Lý thuyết & bài tập môn giải tích phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (710.55 KB, 50 trang )
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
01
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
(Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm.
Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch
phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở
môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một
số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập
I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Kiến thức bổ trợ
a. Đồng nhất số phức
Cho = + khi đó phương trình = + ⇔
=
=
b. Căn thức
Số phức được gọi là căn bậc của số phức nếu
= (1) và phương trình (1) có
đúng nghiệm được xác định bởi công thức
=
√
cos
+ 2
+ sin
+ 2
, = 0,1, … , −1
1.2. Bài tập mẫu
Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau:
a.
+ + = b.
+ = c. = (+ )
d. +
=
e.
+ =
√
f.
= .
Giải:
a. 5
+ 2+ 10 = 0 ⇔
=
= −
+
=
= −
−
b.
+ 81 = 0 ⇔
= −81
Ta có −81 = 81
(
cos
(
)
+ sin
(
))
Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi
= √81
cos
+ 2
4
+ sin
+ 2
4
= 3 cos
+ 2
4
+ sin
+ 2
4
, = 0,1,2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
02
= 0 ⇒
= 3 cos
+ sin
= 3
√
+
√
= 1 ⇒
= 3 cos
+ sin
= 3 −
√
+
√
= 2 ⇒
= 3 cos
+ sin
= 3 −
√
−
√
= 3 ⇒
= 3 cos
+ sin
= 3
√
−
√
Vậy
,
,
,
là nghiệm của phương trình
+ 81 = 0
c. 2=
(
2 + 9
)
⇔2= −9 + 2⇔= −
+
d. Đặt = + , khi đó
+ 2̅=
2 −
1 + 3
⇔+ + 2
(
−
)
=
(
2 −
)
(1 −3)
10
⇔3−= −
1
10
−
7
10
⇔
3= −
−= −
⇔
= −
=
Vậy = −
+
e.
+ 1 =
√
3⇔
= −1 +
√
3
Ta có −1 +
√
3= 2 −
+
√
= 2 cos
+ sin
Khi đó căn bậc 6 của −1 +
√
3 được xác định bởi
= √2
cos
2
3
+ 2
6
+ sin
2
3
+ 2
6
= √2
cos
+ 3
9
+ sin
+ 3
9
= 0 ⇒
= √2
cos
9
+ sin
9
= 1 ⇒
= √2
cos
4
9
+ sin
4
9
= 2 ⇒
= √2
cos
7
9
+ sin
7
9
= 3 ⇒
= √2
cos
10
9
+ sin
10
9
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
03
= 4 ⇒
= √2
cos
13
9
+ sin
13
9
= 5 ⇒
= √2
cos
16
9
+ sin
16
9
Vậy
,
,
,
,
,
là nghiệm của phương trình
+ 1 =
√
3.
f.
=
Ta có = cos
+ sin
Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi
= cos
2
+ 2
2
+ sin
2
+ 2
2
= cos
+ 4
4
+ sin
+ 4
4
, = 0,1.
= 0 ⇒
= cos
4
+ sin
4
=
√
2
2
+
√
2
2
= 1 ⇒
= cos
5
4
+ sin
5
4
= −
√
2
2
−
√
2
2
Vậy
,
là nghiệm của phương trình
= .
Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình:
(
−
)
=
Giải:
(
1 −
)
= 16 ⇔
−
+ 16 = 0 ⇔
= 1 + 3
√
7
= 1 −3
√
7
Xét 1 + 3
√
7 có =
√
1 + 63 = 8
cos =
=
sin =
=
√
, khi đó căn bậc 2 của 1 +
√
63 được xác định bởi
= √8 cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
= 2√2 cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
, = 0,1.
