giải tích 12 phần 8 bài toán thường gặp về đồ thị

G
iải

tích

12

August 16 ,2009
/>Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần VIII : Bài toán thường gặp về đồ thị
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần VIII
Bài toán thường gặp về đồ thị
/>Vấn đề 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị
vinhbinhpro
Vấn đề : Gọi :
1 2
;( ) ( )CC
là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x)
Nêu cách tìm giao điểm của
1 2
;( ) ( )CC
Hướng dẫn :
0 0
( ; )M x y∗
là giao điểm của :
1 2
;( ) ( )CC
( )
0 0

0
2
0
1
0
0
0
0
( )
( ) ( )
(
( )
;
)
( )
y x
M
x x
y
x yg
g
f
C
M C
f
x
=
∈

∗ ⇔ ⇔ = ⇔

 
=
∈


là nghiệm của p.trình
(( )) ()f g xx = ∗
* Do đó muốn tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ta đi giải pt ( *) và pt ( * )
gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
1 2
;( ) ( )CC
* Số nghiệm của phương trình ( * ) = Số giao điểm của 2 đồ thị
1 2
;( ) ( )CC
Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị
/>Ví dụ 1 : Tìm điểm chung của 2 đồ thị hàm số :
3 2
( ) : 3 ; ( ') : 4C y x x C y x x= − = + −
Hướng dẫn :
B1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)
33 22
4 4 0 (*3 )4x x x xx x x− = + − + =⇔ −−
Phân tích pt (*) bằng cách đặt
nhân tử chung hay dùng sơ đồ
Horner
( )
( )
( )
2
2

(*) ( 1) 4 1 0
1 4 0
x x x
x x
⇔ − − − =
⇔ − − =
+ Đặt nhân tử chung +Sơ đồ Horner
1 1
- 4
4
1 1 0 - 4
0
( )
( )
2
(*) : 1 4 0x x− − =
Nghiệm x=1 của (*)
( )
( )
2
1 ( 2)
(*) : 1 4 0 2 ( 2)
2 ( 2)
x y
x x x y
x y
= = −


− − = ⇔ = =


= − = −


(C) và (C’) có 3 điểm chung (1 ; -2) ; (2 ; 2) ;
(-2 ; 2)
f(x)=x^3-3*x
f(x)=x^2+x-4
Series 1
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
f(x)
Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị *

vinhbinhpro
Với giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt đường cong
4 2
2 3y x x= − −
tại 4 điểm phân biệt ?
Hướng dẫn :
Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình :
4 2 4 2
2 3 2 3 0 (*)x x m x x m− − = ⇔ − − − =
2

; 0X x X= ≥
Đặt :
Ta được :
2
2 3 0 (1)X X m− − − =
Đường thẳng y = m cắt đường cong tại 4 điểm phân biệt  Phương trình ( * ) có
4 nghiệm phân biệt  Phương trình (1) có 2 nghiệm DƯƠNG phân biệt .
4 3
' 0 4 0
0 3 0
0 2 0
m
m
P m
S
∆ > + >
 
 
> ⇔ − − < <− > ⇔
 
 
> >
 
−
Chú ý : Nếu việc giải bằng phép tính gặp khó khăn , Bạn có thể dùng đồ thị
Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị **
f(x)=x^4-2*x^2-3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2

2
4
x
f(x)
Đồ thị của hàm số y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
Dựa vào số giao điểm của 2 đồ thị để kết luận
- 3
y = - 3
y = - 4
( 3 điểm chung )
(2 điểm chung )
y = m ( -4 < m < -3 )
( 4 giao điểm phân biệt )
Vấn đề 2 : Sự tiếp xúc của hai đường cong
vinhbinhpro
Vấn đề : Gọi :
1 2
;( ) ( )CC
là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x)
Nêu cách tìm tiếp điểm của
1 2
;( ) ( )CC
Hướng dẫn :
0 0
( ; )M x y∗
là tiếp điểm của :
1 2
;( ) ( )CC
1 2
0 0

0 0
0 0
1
( )
0 0
0 0
2
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
(
( )
'
( )
'
) (' )'
t Ct tt C
M y x
x x
M y x
x x
x
g
C g
g
k g x
C f
f

f
k f

∈ =

=

 
⇔ ∈ ⇔ = ⇔
  
=

 
= =


(có M là điểm chung và có tiếp tuyến
chung tại M )
1 2
;( ) ( )CC
tiếp xúc nhau  Hệ phương trình :
( ) ( )
( ) )'' (
x x
x x
g
g
f
f
=



