Theo Lý thuyết Kiến tạo trong TLH, học tập là một quá trình trong
đó ngời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi

trờng, những khó khăn và những sự mất cân bằng. Theo Lý thuyết tình
7
huống, một môi trờng không có dụng ý s phạm là không đủ để chủ thể
(học sinh) kiến tạo đợc tri thức theo đúng yêu cầu mà xã hội mong
muốn. Vì vậy điều quan trọng là thiết lập những tình huống có dụng ý s
phạm để ngời học học tập trong hoạt động, học tập bằng thích nghi.
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học:
Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá
trình học tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở
bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực
hiện những quá trình học tập một cách có hiệu quả. Đơng nhiên, ý tởng
này chỉ có thể đợc thực hiện trong những quá trình mà ngời học thực sự
hoạt động để đạt đợc những gì mà họ cần đạt.
Một mặt đặc biệt quan trọng của dạy việc học là dạy tự học. Kho
tàng văn hoá của nhân loại là vô tận. Để có thể sống và hoạt động suốt
đời thì phải học suốt đời. Để học đợc suốt đời thì phải có khả năng tự
học. Khả năng này cần đợc rèn luyện ngay trong khi còn là học sinh ngồi
trên ghế nhà trờng. Vì vậy quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học.
Việc dạy tự học đơng nhiên chỉ có thể thực hiện đợc trong một cách dạy
học mà ngời học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng nhu cầu của xã
hội đã chuyển hoá thành nhu cầu của chính bản thân họ.
- Chế tạo và khai thác những phơng tiện phục vụ quá trình dạy học:
Phơng tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn
giản tới những phơng tiện kỹ thuật tinh vi nh thiết bị nghe nhìn, công
nghệ thông tin và truyền thông giúp thiết lập những tình huống có dụng
ý s phạm, tổ chức những hoạt động và giao lu của thầy và trò.
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của
bản thân ngời học.
8
Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo một mặt

đòi hỏi và mặt khác tạo ra niềm vui. Niềm vui này có thể có đợc bằng
nhiều cách khác nhau nh động viên, khen thởng, nhng quan trọng nhất
vẫn là niềm lạc quan dựa trên lao động và thành quả học tập của bản thân
ngời học.
- Xác định vai trò mới của ngời thầy với t cách ngời thiết kế, uỷ
thác, điều khiển và thể chế hoá.
Định hớng hoạt động hoá ngời học dễ dẫn tới việc ngộ nhận vì sự
giảm sút vai trò của ngời thầy. Nhng vai trò, trách nhiệm của ngời thầy
bây giờ là ở chỗ khác, quan trọng hơn, nặng nề hơn, nhng tế nhị hơn, cụ
thể là:
Thiết kế: lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học cả về mặt mục
đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức tổ chức.
Uỷ thác: hoạt động của thầy nhằm chuyển giao ý đồ s phạm, ý đồ
dạy học sang ý đồ nhận thức cho học sinh. Học sinh thấy đợc mong
muốn giải quyết vấn đề thầy đặt ra nhờ các hoạt động t duy, tích cực, độc
lập, sáng tạo.
Điều khiển: là sự động viên, hớng dẫn trợ giúp và đánh giá.
Thể chế hoá: là xét xem những vấn đề học sinh tìm đợc đúng hay
sai? Nếu đúng thì ghi nhận, còn sai thì phân tích, sửa chữa sai lầm cho
học sinh.
1.2. Hoạt động
Trong mục này, Luận văn sẽ sơ lợc quan điểm hoạt động dới góc
độ cấu trúc vĩ mô của hoạt động, đợc đề xuất bởi A. N. Lêontiev để thấy
đợc sự tơng hợp nhất định giữa Quan điểm hoạt động trong phơng pháp
9
dạy học Toán và Lý thuyết hoạt động trong Tâm lý học. Một quan điểm cơ
bản của lý thuyết hoạt động của Lêontiev là:
" , hoạt động mang hình thức bên trong sinh ra từ hoạt động thực
tiễn bên ngoài, không tách xa và không đứng trên hoạt động bên ngoài, mà
duy trì mối liên hệ mang tính nguyên tắc, đồng thời là hai chiều với hoạt