= 0 ⇒
= 2√2 cos
2
+ sin
2
= 1 ⇒
= 2√2 cos
+ 2
2
+ sin
+ 2
2
= −2√2 cos
2
+ sin
2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
04
Ta có cos
= ±
= ±
= ±
và sin
= ±
= ±
= ±
√
Chọn cos
=
; sin
=
√
, khi đó
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 2√2
3
4
+
√
7
4
= −2√2
3
4
+
√
7
4
Vậy
,
là nghiệm của phương trình
= 1 + 3
√
7
Làm tương tự với 1 −3
√
7 trong đó chọn cos
=
; sin
= −
√
, khi đó
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
= 2√2
3
4
−
√
7
4
= −2√2
3
4
−
√
7
4
Vậy
,
là nghiệm của phương trình
= 1 −3
√
7
Suy ra
,
,
,
là nghiệm của phương trình
(
1 −
)
= 16
II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC
2.1. Kiến thức bổ trợ
Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức =
(
)
=
(
,
)
+ (, ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước
Ngược lại để m tạo ảnh của hàm
(
,
)
, (, ), ta xác định mối liên hệ của , .
2.2. Bài tập mẫu
Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức =
.
(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16)
Giải:
Giả sử = + , khi đó =
=
=
−
=
(
,
)
+ (, )
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
05
⇒
(
,
)
=
+
(
,
)
= −
+
Với = 1, khi đó
(
,
)
=
và
(
,
)
= −
⇒
+
=
1 +
(
1 +
)
=
1
1 +
= ⇔
−+
= 0 ⇔−
1
2
+
=
1
4
Vậy ảnh của đường = 1 là đường tròn tâm (
, 0), bán kính là
.
Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn
|
−
|
= qua
ánh xạ phức = −.
Giải:
Giả sử = + ,
=
+
Ta có
|
−
|
= ⇒ −
=
⇔=
+
, khi đó
= −2 =
(
+
)
−2 =
+
+
(
cos + sin
)
−2
=
(
−
−2 −sin
)
+
(
+ cos
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
= −
−2 −sin
(
,
)
=
+ cos
⇔
sin =
(
,
)
+
+ 2
cos =
(
,
)
−
⇒
(
+
(
+ 2
)
)
+
(
−
)
=
Vậy ảnh của đường tròn
|
−
|
= qua ánh xạ = −2 là đường tròn tâm
(
−
−2,
)
, bán kính .
Bài 2.3: Cho hàm =
. Tìm ảnh của:
a. Đường tròn
|
|
= ,
b. Miền quạt < <
.
Giải:
a. Giả sử = + , khi đó =
=
(
+
)
=
−
+ 2=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
−
(
,
)
= 2
Ta có phương trình tham số của đường tròn
|
|
= 2 là:
= 2 cos
= 2 sin
0 ≤≤2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
06
Khi đó:
(
,
)
=
(
2 cos
)
−
(
2 sin
)
= 4
(
cos
−sin
)
= 4 cos 2
(
,
)
= 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2
⇒
4
+
4
= cos
2+ sin
2= 1 ⇔
+
= 16
Vậy ảnh của đường tròn
|
|
= 2 trong mp
(
)
là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính
là 4 trong mp()
b. Đặt = ⇒0 < <
Ta có =
(
cos + sin
)
⇒=
=
(
cos 2+ sin 2
)
⇒= 2
Ta coi miền quạt 0 < <
được quét bởi a = , với biến thiên từ 0 đến
Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình =
là a =
2. Khi biến thiên từ 0 đến
thì 2 biến thiên từ 0 đến .
Vậy ảnh của miền quạt 0 < <
là nửa mặt phẳng trên 0 < < .
Bài 2.4: Cho hàm =
, = + . Tìm:
a. Ảnh của đường =
b. Tạo ảnh của đường = .
Giải:
a. Ta có:
=
1
=
1
+
=
−
+
=
+
−
+
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
+
(
,
)
= −
+
+ Trường hợp = = 0, khi đó
(
,
)
= 0
(
,
)
= −
,
(
≠0
)
⇒= −
Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp = ≠0, khi đó
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
07
(
,
)
=
+
(
,
)
= −
+
⇒
+
=
+
(
+
)
=
1
+
=
⇔
−
+
= 0 ⇔−
1
2
+
=
1
4
Vậy ảnh của đường = là đường tròn tâm
, 0, bán kình là
||
,
(
≠0
)
.
b. = ⇔
=
+ Trường hợp = 0 ⇒= 0
Vậy tạo ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp ≠0, khi đó
+
=
⇔
−
+
= 0 ⇔−
+
=
Vậy tạo ảnh của đường = là đường tròn tâm
, 0, bán kình là
||
,
(
≠0
)
.
