các bài toán thường gặp về đồ thị ôn thi đh - trần đình cư

TRUNG TAM GIA Sệ ẹặNH CAO CHAT LệễẽNG
SẹT: 0978421673-TP HUE
CHUYấN

HM S

12
LUY
N THI
T
T NGHIP TRUNG HC PH THễNG, I HC, CAO NG
Hueỏ, thaựng 7/2012
* Bi
n lun s nghim phng trỡnh
* Phng tr
ỡnh ti
p tuyn
* Tng giao, ti
p xỳc v h ng cong
* i
m c bit, khong cỏch
, tõm-tr
c i
x
n
g
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ

ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
1
M
ỤC LỤC
V
ấn đề 1:
D
ựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
V
ấn đề 2:
Ti
ếp tuyến của đồ thị hàm số
 D
ạng 1:
Vi
ết ph
ương trình tiếp tuyến tại điểm M
 D
ạng 2:
Vi
ết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
 D
ạng 3:
Vi
ết phương trình đi qua điểm
A cho trư

ớc
 D
ạng 4:
Tìm nh
ững điểm trên đồ thị
 
: ( )C y f x
sao cho t
ại đó tiếp tuyến
c
ủa (C) song song hoặc vuông góc với một
đường thẳng d cho trước
 D
ạng 5:
Tìm nh
ững điểm trên đường thẳng d hoặc trên (C) mà từ đó kẻ được
1,2,3 ti
ếp tu
y
ến với đồ thị
 Dạng 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị
(C): y = f(x) và 2 ti
ếp tuyến đó vuông góc với nhau
 D
ạng 7:
L
ập tiếp tuyến chung của hai đồ thị
 D
ạng 8:
S

ự tiếp xúc của
đư
ờng cong
 D
ạng 9:
M
ột số dạng khác về tiếp tuyên
M
ột số bài toán chọn lọc về tiếp tuyến
V
ấn
đ
ề 3: Vẽ đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt đối
 D
ạng 1:
T
ừ đồ thị hàm số
( ): ( )C y f x
v
ẽ đồ thị hàm số
( '): ( )C y f x
 D
ạng 2:
T
ừ đồ thị hàm số
 
ax
xU
y



(C) hãy v
ẽ đồ thị
hàm s
ố
(C
’
)
 
ax
xU
y


ho
ặc
 
ax
xU
y


 D
ạng 3:
Cho hàm s
ố
 
xfy 
(C) hãy v
ẽ đồ thị hàm số (C’) :

 
y f x
 D
ạng 4:
Cho hàm s
ố
 
xfy 
(C) hãy v
ẽ
đồ thị hàm số (C’)
 
y f x
V
ấn đề 4: Sự tương giao của đồ thị
V
ấn đề 5: Điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số
 D
ạng 1:
Tìm
đi
ểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên
 D
ạng 2:
Tìm c
ặp điểm trên đồ thị
(C):y=f(x) đ
ối xứng qua đường thẳng
y=ax+b
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ

ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
2
 D
ạng 3:
Tìm c
ặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x
) đ
ối xứng qua điểm I(a;b)
V
ấn đề 6: Họ đường cong
 D
ạng 1:
Tìm
đi
ểm cố định của họ đường cong
 D
ạng 2:
Tìm
điểm họ đồ thị không đi qua
 Dạng 3: Tìm điêmt mà một số đồ thị của họ đồ thị đi qua
Vấn đề 7: Tâm đối xứng -Trục đối xứng
V
ấn đề 8: Khoảng cách

 D
ạng 1:
Đ
ối với hàm phân thức hữu tỉ
 D
ạng 2:
Cho đ
ồ thị (C) có phương trình y=f(x). Tìm trên (C) điểm M thỏa
đi
ều kiện K
 D
ạng 3:
Cho đư
ờng cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I
trên (C) sao cho kho
ảng cách từ I đến d là ngắn nhất .
 D
ạng 4:
Cho đư
ờn
g cong (C) có phương tr
ình y=f(x) và đường thẳng d :
y=kx+m. Tìm m
đ
ể d cắt (C) tại hai
điểm A,B sao cho :
 AB là h
ằng số a
 AB ng
ắn nhất .