động bên ngoài "(Một số công trình Tâm lý học A. N. Lêontiev - GS,
Viện sĩ Phạm Minh Hạc - Biên dịch và giới thiệu - Nxb Giáo dục - 2003).
Theo tác giả, một hoạt động bao giờ cũng nhằm vào một đối tợng
nhất định, hai hoạt động khác nhau đợc phân biệt bởi hai đối tợng khác
nhau. Đối tợng của hoạt động là cái con ngời cần làm ra, cần chiếm lĩnh,
đó là động cơ. Ông cho rằng: "Đã gọi là "hoạt động tâm lý" thì phải có
động cơ phù hợp. Không thể có một hoạt động không có động cơ" (dẫn
theo Hồ Ngọc Đại - Tâm lý học dạy học - Nxb ĐHQG Hà Nội - 2000).
Nh vậy, khái niệm hoạt động gắn liền một cách tất yếu với khái
niệm động cơ. Động cơ có hai nơi ở : bên ngoài và bên trong tâm lý. Nó
vẫn là một duy nhất. Trong cả hai trờng hợp, hoạt động bao giờ cũng là
sự gặp gỡ giữa chủ thể và đối tợng của hoạt động.
Về phía đối tợng, trớc hết ta có động cơ đợc thể hiện thành nhu
cầu. Nhng động cơ này tự nó không sẵn có ngay từ đầu, mà cũng là cái
đang sinh thành và phát triển. Động cơ đợc phát triển từ những đối tợng
kém phát triển, còn trừu tợng, theo xu hớng ngày càng cụ thể hơn. Tiến
trình đó đợc chốt lại trong những mục đích. Về phía đối tợng, còn có một
khái niệm nữa là nhiệm vụ. Quá trình đi đến mục đích bị quy định bởi
các điều kiện, phơng tiện thực hiện nó. Nhiệm vụ là thể thống nhất giữa
mục đích và điều kiện.
10
Về phía chủ thể, để thực hiện động cơ, chủ thể phải dùng sức căng
của bắp thịt và thần kinh, phải vận dụng năng lực thực tiễn đã có Quá
trình ấy gọi là hoạt động. Động cơ đợc cụ thể hoá thành hệ thống mục
đích. Mỗi mục đích là một đối tợng cần chiếm lĩnh. Quá trình chiếm lĩnh
này gọi là hành động.
1.3. Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán
Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học có thể đợc thể
hiện ở các T tởng chủ đạo sau đây (Nguyễn Bá Kim 2002, trang 122):
- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt

động thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học;
- Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
- Dẫn dắt học sinh chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phơng
pháp nh phơng tiện và kết quả của hoạt động;
- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.
Những T tởng chủ đạo này giúp thầy giáo điều khiển quá trình học
tập của học sinh. Muốn điều khiển phải đo những đại lợng ra, so sánh với
mẫu yêu cầu và khi cần thiết thì phải có sự điều chỉnh. Trong dạy học,
việc đo và so sánh này căn cứ vào những hoạt động của học sinh. Việc
điều chỉnh đợc thực hiện nhờ tri thức, trong đó có tri thức phơng pháp và
dựa vào sự phân bậc hoạt động.
Những T tởng chủ đạo này phân ranh giới rõ ràng với quan điểm
thực dụng phiến diện, chỉ quan tâm tới những hành động thụ động, máy
móc. Khác với quan điểm đó, ở đây, ta chú ý đến mục đích, động cơ, đến
tri thức phơng pháp, đến trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo đợc
tính tự giác, chủ động, sáng tạo của hoạt động, một yếu tố không thể
thiếu của sự phát triển nói chung và của hoạt động học tập nói riêng.
11
Những T tởng chủ đạo trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục
đích dạy học. Hớng vào hoạt động theo các t tởng chủ đạo trên không hề
làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diện
của mục đích đó.
Sau đây ta sẽ đi cụ thể vào những T tởng chủ đạo mà Nguyễn Bá
Kim xem nh những thành tố cơ sở của PPDH, ta gọi các thành tố cơ sở
của PPDH là:
- Hoạt động và hoạt động thành phần;
- Động cơ hoạt động;
- Tri thức trong hoạt động;
- Phân bậc hoạt động.
1.3.1. Hoạt động và hoạt động thành phần:

