PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TRONG BĐT

ỨNG DỤNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Xét phương trình bậc ba:
32
xmxnxp0

(*)
Đặt:
m
xy
3

;
23
m2m9mn27p
n;
327


. Ta thu được phương trình
3
yy0

(**)
Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị
3
(C):f(y)yy

với trục hoành
Ta có:
2

f'(y)3y


Nếu
0

thì
f'(y)0, y

nên phương trình (**) có đúng 1 nghiệm
Nếu
0

thì phương trình (**) có nghiệm bội ba.
Nếu
0

thì
f'(y)0

có hai nghiệm
12
y; y
33


 
12
22
fy, fy

3333



Suy ra
   
323
2
12
4274
fy.fy
2727


.
Do đó, ta có:

Phương trình (**) có ba nghiệm khi và chỉ khi:




32
12
fy.fy04270

.
Hay là:



3
32
27p2m9mn2m3n

(1).
Từ nhận xét trên ta thấy:
Với ba số thực
a,b,c
. Đặt
m(abc), n(abbcca), pabc

. Khi đó
a,b,c
là
ba nghiệm của phương trình :
32
xmxnxp0

.
Và
m,n,p
thoả bất đẳng thức (1).
Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau:
1) Cho
m0

khi đó (1) trở thành:
3223
4
4n27p0pn

27


Ví dụ 1. Cho các số thực
a,b,c
không đồng thời bằng 0 thỏa
abc0

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
222
2223
13abc2abc2
P
(abc)



.
Lời giải. Đặt
nabbcca, pabc


Suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình :
3
xmxn0

(4)

Ta có:
2332
427
pnnp
274

.
Do đó:
2
2322
271
13p2p22n13p2p2pp10
22












Suy ra:


3
23222

13p2p22n13abc2ab22abbcca

Mà:


2222
1
(abc)0abbccaabc
2


Dẫn tới:


3
222222
11
13abc2abc2abcP
44

.
Đẳng thức xảy ra
n2
a,b,c
m3











là ba nghiệm của phương trình
32
x3x20(x1)(x2)0x1,x2


Vậy
1
maxP
4

đạt được khi
(a,b,c)(1,1,2)

và các hoán vị.
Ví dụ 2. Cho các số thực
a,b,c
có tổng bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


 
5
222222
Pabc32abbccaabc8abc

.

Lời giải.
Đặt
nabbcca, pabc


Suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình :
3
xnxp0

(4)
Ta có:
233232
42727
pnnpnp
2744

.
Vì
222
abc0abc2(abbcca)2nn0

.
Do đó:
5252
P32n32np8p32(n)(n)p8p







3
3
64np8p854pp









.
Xét hàm số
3
f(t)54tt,t0

ta có:
2
2
f'(t)162t1,f'(t)0t
18

.
Lập bảng biến thiên ta có
t0
22

minf(t)f
1827















Suy ra
82
P
27

. Đẳng thức xảy ra khi
3
2
p
18
1
n
24


















hay
a,b,c
là nghiệm của phương trình
2
3
333
33
121212
tt0tt0t,t
18
99
24
6363




























.
Vậy
82

minP
27

. Đạt được khi
3
3
12
ab,c
9
63
 và các hoán vị.
2) Cho
2
nkm

, khi đó (1) trở thành:
 
3
33
27p(29k)m2m13k

.
Ví dụ 3. Cho các số thực
a,b,c
thoả
222
abc2(abbcca)

. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

 
3
4
1
Pabcabc
(abc)

.
Lời giải.
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc

, suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương
trình
32
tmtntp0


Từ giả thiết ta suy ra:
   
2
2
m
abc4abbccan
4
 .
Suy ra
3

3
33
m
m
27p108pmm
44


332
p(54pm)0pm54p


Do đó:
322222
3
4444
1111
Ppm54p27p27p327p.27p27
pppp
 (đpcm).
Đẳng thức xảy ra
2
2
4
3
m
n
4
1
27p

p
54pm
























, chẳng hạn ta chọn
3
3
1

p
3
m183
972
n
4

























hay
a,b,c
là nghiệm của
phương trình:
2
3
3
3
3
32
97211834
t183tt0tt0
46
33




























.
Vậy
minP27

đạt được khi
3
3
1834
ab,c
6
3
 và các hoán vị.