Luy
ện tập
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
3
V
ấn đề 1:
D
ựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Khi đó (1) có th
ể xem là phươn
g trình hoành
độ
giao đi
ểm của hai đường:
( ): ( ); :C y f x d y m 
 d là đư
ờng thẳng cùng ph
ương v
ới trục
hoành.
 D

ựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
c
ủa (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Th
ực hiện t
ương tự như trên, có thể đặ
t
( )g x k
.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
BÀI T
ẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm s
ố
3 2
1
3 3
3
y x x x   
a) Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Bi
ện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
1
3 0
3
x x x m   
Hư
ớng dẫn:

a) B
ảng biến
thiên Đ
ồ thị:
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ
y
CT
x
A
c.
D
ạng 1
:
( , ) 0 ( )F x m f x m  
(1)
D
ạng 2
:

( , ) 0 ( ) ( )F x m f x g m  
(2)
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
4
b)
3 2 3 2
1 1
3 0 3 3 3
3 3
x x x m x x x m          
S
ố nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
3y m  

9m 
ho
ặc
5
3
m 
: phương tr
ình có 1 nghiệm

 m=9 ho
ặc
5
3
m 
: phương tr
ình có 2 nghiệm

5
9
3
m 
: phương tr
ình có 3 nghiệm
Bài 2. Cho hàm s
ố
2
1
x
y
x



có đ
ồ thị (C)
a) Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Bi
ện luận

theo m s
ố nghiệm của phương trình
1 2m x x  
Hư
ớng dẫn:
a) B
ảng biến thiên và đồ thị:
b)
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
5
Bài 3. Cho hàm s
ố
y = x
4
– 4x
2
+ 3
1.Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
2.Tìm a đ
ể phương trình :

03log4
3
24
 axx
có 4 nghi
ệm thực
phân
bi
ệt .
Hư
ớng dẫn:
Phương tr
ình tương đương với
x
4
– 4x
2
+ 3 =
a
3
log
Theo đ
ồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương
1
a
3
log
< 3

1log

3
a
1log1
3
 a

1
3
3
a 
Bài 4. Cho hàm số
4 2
5 4,y x x  
có đồ thị (C)
1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m
để phương trình
4 2
2
| 5 4 | logx x m  
có 6 nghi
ệm
phân bi
ệt.
Hư
ớng dẫn
:
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L

ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
6
9
4
4
12
9
log 12 144 12
4
m m   
Bài 5. Cho hàm s
ố:
4 2
6 5y x x  
1. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
2. Tìm m
để phương trình:
4 2
2
6 log 0x x m  
có 4 nghi
ệm phân biệt trong
đó 3 nghi

ệm lớn hơn
– 1.
Hư
ớng dẫn
:
Pt  x
4
– 6x
2
+ 5 = 5 + log
2
m
Nhìn vào
đ
ồ thị ta thấy yêu cầu bài toán

2
1
0 5 log 5 1
32
m m     
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Cho hàm s
ố
4 2
2 1y x x  
có đ
ồ
thị (C)

1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. D
ựa vào đồ thị
(C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương
trình
4 2
2 0 (*)x x m  
Bài 2. Cho hàm s
ố
3 2
3y x x  
1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Dùng (C) tìm k để phương trình :
3 2 3 2
3 3 0x x k k    
có 3 nghiệm
phân bi
ệt.
Bài 3. Cho hàm s
ố
3
2y x mx m   
, v
ới m
là tham s
ố
1. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =3.

2. D
ựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm
c
ủa
3
3 1 0x x k   
Bài 4 . Cho hàm s
ố
3 2
3 1y x x  
1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. D
ự
a vào đ
ồ
thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
sau:
3 2
3 1
2
m
x x  
.
.
.
.
.
x
o

y
4
5
1-1
.
.
.
.
.
x
o
y
4
5
1-1
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
7
Bài 5 . Cho hàm s
ố
4 2
2 3 ( )y x x C   

1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Tìm m
để p
hương tr
ình
4 2
2 0x x m  
có 4 nghi
ệm phân biệt
BÀI T
ẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1 . Cho hàm s
ố
3
3 1 ( )y x x C  
a. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b. Bi
ện luận theo m số nghiệm của phương trình:

