Giải tích ôn thi đại học

1

CHƯƠNG I:LÝ THUYẾT GIỚI HẠN

§1: SỐ THỰC

1) Chú ý mở đầu: Trong thực tế và nghiên cứu số hữu tỷ không đáp ứng được,nên
nhất thiết phải mở rộng tập hợp số
Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phương số đó được kết quả bằng 2
2) Định nghĩa:
1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được xem là biểu diễn một số vô tỷ
2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là

và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số thực
được xác định bởi
I
 
 
.
Nếu với mỗi tập


X x
 có một số M sao cho
x M
 
thì nói tập X bị chặn trên bởi số
M.Trái lại nếu có số m để
x m
 

thì nói tập X bị chặn dưới .Tập bị chăn trên(dưới)
có thể không bị chặn dưới(trên).Số M hay m được gọi là cận trên hay dưới của tập X.
Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dưới) có vô số cận trên(dưới).
3. Định nghĩa
 Số bé nhất trong các cận trên được gọi là cận trên đúng và được gọi
là
x X
M = SupX

.
 Số lớn nhất trong các cận dưới được gọi là cận dưới đúng được gọi là
x X
m = inf X

.
3) Định lý
 Số M được gọi là cận trên đúng của tập X

o o
x X sao cho x M
    
.
 Số m được gọi là cận dưới đúng của tập X

o o
x X sao cho x m
    
.

2
§2:HÀM MỘT BIẾN SỐ

1) Khái niệm hàm số :Hàm số là ánh xạ f:
X Y

trong đó
X ;Y
 
 

Ta gọi X là tập xác định , còn
f(X) Y

gọi là tập giá trị.
2) Cách cho hàm số:
 Lập bảng
 Đồ thị
 Biểu thức giải tích
3) Một số lớp hàm quan trọng:
a) Hàm sơ cấp
 Hàm đa thức:
n n 1 n 2 n 3
o 1 2 3 n 1 n
y a x + a x a x a x a x a
  

     

 Hàm hữu tỷ nguyên:
n n 1 n 2 n 3
o 1 2 3 n 1 n
n n 1 n 2 n 3
o 1 2 3 n 1 n
a x + a x a x a x a x a
y
b x + b x b x b x b x b
  

  

    

    

 Hàm lũy thừa:
a
y x

với a là hằng số thực tùy ý.
 Hàm mũ:
x
y a

với a > 0 và a ≠ 1
 Hàm lôgarit:
a
y log x


với a > 0 và a ≠ 1;
x 0


 Hàm lượng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx
 Hàm hypebonic
x x x x
e e e e shx chx
shx ;chx ;thx ;coth x
2 2 chx shx
 
 
   
b) Hàm ngược:Giả sử hàm y = f(x)được cho trong miền X nào đó,và giả sử Y là
tậptất cả các giá trị mà hàm đó lấy khi x biến thiên trong miền X.
Với
0 0 0 0
y Y x X:f(x ) y
    
Như thế với mỗi
y Y

sẽ ứng với một hay một số
giá trị
x X

.Như vậy trong Y ta có hàm x = g(y) được gọi là hàm ngược của hàm
f(x).
Hàm lượng giác ngược
 y = arcsinx xác định trên



1,1
 và nhận giá trị trên
,
2 2
 
 

 
 

Còn
Arcsinx arcsinx k2
  


3
 y = arccosx xác định trên


1,1
 và nhận giá trị trên


0,

và
arccosx arcsinx
2


  vì
cos(arccosx) cos arcsin x x sin(arcsinx)
2

 
   
 
 


y arctgx

thỏa mãn arctgx
2 2
 
  

Ngoài ra ta còn có mối liên hệ giữa arctgx và arcsinx

2 2
x x
arctgx arcsin khi ( , ) V arcsin x arctg khi ( 1 x 1)
1 x 1 x
      
 


y arccotgx


có miền xác định
( , )
 
và miền giá trị
(0, )


Mặt khác còn có mối liên hệ
arccotgx arctgx
2

  .
Ngoài ra còn các hàm ngược của các hàm siêu việt
§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ
1) KHÁI NIỆM: Cho dãy số
1 2 n 1 n
x ,x , ,x ,x ,


Số a được gọi là giới hạn của dãy biến
n
x
nếu bắt đầu từ một chỗ nào đó tức là đối
với mọi số thứ tự n khá lớn biến
n
x
sai khác a nhỏ bao nhiêu cũng được.
Hoặc: số a được gọi là giới hạn của dãy



n
x
nếu
0, N( ) N 0
     
sao cho
n N
 
đều thỏa mãn
n
x a
  

n
n
lim x a


. Khi đó ta có thể viết
n
x a

hoặc
n
lim x = a
.
Khi đó ta nói dãy
n
x
hội tụ đến a.Đặc biệt khi

n
x
= a với mọi n thì lim
n
x
= a.
Từ (1) có
n n
x a a x a
           
và khoảng mở
(a ,a )
   
được gọi là
lân cận của điểm a.Như vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các giá trị của
n
x
bắt đầu từ một giá trị nào đấy cần phải rơi vào lân cận đó.
Ví dụ

