Rèn luyện một số thành tố tư duy toán học trong học sinh trung học phổ thông qua việc dạy học phương trình ở lớp 10 luận văn thạc sỹ toán học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (563.93 KB, 120 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------
TRẦN PHƯỚC TIẾN
RÈN LUYỆN MỘT SỐ THÀNH TỐ TƯ DUY TOÁN
HỌC TRONG HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Nghệ An, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------------
TRẦN PHƯỚC TIẾN
RÈN LUYỆN MỘT SỐ THÀNH TỐ TƯ DUY TỐN
HỌC TRONG HỌC SINH TRUNG HỌC PHỞ THƠNG
QUA VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
CHUYÊN NGÀNH LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
MÃ SỐ: 60. 14. 10
Người hướng dẫn khoa học
GVCC. TS. LÊ HIỂN DƯƠNG
Nghệ An, 2012
LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa
học của Thầy giáo GVCC. TS. Lê Hiển Dương. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lịng kính
trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy đã trực tiếp giúp đỡ tơi hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo trong chuyên ngành Lý luận và
Phương pháp giảng dạy bộ mơn Tốn, Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tơi trong q trình thực hiện luận văn.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các Thầy Cơ khoa Sau đại
học,Trường Đại học Vinh. Phịng Tổ chức cán bộ Trường ĐH Sài Gòn, Ban giám hiệu
cùng bạn bè đồng nghiệp Trường THPT Hàm Thuận Nam đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi
trong q trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thích - nguồn cổ vũ động viên để
tơi thêm nghị lực hoàn thành luận văn.
Dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
tơi mong nhận được sự góp ý chân thành của Quý Thầy, Cô giáo và các bạn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Trần Phước Tiến
NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt
THPT
HS
Viết đầy đủ
Trung học Phổ thông
Học sinh
THCS
Trung học Cơ sở
HĐKT
Huy động kiến thức
TD
Tư duy
Sách giáo khoa
SGK
NLTD
Năng lực tư duy
GQVĐ
Giải quyết vấn đề
PHVĐ
Phát hiện vấn đề
PPDH
Phương pháp dạy học
GV
Giáo viên
PP
Phương pháp
TN
Thực nghiệm
ĐC
Đối chứng
NXB
Nhà xuất bản
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu
1
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
5
1.1. Q trình tư duy
5
1.2. Tư duy tốn học
7
1.3. Quan điểm cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS lớp 10
THPT qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình
10
1.4. Một số nguyên tắc để phát triển tư duy toán học cho học sinh
trong dạy học toán
13
1.5. Các phương pháp suy luận quan trọng thường gặp trong quá
trình dạy học toán
25
1.6. Thực trạng rèn luyện một số thành tố tư duy trong học sinh
THPTqua việc dạy học phần phương trình
25
Kết luận chương 1
Chương 2. Phát triển tư duy trong học sinh lớp 10 THPT qua
dạy học nội dung cụ thể của phần phương trình của chương
trình toán lớp 10
39
40
2.1. Một số định hướng về phát triển tư duy toán học trong học sinh
THPT khi dạy nội dung phương trình, hệ phương trình ở lớp 10
40
2.2. Một số biện pháp phát triển tư duy toán học trong học sinh lớp
10 THPT khi dạy học phương trình ở lớp 10
41
Kết luận chương 2
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
106
107
3.1. Mục tiêu thực nghiệm sư phạm
107
3.2. Nội dung, tổ chức thực nghiệm sư phạm
107
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
110
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
112
Kết luận
112
Tài liệu tham khảo
113
1
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
1. Luật giáo dục(2005), điều 28.2, đã ghi rõ "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng
làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Về mục tiêu giáo dục phổ thông là "Giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,
tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc chương
trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QQDD BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: "Phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng
học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách
nhiệm học tập cho học sinh".
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt Nam, từ các đặc điểm, vai trò, vị trí và
ý nghĩa của mơn tốn, sau khi tốt nghiệp nhà trường phổ thông, học sinh cần đạt các
mục tiêu chung sau:
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng, phương pháp tốn học
phổ thơng cơ bản, thiết thực;
- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả
năng suy ḷn đặc trưng của tốn học cần thiết cho cuộc sống;
- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động
khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên;
2
Tất cả các mục tiêu trên tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng,
trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng
phân ban: Ban Khoa học tự nhiên và Ban Khoa học Xã hội và Nhân văn.