3
3 0x x m  

3
3 1 2x x m  
Bài 2.
a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
4 2

1
2 3
2
y x x  
b) Bi
ện luận theo m số nghiệm của ph
ương trình
4 2
1
2 0
2
x x m  
c) Tìm k
để phương trình
4 2
4 6 2x x k  
có 6 nghi
ệm phân biệt
Bài 3.
a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số sau:
2 4
3
x
y
x




b) Bi
ện luận theo m số ng
hi
ệm của ph
ương trình

2 2 3 0x m x   

2 3x m x  
Bài 4. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ
đ
ồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận
theo m s
ố nghiệm của ph
ương trình:
a)
3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m      
b)
3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m       
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần

Đình Cư
8
c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0y x x x x m m       
d)
3 3
3 1; 3 4 0y x x x x m       
e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m       
f)
4 2 4 2
2 2; 2 2 0y x x x x m      
Bài 5. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra
đ
ồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận
theo m s
ố nghiệm của phương trình:
1.
3 2 3 2 3 2
( ): 3 6; ( ): 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m          
2.
3

3 2 2
( ): 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4;C y x x x T y x x x       
3
2
2 9 12 0x x x m   
3.
2 2 2 2
( ): ( 1) (2 ); ( ): ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m          
Bài 6. Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x

 

.
a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Vi
ết ph
ương tr
ình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
3 0x y 
.
c) Dùng đ
ồ thị (C), biện luận số nghiệm của
2

3 ( 2) 2 0x m x m    
Bài 7. Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x

 

.
a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c
ủa hàm số.
b) Vi
ết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
2 0x y 
.
c) Dùng đ
ồ thị (C),
bi
ện luận theo m số nghiệm của
2
2 ( 1) 1 0x m x m    
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ

Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
9
V
ấn đề 2
: Ti
ếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương pháp: Vi
ết phương
trình ti
ếp tuyến

c
ủa (C): y =f(x) tại điểm
 
0 0 0
;M x y
:

N
ếu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0

).
 N
ếu cho y
0
thì tìm x
0
là nghi
ệm của
phương tr
ình f(x) = y
0
.

Tính y

= f

(x). Suy ra y

(x
0
) = f

(x
0
).

Phương tr
ình tiếp tuyến


là: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)
* Chú ý:
- Đi
ểm
 
0 0 0
;M x y
đư
ợc gọi là tiếp điểm
-
0
x
là hoành đ
ộ tiếp điểm và
0
y
là tung đ
ộ tiếp điểm
- Điểm
M Ox
thì tọa độ của M là
 

;0M x
; điểm
M Oy
thì tọa độ của M là
 
0;M y
VÍ D
Ụ:
Vi
ết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x  
1. T
ại
đi
ểm
(2; 2)
2. T
ại
điểm có hoành độ
1x  
3. Tại điểm có tung độ
2y  
4. Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng
1y x 
.
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Vi
ết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):
3 2
3 7 1y x x x   
t
ại A(0; 1)
b) (C):
4 2
2 1y x x  
t
ại B(1; 0)
c) (C):
3 4
2 3
x
y
x



t
ại C(1;
–7) d)(C):
2
1
2 1
y x
x
  

t

ại D(0; 3)
Bài 2. Vi
ết ph
ương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
D
ẠNG 1: VIẾT PH
ƯƠNG
TRÌNH TI
ẾP TUYẾN TẠI
ĐI
ỂM M(x
0;
y
0
)
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
10
a) (C):
2
3 3
2
x x

y
x
 


t
ại điểm A có
4
A
x 
b) (C):
3( 2)
1
x
y
x



t
ại
đi
ểm B có
4
B
y 
c) (C):
1
2
x

y
x



t
ại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C):
3
3 1y x x  
t
ại điểm uốn của (C).
e) (C):
4 2
1 9
2
4 4
y x x  
t
ại các giao
đi
ểm của (C) với trục hoành.
Bài 3. Vi
ết ph
ương tr
ình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường
đư
ợc chỉ ra:
a) (C):
3 2