=

có nghiệm
( Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong )
tiếp xúc nhau
1 2
;( ) ( )CC
tại M
Vấn đề 2 : Sự tiếp xúc của hai đường cong
/>Bài tập áp dụng : a) Chứng minh rằng hai đường cong
3 2
; 1y x x y x= − = −
tiếp xúc nhau tại 1 điểm nào đó .
b) Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường cong
tại điểm đó .
Hướng dẫn :
a) Hoành độ tiếp điểm của 2 đường là nghiệm của hệ pt :
3 2 3 2
2 2
1 1 0 (1)
(*) 1
3 1 2 3 2 1 0 (2)
x x x x x x
x
x x x x
 
− = − − − + =
⇔ ⇔ =

 
− = − − =
 
Vậy hai đường cong tiếp xúc nhau tại điểm M ( 1 ; 0)
( )
' 1 2
ttcM
k y= =
b) Hệ số góc của của tiếp tuyến chung tại M
Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tại M là y = 2x - 2
f(x)=x^3-x
f(x)=x^2-1
f(x)=2x-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
f(x)
y

=

2
x

-

2

y

=


x
²

-

1
y

=

x
³

-

x
* Trường hợp đặc biệt : đường thẳng tiếp xúc với parabol

vinhbinhpro
Cho đường thẳng : y = px + q ( D ) và parabol (P) :
2
y ax bx c= + +
Tìm điều kiện để (D) là tiếp tuyến của parabool (P)
Hướng dẫn :
(D) tiếp xúc (P) =>

2
(*)
2
ax bx c px p
ax b p

+ + = +

+ =

có nghiệm
( ) ( )
2
4 0b p c c q⇒ − − − =
* Chứng minh phần đảo lại ta có kết quả tương tự
mà phương trình:
( )
2 2
(*) : ( ) 0 ; ( ) 4ax b p x c q b p a c q+ − + − = = − − −∆
Vậy : (D) tiếp xúc (P)
( ) ( )
2
4 0b p c c q∆ = − − − =⇒
( D) là tiếp tuyến của (P)  Pt (*) :
( )
2
0ax b p x c q+ − + − =
có nghiệm kép
B
ài tập

Phần VIII : Bài toán thường gặp về đồ thị
/>Bài tập 1

vinhbinhpro
a) Chứng minh parabol (P) :
2
3 1y x x= − −
tiếp xúc với đồ thị (C) của h.số :
2
2 3
1
x x
y
x
− + −
=
−
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C)
Hướng dẫn :
a) Cần viết lại :
2
2 3 2
1
11
x x
x
y x
x
− + −
= =

−
− + −
−
* Hoành độ tiếp điểm của (P) và (C) là nghiệm của hệ:
( )
2
2
2
1 3 1 (1)
1
2
1 2 3 (2)
1
x x x
x
x
x

− + − = − −

−



− + = −
−


Phương trình (2) 
( )

( )
2
2
2 1
1
x
x
= −
−
( )
3
1 21 xx⇔ − = =⇔
x = 2 thỏa mãn pt (1) => Hệ có nghiệm duy nhất x = 2 => (P) và (C) tiếp xúc tại A( 2 ; -3)
) '(2) 1
ttc
b HSG k y= =
Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là : y = x - 5
( ) ( )1( 3) 2
A Attc
y y x x y xk− = − ⇔ − − = −
f(x)=x^2-3*x-1
f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+1
f(x)=x-5
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
f(x)

A
- 3
t
i
ế
p

t
u
y
ế
n

c
h
u
n
g


y

=

x
-

5
Bài tập 2
Cho :

( ) ( )
2 2
2
: 1 1 ;( : 3( )) Py x x yC xa= + − = −
a) Định a để ( P) và ( C) tiếp xúc với nhau .
b) Viết phương trình những tiếp tuyến chung của (C) và ( P ) .
Hướng dẫn :
a) (C) và (P) tiếp xúc nhau
4 2 2
3
2 1 3 (1)
4 4 2 (2)
x x x
x x x
a
a

− + = −
⇔

− =

có nghiệm
( )
2
2
0
(2) 4 4 2 0
2 2
x

a
a
Pt x x
x
=

⇔ − − = ⇔

− =

* x = 0 không phải là nghiệm của pt (1) nên không phải là nghiệm của hệ
* Thay a vào phương trình (1) , ta có :
( )
4 2 2 2 2
2 1 2 2 3 2 2x x x x x x− + = − − ⇔ = ⇔ = ±
( nghiệm của hệ )
* Vậy khi a = 2 thì (P) và (C) tiếp xúc nhau
* Hoành độ tiếp điểm là :
2x = ±
Bài tập 2*
b) Tiếp tuyến chung của (P) và (C) chính là tiếp tuyến với (C) tại
2x = ±
2 1x y= ± ⇒ =
=> Tiếp điểm :
1 2
( 2 ;1) ; ( 2 ;1)A A −
21
HSG '( 2) ; HSG '(k 42k )4 2 2
ttAttA
y y= = = −= −