III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC
3.1. Kiến thức bổ trợ
a. Giới hạn dãy số phức
Cho
{
}
,
=
+
lim
→
=
=
+
⇔
lim
→
=
lim
→
=
b. Giới hạn hàm phức
Cho
(
)
=
(
,
)
+
(
,
)
,
=
+
, = + , khi đó
lim
→
() = ⇔
lim
→
→
(, ) =
lim
→
→
(, ) =
Nếu khi xét →
theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận
không tồn tại giới hạn tại =
.
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
08
c. Hàm liên tục
Cho () xác định trong lân cận điểm
, khi đó:
() liên tục tại
⇔
+
(
)
á địℎ ạ
+ ồ ạ lim
→
(
)
+ lim
→
() =
(
)
() liên tục trên miền nếu liên tục tại mọi điểm thuộc .
3.2. Bài tập mẫu
Bài 3.1: Tính
→
(
+ )
Giải:
Giả sử = + , khi đó
+ =
(
+
)
+ =
−
+
(
2+ 1
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
−
(
,
)
= 2+ 1
;
= 1 +
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
(
−
)
= 0
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
(
2+ 1
)
= 3
Vậy lim
→
(
+ 1
)
= lim
→
→
(
,
)
+ lim
→
→
(
,
)
= 3
Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng
→
−
+
−+
−
= + .
Giải:
= lim
→
3
−2
+ 8
−2+ 5
−
= lim
→
(
−
)
[
3
+
(
3−2
)
+
(
5 −2
)
+ 5
]
−
= lim
→
[
3
+
(
3−2
)
+
(
5 −2
)
+ 5
]
= 3
+
(
3−2
)
+
(
5 −2
)
+ 5
= −3−3+ 2 + 5+ 2 + 5= 4 + 4
Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau:
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
09
a.
→
b.
→
c.
→
(
)
Giải:
a. Đặt
(
)
=
+ 1;
(
)
=
+ 1, khi đó
(
)
=
+ 1 = 0;
(
)
=
+ 1 = 0 và
(
)
= 6
= 6≠0
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có
lim
→
()
()
= lim
→
′()
′()
= lim
→
10
6
= lim
→
5
3
=
5
3
=
5
3
⇒lim
→
+ 1
+ 1
=
5
3
.
b. lim
→
= lim
→
= lim
→
= lim
→
Ta có lim
→
= 1 và lim
→
= 1
⇒lim
→
1 −cos
sin
=
1
2
.
c. lim
→
(
cos
)
=
Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của
→
.
Giải:
Giả sử = + , khi đó
̅
=
+ Cho →0 theo hướng trục khi đó = 0
lim
→
̅
= lim
→
+
−
= lim
→
= lim
→
1 = 1 (1)
+ Cho →0 theo hướng đường thẳng =
lim
→
̅
= lim
→
+
−
= lim
→
+
−
= lim
→
1 +
1 −
= −1 (2)
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
10
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim
→
̅
Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số
(
)
=
̅
không liên tục tại = 0.
Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm
(
)
=
−
−
ế
|
|
≠
ế
|
|
=
ạ
= ,
=
Giải:
+ Tại
= 1 ta có:
(
1
)
= 3 và lim
→
(
)
= lim
→
= lim
→
(
+ + 1
)
= 3
Vậy lim
→
(
)
= (1) nên hàm số liên tục tại
= 1
+ Tại
=
(
)
= 3 và lim
→
(
)
= lim
→
= lim
→
(
+ + 1
)
=
Vậy lim
→
(
)
≠(1) nên hàm số gián đoạn tại
=
Bài 3.6: Cho các hàm
a.
(
)
=
()
b.
(
)
=
|
|
c.
(
)
=
()
|
|
Có thể gán giá trị của hàm số tại = để nó trở thành hàm liên tục tại = hay không?
