skkn phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán chứng minh hai góc bằng nhau

I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong toán học có nhiều bộ môn, bộ môn nào cũng có cái hay cái thú
vị của nó. Ở cấp phổ thông trung học cơ sở hiện nay học sinh được học và
nghiên cứu một số bộ môn như: số học đại số và hình học. Riêng bộ môn
hình học là một bộ môn rất mới lạ và rất khó đối lứa tuổi học sinh cấp 2.
Trước những bài toán hình học, đặc biệt về bài toán chứng minh hình học
thường học sinh rất lúng túng, không biết bắt đầu đi từ đâu và đi từ hướng
nào. Do đó các lập luận trong bài toán chứng minh hình học của các em
thường dài dòng, rời rạc thiếu căn cứ, không đảm bảo tính khoa học và
logic. Có thể nói hầu hết các em học sinh ở bậc học trung học cơ sở hiện
nay còn gặp nhiều khó khăn trong việc học tập môn hình học nói chung và
trong việc chứng minh các bài toán hình học nói riêng. Nói cách khác các
em chưa nắm vững được phương pháp chứng minh một bài toán hình học.
Về phía giáo viên trong quá trình giảng dạy môn hình học ở trung học
cơ sở không ít giáo viên chỉ thiên về xây dựng khái niệm, hình thành khái
niệm, liệt kê các định lý, tính chất.v.v mà không dạy cho học sinh sử dụng
những khái niệm tính chất đã học vào việc giải bài toán chứng minh hình
học. Mặt khác giáo viên chỉ chú ý đến việc giải nhiều các bài toán có liên
quan đến vấn đề đã học và thỏa mãn với việc đã tìm ra kết quả bài toán,
mà chưa khái quát cách giải từng loại bài, dạng bài khác nhau. Dặc biệt
giáo viên chưa dạy cho học sinh phương pháp tư duy tìm hướng giải tối ưu
nhất đối với từng loại bài, dạng bài cụ thể Do đó học sinh rất khó xuất
phát điểm tư duy và tìm ra hướng giải nhanh nhất, cách giải tối ưu nhất.
Vì thế học sinh hay lúng túng trong việc giải quyết bài toán và lời giải
nhiều khi không logic, thiếu chặt chẽ, máy móc không sáng tạo quá trình
này sẽ làm hạn chế năng kực tư duy học sinh.
1
Việc giải bài toán hình học ở chương trình trung học cơ sở thực chất
là đi chứng minh lại các mệnh đề toán học. Do đó phương pháp chứng
minh các bài toán hình học đối với các em học sinh cấp 2 là rất cần thiết,

rất quan trọng, nó giúp các em phát triển được năng lực tư duy, từng bước
giúp các em giúp các em hoàn thành và hoàn thiện các thao tác tư duy
như: So sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa góp phần phát triển năng
lực trí tuệ cho các em.
Các bài toán về chứng minh hình học rất đa dạng phong phú như:
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh hai đường thẳng song
song, chứng minh hai tam giác bằng nhau, chứng minh hai góc bằng
nhau.v.v Đối với học sinh cấp 2 thì việc chứng minh hai góc bằng nhau
cũng còn gặp nhiều khó khăn, hầu hết các em đều mắc phải các nhược
điểm như đã nêu trên. Để giúp các em khắc phục nhược điểm khi giải bài
toán chứng minh hình học nói chung và bài toán chứng minh hai góc bằng
nhau nói riêng, với những kinh nghiệm trong những năm giảng dạy ở
trường trung học cơ sở, từ thực tế tôi xin được trình bày một đề tài nhỏ là:
“Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán chứng minh hai
góc bằng nhau“ ở hình học phẳng trong chương trình hình học ở trung
học cơ sở.
I.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Mục đích của đề tài là thông qua các dạng bài toán cơ bản được
tổng hợp thành các kiểu phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau. Từ
đó nâng cao năng lực trí tuệ của học sinh trong việc phát hiện vấn đề nâng
cao việc rèn kuyện kỹ năng cho học học sinh, chứng minh có luận cứ, có
hướng đi rõ ràng trong bài toán chứng minh hai góc bằng nhau. Khắc phục
những việc dạy và học giải bài toán hai góc bằng nhau.
2
- Làm cho học sinh lựa chọn khám phá ra hướng đi mới, lời giải đúng
và nhanh nhất trong bài toán. Kích thích sự tìm tòi say mê học toán của
học sinh. Làm cho học sinh vận dụng hợp lý những tri thức của mình để tìm
ra mối liên hệ giữa bài toàn này bài toán khác.
- Mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán từ đó học sinh
đưa ra cách giải nhanh chóng đưa ra cách giải hợp lý. Biết tìm ra nhiều