Các mục tiêu này là những yêu cầu cần đạt về các mặt:
-
Tri thức và kỹ năng
-
Tư duy
-
Thái độ
Như vậy, để đạt được những mục tiêu đã nêu ở trên thì vấn đề phát triển tư
duy cho học sinh là một mục tiêu quan trọng trong q trình dạy học mơn tốn.
2. Mơn Tốn ở trường trung học phổ thơng có khả năng to lớn góp phần thực
hiện mục tiêu nêu trên, phát triển tư duy cho học sinh. Mục tiêu phát triển tư duy
cho học sinh cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ
không phải là tự phát. Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt:
Thứ nhất là coi trọng rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác cho học sinh;
Thứ hai là phát triển ở học sinh khả năng suy đoán và tưởng tượng; Thứ ba là coi
trọng rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản; thứ tư là hình thành ở học sinh
những phẩm chất trí tuệ.
Nội dung, chương trình mơn tốn ở Trung học Phổ thơng có nhiều chủ đề
kiến thức khác nhau. Nội dung chủ đề phương trình, hệ phương trình ở lớp 10 có
vai trò quan trọng trong q trình phát triển tư duy tốn học trong học sinh. Khi
giải các phương trình đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng và sử dụng một
cách tổng hợp các thao tác tư duy để mục đích cuối cùng là tìm được nghiệm của
chúng. Kiến thức về phương trình ở lớp 10 cùng với hệ thống bài tập của nó cũng
khá phong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đối
tượng học sinh có trình độ nhận thức có kỹ năng rèn luyện. Từ đó tư duy được bồi
dưỡng nhờ vào năng lực giải tốn. Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khai
thác để rèn luyện một số thành tố tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học.
4. Mặc dù có nhiều cơng trình liên quan đến rèn luyện và phát triển tư duy toán
học cho học sinh, nhưng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy của học
3
sinh khi học phương trình ở lớp 10 vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về
phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.
Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ là: “Rèn luyện một số thành tố tư duy toán học trong học sinh THPT
qua việc dạy học phương trình số lớp 10”.
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất các biện pháp sư phạm mà
người giáo viên toán thực hiện nhằm góp phần phát triể tư duy tốn học trong học sinh
lớp 10 THPT qua việc dạy học phương trình, hệ phương trình ở đại số lớp 10.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1.Nghiên cứu tổng hợp một số lý luận cơ bản về tư duy, tư duy toán học, các
quan điểm cơ bản về phát triển tư duy trong học sinh;
2. Nghiên cứu nội dung chương trình tốn phổ thơng để xác định chủ đề kiến
thức phương trình ở lớp 10 có tiềm năng phát triển tư duy toán học trong học sinh
THPT;
3. Đề xuất các biện pháp sư phạm mà người giáo viên toán cần thực hiện để phát
triển tư duy toán học cho học sinh lớp 10 THPT qua dạy học phần phương trình ở
đại số lớp 10;
4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực,
tính hiệu quả của đề tài.
IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu
- Tư duy và vấn đề phát triển tư duy cho HS lớp 10 thơng qua dạy học nội dung
phương trình và hệ phương trình lớp 10 THPT
Khách thể nghiện cứu: Học sinh lớp 10 THPT Hàm Thuận Nam
2. Phạm vi nghiên cứu
- Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở tỉnh Bình Thuận.
V. Phương pháp nghiên cứu
1.. Phương pháp nghiên cứu lý luận
4
2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán
VI. Giả thuyết khoa học
Nếu trong q trình dạy học mơn tốn, người giáo viên nghiên cứu đề xuất và
thực hiện những biện pháp sư phạm thích hợp để phát triển tư duy trong học sinh
thì có thể góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung phương trình, hệ phương
trình ở lớp 10 nói riêng và các nội dung, chương trình tốn trong trường trung học
phổ thơng nói chung.
VII. Dự kiến đóng góp của luận văn
1. Hệ thống hóa các cơ sở khoa học và các quan điểm chủ đạo về tư duy toán học
trong phạm vi của dạy học mơn tốn THPT.
2. Đề xuất những quan điểm đối với việc rèn luyện tư duy toán học trong học sinh
qua việc dạy học phương trình ở lớp 10.
3. Ḷn văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT.