2 3 9 4y x x x   
và d:
7 4y x 
.
b) (C):
3 2
2 3 9 4y x x x   
và (P):
2
8 3y x x   
.
c) (C):
3 2
2 3 9 4y x x x   
và (C’):
3 2
4 6 7y x x x   
.
Bài 4. Cho hàm s
ố
3 2
2 3 12 1y x x x   
có đ
ồ thị (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị
(C) bi
ết tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ
.
Hư
ớng dẫn:
 

 
 
0 0
2 3 2
0 0 0 0 0 0
0 0
M ; ( ), Phöông trình tieáp tuyeán taïi M:
y= 6 6 12 2 3 12 1
Tieáp tuyeán ñi qua O(0;0) neân 1 12
x y C
x x x x x x x
x y

      
   
BTTT: Tìm m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
   
3 2
1 3 1 2y x m x m x m      
t
ại
điểm có hoành độ bằng 1 đi qua
 
2; 1A 
.
Đáp s
ố:
2m  
Bài 6. Tìm m đ

ể tiếp tuyến của
đ
ồ thị (C)
t
ại
đi
ểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ
m
ột tam giác có diện tích bằng S cho trước:
a) (C):
2
1
x m
y
x



t
ại điểm A có
2
A
x 
và S =
1
2
.
b) (C):
3
2

x m
y
x



t
ại điểm B có
1
B
x  
và S =
9
2
.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
11
c) (C):
3
1 ( 1)y x m x   
tại điểm C có

0
C
x 
và S = 8.
Hư
ớng dẫn câu a)
2 4
A A
x y m   
và
'(2) 2f m  
. Phương tr
ình tiếp tuyến tại
 
2;4A m
có
d
ạng
     
: 2 2 4y m x m      
.
 
Δ Δ
22
8 3 1 1
3 8;0 ; 0; .Ta coù:S .
9
2 2 2
3
OAB

m
m
Ox A m Oy B OA OB
m
m

 
 


       
 


 
 


Bài 7 . Tính di
ện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
đi
ểm được chỉ ra: (C):
5 11
2 3
x
y
x




t
ại điểm A có
2
A
x 
.
Câu 8. Cho hàm s
ố
2 3
.
2
x
y
x



Cho M là đi
ểm bất kì trên (
C). Ti
ếp tuyến của (
C)
t
ại
M c
ắt các đường tiệm cận của (
C) t
ại
A và B. G
ọi

I là giao đi
ểm của các đường
ti
ệm cận. Tìm toạ độ điểm
M sao cho đư
ờng tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có di
ện
tích nh
ỏ nhất.
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
0
0 0
0
2 3
; , 2
2
x
M x x
x
 


 

 
,
 

0
2
0
1
'( )
2
y x
x



Phương tr
ình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
 
0
0
2
0
0
2 3
1
: ( )
2
2
x
y x x
x
x



   


To
ạ độ giao điểm A, B của
 

và hai ti
ệm cận là:
 
0
0
0
2 2
2; ; 2 2;2
2
x
A B x
x
 


 

 
Ta th
ấy
0
0
2 2 2

2 2
A B
M
x
x x
x x
 

  
,
0
0
2 3
2 2
A B
M
x
y y
y
x


 

. Suy ra M là trung
đi
ểm của AB.
M
ặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có di

ện tích
S =
2
2 2 2
0
0 0
2
0
0
2 3
1
( 2) 2 ( 2) 2
2
( 2)
x
IM x x
x
x
   
 
 
 

 
       
 
 


 

 
 
 
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
12
Dấu “=” xảy ra khi
0
2
0
2
0
0
1
1
( 2)
( 2)
3
x
x
x
x



  





Do đó có hai đi
ểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 9. Cho hàm s
ố
2 1
1
x
y
x



. Tìm t
ọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;2)I 
t
ới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn n
h
ất .
Hư
ớng dẫn:
N
ếu

0
0
3
;2 ( )
1
M x C
x
 
 
 

 
thì ti
ếp tuyến tại M có phương trình
0
2
0
0
3 3
2 ( )
1
( 1)
y x x
x
x
   


hay
2

0 0 0
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0x x x y x      
Kho
ảng cách từ
( 1;2)I 
t
ới tiếp tuyến là
 