phương pháp giải toán hình và từ đó học sinh thích học, tự tin hơn không lo
sợ bộ môn hình học.
- Nhiệm vụ của đề tài là nói lên một số cách giải chủ yếu thường gặp
trong giải toán về chứng minh hai góc bằng nhau trong hình học phẳng.
- Thông qua môn hình học và kinh nghiệm giảng dạy đưa ra một số
bài tập tổng hợp và hướng giải. Trong ví dụ minh họa các phương pháp
giảng người thực hiện đề tài chú ý phân tích để học sinh thấy được
phương pháp suy nghĩ như thế nào để có được phương pháp giải tối ưu.
Từ đó có cách trình bày phần chứng minh cho rõ ràng, lập luận chặt chẽ,
logic hơn.
I.3. THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM
* Thời gian: Thực hiện 4 năm từ 2006 đến 2010
* Địa điểm: Tại trường THCS Mạo Khê II
I.4. ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Môn Hình là một bộ môn khó và trừu tượng đối với học sinh THCS vì
vậy đòi hỏi người giáo viên phải luôn tìm tòi suy nghĩ, có những phương
pháp để truyền đạt đến học sinh một cách dễ hiểu.
Trong thời gian qua, tôi đã cùng với nhóm, tổ Toán Lý trực tiếp giảng
dạy nhiều năm bộ môn Toán, Lý từ lớp 6 đến lớp 9, đã cùng với tổ từng
bước nâng cao chất lượng giảng dạy và đã có nhiều học sinh đạt học sinh
giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh trong các năm học 2007 – 2008.
3
Năm học 2007 – 2008 đã có 4 học sinh giỏi bộ môn Toán cấp Huyện
trong đó có 3 em lớp mình phụ trách.
II. PHẦN NỘI DUNG
I.1. CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
Tên đề tài là: “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài
toán chứng minh hai góc bằng nhau“ ở hình học phẳng trong chương
trình hình học ở trung học cơ sở.
Thời gian thực hiện đề tài là 4 năm. Trong đề tài này tôi đi sâu vào

nghiên cứu phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán chứng
minh hai góc bằng nhau ở hình học phẳng. Từ đ ó rèn cho học sinh có k ĩ
năng làm một bài tập chứng minh hình học ở cấp THCS một cách dễ hiểu
và gần gũi với học sinh, vận dụng các bài tập chứng minh hình học khác.
II.2. CHƯƠNG II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
II.2.1. Thế nào là chứng minh
Chứng minh một mệnh đề chẳng hạn A→B=1 là đi xây dựng hữu hạn
các mệnh đề : A
1,
A
2
A
n
và B sao cho B là mệnh đề cuối cùng trong dãy và
là hệ quả logic của mệnh đề A
i.
Mỗi A
i
của dãy phải là mệnh đề đúng hay
được suy ra từ các mệnh đề A
1
, A
2
A
i-1.
Trong đó B gọi là luận đề, các A
i
gọi là các luận cứ. Các quy tắc suy
luận dùng trong chứng minh gọi là luận chứng. Trong chứng minh luận đề
phải rõ ràng, luận cứ phải đúng không lẫn lộn, luận chứng phải hợp logic.