VIII. Dự kiến cấu trúc của luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3
chương sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Phát triển tư duy trong học sinh lớp 10 THPT qua dạy học nội
dung cụ thể của phần phương trình của chương trình tốn lớp 10
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
5
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quá trình tư duy
1.1.1. Khái niệm tư duy
Trí tuệ, tư duy, ý thức là những thuật ngữ mà chúng ta hay dùng nhiều là những
tổng hợp trội lên bắt nguồn từ những vô số tương tác giữa những hoạt động → suy nghĩ
do não người tạo ra. Trí tuệ, tư duy, ý thức của con người phụ thuộc lẫn nhau, mỗi cái
giả định và bao hàm những cái khác; do đó khi nghiên cứu chúng, phải cố xác định
bằng cách vừa để chúng dựa vào nhau, vừa phân biệt những tính cách riêng của mỡi cái.
Có thể chúng ta xác định trí tuệ như là nghệ thuật chiến lược, tư duy như là nghệ thuật
đối thoại và nghệ thuật quan niệm, còn ý thức thì như là nghệ thuật suy nghĩ.
Tư duy là một hoạt động đặc thù của tinh thần con người, nó được triển khai
trong lĩnh vực ngơn ngữ, logic và ý thức. Có nhiều quan niệm về tư duy:
Theo Từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức
một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong
các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản
xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện
những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách
rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài
người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời
nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy
là những q trình như trừu tượng hố, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những
vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý
niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.
Theo Từ điển Bách khoa tồn thư Việt Nam, tập 4: Tư duy là sản phẩm cao
nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt Bộ não người Tư duy phản ánh
tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận, …
“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối quan hệ
có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” (Trần
Thúc Trình 1998, tr.1).
6
Theo Nguyễn Quang Uẩn: Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những
thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy ḷt của sự vật
hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Nhiều nghiên cứu của các nhà khoa học đã đi đến những đặc điểm của tư
duy: (i) Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hồn
cảnh, những tình huống “có vấn đề”; (ii) Tính gián tiếp của tư duy; (iii) Tính trừu
tượng và khái quát của tư duy. Tính trừu tượng và khái quát của tư duy giúp con
người không những giải quyết được nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thể giải quyết
được nhiệm vụ ở tương lai; (iv) Tư duy và ngơn ngữ có mối quan hệ mật thiết với
nhau. Muốn phát triển tư duy phải gắn với trau dồi ngôn ngữ. Tuy nhiên ngôn ngữ
không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy; (v) Tư duy có mối
quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm
tính, trên cơ sở đó mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”; (vi) Tư duy được xét như
một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình này được
minh hoạ bởi sơ đồ (do K. Plantônôv đưa ra):
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Chính xác hóa
Khẳng định
Giải quyết vấn đề
Phủ định
Hoạt động tư duy
Sơ đồ 1 (Dẫn theo Nguyễn Vănmới
Thuận (2004), tr. 10)
7
(vi) Q trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng
cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định như: phân tích, tổng hợp, so
sánh, trừu tượng hố, khái qt hố ...
1.2. Tư duy tốn học
1.2.1. Mợt số quan điểm cơ bản về tư duy toán học
Cho đến nay, vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất về tư duy tốn học và
chưa có cơng trình nghiên cứu đầy đủ về tư duy toán học. Trên thực tế, để có một
định nghĩa thống nhất và có được những cơng trình nghiên cứu đầy đủ về tư duy hay
tư duy tốn học là một ảo tưởng. Bởi tư duy nói chung, tư duy toán học là lĩnh vực
mở, đa dạng, nhiều chiều, bất định, luôn luôn vận động, biến đổi không ngừng,... Con
người sống chung và hòa nhập vào thế giới hiện thực, tác động và đối thoại với đối
tượng thế giới hiện thực, trong đó có nhiều đối tượng tốn học, từ đó có tư duy trong
đó có tư duy tốn học. Cũng thật khó mà phân biệt một hoạt động tư duy của con
người chỉ có thuần tuy tư duy tốn học. Não người là “một cỡ máy siêu phức hợp”
thực sự mang tính vật lý – hóa học trong những tương tác của nó; thật sự là sinh học
trong tổ chức của não; thực sự là con người trong những hoạt động, suy nghĩ và có ý
thức. Do vậy, ta nhận thấy tư duy là một lĩnh vực đa chiều, theo nghĩa cùng lúc nó là
vật lý, hóa học, sinh học, não, tinh thần, văn hóa, xã hội, khơng tách rời nhau. Tư duy
tốn học mà ta đang nói đến cũng như vậy. Như đã xác định ở trên, để nghiên cứu tư
duy toán học bằng cách vừa để chúng dựa vào nhau, vừa phân biệt những tính cách
riêng của mỡi cái. Từ đó ta có thể dẫn ra một số tác giả có nói về tư duy toán học.