4
a. Chứng minh rằng
2
2 2
n n
n 1 n 1
lim 0; lim
n 2 3n 2
 
 


 

Chứng minh: để
2 2
n 1 n 1
0
n 2 n 2
 
     
 
hay
2
1 1
n
n
  
hay
2 2
n
n
   


Chọn
2
N 1
 
 
 


 
vậy với n > N ta có
2
n 1
0
n 2

  

tức là
2
n
n 1
lim 0
n 2





b. Chứng minh rằng
2
2
n
n 1 1
lim
3
3n 2






Để
2
2
2 2
n 1 1 1 1 1 2
3n 2 n
3 3 3
3n 2 3n 2

         
 
 

Chọn
1 2
N 1
3 3
 
  
 

 
thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh.
1. Đại lượng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): Biến
n
x

được gọi là đại lượng
vô cùng bé nếu lim
n
x
= 0.
Ví dụ:
n 1
n n n
1 1 ( 1)
x ,x ,x
n n n


    đó là các vô cùng bé
2. Đại lương vô cùng lớn (VCL) Dãy
n
x
được gọi là VCL nếu với các giá trị n
khá lớn , nó sẽ trở nên và mãi mãi có giá trị tuyệt đối lớn hơn một số A > 0 lớn tùy ý
cho trước. Hay
n
n
lim x

  
với
A 0
 
đủ lớn
0 0 n

N 0 sao cho n N x A
     

Ví dụ:
n
n
x q khi q 1
 
là một VCL
Chú ý : + Số 0 không phải là một VCB,cũng như
23
10
cũng không phải là VCL
+ Nghịch đảo của một VCB (VCL) là một VCL (VCB)


5
2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY
1. Định lý:
n 0 0 n n
n
lim x a ,a p(a q) N 0 sao cho n N :x p(x q)

         

Chứng minh: chọn
a p a p
      
thì
n n

n
lim x a a x a

       

0 n
khi n N x p
   
tương tự cho trường hợp a < q
2. Định lý 2:
n
n
lim x a


thì a là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử
n
n
lim x a



và
a a r :a r a
 
    

Do
n

n
lim x a


nên có
1 1 n
N 0 ; n N x r
   

và
n
n
lim x a



nên có
2 2 n
N 0 ; n N x r
   

Chọn N = max


1 2 n n
N ,N n N x r ;x r
    
.Điều này vô lý , nên
a


= a .
3. Định lý 3 :Nếu
n
x
có giới hạn thì
n
x
giới nội
Chứng minh:
n n
n
lim x a a 1 x a 1

     

Chọn


1 2 N
M max a 1,x ,x , x
  thì
n
x M n
 

4. Định lý 4:
Cho
n n n
x y z
 

và
n n n
n n n
lim x lim z a lim y a
  
   
( nguyên lý bị kẹp giữa)
Chứng minh:
n 1 1 n
n
lim x a 0, N n N a x a

            


n 2 2 n
n
lim z a 0, N n N a z a

            



1 2
Khi N max N ,N

n n n n n
n
a x y z a a y a lim y a


                 

5. Định nghĩa: Dãy
1 2 n 1 n
x ,x , ,x ,x ,



6
 Được gọi là dãy tăng nếu
1 2 n 1 n
x x x x ,

  

 Được gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếu
1 2 n 1 n
x x ,x x ,

  

 Được gọi là dãy giảm nếu
1 2 n 1 n
x x x x ,

  

 Được gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu
1 2 n 1 n
x x ,x x


   

6. Định Lý
n n
Cho x a;y b
 
thì ta có các kết quả sau

n
cx ca khi c cosnt
 


n n
x y a b khi , cosnt
         


n n
x y ab



n
n
x
a
khi b 0
y b

 


n n
x y a b
  

7. Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn đều hội tụ.Nếu


n
x
đơn điệu tăng(giảm) và
bị chặn trên(dưới) thì hội tụ,
8. Dãy con: Cho dãy
n
x
và một dãy


k
n
x
được trích ra từ dãy
n
x
ở đây dãy


k

n
là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy


k
n
x
gọi là dãy con của
dãy
n
x
.
Lưu ý:
1.
k
n k


2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó
9. Định nghĩa:
Dãy
 
n
n 1


 trong đó


n n n

a ,b ;
  được gọi là dãy đoạn thắt nếu

n 1
n n 1,2,

   


n n
n
lim (b a ) 0

 

10. Bổ đề: Nếu
 
n
n 1


 là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất
thuộc mọi đoạn của dãy.