Hay nói cách khác phải nói rõ tại sao với những điều kiện nào thì nhất thiết
rút ra được những kết luận gì. Phải đưa ra được bằng cớ để chứng thực
các kết luận là đúng, nêu nên được mối quan hệ bên trong của chúng.
Để đạt được các yêu cầu trên trước khi chứng minh cần phải lưu ý
các vấn đề sau :
4
a. Đọc kỹ đầu bài, hiểu rõ được các dữ kiện đã cho dữ kiện cần
chứng minh và mối liên hệ giữa điều đã cho và cần chứng minh
b. Phân biệt rõ giả thiết và kết luận, vẽ hình chính xác, dùng ký hiệu
làm nổi bật hình vẽ, thay ngôn từ toán bằng ký hiệu toán học cho bài toán
đơn giản dễ phân biệt hơn.
VÍ DỤ : Cho ∆ABC cân (đỉnh A ) một đường thẳng song song với BC
cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh tam giác AEF cân.
Cho học sinh đọc kỹ đầu bài điều cần chứng minh là tam giác AEF
cân. Điều đã cho là tam giác ABC cân và EF song song với BC. Từ đó cho
học sinh vẽ hình và tóm tắt giả thiết, kết luận bằng ký hiệu toán học :
GT ∆ABC cân
AB=AC; EF//BC
KL ∆AEF cân
II.2.2. Bài tập chứng minh là gì ? Một bài tập chứng minh gồm 2
phần cơ bản đó là gì?
II.2.2.1. Bài tập chứng minh
Là những mệnh đề trong hình học cần chứng minh, thông qua
các mệnh đề ( định lý ) đã được biết. Hay nói cách khác là đi bài tập
chứng minh là một mệnh đề, một định lý. Do đó chứng minh bài tập là
chứng minh định lý toán học.
II.2.2.2. Hai phần cơ bản trong bài tập chứng minh định lý
Bất cứ một định lý nào hay một bài tập nào đều có hai phần:
- Phần quy định những yếu tố đã cho (hoặc có sẵn) gọi là phần
giả thiết.

5
- Phần nêu rõ kết quả của sự suy diễn logic hay phần phải tìm
phải chứng minh gọi là phần kết luận. Phần này đúng hay sai
là do sau khi chứng minh mới kết luận được.
VÍ DỤ : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau:
Phần giả thiết : Hai góc đối đỉnh.
Phần kết luận : Bằng nhau.
Dạng tổng quát của một định lý có thể viết như sau :
Nếu A là B thì C là D
Giả thiết Kết luận
Tuy nhiên phần định lý, bài tập giả thiết kết luận tương đối phức tạp.
Dạng tổng quát của chúng là:
Nếu: A là B G là H
C là D thì I là K
E là F
Khi giải cần lưu ý đâu là giả thiết đâu là kết luận.
II.2.3. Các phương pháp thường gặp trong chứng minh
II.2.3.1. Phương pháp chứng minh trực tiếp
Khi chứng minh một bài tập hình người ta thường dùng phương pháp
phân tích để tìm ra hướng chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để
viết ra phần chứng minh. Cách làm đó gọi là phương pháp chứng minh trực
tiếp.
Phương pháp này chủ yếu dùng để tìm ra hướng chứng minh. Nó
tổng hợp giữa hai phương pháp: phân tích và tổng hợp.
6
Phân tích là đi từ kết luận (điều chưa biết) tìm những điều kiện cần
phải có để dẫn tới kết luận. Phân tích tìm ra những cái đã biết liên quan
đến vấn đề cần chứng minh.
Có hai cách chứng minh:
• Phân tích đi xuống :(hay suy ngược tiến) sơ đồ suy luận như sau:

B =B
1
→B
2
→B
3
→ →B
n
=A gt
Trong cách suy luận này cần lưu ý :
Nếu A đúng thì chưa kết luận được B đúng hay sai.
Nếu A sai thì chắc chắn B sai.
• Phân tích đi lên (suy ngược lùi) :
Sơ đồ : A=B
n
→B
n-1
→ B
3
→B
2
→B
1
→B
A là giả thiết, B là kết luận.
Nếu A đúng thì B đúng.
Nếu A sai thì B sai hoặc đúng.
Phương pháp tổng hợp:
Là phương pháp chứng minh đi từ giả thiết đi đến kết luận: Giả
thiết là những điều đã biết (định lý, tiên đề, định nghĩa ) là phép suy