Ví dụ 4. Cho các số thực
a,b,c
thoả





222
2abc5abbcca

. Chứng minh rằng:
 
2
3
1
abcabc10
27

.
Lời giải.
Đặt


mabc,nabbcca,pabc

ta suy ra
a,b,c
là ba nghiệm của phương
trình :
32
xmxnxp0

.
Từ giả thiết ta suy ra:



22
2
2m2n5nnm
9


Mặt khác:


3
32
27p2m9mn2m3n
 nên suy ra
62
3262
3
mp
27p227.p4m27m
274


Do đó:
 
2
2
3
1p
abc
274


Ta chứng minh:
2
2
3
3
pp
p110
42











(luôn đúng).
Đẳng thức xảy ra khi
2
p2
p2
m27m33
n6n6

























, hay
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình
22
t33t6t20

.
3) Xét
2
m3nc


, c là hằng số cho trước.

Ví dụ 5. Cho các số thực
a,b,c
thoả
222
abcabbcca4

. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:






2
P18abbccaabbccaabc489abc
 .
Lời giải.
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc


Từ giả thiết ta suy ra:





2
2
abc3abbcca4m3n4

.
Mặt khác :


3
32
27p2m9mn2m3n


Suy ra


27p2m3n49mn1827p3mn8m16



8m16
mn9p
3



Mặt khác:









2
P18abbcca48abbccaabbccaabc9abc








2
23abbcca4abbccaabc9abc16












2

2abcabbccaabc9abc16




444
8m161
2mmn9p162m166m8m64
33

.
Xét hàm số
4
f(m)6m8m64

, ta có:
3
3
1
f'(m)24m8f'(m)0m
3
 .
Suy ra
 
33
16
fmf64
33













. Nên
3
12
P64
3
3












.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3
3
3
1
m
3
11
n4
3
9
1447
p
99
3




















































, suy ra
a,b,c
là nghiệm của phương
trình :
32
333
1111447
tt4t0
399
393












.
Vậy
3
12

minP64
3
3












.
Ví dụ 6. Cho các số thực
a,b,c
thoả
222
abcabbcca1

. Chứng minh rằng:


2
2
(abc)43abbcca18abc

.

Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với


2
2
P(abc)3abbcca18abc4

(*)
Đặt
m(abc), nabbcca, pabc


Từ giả thiết ta suy ra:




2
2
abc3abbcca1m3n1


Mặt khác :


3
32
27p2m9mn2m3n

Suy ra

323
27p2m3m(m1)227pm3m2



3
27pm3m2


Do đó:


222223
3P3m9n54p3m(m1)2m3m2


43222
m2m5m6m3(mm3)1212

.
Đẳng thức xảy ra khi


2
2
3
mm30
m1
n
3

1
pm3m2
27























, ta chọn
113
m
2

513
n
6
1113
p
54





























Hay
a,b,c
là ba nghiệm của phương trình
32
1135131113
ttt0
2654


.
Vậy
maxP12

.
Ví dụ 7. Cho các số thực dương
a,b,c
thoả


3
abc32abc
 . Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:


444

4
abc
P
abc



.
Lời giải.
Chuẩn hoá
abc2abc4

. Đặt
nabbcca

, suy ra


3
18n91163n

32
3n12n108n4650


2
155
(n5)(3n3n93)05n
2



.
Mặt khác:




2
444222222222
abcabc2abbcca



 


2
22
162n2n162n64n288


Nên




4442
11
Pabcn32n144
256128



Vì hàm
2
f(n)n32n144

nghịch biến trên
551
5;
2






nên ta suy ra
19
maxPf(5)
128128

và
15513831655
minPf
12822















.