7
Chứng minh: Do
n 1 n
n 1,2,

   

nên
1 2 n n
a a a b
    
nên


n
a
là
dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên,nên

n n n
n
lim a a b n

      
. Giả sử có

cũng thuộc mọi đoạn
n

,
thế thì
n n
0 b a
     
nhưng
n n
n

lim (b a ) 0

 
. Nên
  
.
11. Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ mọi dãy đoạn thắt luôn rút ra được một dãy con
hội tụ.
Chứng minh :Giả sử


n
x
có
n
a x b n
  
.Chia


a,b
thành hai phần bằng nhau ,khi
đó ít nhất có một đoạn chứa vô số các phần tử của


n
x
gọi đoạn đó là
1


.lại chia
1

thành hai hai phần bằng nhau và lại có một phần chứa vô số các phần tử của


n
x

gọi là
2

.Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy đoạn thắt
 
n
n 1


 trong đó
n n
n
b a
b a 0 khi n
2

    
.Nên có số

thuộc mọi đoạn
n


.Trong mỗi đoạn

n

rút ra một phần tử bất kỳ,ký hiệu là
k k
n n
x

và
k
n n n
a x b
 
nhưng
n n
n n
lim a lim b
 
  

k
n
n
lim x

 

12. Định lý (Côsi):

Điều kiện cần và đủ để dãy


n
x
hội tụ là
n m
0, N sao cho n,m N: a a
       

Chứng minh :
n n m
n
( )Do lim x a 0 N: x a n N; m N: x a
2 2

 
             

n m n m n m
x x x a x a x x
           


( )

Từ
n m
x x
  

cố định một m thì hiển nhiên


n
x
bị chặn nên tồn tại dãy
con


k
n
x
Thỏa mãn
k
n
n
lim x

 

và do
k k
n n n n n
n
x x x x lim x

           


8

13. SỐ e:
Cho dãy số
n
n
1
x 1
n
 
 
 
 
tìm giới hạn của dãy số đó.
\ Chứng minh : Ta có
n
n
2 n
1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) (n n 1) 1
x 1 1 n. . .
n n 1.2 1.2.3 n
n n
    
 
      
 
 

1 1 1 1 2 1 1 2 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2! n 3! n n n! n n n


         
           
         
         

mặt khác

n 1
1 1 1 1 2 n
x 1 1 1 1 1 1
2! n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1

      
        
      
    
      

Hiển nhiên
n n 1
x x


và
n
2 n
1 1 1 1
x 2 2 3
1
2

2 2
1
2
        


Tức là dãy


n
x
đon điệu tăng và bị chặn trên,do đó
n
n
lim x


và người ta chứng minh
được giới hạn đó là e = 2,718218828459015…đó là số vô tỷ.
§4:GIỚI HẠN HÀM SỐ
1) Giới hạn hàm số tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập
X


và
nhận giá trị trên

,
0
x

là một điểm giới hạn của tập X.
1. Định nghĩa : Số

được gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x dần tới
0
x
nếu
0, 0
   
0
sao cho x : x x
   
thì f(x)
   

0
x x
lim f (x)




Ví dụ : chứng minh
x 2
lim (3x 3) 9

 

2. Định lý: Nếu
0

x x
lim f (x) A


thì A là duy nhất.

9
Chứng minh : Giả sử
0
1
x x
lim f (x) A


và
1
A A

,đặt
1 1
A A 2 0 A A
         

Vì
0
x x
lim f (x) A


nên

1 0 1
0 sao cho A f (x) A x :0 x x
            
thì

A f (x) A
     

Ta cũng có
2 1 1 0 2
0 sao cho A f(x) A x :0 x x
            

thì
1 1
A f(x) A
     

Chọn
1 2
min( , )
   
,khi đó với mọi x thỏa mãn
0
0 x x
   
1 1
1
f (x) A
A A <>A A 2

f (x) A
  

         

  


vô lý.Vậy
1
A A

.
3. Định nghĩa : Ta gọi số

là giới hạn trái của hàm f(x) khi
0
x x 0
 

(nghĩa là
0
x x

nhưng luôn bé hơn
0
x
) nếu
0, 0 sao cho
   

0
x:0 x x f(x)
        

.Ký hiệu
0
0
x x 0
lim f (x) f(x 0)
 
 

4. Định nghĩa :
Ta gọi số

là giới hạn phải của hàm f(x) khi
0
x x 0
 
(nghĩa là
0
x x

nhưng luôn
lớn hơn
0
x
), nếu
0

0, 0 sao cho x:0 x x f(x)
            


Ký hiệu
0
0
x x 0
lim f(x) f(x 0)
 
 

5. Định lý :
0 0 0
x x x x 0 x x 0
lim f (x) lim f (x) lim f(x)
    
   
 

2) Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận
6. Định nghĩa : Ta gọi số

là giới hạn của hàm f(x) khi
x
 

nếu 0 , M 0 sao cho f(x)
      


xảy ra với mọi x > M. Ký hiệu
x
lim f(x)




10
7. Định nghĩa : Ta gọi số

là giới hạn của hàm f(x) khi
x
 
nếu
0
 

M 0 sao cho f(x)
    

xảy ra với mọi x <- M. Ký hiệu
x
lim f(x)




8. Định nghĩa :Nếu
A 0 , (A) 0 sao cho f (x) A
      

với
0
x:0 x x
    

thì ta viết
0
x x
lim f (x)

 

3) TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1. Định lý 1 :Nếu
x a
lim f (x)



và A<

<B thì tồn tại khoảng J chứa điểm a sao
cho
x C J,x a
   
thì
A f(x) B
 
.
2. Định lý 2:

x a
lim f (x)



và
f(x)
        