0 0 0
4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
9 1
( 1)
( 1)
x x x
d
x
x
x
x
    

  
 
 
 

.
Theo b
ất
đ
ẳng
th
ức Côsi
2
0
2
0
9
( 1) 2 9 6
( 1)
x
x
   

, vây
6d 
.
Kho
ảng cách
d l
ớn nhất bằng

6
khi
 
2
2
0 0 0
2
0
9
( 1) 1 3 1 3
( 1)
x x x
x
        

.
V
ậy có hai
điểm M :
 
1 3;2 3M   
ho
ặc
 
1 3;2 3M   
Bài 10. Cho hàm s
ố
1
1
x

y
x



. G
ọi
 
0 0
;M x y
là m
ột
đi
ểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp
tuy
ến của (C) tại M cắt hai
đường tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao đi
ểm của hai
ti
ệm cận.
Ch
ứng minh
r
ằng
1. Ch
ứng minh M là trung điểm của AB
2. Di
ện
tích tam giác IAB không ph
ụ thuộc vào vị trí

đi
ểm M.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
13
3. Tích kho
ảng cách từ từ
điểm M đến hai tiệm cận là không đổi
Hư
ớng dẫn câu 2
G
ọi
 
0
0 0 0 0
0
1
; ( ) ( 1)
1
x
M x y C y x
x


   

.
PTTT t
ại M có dạng:
0
0
2
0
0
1
2
( )
1
( 1)
x
y x x
x
x

   


()
Giao đi
ểm của 2 tiệm cận:
I(1;1)
.
Ta có

A = ()  TCĐ => A=
0
0
3
1;
1
x
x
 

 

 
; B = ()  TCN => B =
 
0
2 1;1x 
IA =
0
4
1x 
; IB =
0
2 1x 
.
Do đó: S
IAB
=
1
2

.IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M.
Bài 11. Cho hàm s
ố
1
x
y
x


1. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2. G
ọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến của
đ
ồ thị (C) sao cho khoảng cách từ I
đến tiếp tuyến bằng
2
Hư
ớng dẫn:
0
0
0
; ( )
1
x
M x C
x
 

 


 
.
Phương tr
ình ti
ếp tuyến tại điểm M có dạng
 
 
0
0
2
0
0
1
:
1
1
x
y x x
x
x
   


Chuy
ển

v
ề dạng phương trình tổng quát. Dùng công thức tính khoảng cach từ 1
đi

ểm
đến đường thẳng, g
i
ải ph
ương trình ta được
0
0
0
2
x
x



 


TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chun đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
14
Bài 12. Cho hàm số
2 1
( )

1
x
y C
x



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
2. Tìm trên đồ thò (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai
tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
2
Hướng dẫn:
 
0
0
0
2 1
Gọi M ;
1
x
x C
x
 


 

 
. Phương trình tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận
lần lượt tại

 
0
0
0
2 1
1; ; 2 1;2
1
x
A B x
x
 


 

 
. Ta thấy tam giác tạo thành là tam giác
ABI vuông tại I có cạnh huyền là
0
0
0
2 2
2
x
AB
x


 





Bài 13. Cho hàm số
4 2
2 , m là tham sốy x mx m  
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m=1
2. Biết A là điểm thuộc đồ thò hàm số có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng
từ điểm
3
;1
4
B
 
 
 
đến tiếp tuyến tại A là lớn nhất.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
15
Phương pháp: Vi
ết phương trình tiếp tuyến


c
ủa (C): y =f(x), biết

có h
ệ số góc k cho
trư
ớc.
Cách 1: Tìm to
ạ độ tiếp điểm.

G
ọi M(x
0
; y
0
) là ti
ếp
đi
ểm. Tính f

(x
0
).
 
có h
ệ số góc k

f


(x
0
) = k (1)

Gi
ải phương trình (1), tìm được x
0
và tính y
0
= f(x
0
). T
ừ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng đi
ều kiện tiếp xúc.

