SKKN toán: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

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0
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. .!4% & P%D#.###)000000
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B=!8% &$#6( >? *
#.##$.% &
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S  ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông
cñabÊt ®¼ng thøc )) ;$#66;#.
##% & T! UB
@'"D *6#T/B
 (  *+.KV).
W
B giải quyết vấn đề
phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu
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##% &!8/% &+
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Phần II: các phơng pháp nghiên cứu
P.##
Y.## ;
Y.##+
Phần III: nội dung của đề tài
i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
Z@.%-+[%
Z?.%-+\%
Z@.3%Q%-+[%
Z?.3%Q%-+\%
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :
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H;`*6a(@a(a(%a(BDa(
bcddeR]cR
f
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Z\%[^\\%O
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\%[!^\O\%O!
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\%[d^\[%!
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\%

\%[^\

\%

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3, Một số bất đẳng thức thông dụngL
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A?_6;!.%L
ab
ba

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2

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II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng
thức
1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
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O<\d0
OpTLn
_


d?ni!qq^qqK)Bn^d0
r
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Bµi 1.1 :
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_
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_
Zs
_
Zc
≥
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_
ZB
_
Zs
_
ZcO_lKZBZsm

^K
_
ZB
_
Zs
_
ZcO_KO_BO_s
^lK
_
O_KZ]mZlB
_
O_BZ]mZls
_
O_sZ]m
^lKO]m
_
ZlBO]m
_
ZlsO]m
_
klKO]m
_

≥
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lBO]m
_

≥
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_

≥
d?s
 ^\G
≥
d?KBs
GBK
_
ZB
_
Zs
_
Zc
≥
_lKZBZsm?KBs0
k%QK)B[^\K^B^s^]0
Bµi 1.2L
1%!J6;L
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_
Z%
_
Z
_
Z!
_
ZJ
_

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≥
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Gi¶i :
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_
Z%
_
Z
_
Z!
_
ZJ
_
Ol%ZZ!ZJm
^l
b
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−
2
m
_
Zl
c
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2
m
_
Zl

d
a
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2
m
_
Zl
e
a
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m
_
kl
b
a
−
2
m
_

≥
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kl
c
a
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2
m
_


≥
d?
kl
d
a
−
2
m
_

≥
d?!
kl
e
a
−
2
m
_
≥
d?J
^\G
≥
d?%!J
kqq^qqK)B[^\%^^!^J^
2
a
Bµi 1.3 :1% &L


2
22
22






+
≥
+
baba
]d
Giải :
tb+LG^
2
22
22






+

+
baba
^

4
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2222
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+++
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4
1
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4
1
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0A?%0
kqq^qqK)B^%0
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
OXDL<D N% &C. .?%
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_
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_
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_
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_
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_
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_
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_
Z_n<Z_n1Z_<1
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c
^n
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_
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_
Z<
c
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c
^n
c
Ocn
_
<Zcn<
_

O<
c
uuuuuuuuuuu0
A-!8L
Bài 2. 1L1%6;!.N%Q]01QL

3
4
1
1
1
1

+
+
+
ba
Giải:
k4#b#%D N. .i
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r

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r

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_


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Bài 2. 2L1%6;!.)PLZ%Z^g
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c

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Giải:
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_


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_
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2
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_


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c
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c
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
3
33
22

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



+
≥
+
baba
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Gi¶i :
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
3
33
22






+
≥
+
baba









+
≥+−






+
2
).(
2
22
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baba
ba
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2
2
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




+
ba

_
O%Z%
_

≥

2
2
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



+
ba
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_
Og%Zg%
_

≥
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_
Z_%Z%
_


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_
OR%Zc%
_

≥
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_
O_%Z%
_
m
≥
d
< &;4 $i6BL
3
33
22

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



+
≥
+
baba
Bµi 2.4:
1_6;%)PZ%^]019w
c

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c
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2
1
Gi¶i :
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c
Z%
c
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≥

2
1
[^\
c
Z%
c
Z%O
2
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
≥
d
[^\lZ%ml
_
O%Z%

_
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2
1

≥
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[^\
_
Z%
_
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2
1
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[^\_
_
Z_%
_
O]
≥
d
[^\_
_
Z_l]Om
_
O]
≥
dl%^O]m

[^\g
_
OgZ]
≥
d
[^\l_O]m
_

≥
d
< &;4 $0A=B
c
Z%
c
Z%
≥

2
1
kqq^qqK)B^%^
2
1
Bµi 2.5 :1% &L
3
33
22







+
≥
+
baba

 L\d%\d0
Gi¶i :
]_
A?\d%\d^\Z%\d
L
3
33
22






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+
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2
22
22

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2






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+
+






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baba
baba
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[^\
2
22

2






+
+
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_
Og%Zg%
_



_
Z_%Z%
_

[^\cl
_
O_%Z%
_
m

d
[^\clO%m

_


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^\
3
33
22






+

+
baba
kqq^qqK)B^%0
Bài 2.6LA?\d%\d01% &L

a
b
a




a
b

b

Giải :
k4#b#%D N. .L

a
b
a




a
b
b

l
)() baabbbaa
++

d

[ ]
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baabba

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baabbababa

0)2)((
++
bababa

0))((
+
baba
< &; $i6BL
a
b
a




a
b
b


3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
OXDLk4% &JL16<#K
% &!>B+ ; (%D N
96;+)v% &LK
_
ZB
_