Nội dung của T tởng này là:
Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học.
1.3.1.1. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung:
Một hoạt động là tơng thích với một nội dung nếu nó góp phần
đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Từ
"kết quả" ở đây đợc hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể,
phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trờng bên ngoài. Việc phát hiện những
hoạt động tơng thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự
hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau
(nh khái niệm, định lý hay phơng pháp), về những con đờng khác nhau
để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đờng quy nạp hay suy
diễn để xây dựng khái niệm, con đờng thuần tuý suy diễn hay có pha suy
đoán để học tập định lý.
12
Trong việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung, ta
cần phải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những
bình diện khác nhau. Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;
+ Những hoạt động ngôn ngữ;
+ Những hoạt động trí tuệ chung;
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến;
+ Những hoạt động toán học phức hợp.
Sau đây ta sẽ đi vào các hoạt động cụ thể đó:
(*) Hoạt động nhận dạng và thể hiện:
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hớng trái
ngợc nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp.
Ví dụ 1:
Sau khi học xong khái niệm bất phơng trình tơng đơng có thể cho
học sinh thực hiện hoạt động sau:

HĐ 1 (Hoạt động nhận dạng):
Khẳng định sau đây đúng hay sai?

.03232
>>+
xxxx
Giải thích HĐ 1:
Rõ ràng các bất phơng trình
3232
>+
xxx
và x > 0 là không
tơng đơng, bởi vì có thể thấy chẳng hạn x = 1 là một nghiệm của bất ph-
ơng trình thứ hai nhng không là nghiệm của bất phơng trình thứ nhất.
Tuy nhiên, nhiều học sinh suy nghĩ "đơn giản": lợc bỏ hai vế cùng biểu
thức
32

x
thì đợc bất phơng trình tơng đơng.
HĐ 2 (Hoạt động thể hiện):
13
Khi nào thì hai bất phơng trình sau đây tơng đơng (nói cách khác,
với điều kiện d nào thì hai bất phơng trình sau tơng đơng)
4
1
3
4
1

xx
x
(1);
3

x
(2)
Giải thích HĐ 2:
4
1

x
xác định nếu
4

x
. Vậy bất phơng trình
3

x
sẽ tơng đ-
ơng với bất phơng trình
4
1
3
4
1

xx
x
với điều kiện
4

x
.
Cố nhiên hai bất phơng trình không tơng đơng với nhau.
(*) Hoạt động ngôn ngữ:
Những hoạt động ngôn ngữ đợc học sinh thực hiện khi họ đợc yêu
cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là
bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác.
Ví dụ 2:
Khi dạy tính chất: "Nếu c > 0 thì a > b

ac > bc", chúng ta yêu
cầu học sinh phát biểu tính chất trên bằng lời lẽ của mình, ta mong học
sinh sẽ phát biểu:
"Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một biểu thức d-
ơng thì ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều và tơng đơng".
Ví dụ 3:
Khi dạy Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
"Với mọi
0 b ,0 a

ta có:

ab
ba

+
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b".
14
Ta yêu cầu học sinh phát biểu bằng lời lẽ của mình về nội dung bất
đẳng thức đó.
Mong đợi học sinh phát biểu:
"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình
nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình
nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau".
(*) Những hoạt động trí tuệ chung:
Những hoạt động trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, so sánh xét
tơng tự, trừu tợng hoá, khái quát hoá, cũng đợc tiến hành thờng xuyên
khi học sinh học tập môn Toán.
Ví dụ 4:
Sau khi học xong Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân đối với hai số không âm, chúng ta yêu cầu học sinh phát biểu kết
quả tơng tự cho ba số không âm.
Mong đợi câu trả lời:
"Với
0 c 0, b 0, a

ta có:

.
3
3

abc
cba

++
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cba
==
".
Sau đó yêu cầu học sinh khá, giỏi khái quát hoá để đi đến bất đẳng
thức trên trong trờng hợp tổng quát.
Mong đợi một số học sinh sẽ phát biểu rằng:
"Với a
1
, a
2
, , a
n
là các số không âm, ta có:

n
a aa
n21
+++
n
n
aaa
21

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1

= a
2
= = a
n
".

15
Ví dụ 5:
Sau khi hớng dẫn học sinh giải những phơng trình, bất phơng trình
cụ thể, chẳng hạn:
22243
2
++
xx
;12
+=
x
13
2

xx
;2
<
x
xx 4
2

;3
>
x

(Đại số 10 Nâng cao, trang 149 - 150)
Ta yêu cầu học sinh khái quát hoá, phân tích, định hớng tìm ra
cách giải các dạng phơng trình, bất phơng trình sau:
)(xf
);(xg
=
)(xf
);(xg
<
)(xf
);(xg
>
Ví dụ 6 (Hoạt động phân tích):
Giải phơng trình
22243
2
++
xx
12
+=
x
Phân tích:
Điều kiện xác định của phơng trình đã cho là
022243
2
++
xx
(1)
Nghiệm của phơng trình đã cho phải thoả mãn điều kiện
012

+
x
(2)
Với các điều kiện (1) và (2), phơng trình đã cho tơng đơng với ph-
ơng trình
22
)12(22243
+=++
xxx
(3)
16
Hiển nhiên (3) kéo theo (1). Do đó, nghiệm của phơng trình đã cho
là nghiệm của phơng trình (3) thoả mãn bất phơng trình (2). Nói một
cách khác, phơng trình đã cho tơng đơng với hệ gồm bất phơng trình (2)
và phơng trình (3).
(*) Những hoạt động trí tuệ phổ biến:
Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng
trong môn Toán, nhng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là:
lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều
nghiệm), phân chia trờng hợp,
Ví dụ 7 (Hoạt động phân chia trờng hợp):
Khi dạy học giải và biện luận phơng trình ax + b = 0, chúng ta ra
cho học sinh bài toán sau:
"Giải và biện luận phơng trình theo tham số m:
m
2
x + 2 = x + 2m".
Yêu cầu học sinh biến đổi tơng đơng để đa về dạng phơng trình
bậc nhất:
(m

2
- 1)x = 2(m - 1)

Sau đó giáo viên nêu câu hỏi:
Muốn tìm x ta phải làm nh thế nào?
Học sinh trả lời:
Chia 2 vế cho (m
2
-1)
Giáo viên hỏi tiếp:
Có phải luôn thực hiện đợc phép chia cho (m
2
- 1) hay không?
Từ đó giáo viên phân tích, để dẫn đến xét ba trờng hợp: m
1

;
m = 1 và m = -1.
(*) Những hoạt động Toán học phức hợp:
17
Những hoạt động Toán học phức hợp nh chứng minh, định nghĩa,
giải toán bằng cách lập phơng trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ
tích, thờng xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK phổ thông. Cho
học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những
nội dung Toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực Toán học t-
ơng ứng.
Ví dụ 8:
Sau khi học sinh đã có kiến thức về biến đổi tơng đơng và các tính
chất của bất đẳng thức, chúng ta yêu cầu chứng minh:
Nếu

0 b 0, a
>>
thì :
1
a
+
1
b



4
.
a b
+
Giáo viên nêu câu hỏi:
Với a > 0, b > 0 Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức
nào.
Mong đợi câu trả lời:
baab
ba
+