Giải:
a. Chọn 2 dãy
=
và
∗
=
, khi đó
,
∗
→0 khi →∞
Xét
lim
→
(
) = lim
→
(
)
= lim
→
1
1
= lim
→
1 = 1
lim
∗
→
(
∗
) = lim
∗
→
(
∗
)
∗
= lim
→
0
1
= lim
→
0 = 0
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
11
Suy ra không tồn tại lim
→
() nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở
thành hàm liên tục tại = 0.
b. Chọn 2 dãy
=
và
∗
=
+
, khi đó
,
∗
→0 khi →∞
Xét
lim
→
(
) = lim
→
|
|
= lim
→
1
1
= lim
→
1 = 1
lim
∗
→
(
∗
) = lim
∗
→
∗
|
∗
|
= lim
→
1
+
1
+
1
= lim
→
1 +
√
2
=
1 +
√
2
Suy ra không tồn tại lim
→
() nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở
thành hàm liên tục tại = 0.
c. Giả sử = +
Khi đó
(
)
=
()
||
=
(
)
=
+
=
(
,
)
+ (, )
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
(
,
)
=
+
(
,
)
=
+
Ta có
0 ≤
≤
|
|
=
|
|
mà lim
→
→
|
|
= 0 nên lim
→
→
(, ) = lim
→
→
= 0 (1)
0 ≤
≤
=
mà lim
→
→
= 0 nên lim
→
→
(, ) = lim
→
→
= 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra lim
→
() = lim
→
()
|
|
= 0
Vậy có thể gán giá trị
(
)
= 0 tại = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0.
Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm
(
)
=
liên tục trên ℂ.
Giải:
Giả sử = + , khi đó
(
)
= ̅= −=
(
,
)
+ (, )
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
12
⇒
(
,
)
=
(
,
)
= −
Lấy tùy ý
=
+
∈ℂ, khi đó ta có:
(
)
=
−
Xét
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
=
lim
→
→
(
,
)
= lim
→
→
(
−
)
= −
⇒lim
→
() = lim
→
→
[
(
,
)
+ (, )
]
=
−
=
(
)
Suy ra hàm số liên tục tại =
Do
lấy tùy ý trong ℂ nên hàm () liên tục trên ℂ.
Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm
(
)
=
liên tục đều trên miền
|
|
<
.
Giải:
Đặt : {:
|
|
< 1}
Với , ′∈ ta có
|
(
)
−
(
)
|
=
|
−′
|
=
|
−′
||
+ ′
|
≤
|
−
|
(
|
|
+
|
|
)
< 2|−′|
Vậy ∀> 0, ∃=
, ∀,
∈:
|
−
|
< ⇒
|
(
)
−
(
)
|
< 2
|
−
|
< 2=
Do đó
(
)
=
liên tục đều trên :
|
|
< 1.
Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm
(
)
=
không liên tục đều trên miền
|
|
< .
Giải:
IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC
4.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số)
Cho hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + thì:
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
13
+
(
,
)
,
(
,
)
có đạo hàm riêng tại điểm
(
,
)
+ Các đạo hàm riêng của
(
,
)
,
(
,
)
thỏa mãn phương trình
=
à
= −
(1)
Ngược lại nếu
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm
(
,
)
và thỏa (1) thì
(
)
=
(
,
)
+ (, ) có đạo hàm tại điểm = + và
(
)
=
(
,
)
+
(
,
)
ℎặ
(
)
=
(
,
)
−
(
,
)
.
b. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức)
Ta có = cos , = sin , =
+
, = arctan
, khi đó điều kiện Cauchy-
Rieamann dạng phức là
=
1
à
= −
1
4.2. Bài tập mẫu
Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau:
a.
(
)
=
b.
(
)
=
|
|
Giải:
a. Giả sử = + , khi đó
(
)
=
=
(
+
)
=
−3
+
(
3
−
)
=
(
,
)
+
(
,
)
⇒
(
,
)
=
−3
(
,
)
= 3
−
Suy ra
= 3
−3
;
= 3
−3
;
= −6;
= 6
⇒
=
= 3
−3
à
= −
= −6
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm
(
,
)
và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên
(
)
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử = + , khi đó
(
)
=
|
|
=
+
=
(
,
)
+ (, )
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
14
⇒
(
,
)
=
+
(
,
)
= 0
Suy ra
= 2;
= 0;
= 2;
= 0
Hàm () có đạo hàm khi
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
= −
⇔
2= 0
2= 0
⇔= = 0
Vậy hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0
Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng
;
(
)
không tồn tại tại mọi điểm
thuộc mặt phẳng phức.