Viện Sĩ Gonhedenco đã dùng cụm từ “những yêu cầu đối với tư duy toán học
của học sinh”, những u cầu đó là: (i) Năng lực nhìn thấy sự khơng rõ ràng của
q trình suy ḷn, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng
minh; (ii) Sự cơ đọng; (iii) Sự chính xác của các ký hiệu; (iv)Sự phân chia rõ ràng
tiến trình suy luận; (v) Thói quen lý lẽ đầy đủ về mặt logic.
Viện Sĩ KhinSin thì nói đến độc đáo của tư duy tốn học đó là (i) Suy ḷn
theo sơ đồ logic chiếm ưu thế; (ii) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất để
dẫn đến mục đích; (iii) Phân chia rành mạch các bước suy luận; (iv) Sử dụng chính
8
xác các ký hiệu, mỡi một ký hiệu tốn học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ;
(v)Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.
Theo Viện sĩ Maccusevic thì những kỹ năng phải được bồi dưỡng học sinh
trong dạy học toán là (+) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ
lại những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; (+) Kỹ năng
rút ra hệ quả logic từ những tiền đề đã cho; (+) Kỹ năng phân tích một vấn đề thành
những trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào
chỉ ra vấn đề chưa bao quát được mọi khả năng; (+) Kỹ năng khai thác hóa các kết
quả đạt được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát; (+) Kỹ năng xác định sơ đồ của
hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về
mặt tốn học; (+) Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận, biết
đối chiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của
việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy các kết quả.
Viện sĩ Cruchetxki có một cơng trình khoa học rất nổi tiếng với tên gọi là “Tâm lý
năng lực tốn học của học sinh” cơng trình này khá đồ sộ và mục đích của nó là xem xét
cấu trúc của năng lực toán học. Tác giả này khơng đi sâu vào tư duy tốn học mà tập trung
vào những năng lực cần thiết được thể hiện qua mơn tốn chẳng hạn năng lực sau đây: (i)
Năng lực tri giác hóa tài liệu tốn học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài tốn;
(ii) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian,
các ký hiệu dấu và các khái niệm số, năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học; (iii) Năng
lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ, các phép toán của toán học;
(iv) Năng lực rút ngắn các q trình tốn học và hệ thống các phép toán tương ứng…
Viện Sĩ Konmogrop cho rằng: Trong thành phần của năng lực tốn học có: (i)
Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức phức tạp; (ii) Năng lực tìm được con
đường giải phương trình khơng theo quy tắc chuẩn; (iii) Năng lực trí tưởng tượng hình
học; (iv) Nghệ thuật suy luận logic theo các bước phân chia một cách đúng đắn đặc
biệt có những kỹ năng vận dụng đúng đắn phương pháp quy nạp toán học.
Trên đây chúng ta đã dẫn ra ý kiến của một số nhà toán học về vấn đề liên quan
đến tư duy toán học nhưng thực ra các tác giả trên đây cũng chưa đi sâu vào các thành
9
phần của tư duy toán học mà mới chỉ đề cập những kỹ năng cần thiết hoặc những cái
mặt quan trọng trong q trình nghiên cứu tốn hoặc học tốn.
Một nhóm tác giả người Nga, lần đầu tiên vào năm 1977 có viết một cách đầy
đủ và hệ thống về tư duy tốn học đó là tác giả Koliagin, Oganhexian. Trong tài liệu
“Phương pháp giảng dạy toán ở trường trung học” cuốn sách này có thể chưa được hồn
hảo nhưng đó là cuốn sách đầu tiên và duy nhất cho tới bây giờ nghiên cứu sâu về các
thành phần của tư duy tốn học chứ khơng phải là chỉ dừng lại ở mức độ chung chung.
Bản thân các tác giả cũng thừa nhận rằng sự phân loại các thành phần như trong cuốn sách
này chỉ là tương đối và cũng khơng phải là đầy đủ bao qt mọi khía cạnh. Trong q trình
thực tế của tư duy tốn học, tất cả những thành phần của tư duy đã được phân chia sẽ tác
động qua lại một cách hữu cơ với nhau kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác tư
duy này hoặc thao tác tư duy khác. Sự phân chia cho một quá trình phức tạp như tư duy
toán học bằng cách xét các thành phần riêng lẻ của nó chẳng qua do ý muốn nghiên cứu
các biểu hiện riêng biệt của tư duy toán học trong quá trình giảng dạy tốn, chỉ có như vậy
người giáo viên mới có điều kiện thúc đẩy sự phát triển nếu khơng được tồn diện thì cũng
là sự phát triển từng phần tư duy toán học cho học sinh.