+

4
Và tơng đơng với Bất đẳng thức nào đơn giản hơn nữa?
Mong đợi câu trả lời:

(a + b)

2
4ab
Từ đó hớng dẫn học sinh biến đổi để suy ra điều phải chứng minh.
(*) Hoạt động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức thông qua nghiên cứu,
quan sát hình ảnh trực quan.
18
" Do đặc điểm của Toán học, hình thức trực quan đợc sử dụng
rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong môn Toán là trực quan tợng trng
(hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu, ).
Trong dạy học môn Toán, việc sử dụng hợp lý các phơng tiện trực
quan tợng trng đóng một vai trò vô cùng quan trọng, các phơng tiện trực
quan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái niệm mà còn hỗ
trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy học giải bài tập Toán
(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận, Tạp chí Giáo dục, số 143, kỳ 1,
tháng 8/2006).
Ví dụ 9:
Trong các sách giáo khoa trớc đây, Định lý về dấu tam thức bậc
hai đợc chứng minh hoàn toàn bằng suy diễn, nói cách khác là bằng biến
đổi, thêm bớt, phân tích đa thức thành nhân tử. Còn hiện nay, Định lý ấy
đợc phát hiện nhờ vào sự quan sát hình ảnh trực quan. Tuy con đờng đó
cha thể coi là chứng minh, nhng hi vọng với cách tiếp cận này học sinh
sẽ dễ tiếp thu hơn và do đó kiến thức có thể đợc khắc sâu hơn.
Ta cho học sinh quan sát 6 trờng hợp về đồ thị của hàm số bậc hai:
1.
0
<
(tam thức bậc hai vô nghiệm)
a > 0 a < 0 Kết luận
y
0 x

y
0 x
x

+

)(xf
Cùng dấu với a
(a
)(xf
> 0 với mọi
Rx

)
x

+

x

+

)(xf
+
)(xf
-
2.
0
=
(tam thức bậc hai có nghiệm kép

a
b
x
2
0
=
)
a > 0 a < 0 Kết luận
19
y
o x
0
x
y
o x
0
x
x

x
0
+

)(xf
Cùng dấu Cùng dấu
với a 0 với a
(a
)(xf
> 0 với mọi
0

xx
)
x

x
0
+

x

x
0
+

)(xf
+ 0 +
)(xf
- 0 -
3.
0>
(tam thức bậc hai có hai nghiệm x
1
< x
2
)
a > 0 a < 0 Kết luận
Error: Reference
source not found
Error: Reference
source not found

x

x
1
x
2
+

)(xf
Cùng dấu Khác dấu Cùngdấu
với a 0 với a 0 với a
< 0 với mọi
x

x
1
x
2
+

x

x
1
x
2
+

)(xf
+ o - o +

)(xf
- o + o -
Rồi sau đó yêu cầu học sinh trả lời những câu hỏi kiểu nh:
Nếu
0
<
, hãy so sánh dấu của hệ số a và dấu của
)(xf
?
Ví dụ 10: Cho Bài toán sau:
Với các giá trị nào của m, bất phơng trình:
(m
2

+ 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng với mọi
2] [-1, x

?
Bài toán có thể giải nh sau:
Ta viết bất phơng trình đã cho dới dạng:
(m
2
+ m +1)x +3m +1 > 0
Đặt: f(x) = (m
2
+ m + 1)x +3m +1
Ta thấy, với mỗi giá trị của m, đồ thị của hàm số
f(x)y
=
là đờng

thẳng (dm).
Gọi A
m
, B
m
là các điểm trên đờng thẳng(dm)
có hoành độ thứ tự là -1 và 2.
Nhìn vào hình vẽ ta thấy
0 f(x)
>

với

x

2] [-1,
khi và chỉ khi
20
A
m
B
m
y
y
đoạn thẳngA
m
B
m
nằm phía trên
trục hoành. Điều này xảy ra khi

và chỉ khi hai điểm A
m
và B
m

nằm phía trên trục hoành, nghĩa là:



>
>
0)2(
0)1(
f
f
Thay: f(-1) = -m
2
+ 2m
f(2) = 2m
2
+ 5m + 3
Ta đợc hệ bất phơng trình:
.
0352
02
2
2

>++
>+
mm
mm
Rút ra đợc:
2. m 0
<<
Ví dụ 11:
Khi dạy dấu của tam thức bậc hai trên một miền (miền ở đây có
thể là đoạn, khoảng, nửa khoảng, ), chúng ta không thể bắt học sinh
học thuộc hàng loạt các hệ điều kiện tơng đơng với các mệnh đề:
0 f(x)



x


;
0f(x)
>


>
x
;
0f(x) <
[ ]

,

x
;
Phơng pháp tơng đối hợp lý là dẫn dắt học sinh nắm đợc cách giải
dạng Toán này bằng cách dẫn ra các câu hỏi kiểm tra kiến thức cơ bản đã
đợc học (khái niệm tập hợp, tập con, về thuật toán giải bất phơng trình
bậc hai, ); cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số, nhờ đó xác định
chính xác quan hệ thứ tự giữa các nghiệm của tam thức với các đầu mút
của miền.
Ví dụ 12: Cho Bài toán sau:
Tìm m sao cho f(x) = x
2
- 4x + 3m

0
2

x
21
x
2
-1
Khi dạy giải dạng toán này, thay vì áp đặt các hệ điều kiện tơng đ-
ơng, chúng ta có thể dẫn dắt bằng các câu hỏi nh sau:
H
1
: Hãy sử dụng khái niệm tập nghiệm của bất phơng trình để cho
biết, tập tất cả các giá trị x sao cho

)(xf

0 là tập gì?
Mong đợi câu trả lời:
Là tập nghiệm của bất phơng trình
)(xf

0.
H
2
: Mọi x

2 đều làm cho
)(xf

0, tức là
,2[

x
+

) đều
thuộc vào nghiệm của bất phơng trình
)(xf

0, có mối quan hệ nh thế
nào giữa [2, +

) với các tập nghiệm đó?
Mong đợi câu trả lời:

[2, +

) là tập con của tập nghiệm.
H
3
: Tập nghiệm của bất phơng trình
)(xf

0 còn phụ thuộc vào
yếu tố nào nữa, hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phơng trình tơng ứng với
các trờng hợp?.
Mong đợi câu trả lời:
Trờng hợp



0;

> 0.
H
4
: Có nhận xét gì về trờng hợp
?0

Mong đợi câu trả lời:


0, a > 0.

' =
2
m - 1 0

tức | m | 1 thì
)(xf
0

x

Do đó f(x)

0

x

2.
H
5
: Có nhận xét gì về trờng hợp
0
>
?
Mong đợi câu trả lời:
22

> 0, tức
1 m
>
hoặc

1- m
<
thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt
1
x
<
.
2
x
Theo định lý thuận về dấu tam thức bậc hai thì f(x)

0
),[],(
21
+
xxx
Từ đây, giáo viên lí giải cho học sinh:
Ta thấy, theo giả thiết, hễ x

2 là f(x)

0, hay hễ x

[2, +

) là
).,[],(
21
+ xxx
Căn cứ vào định nghĩa tập hợp con rút ra [2, +

) là tập con của
).,[],(
21
+
xx
H
6
: Hãy biểu diễn [2, +

) cùng với
).,[],(
21
+
xx
trên trục
số để rút ra vị trí tơng đối giữa các số 2, x
1
, x
2
?
Mong đợi câu trả lời:
Minh hoạ trên trục số ta suy ra đợc rằng: x
1
< x
2
2
Rút ra đợc: m
4
5