_KB
A?%\d
2
+
a
b
b
a
1-!8L
Bài 3.1Lx)67%6;!.QL

2
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a

]c
Gi¶i
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Zl%Zm

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+≥

cba
a
cb
a
++
≥
+
2
. *L

cba
b
ac
b
++
≥
+
2

cba
c
ba
c
++
≥
+
2

k%Q/%<a( oFK)B L
^%Z%^Z^Z%Z%Z^dl?)D% 
6;!.m0
v 6BL
2
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bµi 3.2:
1KB_6;)PL

K
_
ZB
_
^
22
11 xyyx
−+−
 1QLcKZgB
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e
Gi¶i :
¸#!8% &<#KL
lK
_
ZB
_
m
_
^l
22
11 xyyx
−+−
m
_
l
1
≤
x
i
1
≤
y
m

≤
lK
_
ZB
_

ml]OB
_
Z]OK
_
m
^\K
_
ZB
_

≤
]
"LlcKZgBm
_

≤
lc
_
Zg
_
mlK
_
ZB
_
m
≤
_e
^\cKZgB
≤
e

a&K)B







=
>>
=+
43
0,0
1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3

y
x
a+L
2
5
2
3
≤≤
x
Bµi 3. 3:1%
≥
diZ%Z^]01QL

6
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%
5,3111
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Gi¶i
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( )
( )
( ) ( ) ( )







+++++++≤+++++
222
1111.1.1. accbbaaccbba
^\
( )
6)22.(3
2
=++≤+++++
acbaaccbba
]g
^\
6
≤+++++
accbba
0
kqq^qqK)BL^%^^
3
1
%¸#!8% &16L

1
22
1)1(
1 +=
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aa
a
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1
2
1
+≤+
b
b
i
1
2
1
+≤+
c
c
1vD/c% & *L

5,33
2
111
=+
++
≤+++++
cba
cba
k &K)B^%^^d?)DLZ%Z^ ]
A=BL
5,3111
<+++++
cba
Bµi 3.4L16;!.%)PLZ%Z^]0
1QL

9
111
≥++
cba
Gi¶i :
L
0
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a
b
b
a
%\d
L
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cba
111
)
111
(
cba
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0]^
)
111
(
cba
++
0lZ%Zm
^

111 ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
^
≥++++++
)()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
cZ_Z_Z_^r
^\

9
111
≥++
cba
kqq^qqK)BL^%^^
3
1
Bµi 3.5
1KB\d01QL
yxyx
+
≥+
411


Gi¶i
¸#!8% &16L
xyyx 2
≥+


yx
11
+

≥

xy
2
^\lKZBml

yx
11
+
m
≥
g
]e
^\
yx
11
+



yx
+
4
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
OXDLk4- P * (=!8)%
=#0
1-!8L
Bài 4.1 :1_6;KB)P +LKZB^_0
1QLK
g
ZB
g


_
Giải

J-%,CLlK
_
OB
_
m

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g
ZB
g


_K
_
B
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g
ZB
g
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_
ZB
_
m
_
l]m
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_


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ZB
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_
ZB
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_
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_
ZB
_
m

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K
_
ZB
_

_l_m
vl]ml_mLK
g
ZB
g


_
kqq^qqK)BK^B^]0
Bài 4.2:
1d[%![]01QL
l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!0
Giải :
Ll]Oml]O%m^]OO%Z%
k%\d%\d^\l]Oml]O%m\]OO%0
k[]]O\d^\l]Oml]O%ml]Om\l]OO%ml]Om
l]Oml]O%ml]Om\]OO%OZZ%0
k%!\d]O!\diZ%\di!Z%!Z!\d
^\l]Oml]O%ml]Om\]OO%O
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\l]OO%Oml]O!m
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!Z!Z%!Z!
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!0
Bài 4.3 :1d[%[]01QL
_
c
Z_%
c
Z_
c

[cZ
_
%Z%
_
Z
_

Giải :
]R
k%[]^\
c
[
_
[[]i%
c
[%
_
[%[]iL
l]O
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c
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c
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c
Z
c
[]Z%
_
i
c
Z
c
[]Z
_
0
^\_
c
Z_%
c
Z_
c
[cZ
_
%Z%

_
Z
_

5.phơng pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự
nhiên
Bài 5.1: 1\%\d19wL

1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
x)L
a(% &% &
6D\%\d6;\
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

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+ +
l]m
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l]m

2 2
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ +
>
+ +


]O
2 2 2 2
1
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> >
+ + + +
m n
m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n

b b
b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
< <
+ +
+ +
1 1
1 1
m n
m n
a a
b b
<
+ +
1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +
( ) ( )
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
> >

l_m
< &l_m $\%\d
1
a
b
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$
á#!8% &
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +
;\%\d\
^]rrR^]rre% &#)y $
1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
6. phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
% !%"/

[%Zl]m
%[Zl_m
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