3. Định lý 3 :
x a
lim f (x)



và
x a
lim g(x)




thỏa mãn


 
thì tồn tại khoảng J
chứa a sao cho f(x) > g(x)
x C J , x a

   

4. Định lý 4: Cho hai hàm f(x) và g(x) cùng xác định trên tập C; f(x) > g(x)
x C
 
.
Nếu
x a
lim f (x)



và
x a
lim g(x)




thì


 

5. Định lý 5: Cho các hàm f(x) , h(x) và g(x) cùng xác định trên tập C,trong đó
f(x) < h(x) < g(x) và
x a x a
lim f (x) lim g(x)
 
 


thì
x a
lim h(x)




Ví Dụ: Tìm
x
x
1
lim 1
x

 

 
 

+ xét
x
 
:
Với mỗi x > 0 , luôn có số tự nhiên n thỏa mãn:
n x n 1
  


n x n 1

1 1 1
khi n : n x n 1 1 1 1
n 1 x n

     
          
     

     


n x n 1 x
x
1 1 1 1
hay:e 1 1 1 e lim 1 e
n 1 x n x


       
         
       

       

11
Tương tự cho trường hợp
x
 
ta cũng có kết quả là e
Vậy

x
x
1
lim 1
x

 

 
 
= e
Mở rộng:
 
g(x)
1
f (x)
f (x) 0 g(x)
1
lim 1 f(x) lim 1 e
g(x)
 
 
   
 
 

6. Định lý:Cho các hàm f(x) và g(x) xác định trên tập
C



và
x a x a
lim f (x), lim g(x)
 


Thì ta có các kết quả sau:
a)


x a x a x a
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
  
  
b)


x a x a x a
lim f(x)g(x) lim f(x). lim g(x)
  

c)
x a
x a x a
x a
lim f(x)
f(x)
lim khi lim g(x) 0
g(x) lim g(x)


 

 

4)ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Định lý 1 :
0
x x
lim f (x) A


là




n
x X
 
,
n 0
n
lim x x


thì
n
n
lim f(x ) A




2. Định lý (Bônxanô-Côsi): f(x)xác định trên X khi đó
x a
lim f (x)





0, 0 x ,x :0 x a ;0 x a f(x ) f(x )
     
                

Chứng minh :
( )

Do
x a
lim f (x) nên 0, 0, x :0 x a f(x)
2


            
 
với
x ;x
 
: 0 x a ;0 x a
 

       
thì f (x ) f(x ) f (x ) f(x )
   
      
 

( )

Ta đã có với 0 x a ;0 x a
 
       
thì f(x ) f(x )
 
  

Lấy một dãy bất kỳ


n n n n
x (x X,x a);x a
  

Khi đó
n m
N :0 x a ;0 x a
         

Và ta có
n m
f (x ) f (x )

  

12
Ta phải chứng minh rằng


n n n
n
x :x a lim f(x )

  


Thật vậy, giả sử có hai dãy




n n
x a; x a

 

và cùng có
n
n
lim f (x )




và
n
n
lim f(x )

 


nhưng
0
 
     
   
.
Khi đó
n n n n
N sao cho n N : f(x ) ; f (x ) ; f (x ) f (x )
3 3 3
  
  
         
  

n n n n
f(x ) f(x ) f(x ) f(x )
    
             
     

Điều đó mâu thuẫn với


  
 
.Vậy


 
, tức là
n
n
lim f (x )




3. Định lý 3:Cho hàm số f(x) xác định trên tập X.Thì
x
lim f(x)




0, N sao cho x ,x : x N; x N f (x ) f(x )
     
            


4. Định nghĩa
 Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) được gọi là một vô cùng bé , nếu

x a
lim f (x) 0 khi a (a,b)

 
hoặc
x
lim f(x) 0


.Ký hiệu là VCB
 Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) được gọi là một vô cùng lớn ,
nếu:
x a
lim f (x) khi a (a,b)

  
hoặc
x
lim f(x)

 
. Ký hiệu là VCL
5. Định nghĩa:
Cho hai hàm số f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) khi
x a

(a hữu hạn hoặc vô hạn).
và
x a
f(x)

lim ,(g(x) 0)
g(x)

 

.Nếu:
a) 0 <

<+

,thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi
x a


đặc biệt khi

= 1 thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi
x a


là hai VCB (VCL) tương đương khi
x a

và viết f(x)

g(x) khi
x a


b)


= 0 thì g(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn f(x) khi
x a


13
và viết g(x) = 0(f(x)) khi
x a


c)

=

thì f(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn g(x) khi
x a


Chú ý :
d) nghịch đảo của một VCB(VCL) là một VCL(VCB) khi
x a


e) Tổng của hai VCB(VCL) khi
x a

là VCB(VCL) khi
x a


f) Tích của VCB(VCL) với một đại lượng bị chặn là VCB(VCL)
g) Trong khi lấy giới hạn ta có thể thay bằng các VCB(VCL) tương đương.
Một số giới hạn cần biết:

kx
x 0
a 1
1, lim lna (a 0)
kx


  đặc biệt
kx
x 0
e 1
lim 1
kx



;


f (x) 0
ln 1 f(x)
2, lim 1
f(x)




CHƯƠNG II:HÀM SỐ LIÊN TỤC
§1:CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN
1) Định nghĩa 1:
Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) và
0
x (a,b).