1.2.2. Vai trò của tư duy toán học
Giáo dục toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm những bộ
phận như sau: (+) Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những sự kiện và
những khái niệm toán học; (+) Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo toán học, ứng
dụng vào thực tiễn; (+) Phát triển tư duy toán học.
Những nghiên cứu của các nhà giáo dục học đã chỉ ra rằng, tư duy tốn học
khơng chỉ là một trong những thành phần quan trọng của sự hoạt động hiểu biết ở
học sinh, mà còn là thành phần, nếu thiếu sự phát triển có phương hướng rõ rệt, thì
khơng thể đạt được những kết quả hữu hiệu trong việc giảng dạy hệ thống các kiến
thức, kỹ năng và kỹ xảo tốn học. A. N. Lêơnchiép đã nhiều lần vạch ra rằng việc
giảng dạy và sự phát triển trí tuệ ở trẻ có liên quan mật thiết với nhau, và dù rằng trẻ
phát triển đồng thời với học tập, nhưng phát triển trí tuệ của nó độc lập một cách
tương đối.
10
Như vậy, những khái niệm tốn học khơng hình thành ở học sinh một cách tách
biệt khỏi quá trình nhận thức, mà dần dần được xác định với những mức độ khác nhau,
trên những giai đoạn cụ thể của việc giảng dạy. Nói cách khác, học sinh có tư duy tốn
học phát triển kém thì khơng thể hiểu được những khái niệm toán học. Để hiểu được
khái niệm toán học một cách thực chất, HS phải chính mình phát triển những khả năng
thao tác trí tuệ nhất định; chỉ có học sinh mới có thể tích cực và tự giác tiếp thu kiến
thức mới trong khi trực tiếp hay không trực tiếp tham gia vào sự sáng tạo cái mới đó.
1.3. Quan điểm cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS lớp 10 THPT
qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình
1.3.1. Đặc điểm thể chất, xã hội, tâm lý lứa tuổi của học sinh lớp 10 THPT
Học sinh lớp 10 THPT thuộc lứa tuổi từ 15 đến 16, đây là tuổi trong giai
đoạn của “thế giới thứ ba” (từ 14, 15 đến 18 tuổi) theo nghĩa đen của từ này, tồn tại
giữa tuổi trẻ em và tuổi người lớn. Cái giới hạn có tính chất sinh lý và tính xã hội
tuy ngắn trong đời người nhưng lại rất quan trọng và nói lên tính phức tạp đa chiều
của xã hội. Thời kỳ này đạt được sự trưởng thành về mặt thể lực, nhưng sự phát
triển cơ thể còn kém so với cơ thể của người lớn. Sự phát triển thần kinh có những
thay đổi quan trọng do cấu trúc bên trong của não phức tạp và các chức năng của
não phát triển. Cấu trúc của tế bào bán cầu đại não có những đặc điểm như trong
cấu trúc bán cầu đại não của người lớn. Số lượng dây thần kinh liên hợp tăng lên,
liên kết các phần khác nhau của vỏ não lại. Điều này tạo tiền đề cần thiết cho sự
phức tạp hóa các hoạt động phân tích, tổng hợp,... của vỏ bán cầu đại não trong quá
trình học tập.
Trong gia đình các em đã có nhiều quyền lợi và trách nhiệm người lớn, phụ
huynh đã bắt đầu trao đổi với các em một số vấn đề của gia đình và các em cũng đã
biết quan tâm đến nhiều mặt sinh hoạt trong gia đình. Các em đã gia nhập đồn thể,
tham gia cơng tác tập thể, công tác xã hội một cách độc lập và có trách nhiệm hơn.
Tuổi học sinh ở lớp 10 này có hình dáng người lớn, có những nét người lớn,
nhưng chưa phải là người lớn. Các em còn phụ thuộc vào người lớn, người lớn
thường quyết định nội dung và xu hướng chính của hoạt động của các em.
11
Nội dung và tính chất của hoạt động học tập của HS lớp 10 khác rất nhiều so
với hoạt động học tập của HS THCS. Sự khác nhau không chỉ ở nội dung học sâu
hơn, mà còn ở chỗ đòi hỏi hoạt động học tập của HS lớp 10 THPT phải có tính năng
động và tính độc lập cao hơn nhiều, đồng thời đòi hỏi các em muốn nắm vững kiến
thức học tập sâu sắc thì phải phát triển tư duy lý luận.