Giải:
+ Chứng minh
̅
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Giả sử = + , đặt
(
)
= ̅, khi đó
(
)
= ̅= −=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
(
,
)
= −
Suy ra
= 1;
= −1;
= 0;
= 0
Rõ ràng
= 1 ≠−1 =
nên () không có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng
phức.
Vậy
̅
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
+ Chứng minh
(
̅
)
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Giả sử = + , đặt
(
)
=
̅, khi đó
(
)
=
̅=
(
+
)
(
−
)
=
+
+
(
+
)
=
(
,
)
+ (, )
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
15
⇒
(
,
)
=
+
(
,
)
=
+
Suy ra
= 3
+
;
=
+ 3
;
= 2;
= 2
Hàm () có đạo hàm khi
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
= −
⇔
3
+
=
+ 3
2= −2
⇔= = 0
Suy ra hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0
Vậy
(
̅
)
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
Bài 4.3: Cho hàm (, ) có
(
)
=
−
. Giả sử () có đạo hàm, m ().
Giải:
Giả sử = + ,
(
)
=
(
,
)
+ (, )
Theo giả thiết ta có
(
,
)
=
−
⇒
= 2;
= −2
Do
(
)
có đạo hàm nên ta có
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
= −
⇔
⎩
⎨
⎧
= 2 (1)
= 2 (2)
Từ (1):
= 2⇒
(
,
)
= 2+
(
)
⇒
= 2+ ′() thay vào (2) ta được
2+
(
)
= 2⇔
(
)
= 0 ⇒
(
)
= =
Vậy
(
)
=
−
+
(
2+
)
=
(
+
)
+ =
+ .
Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau khả vi
a.
(
)
=
−
−+
(
−
+
)
b.
(
)
=
+
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
16
c.
(
)
=
|
|
>
|
|
≤
(đề thi môn GTP – K18)
Giải:
a.
(
)
=
−
−2+
(
−
+ 2
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
−
−2
(
,
)
=
−
+ 2
Suy ra
= 2−2;
= 2−2;
= −2−2;
= 2+ 2
⇒
=
= 2−2 à
= −
= −2−2
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm
(
,
)
và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên
(
)
có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử = (cos + sin ), khi đó
(
)
=
+ ̅=
(
cos 5+ sin 5
)
+
(
cos −sin
)
=
(
cos 5+ cos
)
+
(
sin 5−sin
)
=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
cos 5+ cos
(
,
)
=
sin 5−sin
Suy ra
= 5
cos 5+ cos ;
= 5
sin 5−sin
= −5
sin 5−sin ;
= 5
cos 5−cos
Rõ ràng
1
=
1
(
5
cos 5−cos
)
= 5
cos 5−cos ≠
−
1
= −
1
(
−5
sin 5−sin
)
= 5
sin 5+ sin ≠
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên
(
)
không khả vi tại mọi .
c. + Tập =
{
:
|
|
> 3
}
là tập mở
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
17
Ta có
(
)
= 2 = 2 + 0=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
= 2
(
,
)
= 0
Suy ra
= 0;
= 0;
= 0;
= 0
⇒
=
= 0 à
= −
= 0
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập
nên () có đạo hàm hay khả vi trên .
+ Tương tự với =
{
:
|
|
< 3
}
ta chứng minh được () có đạo hàm hay khả vi trên
+ Xét =
{
:
|
|
= 3
}
, khi đó
(
)
= 1
Xét dãy
= (1 +
)
|
|
= 1 +
1
|
|
= 1 +
1
3 > 3 ⇒
(
)
= 2
Ta có
→ khi →∞, tuy nhiên
(
)
= 2 ≠1 =
(
)
nên hàm () không liên tục tại
mọi điểm trên . Do đó () không khả vi tại mọi :
|
|
= 3.
Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho
(
)
=
ớ
|
|
≥
ớ
|
|
<
Hàm () có đạo hàm tại =
nào?