Hàm số đó được gọi là liên tại
điểm
0
x
nếu:
0
0
x x
lim f (x) f(x )



Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm
1
xsin khi x 0
f(x)
x
0 khi x 0










tại
0
x 0


2) Định nghĩa 2:
Hàm số liên tục trong khoảng (a, b),nếu liên tục tại mọi điểm trên (a, b)
3) Định nghĩa 3:
14
Hàm số liên tục trong


a,b
,liên tục trên khoảng (a,b) và liên tục phảitại a, liên tục
trái tại b,hay
x a 0
lim f(x) f(a 0)
 
 
hoặc
x b 0
lim f(x) f(b 0)
 
 

.
Ví dụ: Xét sự liên tục trái và phải của

2
2
x khi x 1
f(x)
3x 1 khi x 1





 



tại
0
x 1


4) Định nghĩa 4: Hàm f(x) xác định trong khoảng (a, b) được gọi là gián đoạn tại
0
x (a,b).

Nếu hàm số không liên tục tại
0
x
,hoặc không liên tục trái (phải) tại đó.

§2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC
1) Định lý 1: Tổng, tích, thương (mẫu số ≠ 0) các hàm liên tục tại
0
x
là hàm liên
tục
0
x

2) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại
0
x
,và hàm
g(y)
liên tục tại
0 0
y f(x )


thì hàm hợp


g f(x)
liên tục tại
0
x
.
Chú ý: Hàm của một biểu thức toán học xác định ở đâu thì liên tục tại đó.
§3:TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC
1) Định lý: Nếu hàm số f liên tục tại điển a và f(a) > 0 (hay f(a) < 0) thì tồn tại một

lân cận của a để sao cho với mọi x thuộc lân cận đó thì f(x) > 0(hay f(x) < 0)
2) Định lý Bônxanô-Côsi thứ nhất:Nếu f(x) xác định,liên tục trên


a,b
và
f(a)f(b) 0

.Khi đó
c (a,b)
 
để f(c) = 0
3) Định lý Bônxanô-Côsi thứ hai: Nếu f(x) xác định,liên tục trên


a,b
và f(a) = A
f(b) = B,thì
C:A C B c (a,b):f (c) C
      

Chứng minh:Xét hàm g(x) = f(x) - C.Sau đó vận dụng Bônxanô-Côsi thứ nhất
15
4) Định lý (Vâyestrat thứ nhất):
Hàm f xác định, liên tục trên


a,b
thì bị chặn trên đó.
Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không bị chặn trên



a,b
,khi đó với mỗi


n
n luôn x a,b
  


n
sao cho f(x ) n

.
Từ










k k
n n n 0
x a,b x a,b : x x a,b
      và

k
k
n 0
n
lim f(x ) f(x )



Nhưng theo điều giả sử ở trên ta có
k
n k 0 k
f(x ) n f(x ) khi n
     
(vô lý).
Vậy f(x) bị chặn trên


a,b
.
5) Định lý (Vâyestrat thứ hai) Nếu hàm f xác định và liên tục trên


a,b
thì đạt giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất trên


a,b
.
Chứng minh:Do f(x) bị chặn trên



a,b
nên
 


x a,b
M sup f (x)

  ,giả sử
f(x) M

vì nếu
trái lại thì M không đạt đến được .
Xét hàm
1
(x)
M f(x)
 

liên tục trên


a,b
.
Nên
1
f (x) M
     


(trái với M là cận trên đúng).Vậy


0 0
x a,b :f(x ) M
  

Tức M là giá trị lớn nhất của f(x) trên


a,b

Tương tự đối với giá trị bé nhất.
6) Định nghĩa: Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên (a, b) ((a, b) là khoảng hữu
hạn,vô hạn,đóng hoặc mở) nếu:
0, x ,x (a,b),sao cho ( ) 0: x x f(x ) f(x )
     
               

7) Đlý (Canto):
16
Nếu hàm f (x) xác định và liên tục trên


a,b
thì liên tục đều trên đó.
Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không liên tục đều trên



a,b
.Tức là


0 n n n n n
0 0, x ,x a,b : x x
   
        
và
n
n
lim 0

 
:
n n 0
f(x ) f(x )
 
  

Mặt khác các dãy


n
x

và


n

x

bị chặn nên có các dãy con


k
n
x

và


k
n
x

hội tụ,
và
k k k
n n n
x x
 
  
;
k
n
n
lim 0

 

sao cho
k k
n n 0
f(x ) f(x )
 
  

giả sử
k
k
n 0
n
lim x x



vì
k k
0 n n
x x

  
và
k
n
n
lim 0

 

thì dãy con của dãy


k
n
x

cũng hội tụ về
0
x

Do f (x) liên tục trên


a,b
nên
k
k
n 0
n
lim f(x ) f(x )



và
k
s
k
s
n 0

n
lim f (x ) f(x )