Thái độ học tập có ý thức đã thúc đẩy sự phát triển có tính chủ định của các
quá trình nhận thức và năng lực điều khiển bản thân của HS lớp 10 nói riêng và HS
THPT nói chung trong hoạt động học tập. Thái độ học tập của các em được thúc
đẩy bởi động cơ học tập có cấu trúc khác với thời kỳ THCS. Lúc này có ý nghĩa
nhất là động cơ thực tiễn, động cơ nhận thức, sau đó là ý nghĩa xã hội của môn học,
rồi mới đến động cớ cụ thể khác.... Nhưng, thái độ học tập ở một bộ phận không
nhỏ HS có nhược điểm là học lệch. Giáo viên cần làm cho HS hiểu được chức năng
ý nghĩa của giáo dục phổ thơng đối với một mơn học.
Thời kỳ này, tính chủ định được phát triển mạnh ở tất cả các q trình nhận
thức. Tri giác có mục đích đã bước đầu đạt mức cao. Quan sát trở nên có mục đích,
có hệ thống và tồn diện hơn. Q trình quan sát đã chịu sự điều khiển của hệ thống
tín hiệu thứ hai nhiều hơn và không tách khỏi tư duy ngôn ngữ. Tuy vậy, các em
vẫn phải rất cần sự hướng dẫn của giáo viên. Ghi nhớ có chủ định đã giữ vai trò chủ
đạo trong hoạt động trí tuệ của các em, đồng thời vai trò ghi nhớ logic trừu tượng,
ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng. Các em đã tạo được tâm thế phân hóa trong ghi nhớ,
đã biết tài liệu nào cần ghi nhớ từng câu từng chữ, tài liệu nào chỉ cần hiểu mà
không cần nhớ. Nhưng, một bộ phận HS vẫn còn tính qua loa đại khái, do lỗ hổng
của phát triển tư duy thời kỳ THCS để lại.
Hoạt động tư duy của các em có sự thay đổi quan trọng, các em có khả năng
tư duy lý luận, tư duy trừu tượng một cách độc lập sáng tạo trong những đối tượng
đã được học hoặc chưa được học. Suy luận của các em chặt chẽ hơn, có căn cứ và
nhất quán hơn. Đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển. Những đặc điểm
này là tiền đề tạo điều kiện cho HS lớp 10 nói riêng, HS THPT nói chung có được
những thao tác tư duy toán học phức hợp trong quá trình học tốn.
12
Tuy vậy, số học sinh lớp 10, đầu cấp THPT đạt mức tư duy đặc trưng cho lứa
tuổi như trên chưa nhiều. Nhiều khi các em chưa chú ý phát huy hết năng lực độc
lập suy nghĩ của bản thân, còn kết ḷn vội vàng theo cảm tính,.... Vì vậy, vai trò
của giáo viên toán trong việc phát triển tư duy tư duy cho HS là vô cùng quan trọng.
1.3.2. Quan điểm cơ bản của việc phát triển tư duy cho HS lớp 10 THPT
Do đặc điểm tâm lý lứa tuổi học sinh THPT mà chúng ta không thể biên soạn
một chương trình bồi dưỡng hay phát triển tư duy tốn riêng đưa vào chính khóa
cho học sinh, mà việc phát triển tư duy cho HS chỉ có thể tiến hành thông qua hoạt
động dạy học vững chắc các tri thức tốn học cho HS.
Q trình vận động của tư duy gắn chặt với quá trình phát triển vận động của mâu
thuẫn biện chứng. Trong quá trình vận động biến đổi khơng ngừng đó, tư duy là một dạng
thức đối logic phức hợp của hoạt động và những thao tác, sử dụng những năng lực bổ
sung hay đối kháng của bộ não, và theo nghĩa đó, tư duy là sử dụng đầy đủ đối lập biện
chứng (đối logic) những năng lực suy nghĩ tinh thần của con người. Dạng thức mà ta gọi
là đối logic này xây dựng, tổ chức và phát triển theo lối khái niệm diễn tả bởi những thuật
ngữ. Chẳng hạn, những đối logic của tư duy như: phân biệt - liên hệ; phân hóa - thống
nhất; phân tích – tổng hợp; đặc biệt hóa - khái quát hóa; trừu tượng - cụ thể; riêng biệt hóa
- phổ biến hóa; chính xác - mơ hồ; tất định - bất định; diễn dịch - qui nạp; khách thể hóa chủ thể hóa;.... Mọi q trình tư duy khơng được xem xét theo cách đối logic (tức là chỉ
xem xét một bề) thì dẫn tới chỡ hoang tưởng, mù qng. Vì thế, việc phát triển tư duy
tốn học cho HS lớp 10 thông qua dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, phải coi
trọng phát triển ngơn ngữ toán học cho HS, mà cụ thể ở đây là những ngơn ngữ trong khi
dạy học phương trình, hệ phương trình ở lớp 10.