Giải:
+ Xét tập =
{
:
|
|
> 1
}
là tập mở
Ta có
(
)
=
= (+ )
=
−
+ 2=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
=
−
(
,
)
= 2
Suy ra
= 2;
= 2;
= −2;
= 2
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
18
⇒
=
= 2 à
= −
= −2
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên () có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét tập =
{
:
|
|
< 1
}
là tập mở
Ta có
(
)
= 1 = 1 + 0=
(
,
)
+ (, )
⇒
(
,
)
= 1
(
,
)
= 0
Suy ra
= 0;
= 0;
= 0;
= 0
⇒
=
= 0 à
= −
= 0
Vậy
(
,
)
,
(
,
)
có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên () có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét =
{
:
|
|
= 1
}
, khi đó
(
)
=
Với = ±1 thuộc thì
(
)
=
= 1 = 1 + 0 ta chứng minh được () khả vi tại =
±1
Với ≠±1. Xét dãy
= (1 −
)
|
|
= 1 −
1
|
|
= 1 −
1
1 < 1 ⇒
(
)
= 1
Ta có
→ khi →∞, tuy nhiên
(
)
= 1 ≠
=
(
)
nên hàm () không liên tục tại
mọi điểm trên \{±1}. Do đó () không khả vi tại mọi trên \{±1}.
V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA
5.1. Kiến thức bổ trợ
a. Hàm giải ch
+ () giải ch trên miền mở nếu khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
19
+ () giải ch tại điểm
nếu khả vi trong lân cận của điểm
+
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch trong miền , các
(
,
)
,
(
,
)
có đạo hàm riêng liên
tục trên thì
(
,
)
, (, ) thỏa phương trình Laplace:
Φ
+
Φ
= 0.
b. Hàm điều hòa
+ Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi
là hàm điều hòa.
+ Hai hàm điều hòa
(
,
)
,
(
,
)
sao cho
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch được gọi là
hai hàm điều hòa liên hợp.
+ Hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) xác định trên miền đơn liên và giải ch trên thì
(
,
)
,
(
,
)
là các hàm điều hòa trên .
+
(
,
)
là hàm điều hòa trên thì tồn tại
(
)
giải ch trên sao cho
(
)
=
(
,
)
5.2. Bài tập mẫu
Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho
(
,
)
=
−
−
+ −+
a. Chứng tỏ là hàm điều hòa.
b. Tìm hàm giải ch () sao cho = (). Tìm
(
)
.
Giải:
a. Chứng minh Φ là hàm điều hòa.
Φ
= 12
−4
−1,
Φ
= 12
−12
Φ
= 12
−4
+ 1,
Φ
= 12
−12
⇒
Φ
+
Φ
= 12
−12
+ 12
−12
= 0
Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (, ) và thỏa
phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có thể gọi Φ là phần thực của hàm giải ch).
b. Tìm hàm giải ch
Giả sử hàm giải ch cần m có dạng:
(
)
= Φ
(
,
)
+ iΨ(, ), với Ψ(, ) là hàm điều
hòa liên hợp với Φ
(
,
)
, khi đó Φ
(
,
)
, Ψ(, ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
20
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
Φ
=
Ψ
Φ
= −
Ψ
⇔
⎩
⎨
⎧
Ψ
= 12
−4
−1
(
1
)
Ψ
= −12
+ 4
−1 (2)
Từ (1):
= 12
−4
−1 ⇒Ψ= 4
−4
−+
(
)
⇒
= 4
−12
+ ′() thay vào (2) ta có
4
−12
+
(
)
= −12
+ 4
−1 ⇔
(
)
= −1 ⇒
(
)
= −+
⇒
(
)
= Ψ
(
,
)
= 4
−4
−−+
Vậy
(
)
= 6
−
−
+ −+ 1 +
(
4
−4
−−+
)
.
Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho
(
,
)
=
( − )
a. Chứng tỏ (, ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp.
b. Tìm một hàm giải ch
(
)
=
(
,
)
+
(
,
)
, giải ch trên miền .
c. Biểu diễn trong câu (b) theo biến
Giải:
a. Chứng minh (, ) là hàm điều hòa.