Qua đó với
k
s
n
x

,
k
s
n
x

thỏa mãn
ks ks k
s
n n n
x x
 
  
:
0 0 0
f (x ) f(x ) 0
   

vô lý.Đpcm

CHƯƠNG III:VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
§1:ĐẠO HÀM
1) Định nghĩa : Hàm y = f(x) xác định trên (a, b),
0
x (a,b)

.Cho
0
x
một số gia
x

sao cho
0
x x (a,b)
  
nếu
0 0
x 0 x 0
f(x x) f(x )
y
lim lim
x x
   
  


 

thì giới hạn đó
được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại
0
x
và viết
0
y f (x )
 

hoặc
0
dy
f (x )
dx

 .
Chú ý:
Từ
0 0
0
x 0
f(x x) f(x )
lim f (x )
x
 
  



0 0 0

f(x x) f(x ) f (x ) x O( x)

       

17
Nếu hàm số có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại đó.Đạo hàm của hàm số tại một điểm là
hệ số góc của tiếp tuyến với đường tại điểm đó.
2) Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử
u (x)
 
có đạo hàm tại
0
x
và
x 0
u (x )
 
 
,hàm
y = f(u) có đạo hàm tại
0 0
u (x )
 
là
u u 0
y f (u )
 


.Khi đó hàm hợp


y f (x)
 
có đạo hàm tại
0
x
và


x u 0 x 0
y f (x ) (x )
  
   ,hay gọn hơn
x u x
y f .u
  


3) Đạo hàm một phía : Nếu
0 0
0
x 0 0
f(x x) f(x )
lim f (x )
x
  
  


 

thì đó được gọi là
đạo hàm phải tại
0
x
. Còn nếu
0 0
0
x 0 0
f (x x) f(x )
lim f (x )
x
  
  

 

thì đó được gọi là
đạo hàm trái tại
0
x
.
4) Đạo hàm của hàm ngược
Giả sử y = f(x) có đạo hàm tại
0
x
là
0

f (x ) 0


và là hàm số có hàm ngược
x (y)
 
.Khi đó đạo hàm của
x (y)
 
tại
0 0
y f(x )

là
0
1
(y)
f (x )

 

.
ví dụ:Đạo hàm của một số hàm ngược
1.
y arcsin x


2
1
y

1 x




2.
y arccosx


2
1
y
1 x

 


3.
y arctgx


2
1
y
1 x




4.

y arccotgx


2
1
y
1 x

 


5.
a
y log x


lna
y
x


6. Đặc biệt :
y ln x


1
y
x



5) Quy tắc lấy đạo hàm
1.
 
U V U V

 
  

18
2.
(UV) U V UV
  
 

3.
2
U U V UV
V
V

 

 

 
 

§2:VI PHÂN
1) Định nghĩa

Từ
0 0 0
f(x x) f(x ) f (x ) x 0( x)

      
0 0
f(x ) f (x ) x 0( x)

     

Khi đó hàm f(x) được gọi là khả vi và
0
f (x ) x


gọi là vi phân của f(x) tại
0
x

Ký hiệu
0
dy f (x ) x

 

Đặc biệt nếu y = x thì
dx dy

nên ta có thể viết
dy y dx



.
Từ định nghĩa vi phân nên các quy tắc lấy vi phân tương tự như các quy tắc lấy đạo
hàm
2) Tính bất biến của vi phân: Giả sử có
dx (t)dt

 
và
t
dy y dt


với


y f (t)
 
Thì ta cũng có
t x t
dy y dt y x dt
  
 
nhưng
dx (t)dt

 
x
dy y dx


 
,như vậy biểu thức vi
phân không thây đổi khi biên độc lập hay biến hàm.Đó gọi là tính bất biến của
vi phân.

§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO
1) Định nghĩa các đạo hàm cấp cao:Giả sử hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn tại
x (a,b)

khi đó
y f (x)
 

cũng là một hàm số và giả sử nó cũng có đạo hàm,được gọi
là đạo hàm cấp hai. ký hiệu
2
2
d y
y f (x) hay
dx
 
 cứ tiếp tục như vậy thì ta có đạo hàm
cấp 2, 3,
n
(n) (n)
n
d y
y f (x) hay
dx

 hoặc
n
n
d f(x)
n 0,1,2,
dx

19
Quy ước
(0) (0)
y f (x) f(x)
 
2) Quy tắc tính đạo hàm cấp cao hoàn toàn tương tự như quy tắc đạo hàm cấp 1
Vi phân cấp cao:Giả sử
x
dy y dx


là vi phân của hàm f(x) trên (a, b) cũng là một hàm
số khả vi, vi phân của
x
dy y dx


được gọi là vi phân cấp hai (lưu ý dx là một số tùy ý
không phụ thuộc x):
2 2
x x
d(dy) d(y dx) d y y dx
 

   Cứ tiếp tục như vậy ta có các kết
quả của vi phân cấp cao và

n 1 (n 1) n 1 2 (n) n
x x
d(d y) d(y dx ) d y y dx
  
  
Lưu ý:Các vi phân cấp cao không còn tính bất biến
§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
1) Các định lý giá trị trung bình:
1. Bổ đề Fecma:Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và đạt giá trị lớn
nhất(nhỏ nhất) tại một điểm c trong (a, b).Nếu
f (c) f (c) 0
 