luận từ nguyên nhân đến hệ quả. Phép chứng minh rất đơn giản
nhưng phải chọn ra được điều thích hợp thì từ đó suy ra được kết
luận. Sơ đồ suy luận như sau:
A =A
1
→A
2
→A
3
→ →A
n
=B
Khi chứng minh thì những điều kiện cần thiết và thích hợp cho
việc chứng minh trên là điều lựa chọn khó và có khi không làm được.
Cho nên đã nói ở phần trên, khi chứng minh bài tập toán người ta kết
hợp cả phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp. Phân tích
để tìm ra hướng chứng minh, còn tổng hợp là chứng minh bài toán.
Sơ đồ như sau :
7
G E(gt) (gt)
VÍ DỤ 2 : Cho góc xOy trên cạnh Ox và Oy lần lượt lấy các điểm C, A
và B, D sao cho C nằm giữa A và O, D nằm giữa O và B, OA=OB,
OC=OD.
Chứng minh rằng góc ABC= góc BAD.
GT Cho góc xOy
C, A thuộc Ox
B, D thuộc Oy
OA = OB
OC = OD
KL Góc ABC = Góc BAD

Tìm hướng chứng minh thông qua hướng phân tích và tổng hợp như
sau :
Sơ đồ phân tích như sau :
8
A
CD
Tổng
hợp
Phân
tích
Định lý, điều đã biết
C
D
A
B
x
y
O
(gt)
(gt)
(gt)
Với sơ đồ này chúng ta hướng cho học sinh bắt đầu từ điều đã cho ở
giả thiết và đi đến tam giác AOB cân, tam giác AOD = tam giác BOC
sau đó sử dụng tính chất cộng góc.
Dùng phép tổng hợp để trình bày bài toán như sau:
Chứng minh Lý do
1.tam giác ABC cân OA=OB
2.góc OAB=góc OBA tính chất tam giác cân
3.OA= OB gt
OC=OD gt

góc AOD=góc BOC chung góc
tam giác AOD=tam giác BOC Trừơng hợp c.g.c
4.góc OAD= góc OBC T/c bằng nhau ∆
5.góc AOD+ góc DAB= góc OAB cộng góc
góc OBC+ góc CBA= góc OBA cộng góc
6. góc DAB = góc ABC do (5) và (2)
II.2.3.2. Phương pháp chứng minh gián tiếp:
Như chúng ta đã biết mỗi định lý có bốn cách biểu diễn, trong đó định
lý thuận, định lý đảo, định lý phản đảo hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai.
9
OA = OB OA = OB
∆ AOB cân ∆ AOD = ∆ BOC
O chung OD = OC
OAB = OBA DBO = CBO
ABC = BAD
Tương tự như vậy với mệnh đề đảo và phản đảo. Dựa và đó khi định lý
không chứng minh được hoặc là khó có phương pháp chứng minh thì
người ta có thể chứng minh địng lý phản đảo. Nếu phản đảo đúng thì thuận
cũng đúng. Đó là phương pháp chứng minh gián tiếp.
Một cách khác là chứng minh phản chứng. Để chứng minh bằng
phản chứng mệnh đề dạng:
A→B=1
Ta chứng minh mệnh đề phủ định là sai: A→ B =0 là sai.
A là giả thiết, B là kết kuận.
Các bước của phương pháp phản chứng gồm:
Bước 1 : Phủ định mệnh đề cần chứng minh là B.
Bước 2 : Tìm điều phủ định trên cùng với giả thiết của bài toán ta suy
ra mâu thuẫn với giả thiết hay trái với những điều đã biết ( dẫn đến
mâu thuẫn)
Bước 3 : Từ mâu thuẫn trên ta kết luận điều giả sử là sai. Vậy kết

kuận của bài toán là đúng.
VÍ DỤ 3:Chứng minh rằng nếu tam giác có hai đường phân giác trong
bằng nhau thì tam giác ấy cân.
GT ∆ABC
BE = CF
Góc B
1
= Góc B
2
Góc C
1
= Góc C
2
KL ∆ABC cân
Chứng minh:
Để chứng minh tam giác ABC cân ta cần chứng minh:
góc B = góc C
Giả sử: góc B> góc C → B
2
>C
1
→ CE>BF
Dựng hình bình hành :BFME ta được BE=FM và góc B
1
= góc M
1
10
B
F
A