Phương tr
ình đường thẳng

có d
ạng: y = kx + m.
 
ti
ếp xúc với (C)
khi và ch
ỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
'( )

f x kx m
f x k

 



(*)

Gi
ải hệ (*), tìm
được m. Từ đó viết phương trình của

.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

có thể được cho gián tiếp như sau:
+

tạo với chiều dương trục hoành góc

thì k = tan

+

song song v
ới
đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
D
ẠNG 2: VIẾT PH

ƯƠNG TR
ÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
16
+

vuông góc v
ới đường thẳng d: y = ax + b (a

0) thì k =
1
a

+

t
ạo với
đư
ờng thẳng d: y = ax + b một góc

thì
tan

1
k a
ka




BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Cho
 
2
3 1
( ): , 0
m
m x m m
C y m
x m
  
 

. Đ
ịnh m
để tiếp tuyến trên (C
m
) t
ại
giao đi
ểm với trục hoành song song với đường thẳng y=x
Hư
ớng dẫn:

Hoành đ
ộ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0
1
, 0; ;1
3 1 3
m m
x m
m
 

  
 

 
 
2
0
2
0
2
2
4
' , ' 1
3
1
3 1

1

3
5
3 1
x m
m
y y
x m
x m
m m
m
m
m
m
m m
m
m


   

 






 






 

 



 




Bài 2. (Đại học A2011). Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 


Ch
ứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m 
luôn c
ắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân bi
ệt A và B. Gọi

1 2
k k
l
ần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại
A
và B. Tìm m
để tổng
1 2
k k
đ
ạt giá trị lớn nhất.
Hư
ớng dẫn:
Phương tr
ình hoành
độ giao điểm của (C) và đường thẳng
:d y x m 
 
2
1 1
, 2 2 1 0
2 1 2
 
       

x
x m x x mx m
x
Phương tr
ình (1) có

2 2
2 2 ( 1) 1 0,         m m m m
 Phương tr
ì
nh (1) luôn có 2 nghi
ệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
17
Hoành độ tiếp điểm tại A, B là
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình (1)

1 2
x x m  
và
1 2
1
.
2
m

x x

 
Ta có:
 
2 2
2
1 2 1 2
1 2
2
2 2
1 2
1 2 1 2
4( ) 4( ) 2
1 1
4( 1) 2
(2 1) (2 1)
4 2( ) 1
   
         
 
  
x x x x
k k m
x x
x x x x
1 2
k k
đ
ạt giá trị lớn nhất bằng

2 1m   
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Vi
ết ph
ương trình tiếp tuyến
 c
ủa (C), biết
 có h
ệ số góc k
được chỉ ra:
a) (C):
3 2
2 3 5y x x  
; k = 12 b) (C):
2 1
2
x
y
x



; k = –3
c) (C):
2
3 4
1
x x
y

x
 


; k = –1
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d
cho trư
ớc:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x   
;
: 3 2d y x 
b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
3
2
4

y x  
c) (C):
2
2 3
4 6
x x
y
x
 


; d:
2 5 0x y  
d) (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x  
;
: 4 1d y x  
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d
cho trư
ớc:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x

y x x   
; d:
2
8
x
y   
b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
y x
c) (C):
2
3
1
x
y
x



; d: y = –3x d) (C):
2
1

2
x x
y
x
 


;
: 2d y x 
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox
góc :
a) (C):
3
2 0
2 4; 60
3
x
y x x

    
b)(C):
3
2 0
2 4; 75
3
x
y x x

    
TRUNG TM GIA S

NH CAO CHT L
NG. ST:0978421673. TP HU
Chuyờn
LT
H
Tr
n
ỡnh C
18
c)
0
3 2
( ): ; 45
1
x
C y
x




Bi 5. Vi
t phng trỡnh tip tuyn
c
a (C), bit
t
o vi ng thng d mt gúc
:
a) (C):
3

2 0
2 4; : 3 7; 45
3
x
y x x d y x


b) (C):
3
2 0
1
2 4; : 3; 45
3 2
x
y x x d y x


c)
0
4 3
( ): ; : 3 ; 45
1
x
C y d y x
x




d)