  

2. Định lý Roll :Giả sử hàm f(x) liên tục trên


a,b
và khả vi trong
(a,b)
,
f(a) f(b)

Khi đó
c (a,b) sao cho f (c) 0

  

Chứng minh: Do f(x) liên tục trên


a,b
nên đạt giá trị lớn nhất M và giá trị
nhỏ nhất m trên đoạn đó
 Nếu M = m thì
m f (x) M f (x) cosnt f (c) 0

     

 Nếu M > m,do f(a) = f(b) nên hàm số không thể đạt cả hai giá trị tại hai đầu
mút.Nên nó phải đạt ít nhất một trong hai giá trị đó tại
c (a,b)

,theo Fecma thì
f (c) 0


.
3. Định lý Lagrăng: Giả sử hàm f(x) liên tục trên


a,b
và khả vi trong
(a,b)
,
Khi đó
f(b) f(a)

c (a,b) sao cho f (c)
b a


  

.
20
Chứng minh: xét hàm
f(b) f(a)
F(x) f (x) f(a) (x a)
b a

   

thỏa mãn các điều kiện
của định lý Roll nên
c (a,b) sao cho F (c) 0

  
,tức là
f(b) f(a)
f (c) 0
b a


 


hay

f (b) f (a)
f (c)
b a




.
Chú ý:Nếu thay


a,b
bởi đoạn


x,x x f(x x) f(x) f (c) x

       
được gọi là
công thức số gia giới nội,ở đó
c x x
  
với
0 1
  

4. Định lý Cô si: G/sử hàm f(x) và g(x) liên tục trên


a,b

, khả vi trong
(a,b)

g (x) 0 x (a,b)

  
.Khi đó
f(b) f(a) f (c)
c (a,b) sao cho
g(b) g(a) g (c)


  



Chứng minh:xét hàm
 
f(b) f(a)
F(x) f(x) f(a) g(x) g(a)
g(b) g(a)

   

thỏa mãn các
Điều kiện của định lý Roll nên
c (a,b) sao cho F (c) 0

  
hay

f(b) f(a) f (c) f(b) f(a)
f (c) g (c) 0
g(b) g(a) g (c) g(b) g(a)

 
 
   

 

Chú ý: các số c được xác định là có trong các định lý trên và các định lý không chỉ ra
số lượng điểm c .
2) Công thức Taylo:
1. Công thức Taylo đối với hàm đa thức:Đối với đa thức
n
k
k
k 0
p(x) a x




đều viết được dưới dạng
n
k
k
k 0
p(x) c (x a)


 

trong đó
(k)
k
f (a)
c k 0,n
k!
 
2. Công thức Taylo đối với hàm bất kỳ:
Cho một hàm f(x) xác định trên (a, b) (hữu hạn hoặc vô hạn) và có đạo hàm đến
21
cấp n + 1 tại
0
x (a,b)

.Khi đó
2 3
0 0 0
0 0 0 0
f (x ) f (x ) f (x )
f(x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x )
1! 2! 3!
  
       
+

(n)
n

0
0
f (x )
(x x )
n!
  +
(n 1)
n 1
0
f (c)
(x x )
(n 1)!





được gọi là công thức Taylo của f(x) tại
0
x
,trong đó c nằm giữa
0
x
và x.
Đặt
(n 1)
n 1
n 0 n
n
f (c)

r (x x ) lim r 0
(n 1)!



   

vì khi
n
 
thì
0 0
x x c x
  

n
r
được gọi là phần dư Taylo,khi đó có thể viết lại công thức Taylo
(n)
2 n n
0 0 0
0 0 0 0 0
f (x ) f (x ) f (x )
f(x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x ) 0 (x x )
1! 2! n!
 
 
         
 

Chú ý: Nếu
0
x 0

thì khai triển Taylo còn gọi là khai triển Macloranh
3. Một số khai triển Macloranh hàm sơ cấp cơ bản
a)
2 n
x
x x x
e 1
1! 2! n!
     

b)
3 5 2n 1 2n 1
n n
n 0
x x x x
sinx x ( 1) ( 1)
3! 5! (2n 1)! (2n 1)!
 

        
 


c)
2 4 2n 2n
n n

n 0
x x x x
cosx 1 ( 1) ( 1)
2! 4! (2n)! (2n)!

        


d)
3 5 2n 1 2n 1
n n
n 0
x x x x
arctgx x ( 1) ( 1)
3 5 2n 1 2n 1
 

        
 


e)
 
2 3 n
x x x
ln 1 x x
2 3 n
 
       
 

 
 

f)
n 1
n
n 0
x
ln(1 x) ( 1)
n 1



  





22

§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
1)Khảo sát hàm số:Việc khảo sát hàm số ta thực hiện như trong chương trình đã
học ở phổ thông trung học,nhưng lưu ý khi xét cực trị của hàm số mà gặp trường
hợp các đạo hàm của hàm số thỏa mãn
(k)
0
f (x ) 0

với

k 1,n 1
 
,thì ta xét theo
kết quả:
2)Định lý : Hàm f(x) xác định tại
0
x (a,b)

và
(k)
0
f (x ) 0

với
k 1,n 1
 

và
(n)
0
f (x ) 0

.Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị, nếu n chẵn thì hàm số có cực
trị tại
0
x
:
 Khi
(n)
0

f (x ) 0

thì hàm số có cực đại tại
0
x

 Khi
(n)
0
f (x ) 0

thì hàm số có cực tiểu tại
0
x

Chứng minh : Trong khai triển Taylo của hàm f(x) tại
0
x
ta có
(n)
2 n n
0 0 0
0 0 0 0 0
f (x ) f (x ) f (x )
f(x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x ) 0 (x x )
1! 2! n!
 