E
M
C
Theo giả sử góc B > góc C → góc B
1
> góc C
2,
góc M
1
>góc C
2.
(1)
Trong tam giác CME có CE> ME vì ME = BF→ Góc M
2
>Góc C
3
(2)
Từ (1) và (2) ta được góc M
1
+ góc M
2
> góc C
1
+ góc C
3

hay góc M > góc FCM
Trong ∆FMC có góc M> góc FMC → FC>FM =BE
Điều này trái với giả thiết FC=BE
→ Vậy điều giả sử góc B >góc là sai

→ góc B= góc C → ∆ABC cân.
II.2.4. Những điều chú ý khi chứng minh.
Hình học là môn học suy diễn bằng lý luận chặt chẽ nên khi chứng
minh phải có lý do chính xác, có lập luận chắc chắn logic. Những lý do đó
phải có căn cứ. Phần chứng minh chỉ giới hạn trong 4 điểm sau:
• Giả thiết của bài toán.
• Những định nghĩa đã học.
• Những tiên đề định nghĩa đã học.
• Những bài tập áp dụng được chứng minh.
Nếu ngộ nhận vấn đề nào bài toán khó tìm được lời giải hoặc
lời giải đó sai.
Khi chứng minh cần kẻ thêm đường phụ để giải quết vấn đề hình
học. Những đường phụ đó cần được ghi vào phần chứng minh
Muốn vẽ được đường phụ cần hiểu rõ mục đích của nó và nhằm vào
một số mục đích sau :
• Kẻ các đường phụ phải liên quan đến các vấn đề cần chứng minh.
Phải có mối quan hệ mật thiết với các vấn đề cần chứng minh.
• Khi vẽ đường phụ không được làm cho rối hình thêm, phải tuân
thủ các bước dựng hình. Đường phụ phải chính xác không tùy tiện
Những loại đưòng phụ cơ bản có thể có :
11
• Kéo dài đoạn cho trước.
• Nối 2 điểm cho trước hoặc hai điểm cố định.
• Dựng đường song song hoặc hạ vuông góc.
• Kẻ dây cung tiếp tuyến với đường tròn.
II.2.5. Tóm lại
Khi chứng minh bài toán hình học cũng như bài toán nói chung có
một nội dung và phạm vi nhất định, đó chính là tiềm lực của bài toán.
Những tiềm lực của bài toán mà ta biết khai thác hết thì khả năng phát triển
cao nhất trong tư duy, nhận thức, kỹ năng làm bài tập cho học sinh. Với

mỗi bài toán khác nhau có cách giải khác nhau sự khai thác khác nhau. Do
đó cần phải có hướng tổng hợp vấn đề để đưa ra cái chung nhất để giải
hay là đưa dạng toán cơ bản nhất để sử dụng trong mọi tình huống. Từ đó
biết loại trừ phương pháp tôi ưu.
Khi giải toán có thể làm thay đổi một số vấn đề, hoặc có thể thay đổi
giả thiết mà kết luận vẫn không thay đổi.
Có thể đặt bài toán vào thế tương tự một bài toán nào đó.
Dùng ký hiệu của toán học thay hành văn trong toán làm cho bài toán
đơn giản hơn. Để từ đó có bước đi hướng giải mới.
Khi giải cần nghiên cứu các dữ kiện đã cho, dữ kiện cần tìm để tìm ra
phương pháp tối ưu, chính xác.
Khi giải xong bài toán cần nhìn lại con đường mình đã đi, từng bước
từng phần cần phải có sự kiểm tra, phát hiện kịp thời và sửa chữa những
sai sót mắc phải nếu có.
Đây là giai đoạn nâng cao nhận thức tư duy rèn kuyện kỹ năng cho
học sinh qua bài tập.
II.3. CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
12
II.3.1. Phương pháp
II.3.1.1. Một số cách thường dùng để chứng minh hai góc
bằng nhau
CÁCH 1 : Lợi dụng hai đường thẳng giao nhau, hai đường thẳng
song song.
Những kiến thức có liên quan
+ Hai góc đối đỉnh
+ ĐỊnh lý về hai đường thẳng song song.
+ Hai góc có cạnh tương ứng song song.
Khi dạy cho học sinh cách chứng minh này cần kưu ý học sinh mấy
điểm sau :
• Thế nào là hai góc bằng nhau.