Tư duy tự sinh ra từ vận động mâu thuẫn biện chứng không ngừng, tạo thành
một vòng “xốy ốc”. Trong q trình vận động theo vòng xốy này, tư duy tồn tại
“xa sự cân bằng” động một cách tất yếu. Tư duy cần sự điều tiết thường xun và
tìm thấy sự điều tiết đó ở sự đối thoại với hiện thực bên ngồi (khái niệm, tri thức
tốn) và tìm thấy sự điều tiết ở ngay nội tại của tư duy bởi sự “xốy ốc” của đối lập
có tính biện chứng (phân tích - tổng hợp; hiểu-giải thích; suy diễn-quy nạp, v.v..).
13
Q trình tự vận động ấy là q trình “xốy ốc”, là q trình sản sinh cái mới
đó là tư duy mới, tức là biến cái biết thành cái hiểu, cái được quan niệm, nghĩa là
cái được tư duy. Có thể tìm thấy trong ý tưởng về quan niệm: ý tưởng về sản sinh
cái mới; ý tưởng về sự hình thành khái niệm; ý tưởng về tạo nên một mô hình, một
hệ thống các phương pháp (phương pháp giải một dạng phương trình nào đó). Từ
đó, để phát triển tư duy tốn học trong HS lớp 10 thì cần phát triển ở HS những
quan niệm về các đối tượng, phương pháp trong dạy học chủ đề phương trình, mà
trước hết là những phạm trù, khái niệm hay là những phương pháp.
Những khái niệm, phạm trù là hình thức cơ bản của tư duy, mà nhờ đó tư duy
khơng ngừng đi sâu vào bản chất của thế giới vật chất. Hoạt động của tư duy còn là
hoạt động sử dụng, vận dụng những khái niệm, phạm trù đã có để sáng tạo ra những
khái niệm, phạm trù mới, để phản ánh các quan hệ tất yếu, các quy luật của thế giới
khách quan. Chính vì thế, các hình thức tư duy trong mơn Tốn là khái niệm tốn
học, các định lý, nguyên lý toán học, các suy luận, suy lý. Giáo viên Toán cần hiểu
rõ, sâu sắc các vấn đề: con người đã lao động, sáng tạo như thế nào để có được khái
niệm tốn học, các tính chất, định lý, các lý thuyết toán học trừu tượng và các
chứng minh chặt chẽ được xây dựng và tích lũy như thế nào trong lịch sử.
Với sự phân tích ở trên, chúng ta cũng rút ra rằng, để phát triển tư duy toán học
trong HS lớp 10 THPT cần coi trọng rèn luyện các phương pháp suy luận thường gặp
và những năng lực tư duy cần có khi học và giải tốn phương trình. Các suy ḷn đó là:
quy nạp và diễn dịch; phương pháp suy diễn; phương pháp phản chứng; phân tích và
tổng hợp; tương tự hóa; tổng qt hóa, đặc biệt hóa; trừu tượng hóa, cụ thể hóa;...