0
3 7
( ): ; : ; 60
2 5
x
C y d y x
x




e)
2
0
3
( ): ; : 1; 60
2
x x
C y d y x
x




Bi 7. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s
1
x
y
x

, bit tip tuyn ú
c
t trc honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A,B sao cho tam giỏc OAB
cõn t
i O.
H
ng dn:
Vỡ tam giỏc OAB cõn t
i O nờn ng thng AB phi song song vi
m
t trong hai ng thng cú phng trỡnh
y x
ho
c
y x
Ta cú:

2
1
' 0, 1.
1
y x
x


G
i

0 0 0

;M x y
l ti
p im ca th hm s
Do ú:



0
0
0
0 0
0 0
2
' 1
0
0 0.Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn: loaùi vỡ A B
Vụựi 2 2.Phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn: 4
x
y x
x
Vụựi x y y x
x y y x thoừa

Bi 8. Cho hm s


3 2
1 1
2 4
3 3
y x x m x m
, m l tham s

1. Kh
o sỏt s bin thiờn v v th
hm s
khi m=1
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
19
2. Tìm m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của hàm số đi qua
 
3; 1A 

Hư
ớng dẫn:
 
2
2
0 0 0 0 0 0
0 0
'( ) 4 4 2 . '( ) ñaït ñöôïc khi 2
Vôùi 2 3.
f x x x m x m m Min f x m x
x y m
         
   
Vi
ết phương trình tiếp tuyến tại điểm
(2; 3)M m 
, sau đó thay t
ọa độ điểm A vào ta
tìm được
2m  
.
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư

20
Phương pháp: Vi
ết phương trình tiếp tuyến

c
ủa (C): y = f(x), biết

đi qua đi
ểm
( ; )
A A
A x y
.
Cách 1: Tìm to
ạ
độ tiếp điểm.

G
ọi M(x
0
; y
0
) là ti
ếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y

0

= f

(x
0
).

Phương tr
ìn
h ti
ếp tuyến

t
ại M: y
– y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)
 
đi qua
( ; )
A A
A x y
nên: y
A
– y

0
= f

(x
0
).(x
A
– x
0
) (2)

Gi
ải phương trình (2), tìm được x
0
. T
ừ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng đi
ều kiện tiếp xúc.

Phương tr
ình đường thẳ
ng

đi qua
( ; )
A A
A x y
và có h

ệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A
)
 
ti
ếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ ph
ương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k

  





(*)

Gi
ải hệ (*), tìm
được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến

.
BÀI T

ẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm s
ố
 
x 2
y C .
x 2



Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
, biết tiếp tuyến đi qua điểm
 
A 6;5 .
Hư
ớng dẫn:
Phương tr
ình đường thẳng đi qua
 
A 6;5
là
   
d : y k x 6 5  
.
D
ẠNG 3: VIẾT PH
ƯƠNG TR
ÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM

www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
21
(d) ti
ếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
:
 
 
 
 
 
       
 
 
2
2
2
2
2
2
2
4 x 2

x 2
x 6 5
k x 6 5
x 2
x 2
x 2
4
4
k
k
x 2
x 2
4x 24x 0
4 x 6 5 x 2 x 2 x 2
x 0;k 1
4
4
1
k
k
x 6;k
x 2
4
x 2




    
  






 

 
 
 
 

 





 
      
  




  
 
 

 

  
 





Suy ra có 2 ti
ếp tuyến là
:
   
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
     
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Vi
ết ph
ương tr
ình tiếp tuyến
 c
ủa (C), biết
 đi qua đi
ểm
đư
ợc chỉ
ra:
a) (C):

3
3 2y x x   
; A(2; –4) b) (C):
3
3 1y x x  
; B(1; –6)
c) (C):
 
2
2
2y x 
; C(0; 4) d)(C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x  
;
3
0;
2
D
 
 
 
e) (C):
2
2
x
y

x



; E(–6; 5) f) (C):
3 4
1
x
y
x



; F(2; 3)
g) (C):
2
3 3
2
x x
y
x
 


; G(1; 0) h)
2
2
1
x x
y

x
 


; H(2; 2)
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
22
PHƯƠNG PHÁP:

G
ọi M(x
0
; y
0
)

(C).

là ti
ếp tuyến của (C) tại M. Tính f

(x

0
).