= −
(
sin −cos
)
+
sin =
(
sin −sin + cos
)
= −
(
sin −sin + cos
)
−
sin =
(
−2 sin + sin −cos
)
=
(
cos −cos + sin
)
=
(
−sin + sin + sin + cos
)
=
(
2 sin −sin + cos
)
⇒
+
= 0
Vậy
(
,
)
có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm (, ) và thỏa phương trình
Laplace nên (, ) là hàm điều hòa.
b. Hàm
(
)
=
(
,
)
+ (, ) giải ch trên miền nên
(
,
)
, (, ) thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann:
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
21
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
= −
⇔
⎩
⎨
⎧
=
(
sin −sin + cos
)
(
1
)
=
(
−cos + cos −sin
)
(2)
Từ (1):
=
(
sin −sin + cos
)
⇒
(
,
)
=
(
−cos + cos + sin + cos
)
+ ()
=
(
cos + sin
)
+ ()
⇒
= −
(
cos + sin
)
+
cos +
(
)
=
(
cos −cos −sin
)
+ ′()
Thay vào (2) ta được:
(
cos −cos −sin
)
+
(
)
=
(
−cos + cos −sin
)
⇔
(
)
= 0 ⇔
(
)
= =
⇒
(
,
)
=
(
cos + sin
)
+
Vậy
(
)
=
(
sin − cos
)
+
(
(
cos + sin
)
+
)
c. Biểu diễn () ở câu b theo biến
(
)
=
(
sin − cos
)
+
(
(
cos + sin
)
+
)
=
sin −
cos +
cos +
sin +
=
(
sin +
sin
)
−
(
cos −
cos
)
+
=
(
+
)
sin −
(
−
)
cos +
=
(
+
)
sin +
(
−
)
cos +
=
(
+
)
sin +
(
+
)
cos +
=
(
+
)
(
sin + cos
)
+
= −
(
+
)
(
sin + cos
)
+
=
(
+
)
(
cos −sin
)
+
=
(
+
)
+
=
(
+
)
()
+
=
+
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
22
VI. BÀI TOÁN TÌM VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG
6.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điểm bất thường
+
được gọi là điểm bất thường của () nếu () không giải ch tại
.
+
được gọi là điểm bất thường cô lập của () nếu tồn tại một lân cận bán kính > 0
sao cho trong lân cận đó hàm () không có điểm bất thường nào khác.
+
được gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại số nguyên dương sao cho
lim
→
(
−
)
() = ≠0.
+
được gọi là điểm bất thường bỏ được của của () nếu lim
→
() tồn tại.
+ Điểm bất thường của () tại = ∞ là điểm bất thường của hàm
tại = 0.
b. Điểm cực
+
được gọi là điểm cực bậc của () nếu tồn tại số nguyên dương sao cho
lim
→
(
−
)
() = ≠0.
+ Trường hợp = 1 thì
được gọi là điểm cực đơn.
6.2. Bài tập mẫu
Bài 6.1: Xác định các điểm bất thường của các hàm số sau:
a.
(
)
=
b.
(
)
=
c.
(
)
=
√
√
Giải:
a.
(
)
=
(
)
=
(
)
(
)
Vậy hàm
(
)
có 2 điểm bất thường = 2 và = −2
+ Xét lim
→
(
−2
)
() = lim
→
(
−2
)
(
)
= lim
→
(
)
=
=
≠0
Do đó = 2 là điểm cực bậc 2 của ().
Tương tự = −2 cũng là điểm cực bậc 2 của ().
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
23
+ Xét điểm = 2. Tồn tại lân cận của điểm = 2, bán kính = 1 > 0 mà trong lân cận đó
không có điểm bất thường nào khác của hàm () trừ điểm = 2 . Vậy = 2 là điểm bất
cô lập của ().
Tương tự = −2 cũng là điểm bất thường cô lập của ().
b. Hàm
(
)
=
không xác định tại = 0 nên = 0 là điểm bất thường của ()
GPT: cos
= 0 ⇔
=
+ , ∈ℤ⇔=
(
)
, ∈ℤ
Vậy =
(
)
, ∈ℤ là các điểm bất thường của ().
+ Xét lim
→
(
)
−
(
)
(
)
= lim
→
(
)
(
)
= lim
→
(
)
=
(
)
(
)
=
(
)
(
)
=
(
)
()
≠0
Do đó =
(
)
, ∈ℤ là các điểm cực đơn của ().