• Để chứng minh hai góc bằng nhau ta đưa chúng về dạng hai góc
đối đỉnh, 2 góc so le, 2 góc đồng vị hoặc 2 góc có cạnh tương ứng
vuông góc hoặc tương ứng song song.
Muốn thế cần cho học sinh ôn tập nắm chắc các kiến thức cơ
bản có liên quan. Khi giải bài tập yêu cầu học sinh phát hiện dấu hiệu của
bài có liên quan vấn đề cần xét, như : song song, vuông góc, cắt nhau
Cách 2 : Lợi dụng trường hợp bằng nhau hoặc đồng dạng của tam
giác : Lớp 7 + Lớp 8.
Kiến thức cơ bản :
+ Ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
Trường hợp đồng dạng vẽ tương tự :
+ Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, đồng dạng của
tam giác thường, tam giác cân.
Khi dạy kưu ý học sinh mấy điểm sau :
13
+ Làm cho học sinh biết ghép các góc cần chứng minh vào hai tam
giác bằng nhau hay đồng dạng. Khi chứng minh chúng bằng nhau hay
đồng dạng ta suy ra hai góc bằng nhau.
CÁCH 3 : Lợi dụng tam giác cân, hình bình hành.
Để sử dụng được cách này chúng ta phải cho học sinh nắm chắc tính
chất của tam giác cân, tính chất của hình bình hành. Cách chứng minh tam
giác cân, chứng minh hình bình hành đã học. Từ đó có vấn đề liên quan
của bài chứng minh góc đó là:
- Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.
- Hai góc đối đỉnh của hình bình hành.
Do đó yêu cầu học sinh gắn vào tam giác cân nào đó, hình bình hành có
góc đối đó một cách hợp lý để chứng minh.
CÁCH 4 : Lợi dụng các định lý về dường tròn kiến thức cơ bản.
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn một cung.

- Góc có đỉnh ở trong đường tròn cùng chắn hai cung bằng nhau.
- Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn cùng chắn hai cung.
- Hai góc chắn hai cung bằng nhau.
Khi dùng phương pháp này học sinh phải nắm toàn lai toàn bộ
các kiến thức đã học có liên quan đến phương pháp này. Phải ghép chúng
vào tính chất các dường tròn, tính chất góc trong đường tròn.
CÁCH 5 : Dùng góc thứ 3 làm trung gian.
Phương pháp này sử dụng tính chất bắc cầu. Tìm một góc thứ
3 có thể bằng 2 góc cần chứng minh hoặc góc thứ 3 có tổng bằng nhau với
2 góc cần chứng minh.
Khi dùng tính chất này giáo viên phải hướng dẫn các em phát hiện
góc trung gian để thực hiện phép cộng góc, hoặc phép bắc cầu Góc thứ 3
này phải hợp lí, có thể vẽ hêm đường phụ để tìm góc thứ 3.
14
CÁCH 6: Lợi dụng góc cho trước rồi biến đổi.
Phương pháp này giúp cho học sinh chứng minh hai góc là tổng hoặc
hiệu của hai cặp góc bằng nhau từng đôi một hoặc gấp đôi hoặc bằng nửa
hai góc bằng nhau cho trước.
II.3.1.2. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ LỜI GIẢI
Bài tập 1: Sách giáo khoa hình học 7.
Cho ∆ABC. Trên tia đối các tia BC, CB,BA, và AB lấy theo thứ tự các
điểm D, E, M, N sao cho BD= BC = CE ; BM= BA ; CN= CA.
Chứng minh góc BMD = góc ENC, góc MDB = góc ACB và góc NEC
= góc ABC.
Bài giải:
GT AC = CN
CE= BC = BD
AB = BM
KL Góc BMD = Góc ENC
Góc MDB = Góc ACB