1.4. Mợt số nguyên tắc để phát triển tư duy toán học cho học sinh trong dạy
học tốn
1.4.1. Mợt số ngun tắc tư duy cơ bản (hay theo Polya gọi là kỷ luật trí óc) cần
hình thành cho học sinh
1.4.1.1. Tập trung suy nghĩ vào mục đích
Khi suy nghĩ về một vấn đề, HS cần phải xác định mục đích của vấn đề và
tập trung suy nghĩ vào mục đích ấy. Chẳng hạn, khi giải một phương trình cần tập
14
trung suy nghĩ vào yêu cầu của phương trình, hai vế của phương trình, rồi huy động
kiến thức, vận dụng các phương pháp đã biết, các giả thiết đã cho trong bài tốn suy
nghĩ tìm ra cách giải phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1
1
2
1
1- x 1 x 1 x2
(1)
Dễ thấy điều kiện của phương trình là x ±1. Nếu HS không tập trung đọc
kỹ đề bài mà vội biến đổi phương trình theo thói quen thơng thường là qui đồng khử
mẫu thì sẽ gặp phải việc tính tốn dài dòng. Nếu HS tập trung chú ý đến đặc điểm
của phương trình, quan tâm đến mẫu số của hai số hạng đầu là dạng hiệu và dạng
tổng để lấy mẫu số chung thì có thể biến đổi nhanh chóng phương trình như sau:
(1)
2
2
4
1
1 4 1 x 4 x 4 3
2
2
1- x 1 x
1- x4
1.4.1.2. Đặt câu hỏi và tìm cách trả lời câu hỏi
Khi cần tìm hiểu một vấn đề hay giải một bài toán HS nên biết rèn luyện đặt
ra những câu hỏi liên tiếp và suy nghĩ tìm ra câu trả lời cho chúng. Đặt câu hỏi và
tìm cách trả lời là một nguyên tắc của tư duy đồng thời cũng là phương pháp rèn
luyện cách phát triển tư duy. Quá trình tư duy để phát hiện một vấn đề hay giải một
bài toán được thể hiện ở những câu hỏi đặt ra liên tiếp và ở việc huy động kiến thức
kinh nghiệm để trả lời những câu hỏi ấy.
Ví dụ 2: Giải phương trình
x(x+2)(2x – 3) – x3 = 8
(2)
Người giải có thể đặt câu hỏi: Dạng của phương trình? Bậc của phương
trình? Phương trình dạng này có cách giải chung chưa? Để giải phương trình này
cần phải thực hiện những hoạt động nào? Mối quan hệ giữa các thừa số có trong
phương trình như thế nào?
Với phương trình này, nếu học sinh thực hiện theo thói quen là bỏ ngoặc,
thực hiện các phép tốn để biến đổi phương trình thì dẫn đến một phương trình bậc
ba gây ít nhiều khó khăn cho học sinh khi tìm nghiệm chính xác của phương trình.
(2) (x2 +2x)(2x – 3) – x3 – 8 = 0 2x3 – 3x2 +4x2 – 6x –x3 – 8 = 0
x3 + x2 – 6x – 8 = 0
Dùng máy tính điện tử cầm tay tìm được x1 = 2.5616; x2 = –2; x3 = –1.5616
15
Nếu học sinh thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ và chịu khó quan sát bài
tốn, nhìn bài tốn ở góc độ khác bằng cách đưa phương trình đã cho về dạng
phương trình tích nhờ phát hiện nhân tử chung là (x + 2) do áp dụng được hằng
đẳng thức a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) thì việc tìm nghiệm của phương trình ít gặp
khó khăn hơn.
(2) x(x + 2)(2x – 3) – (x3 + 8) = 0
x(x + 2)(2x – 3) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
(x + 2)(2x2 – 3x – x2 + 2x – 4) = 0 (x + 2)(x2 – x – 4) = 0
x 2
x 2 0
2
x 1 17
x
x
4
0
2
1.4.1.3. Đánh giá khả năng phương án giải quyết
Để giải quyết một vấn đề đặt ra (có thể là một bài toán, một định lý cần
chứng minh hay một điều dự đốn cần khẳng định) ta có thể có nhiều phương án.
Học sinh cần suy nghĩ thấu đáo để đánh giá được phương án nào có nhiều khả năng,
phương án nào sát với đích hơn. Muốn làm được điều đó cần có kiến thức vững
vàng, cần có kinh nghiệm qua rèn luyện nhiều và thường xuyên, và cần có kỹ năng
vận dụng các thao tác tư duy
Ví dụ 3: Giải phương trình
5
x 3 1 2( x 2 2)
Hướng 1: Nếu nhìn phương trình đã cho dưới dạng quen thuộc
(3)
f ( x ) g ( x )
thì phương pháp thường được sử dụng là bình phương hai vế để khử căn bậc hai.
Khi đó biến đổi phương trình như sau:
(3) 5(x3 + 1) = 2(x2 + 2)2 4x4 – 25x3 + 16x2 – 9 = 0
Phép biến đổi này đã dẫn đến một phương trình bậc bốn đầy đủ khơng có
cách giải tổng qt do đó dẫn đến sự bế tắc.
Hướng 2: Nếu nhìn phương trình theo một góc độ khác, xem xét các mối
quan hệ ẩn chứa trong phương trình thì có thể đưa ra một hướng giải quyết khác
như sau:
Điều kiện: x3 +1 0 x3 –1 x –1
x 3 1 ( x 1)( x 2 x 1) x 1 x 2 x 1
