ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2009
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (262.15 KB, 6 trang )
Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009
_________________________________________________
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2008-2009
____________________________________________________________________________
Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
1 1 2
1 2xy
1 2x 1 2y
2
x 1 2x y 1 2y
9
Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số
n
x
xác định như sau:
1
2
n 1 n 1 n 1
n
1
x
2
x 4x x
x
2
Xét dãy số
n
n
2
i 1
i
1
y
x
. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho
ACB a
o
0 a 180
không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của
tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và
N .
a) Chứng minh độ dài MN không đổi .
b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 4. (3điểm)
Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương,
n n n
a b c
là số nguyên. Chứng minh
rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba
3 2
x px qx r 0
.
Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2
phần tử a,b nào thỏa mãn
a b 1;n
(chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên) .
____________________________________________________________________________
Copyright by Ly Tu Trong official website
HNG DN GII THI HC SINH GII QUÔC GIA MÔN
TOÁN NM 2009
Bài 1 Gii h phng trình:
+ =
+
+ +
− + − =
Gii
+) K:
+ >
≤ ≤
− ≥ ⇔
≤ ≤
− ≥
+) Vi iu kin trên ta có
≤
và
≤
= + ≥ > <
+
+ +
+) Mt khác
∀ ∈
và
<
ta luôn có bt ng thc sau:
+ ≤
+
+ +
.
Tht vy bt ng thc (*)
⇔ + + − ≤
+ + +
+ +
Theo bt ng thc B.C.S ta có
+ + ≥ +
≤
+
+ +
⇔ − ≤
+
+ +
Mt khác ta có:
− −
+ − = ≤
+ + + + + +
, vì
∈
và
<
.
Do ó
+ + − ≤
+ + +
+ +
luôn úng
∀ ∈
và
<
.
+) Vì
≤ ≤
,
≤ ≤
và
<
.
Áp dng BT (*) cho
= = ta có:
+ ≤
+
+ +
ng thc xy ra
⇔ =
+) Vy h phng trình ban u
=
=
⇔ ⇔
− + − =
− + =
+) Gii h này và i chiu vi các iu kin ta có hai cp nghim (x; y) nh sau:
GV: Phm Vn Quý
Trng THPT chuy
ên Quang Trung
Tnh Bình Phc
+ +
;
− −
.
+) Kt lun: H có hai nghim là
+ +
và
− −
.
Bài 2 Cho dãy s
:
− − −
=
+ +
=
,
∀ ≥
. Chng minh rng dãy
(
)
vi
=
=
có gii hn hu hn khi
→ ∞
và tìm gii hn ó.
Gii
+) T gi thit ta có
> ∀ ≥
.
Khi ó
− − − − − −
−
− −
− − −
+ + + −
− = − = = >
+ +
,
∀ ≥
.
Do ó
(
)
là dãy s tng
+) Gi s
(
)
= >
và ta có
+ +
= ⇔ =
, (vô lí).
Vy
→ ∞
khi
→ ∞
.
+) Mt khác ta có
− − −
+ +
=
,
∀ ≥
−
= +
−
− = ∀ ≥
Do ó
=
−
= = + − + − + + − = + − = −
,
∀ ≥
.
+) T trên ta có
< ∀ ≥
, (vì
> ∀ ≥
). Mt khác
− −
= + >
. Do ó
(
)
là dãy
tng và b chn trên hay
(
)
có gii hn hu hn khi
→ ∞
.
+) Ta có :
→∞ →∞
= − =
, (vì
→ ∞
khi
→ ∞
).
+) Kt lun :
→∞
=
.
Bài 3 Trong mt phng cho hai im c nh A, B (A
≠
B). Mt im C di ng trên mt phng
sao cho
α
=
không i
(
)
α
< <
. ng tròn tâm I ni tip tam giác ABC và tip
xúc vi AB, BC, CA ln l t ti D, E, F. Các ng thng AI, BI c!t ng thng EF ln l t
ti M và N.
a) Chng minh rng on thng MN có dài không i.
b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh.
Gii
a) Chng minh rng on thng MN có dài không i.
+) Ta có
−
= = = + =
ANFI là t giác ni tip
= =
và
= =
+) Mt khác ta có
∆ ∆
, (g-g)
α
−
= = =
, (vì
=
).
α
−
=
không i khi C thay i, (pcm).