Góc NEC = Góc ABC
Chứng minh :
Xét ∆ACB và ∆NEC có :
C là góc đối đỉnh
CE=CB (gt)
CA=CN (gt)
→ ∆ACB= ∆NEC ( c.g.c)
→ góc NEC = góc ABC ; góc CNE = góc A (1)
Tương tự ∆ ABC= ∆BMD.
→ góc ACB= góc BDM ; góc BMD= góc A (2)
Từ (1) và (2) → góc CNE=góc BMD
15
A
C
N
E
D
M
B
Bài toán 1 đã dùng 2 cách : cách 2 và cách 5.
Bài tập 2 :
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. M là một điểm thuộc BC, gọi D là điểm đối
xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC, DE cắt AB, AC tại I
và K. Chứng minh MA là phân giác góc IMK.
Bài giải :
GT ∆ABC; M thuộc BC
D đối xứng M qua AB
E đối xứng M qua AC
KL MA là phân giác của góc IMK
Chứng minh :

Xét ∆AID và ∆AIM có AI chung
AD= AM
góc DAI= góc IAM do M, D đối xứng qua AB.
→ ∆AID = ∆AIM (c.g.c)
→góc D
1
= góc M
1
Tương tự ta có ∆AMK= ∆AEK (c.g.c)
→ góc M
2
= góc E
1
16
A
D
B
M
CV
E
K
I
Do DA=DM ; AE= AM → ∆ADE cân
→ góc D
1
= góc M
1
= góc E
1
= góc M

2
→ góc M
1
= góc M
2
hay AM là phân giác
Bài toán đã sử dụng cách 2, cách 5, và cách 4.
Bài tập 3 :
Cho ∆ABC (AB<AC). Phân giác AD, đường trung trực của AD cắt BC
tại K. Chứng minh: góc KAC = góc ABK.
GT ∆ABC; Góc A
1
= Góc A
2

KI là trung trực của DA
KL Góc KAC = Góc ABK
Chứng minh :
Ta thấy: KI là dường trung trực do đó :
∆KAD cân → góc D
1
= góc A
2
+ góc A
3
Mà góc D
1
=góc C +góc A
2
vì góc D là góc ngoài của ∆ADC.

và góc A
1
= góc A
2
(gt) → góc A
3
= góc C
Xét ∆KAC và ∆KAB ta có :
góc K chung
góc A
3
= góc C (chứng minh trên )
→ ∆KAC ~ ∆KAB → góc KAC = góc ABK.
Bài này sử dụng cách 3.
Bài tập 4 :
Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ dây CD vuông
góc với AB kéo dài CB và BD cắt 2 đường tròn tại E và F. Chứng minh AB
là phân giác góc EAF.
17
A
K
B D
C
I
GT CD vuông góc với AB
CB cắt O’ ở E
DB cắt O tại F
KL AB là phân giác (A
1
= A

2
)
Chứng minh :
Ta thấy : góc BED = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc CFD = 1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
→ Xét 2 tam giác vuông :FCB và EBD ta có :
góc B
2
+ góc C
1
=góc B
1
+ góc D
1
=90
o
Mà góc B
1
= góc B
2
đối đỉnh
→ góc C
1
= góc D
1
(1)
Ta có góc C
1
= góc A
1

(2)
góc D
1
= góc A
2
(3)
Từ (1) (2) và (3), ta có góc C
1
= góc A
1
=góc A
2
=góc D
1
→ AB là phân giác góc FAE (đpcm).
Bài toán sử dụng cách 4 và cách 5.
Bài tập 5 ( Bài tập 38 - SBT L8)
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 20 cm. Trên cạnh AC, đặt
đoạn thẳng AD = 5 cm. Chứng minh góc ABD = góc ACB
GT ∆ABC; AB = 10cm ; AC = 20 cm
D
∈
AC; AD = 5 cm
KL Góc ABD = Góc ACB
Chứng minh:
Xét ∆ ADB và ∆ ABC ta có:
18
A
B
C