+ Các điểm =
()
là các điểm rời rạc được đặt trên trục thực trong một khoảng hữu
hạn chứa điểm 0. Do đó tại mỗi điểm tồn tại lân cận bán kính > 0 nào đó không chứa
điểm bất thường nào khác. Do đó =
(
)
là các điểm bất thường cô lập.
+ Do =
(
)
→0 khi →∞ nên với mọi > 0, mọi lân cận bán kính luôn chứa điểm
bất thường khác 0. Do đó = 0 không là điểm bất thường cô lập.
+ Xét lim
→
(
−0
)
(
)
= lim
→
= 0 ⇒ Không tồn tại nguyên dương thỏa mãn
lim
→
(
−0
)
(
)
≠0. Do đó = 0 là điểm bất thường cốt yếu của ().
c. = 0 là điểm bất thường của ()
+ lim
→
() = lim
→
√
√
= 1 . Do đó = 0 là điểm bất thường bỏ được của ().
Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18):
a. Xác định tất cả các điểm bất thường của hàm sau
(
)
=
+
+
(
−
)
(
+
)
.
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
24
b. Xác định các điểm mà tại đó
(
)
giải ch.
Giải:
Ta có
(
)
có hai điểm bất thường = 1 và = −
+ Xét lim
→
(
−1
)
() = lim
→
(
−1
)
(
)
(
)
= lim
→
(
)
=
≠0
Do đó = 1 là điểm cực bậc 3 của ().
+ Xét lim
→
+
() = lim
→
+
()
()
= lim
→
()
= −
≠0
Do đó = −
là điểm cực bậc 2 của ().
+ Tại điểm = 1 tồn tại lân cận bán kính = 1 > 0 mà trong đó không chứa điểm bất
thường nào khác trừ điểm = 1. Do đó = 1 là điểm bất thường cô lập của hàm ().
Tương tự = −
cũng là điểm bất thường cô lập của hàm ().
+ Xét tại = ∞
Đặt =
⇒
(
)
=
=
=
(
)
(
)
Rõ ràng = 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim
→
(
−0
)
(
) = lim
→
(
−0
)
(
)
(
)
= lim
→
(
)
(
)
=
≠0
Do đó = 0 là điểm cực bậc 3 của hàm
hay = ∞ là điểm cực bậc 3 của hàm ().
b. Theo câu a thì
(
)
sẽ giải ch tại mọi điểm : ≠1, ≠−
, ≠∞
Bài 6.3 (bài 28, SGK, tr54): CMR hàm
(
)
=
(
)
có hai điểm cực bậc 2 tại = ±
và một cực điểm đơn tại vô cực.
Giải:
(
)
=
(
)
(
)
=
(
)
(
)
(
)
Hàm () có 2 điểm bất thường = 1 + 2 và = 1 −2
+ Xét lim
→
(
−1 −2
)
() = lim
→
(
−1 −2
)
(
)
(
)
(
)
GI
Ả
I TÍCH PH
Ứ
C
25
= lim
→
(
)
(
)
=
(
)
(
)
=
= −
−
≠0
Do đó = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của ()
Tương tự ta cũng có = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của ().
+ Tại = ∞.
Đặt =
⇒
(
)
=
=
=
(
)
(
)
Rõ ràng = 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim
→
(
−0
)
= lim
→
(
−0
)
(
)
(
)
= lim
→
(
)
(
)
= 1 ≠0
Do đó = 0 là điểm cực đơn của
hay = ∞ là điểm cực đơn của hàm
(
)
.
Bài 6.4 (bài 30,SGK, tr54): CMR hàm
(
)
=
có một điểm bất thường cốt yếu ở vô cực.
Giải:
Đặt =
⇒
(
)
=
=
=
Rõ ràng
không xác định tại = 0 nên = 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim
→
(
−0
)
= lim
→
(
−0
)
= lim
→
= 0
Do đó không tồn tại nguyên dương nào để lim
→
(
−0
)
≠0 nên = 0 là điểm
bất thường cốt yếu của hàm
hay = ∞ là điểm bất thường cốt yếu của hàm ().
VII. BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
7.1. Kiến thức bổ trợ
a. Tích phân đường
+ Nếu
(
)
=
(
,
)
+ (, ) thì ch phân đường của () trên đường cong
(
)
= −
+ +