. x
1
x
2
2
Ví dụ 13: Tìm m sao cho
f(x) = 2x
2
+ mx + 3 0

x
[-1, 1]
Giáo viên có thể dẫn dắt bằng các câu hỏi tơng tự ví dụ trên sau đó
minh hoạ trên trục số biểu diễn [-1, 1] cùng với [x
1
, x
2
] (khi
)0>
trên
trục số để rút ra vị trí tơng đối giữa các số -1, 1, x
1
, x
2
.
- Khi dạy chủ đề hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số, để tìm cực
trị của biểu thức
by ax y) L(x, +=
với hệ điều kiện ràng buộc kèm theo,

học sinh chỉ đợc dựa vào sự suy luận thông qua hình vẽ. Việc tìm cực trị
23
của biểu thức
by ax y) L(x,
+=
đã phản ánh rõ nét ý nghĩa của phơng
tiện trực quan tợng trng trong dạy học Đại số 10.
(*) Hoạt động phân tích
Ví dụ 14:
Khi gặp Bài toán: Giải bất phơng trình dạng
0
>
+
+
dcx
bax
hoặc
0
<
+
+
dcx
bax
, học sinh thờng lập bảng xét dấu các nhị thức bậc nhất, tuy
nhiên, giáo viên có thể phân tích bằng cách dẫn dắt các câu hỏi nh sau:
Chẳng hạn, đối với bất phơng trình:

0
53
12

<
+
+
x
x
H
1
: Em có so sánh gì về dấu của
53
12
+
+
x
x

Và với dấu của
5) 1)(-3x(2x f(x)
++=
Mong đợi câu trả lời:
Hai biểu thức cùng dấu với mọi x
3
5

.
H
2
: Biểu thức f(x) có dạng nh thế nào?
Mong đợi câu trả lời:
f(x) là một tam thức bậc hai có hệ số a = -6 < 0, có hai nghiệm
phân biệt

2
1

và
3
5
.
H
3
: áp dụng Định lý về dấu tam thức bậc hai ta suy ra điều gì?



>
<
0
0a
, vậy f(x) < 0

),
3
5
()
2
1
,(
+
x
Đó chính là tập nghiệm của bất phơng trình đã cho.
24

0)(
<
xf


),
3
5
()
2
1
,(
+
x
Ví dụ 15:
Khi dạy quy tắc nâng lên luỹ thừa bậc hai:
Cho bất phơng trình f(x) < g(x) có tập xác định
D
Nếu f(x), g(x) không âm với mọi x thuộc
D
thì:
f(x) < g(x)

[f(x)]
2
< [g(x)]
2
Giáo viên có thể đa ra Bài toán sau:
Giải bất phơng trình:
.1 xx

<
(1)
Một số học sinh, do không nắm vững điều kiện thực hiện quy tắc
nâng lên luỹ thừa bậc hai, nên đã lập luận nh sau: "Do hai vế của bất ph-
ơng trình
xx
<
1
luôn không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc bất
phơng trình tơng đơng x -1 < x
2
". (2)
Giáo viên biết rằng học sinh đã lập luận sai, nhng phân tích, sửa
chữa sai lầm của học sinh bằng cách nh thế nào (cho họ dễ hiểu) thì
không phải điều dễ. Phơng pháp tơng đối hợp lý là giáo viên phân tích và
lí giải cho học sinh:
"Theo định nghĩa, hai bất phơng trình tơng đơng là hai bất phơng
trình cùng tập nghiệm. ở đây, vì 0 chẳng hạn là nghiệm của bất phơng
trình (2) nhng không là nghiệm của bất phơng trình (1) cho nên 2 bất ph-
ơng trình không tơng đơng với nhau".
Và nhấn mạnh thêm cho học sinh: "Hệ quả trên nói rằng: Nếu f(x)
và g(x) không âm

x
D
thì f(x) < g(x)
[ ] [ ]
22
)()( xgxf
<

. Tuy không nói
rõ rằng hai bất phơng trình tơng đơng với nhau trên tập nào, nhng dứt
khoát phải hiểu rằng sự tơng đơng đó là xét ở trên D. Vì sao? Đối với
[f(x)]
2
và [g(x)]
2
thì tuần tự thực hiện phép tính là: thay x vào f (hoặc g);
25