 
         
 

(n)
n
0
0 0
f (x )
f(x) f(x ) (x x )
n!
  
 Nếu n lẻ thì
n
0
(x x )
 đổi dấu khi x biến thiên qua
0
x
dẫn đến
0
f(x) f (x )

đổi dấu khi x biến thiên qua
0
x

 Nếu n chẵn thì
n
0
(x x )
 nguyên mội dấu khi x biến thiên qua
0
x

dẫn đến
0
f(x) f (x )

giữ nguyên một dấu:

(n)
0
f (x ) 0

thì
0
f(x) f (x )

,hàm đạt cực đại tại
0
x


(n)
0
f (x ) 0

thì
0
f(x) f (x )

, hàm đạt cực tiểu tại
0
x

3) Khử các dạng vô định
0
0
:
23
1. Định lý:Các hàm f(x) và g(x) xác định trên


a,b
,có các đạo hàm
f (x);g (x)
 

hữu hạn, trong đó
g (x) 0


và
x a x a
lim f (x) lim g(x) 0
 
 
.Đặc biệt
x a
f (x)
lim K
g (x)





.
Khi đó

x a x a
f(x) f (x)
lim lim K
g(x) g (x)
 

 


Chứng minh:Theo Côsi ta có
f(x) f (x) f(a) f (c)
g(x) g(x) g(a) g (c)


 


trong đó a < c < x
Khi
x a

thì
c a

nên

x a c a
f(x) f (c)
lim lim K
g(x) g (c)
 

 


Nếu vai trò của
f (x);g (x)
 
cũng như các hàm f(x) và g(x) thì ta có kết quả tương tự.
Tức là
x a x a
f(x) f (x)
lim lim K
g(x) g (x)
 

 

và quá trình này tiếp tục nếu các điều kiện của giả
thiết được thỏa mãn.
2. Chú ý: Khi
f(x)
g(x)
có dạng
khi x a




thì ta đã biết
1
f(x)
và
1
g(x)
là các
VCB
khi x a

.Nên ta lại quay về dạng
0
0
.







24

CHƯƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

1) Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x),nếu

F (x) f(x)


.Nhưvậy F(x) + C sẽ là họ nguyên hàm của f(x),với
C const

.Khi đó
phép toán tìm họ nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm f(x)
và viết

f(x)dx F(x) C
 


2) Các tính chất (Tự đọc)
3) Phương pháp tính
1. Đổi biến số: đặt
x (t) dx (t)dt

    
thì


f(x)dx f (t) (t)dt

  
 

2. Tích phân từng phần:
UdV UV VdU

 
 

3. Tích phân truy hồi: thực tế là giải phương trình tích phân,ví dụ như tính
tích phân

x
I e sinxdx



4) Bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản:(Tự đọc)
Một số nguyên hàm khó nhớ
1.
2 2
dx 1 a x
ln C a 0
2a a x
a x

  




2.
2 2
dx 1 x a
ln C a 0
2a x a

x a

  




25
3.
2 2
dx x x
arcsin C arccos C
a a
a x
    



4.
2 2
2 2
dx
ln x x a C (a 0)
x a
    



5.
2

2 2 2 2
x a x
a x dx a x arcsin C (a 0)
2 2 a
     


6.
2
2 2 2 2 2 2
x a
x a dx x a ln x x a C
2 2
      


5) Một số dạng tích phân hàm thực
1. Tích phân dạng
1
2
dx
I
ax bx c

 


Cách giải
2
2

2
b b 4ac
ax bx c a x
2a 4ac
 

 
    
 
 
 
 
 


2 2 2
dx du
I a
ax bx c u k
  
  
 
trong đó
2
2
b b 4ac
x u; k
2a 4ac

   

2. Tích phân dạng:
 
2
2 2
A Ab
(2ax b) B
Ax Bx dx
2a 2a
I dx
ax bx c ax bx c
 
  
 

 
 
   
 


2
2 2
A d(ax bx c) Ab dx
B
2a 2a
ax bx c ax bx c
 
 
  

 
 
   
 

Ví dụ:
2
2 2 2
(x 3)dx 1 d(x 2x 5) dx
I 4
2
x 2x 5 x 2x 5 x 2x 5
  
  
     
  

 
2
2
2
1 d(x 1)
ln x 2x 5 4
2
(x 1) 6

   
 
 
 

 

2
1 6 x 1 6
ln x 2x 5 ln C
2 3
x 1 6
 
    
 

3. Tích phân dạng:
3
2
dx
I
ax bx c

 