Vì

// d nên f

(x
0
) = k
d
(1)
ho
ặc
 
d nên f

(x
0
) =
1
d
k

(2)

Gi
ải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. T

ừ đó tìm được M(x
0
; y
0
)

(C).
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Cho
 
1
( ):
m
m x m
C y
x m
 


. Đ
ịnh m
đ
ể tiếp tuyến trên (C
m
) có hoành đ
ộ
x
0
=4 thì song song v

ới đường phân giác thứ hai của gốc hệ tọa độ.
Hư
ớng dẫn:
 
2
2
'( ) , '( ) 1 2
m
f x f x m
x m

    

Bài 2. Cho hàm s
ố
3
1 2
3 3
y x x  
có đ
ồ thị (C). Tìm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó
c
ủa đồ thị vuông gốc với đường thẳng
1 2
3 3
y x  
Bài 3. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
d cho trư
ớc:
a) (C):

2
3 6
1
x x
y
x
 


; d:
1
3
y x
b) (C):
2
1
1
x x
y
x
 


; d là ti
ệm cận xiên của (C)
c) (C):
2
1
1
x x

y
x
 


; d là đư
ờng thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của
DẠNG 4: TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ
 
: ( )C y f x
SAO CHO
TẠI ĐÓ TIẾP TUYẾN CỦA (C) SONG SONG HOẶC V UÔNG GÓC
V
ỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG d CHO TRƯỚC
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
23
(C).
d) (C):
2
1x x
y

x
 

; d: y = x
Bài 4. Tìm các
điểm trên đ
ồ thị (C) mà tiếp tuyến tại
đó song song với đường thẳng
d cho trư
ớc:
a) (C):
3 2
10y x x x   
; d:
2y x
b) (C):
2
1x x
y
x
 

; d: y = –x
Bài 5. Tìm m
để tiếp tuyến
 c
ủa (C) tại điểm được chỉ ra song song với
đư
ờng
th

ẳng d cho trước:
a) (C):
2
(3 1)
( 0)
m x m m
y m
x m
  
 

t
ại điểm A có y
A
= 0 và d:
10y x 
.
Bài 6. Tìm m
để tiếp tuyến
 c
ủa (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường
th
ẳng d cho trước:
a) (C):
2
(2 1) 2
1
x m x m
y
x

   


t
ại điểm
A có x
A
= 0 và d là ti
ệm cận xiên của (C).
b) (C):
2
2 1
3
x mx
y
x
 


; t
ại
điểm B có x
B
= 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chun đ
ề LT
ĐH

Tr
ần
Đình Cư
24
PHƯƠNG PHÁP:
Gi
ả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
)

d.

Phương tr
ình đường thẳng

qua M có h
ệ số góc k: y = k(x
– x
M
) + y
M
 
ti
ếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y

f x k

  






Th
ế k từ (2) vào (1) ta được:
f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)

S
ố tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
BÀI T
ẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm s
ố
3 2
3 2y x x  
có đ
ồ thị (C)
1. Qua A(1;0) k

ẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuy
ến ấy.
2. Ch
ứng minh rằng khơng có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp
tuyến qua A của (C) nói trên
Hư
ớng dẫn:
 
 
3 2
2
1) Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) d: 1 . d là tiếp tuyến của (C)
3 2 1
1
. Vậy có 1 tiếp tuyến
3
3 6
2) Gọi là tiếp tuyến khác của (C) song song với ti
y k x
x x k x
x
k
x k
  

   




 
 
 
 




3 2 2
2
ếp tuyến tại A
: .Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình
3 2 3 1
: 3 3
3
3 6 3
vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuye
y x b
x x x b x
y x
b
x
d
   


     

      
 


  



  án tại A
Bài 2. Cho hàm s
ố
1
1
x
y
x



có đ
ồ thị (C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ
m
ỗi
điểm ấy chỉ có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)
D
ẠNG 5: TÌM NHỮNG ĐIÊM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG d HOẶC TRÊN
(C) MÀ T
Ừ ĐĨ KẺ ĐƯỢC 1,2,3,… TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
(C):y=f(x)
www.VNMATH.com