α
αα
α
I
N
M
F
E
D
C
BA
Chú ý : Bài toán có mt s trng hp khác nhau v hình v, các bn t v hình nhé. Tuy nhiên cách chng
minh không có gì thay i.
b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh.
Cách 1:
+) Gi K là trung im ca AB ta ã có
=
= =
= + = =
, (1).
+) Mt khác t
∆ ∆
câu (a) ta có
= =
, (2).
IMEB là t giác ni tip
= =
IMBD cng là t giác ni tip vì
+ =
.
=
, (3).
+) T (2) và (3)
= + = + =
, (4).
+) T (1) và (4)
=
t giác NKDM ni tip hay ng tròn ngoi tip tam giác
DMN luôn i qua im K c nh, (pcm).
Cách 2
Theo trên ta có
= =
D, M, N ln l!t là chân ng cao k" t các #nh ca tam giác
ABI nên (DMN) chính là ng tròn Euler ca tam giác ABI. Do ó ng tròn này phi i qua
trung im ca K ca AB. Vì AB c nh nên K c nh. (pcm).
Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u kin: vi m$i s nguyên dng n,
+ +
là mt s nguyên. Chng minh rng t%n ti các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba
nghim c&a phng trình
+ + + =
.
Gii
+) Gi s t$n ti các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo nh lí Viet ta có :
+ + = −
+ + =
= −
+) Nh vy chng minh bài toán ta ch# cn chng minh
+ + ∈
+ + ∈
∈
+) Hin nhiên
+ + ∈
, (1). Vì theo gi thit
+ + ∈ ∀
.
+) Vì
+ + ∈ ∀
+ + ∈ + + ∈
,
+ + ∈ + + ∈
+) Ta s% i chng minh
∈
. Tht vy:
Ta có
+ + = + + − + +
+ + ∈
Ta có
+ + = + + − + +
+ + ∈
Ta có
+ + − = + + + + − − −
+ + − = + + + + − + +
= + + − + + + + − + +
∈
Ta có
+ + − = + + + + − − −
+ + − = + + + + − + +
= + + − + + + + − + +
∈
T các d kin
∈
và
∈
∈
, (2).
+) Ta s% i chng minh
+ + ∈
. Tht vy:
Ta có
(
)
+ + = + + + + +
(
)
+ + = + + + + +
(
)
+ + ∈
T các d kin
+ + ∈
và
(
)
+ + ∈
+ + ∈
, (3).
+) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c chng minh.
Bài 5 Cho s nguyên dng n. Kí hiu T là t'p h p g%m 2n s nguyên dng u tiên.
H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n ti các s a, b mà
{
}
− ∈ .
Lu ý Tp rng c coi là tp con có tính cht nêu trên.
Gii
(Li gii bài 5 c tham kho ti )
+) Trc ht ta xét bài toán sau :
Cho 2 hàng
im
trên và
di. Các im cp im
−
,
−
,
!c ni vi nhau, ngoài ra
và
cng !c ni vi nhau. Tính s cách chn ra mt s im mà không
có hai
im nào !c ni vi nhau.
+) G
i
là s cách chn th&a mãn iu kin trên, nhng có th cha c
và
. Gi
là s cách chn
th
&a mãn nhng không cha im nào trong 4 im
. Gi
là s cách chn th&a mãn nhng
ch
a úng 1 im trong 4 im trên. Gi
là s cách chn th&a mãn nhng cha úng 2 im
hoc
. Gi
là s cách chn nhng cha úng 2 im
hoc
.
Khi
ó ta có
= + + +
và s cách chn th&a mãn bài toán là
−
.
+) D
' dàng lp công thc truy h$i cho
là :
+ −
=
=
= +
.
+) M
t khác ta có:
−
=
, (1)
− −
= −
, (2)
− −
= +
và
− −
= +
, (3).
T
(1) và (2) suy ra
− − − −
+ = − − − =
, (4).
T
(3) suy ra
− −
− = − −
. T ây d' dàng suy ra
−
− = −
, (5).
T
(4) và (5) ta có
−
= + −
.
V
y ta có s dãy th&a mãn là
−
−
− + −
− =
Cu
i cùng thu !c kt qu là
(
)
(
)
(
)
(
)
− −
−
+ + + − − + −
+) Tr
li bài toán ang xét nu ta coi im
!c g(n s n + i và im
!c g(n s i thì ta có kt qu
c
a bài toán s 5.
H
t