D
10
5 20
2
1
2
5
==
AB
AD
2
1
20
10
==
AC
AB
suy ra
AC
AB
AB
AD
=
Có góc A chung do đó ∆ ADB đồng dạng với ∆ ABC (một góc xen
giữa hai cạnh tương ứng tỉ lệ) nên góc ABD= góc ACB (hai góc tương ứng)
II.3.2. Kết quả
Bằng cách rèn học sinh làm nhiều bài tập dưới nhiều hình thức khác
nhau với phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của học sinh. Với đề tài “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài
toán chứng minh hai góc bằng nhau” giúp học sinh làm một bài tập hình

dễ dàng hơn có kết quả cao trong môn toán trong suốt 4 năm thực hiện đề
tài của mình bằng khảo sát chất lượng tôi nhận thấy kết quả học tập của
học sinh trong năm học 2007 - 2008 được nâng cao rõ rệt cụ thể như sau:
- Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8: 3 em
Th ực tế kết quả b ộ môn Toán của năm thứ nhất:
- Giỏi: 15%
- Khá: 38%
- Trung bình: 42 %
- Yếu: 5 %
Năm thứ 2:
- Giỏi: 25%
- Khá: 32%
- Trung bình: 43 %
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
19
III.1. Kết luận
Từ kết quả thực nghiệm trên tôi thấy kết quả học tập của học sinh
phụ thuộc rất nhiều vào người thầy. Là người trực tiếp dạy các em, giúp
các em học tập tự giác tích cực chủ động phát triển năng lực trí tuệ của
học sinh qua bài toán chứng minh mà xuất phát điểm của người thầy. Bản
thân tôi luôn không ngừng học hỏi đồng nghiệp để tự bồi dưỡng nâng cao
nghiệp vụ chuyên môn của mình và tự rút ra kinh nghiệm cho riêng mình
như sau:
* Với giáo viên:
+) Cần chấp hành nghiêm chỉnh chủ trương đổi mới của ngành giáo
dục, sở giáo dục, phòng giáo dục và của nhà trường để không ngừng đưa
ra những phương pháp tối ưu phù hợp với trình độ học sinh
+) Trong quá trình giảng dạy phải tự giác kiên trì, thực hiện đổi mới từng
bước theo nguyên tắc: lấy học sinh làm trung tâm của hoạt động dạy học,
giáo viên đóng vai trò hướng dẫn chỉ đạo. Vì vậy người thầy phải có sự

chuẩn bị thật công phu, tỉ mỉ cho từng tiết dạy
+) Trong giờ học luôn phát huy tính sáng tạo của học sinh tránh áp đặt,
luôn tạo ra không khí thoải mái, tạo tình huống để học sinh trao đổi nhằm
phát huy năng lực trí tuệ từ học sinh giỏi đến học sinh trung bình, yếu.
+) Cần đa dạng hóa các bài tập để học sinh tìm ra phương pháp tối ưu
nhất để giải bài toán.
+ Để giúp học sinh học tốt bộ môn Hình học thì đòi hỏi người giáo
viên phải biết hướng dẫn học sinh tổng kết lại các dạng bài tập và định
hướng cho các em có một phương pháp giải bài tập hình học ngay từ năm
đầu cấp học THCS một cách dễ hiểu và gây hứng thú cho học sinh học bộ
môn Hình học.
+ Hình thành cho học sinh thói quen chăm chỉ làm bài tập thông qua
việc rèn kỹ năng giải bài tập Hình học.
20
* Với học sinh:
+) Phải có sự chuẩn bị trước bài học ở nhà theo hướng dẫn của thầy
+) Trong giờ học phải nghiêm túc tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài,
tự giác sáng tạo tìm ra kiến thức.
+) Phải nắm chắc kiến thức của từng bài thì mới dễ dàng vận dụng lý
thuyết vào giải các bài tập chứng minh hình học phẳng.
III.2. Kiến nghị
Với đề tài “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán
chứng minh hai góc bằng nhau ” tuy đã đề ra nhưng tôi rất mong sự
đóng góp giúp đỡ của đồng nghiệp để cho đề tài có hiệu quả hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Mạo Khê, ngày 25 tháng 4 năm 2008
Giáo viên
Vũ Thị Dung
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa
2. Sách giáo viên
3. Sách bài tập
4. Ôn tập kiểm tra hình học 8
5. Ôn luyện kiến thức luyện kĩ năng hình học 8
6. Các dạng Toán và phương pháp giải Toán 8
7. Các tài liệu tham khảo bộ môn Toán
22