Vậy phương trình 2 tiếp tuyến chung của (P) và (C) là :
( )
1 1
( ) : 1 4 2 2 h ) : 4 2 7ay (t t xy yx− = − = −
( )
2 2
( ) : 1 4 2 2 h ( ) : 4 2 7ayt t xy x y = −− − + −=
Vấn đề : Tiếp tuyến với đường cong
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C)
a) Loại 1 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
( ; ) ( )
A A
A x y C∈
* Tính y’
HSG '( )
ttA A
k y x⇒ =
* Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A là :
( ) : ( )
A AttA
t y ky x x− = −
b) Loại 2 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) có phương d là đường thẳng có HSG
d
k
* Giải phương trình :
0
'( )
d
f x k=
( xₒ là hoành độ tiếp điểm )

=> yₒ , rồi thay vào phương trình :
0 0
( )
d
y y k x x− = −
* Chú ý : Thường gặp :
0 0
1
TT( ) '( ) ; TT( ) '( )//
d
d
t d f x k t d f x
k
⇔ = ⇔ = −⊥
c) Loại 3 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua 1 điểm cho trước
( ; )
A A
A x y
* Gọi
0 0
( ; ) ( )x y C∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến ( t ) phải tìm , ta có :
( )
0 0 0
( ) : '( )t y y y x x x∗ − = −
( )
0 0 0
( ) '( ) (*)
A A
A t y y y x x x∈ ⇔ − = −

* Giải pt ( * ) ta tìm được ẩn xₒ , rồi suy ra yₒ và suy ra pt tiếp tuyến ( t )
( )
0 0
( )y f x=
Bài tập 3 ( Tiếp tuyến với đường cong)
Cho hàm số :
2
1x
ax
y
bx−
=
−
a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm
5
1;
2
A
 
−
 ÷
 
và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0 ; 0) có hệ số góc bằng - 3
b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị a và b đã tìm được.
( bài 64 .sách giáo khoa trang 57 )
Hướng dẫn :
2
5 5
) 1; ( ) 5
2 1 2 2

A A
A
A
x x
a A C y
x
ba a
a
b
b
− +
 
∗ − ∈ ⇒ = ⇔ = ⇔ + = −
 ÷
− −
 
* Tiếp tuyến của (C) tại O có HSG = - 3
( )
2
0 0
2
0
2
HCS '(0) 3 3 3
1
tt
ax a
b
x b
k y

x
− +
⇔ = = − ⇔ = − ⇔ = −
−
* Vậy a = - 2 ; b = - 3
( )
2
2
2
'
1
ax ax b
y
x
 
− +
=
 ÷
 ÷
−
 
Bài tập 3* ( Tiếp tuyến với đường cong)
2
2 3
( )) ;
1
2 :3
x x
C yb a
x

b
− +
− == − ⇒
−
=
* Tập xác định :
{ }
\ 1D R=
* Giới hạn - Tiệm cận - Chiều biến thiên
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞g
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→→
= +∞ = −∞g
=> x = 1 là tiệm cận đứng
2
2 3 1
2 1
1 1
x x
y x
x x
− +

= = − + +
− −
g
( )
1 1
lim lim 0
1 1
2 1 2 1
x x
x x
x x
→+∞ →+∞
− + − +
 
+ − = =
 
− −
 
=> y = - 2x +1 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số
Tương tự khi :
x → −∞
( )
2
2
2
2 4 3
' ; ' 4 6 0 2 4 3 0 ;
1
x x
y x x x

x
− + −
= ∆ = − < ⇒ − + − < ∀
−
g
' 0 ; 1y x⇒ < ∀ ≠
Hàm số nghịch biến trên txđ D và không có cực trị
Bài tập 3** ( Tiếp tuyến với đường cong)

vinhbinhpro
x
y
y’
1 +∞- ∞
- ∞
+∞

* Đồ thị :
Điểm đặc biệt :
0 0
0
0
3/ 2
x y
x
y
x
= ⇒ =
=


= ⇒

=

g
g
Đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm ( 0 ; 0 ) ; ( 3/2 ; 0 )
- ∞
+∞
f(x)=(-2*x^2+3*x)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-2*x+1
Series 1
-3 -2 -1 1 2 3
-5
5
x
f(x)
tiệm cậm đứng x = 1
t
i
ệ
m

c
ậ
n

x
i

ê
n

y

=

-

2
x

+

1

điểm đặc biệt ( 3/2 ; 0 )
Đón xem phần IX : ÔN TẬP CHƯƠNG I
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh phần nào rèn luyện được
khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến.


vinhbinhpro