chuyên đề 5 tích phân

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


1
CHUYÊNĐỀ5.

Bảngcôngthứcnguyênhàmcơbản:
 dx x C=+
ò


1
(1)
1
x
xdx C
a
a
a
a
+
=+¹-
+
ò


ln ( 0)
dx
xCx
x
=+ ¹

ò


2
1dx
C
x
x
=- +
ò


xx
eeC=+
ò


ln
x
x
a
adx C
a
=+
ò

 cos sinxdx x C=+
ò

 sin cosxdx x C=- +

ò


2
tan
cos
dx
xC
x
=+
ò


2
cot
sin
dx
xC
x
=- +
ò


2
dx
xC
x
=+
ò


 du u C=+
ò


1
(1)
1
u
udx C
a
a
a
a
+
=+¹-
+
ò


ln ( 0)
du
uCx
u
=+ ¹
ò


2
1du
du C

u
u
=- +
ò


uu
edu e C=+
ò


ln
u
u
a
adu C
a
=+
ò

 cos sinudu u C=+
ò

 sin cosudu u C=- +
ò


2
tan
cos

du
uC
u
=+
ò


2
cot
sin
du
uC
u
=- +
ò


2
du
uC
u
=+
ò
Nếu
uaxb=+
tacó:

1
ln
dx

ax b C
ax b a
=++
+
ò


1
ax b ax b
edx e C
a
++
=+
ò


cos( )
sin( )
ax b
ax b dx C
a
+
+=- +
ò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


2


sin( )
cos( )
ax b
ax b dx C
a
+
+= +
ò


2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
a
ax b
=++
+
ò


2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C
a

ax b
=- + +
+
ò


2dx
ax b C
a
ax b
=++
+
ò

Cácphươngpháptínhtíchphânthườngdùng
Phươngphápđổibiếnsốloại1.
Giảsửcầntính
()
b
a
Ifxdx=
ò
tathựchiệncácbướcsau:
Bước1.Đặt
()xut=
(với
()ut
làhàmcóđạohàmliêntụctrên
;ab
éù

êú
ëû
,
(())fut
xácđịnhtrên
;ab
éù
êú
ëû
và
() ,()uaubab==
)
Bước2.Thayvàotacó:
( ()). '() () ()| ( ) ( )I f u t u t dt g t dt G t G G
bb
b
a
aa
ba====-
òò

Mộtsốdạngthườngdùngphươngphápđổibiếnloại1:
 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
222
abx-
tathườngđặt sin
a
xt
b
= 

 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
22 2
bx a-
tathườngđặt
sin
a
x
bt
= 
 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
222
abx+
tathườngđặt tan
a
xt
b
= 
 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
()xa bx-
tathườngđặt
2
sin
a
xt
b
= 
Phươngphápđổibiếnsốloại2.
Đểtínhtíchphân
()
b

a
Ifxdx=
ò
nếu
() (). '()fx gux u x
éù
=
êú
ëû
tathựchiệncácphépbiếnđổisau:
Bước1.Đặt
() '()tux dtuxdx==
.Đổicận
(), ()xa tuaxb tub== ==

Bước2.Thayvàotacó
()
()
()
()
() ()
ub
ub
ua
ua
IgtdtGt==
ò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh



3
Phươngpháptíchphântừngphần:Cho2hàmsố
u
và
v
liêntụctrên
;ab
éù
êú
ëû
vàcóđạohàm
liêntụctrên
;ab
éù
êú
ëû
.Khiđótacó:
b
bb
aa
a
udv uv vdu=-
òò

Tathườnggặpcácdạngsau:
Dạng1: ( )sinIPxxdx=
ò
hoặc ()cosIPxxdx=
ò

,trongđó
()Px
làhàmđathức.
Vớidạngnàytađặt
()uPx=
và
sindv xdx=
hoặc
cosdv xdx=
.
Dạng2: ()
ax b
IPxedx
+
=
ò
,trongđó
()Px
làhàmđathức.
Vớidạngnàytathườngđặt
()
ax b
uPx
dv e dx
+
ì
ï
=
ï
ï

í
ï
=
ï
ï
î

Dạng3: ()ln( )IPxaxbdx=+
ò
,trongđó
()Px
làhàmđathức.
Vớidạngnàytathườngđặt
ln( )
()
uaxb
dv P x dx
ì
ï
=+
ï
í
ï
=
ï
î

Dạng4: sin .
x
Ixedx=

ò
hoặc cos .
x
Ixedx=
ò

Vớidạngnày,tađặt
sin
cos
x
x
u
x
dv e dx
ì
éù
ï
ï
êú
ï
=
ï
êú
í
êú
ëû
ï
ï
ï
=

ï
î
,đểtính vdu
ò
tađặt
sin
cos
x
x
u
x
dv e dx
ì
éù
ï
ï
êú
ï
=
ï
êú
í
êú
ëû
ï
ï
ï
=
ï
î


Mẹotínhnhanhtíchphântừngphần:Đểtíchnhanhtíchphântừngphần Iudv=
ò
tacó
sơđồsau:
 Lấyđạohàm Lấytíchphân

u

dv


du

v


du

v


0

v

Chẳnghạntacầntínhnguyênhàmsau:
2
(75)cos2Ixx xdx=-+
ò


Tacósơđồnhưsau:
+
-

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


4

2
75xx-+

cos 2x



27x -

1
sin 2
2
x 


2

1
cos 2
4

x- 


0

1
sin 2
8
x- 
Vậytađược
2
111
( 7 5)sin 2 (2 7)cos 2 sin 2
244
Ixx x x x x=-+ +- - 
Nhưngmẹonàychỉápdụngđượctrongtrườnghợpmộthàmcủamìnhcóđạohàmbằng0ở
mộtcấpnhấtđịnh.
PHƯƠNGPHÁPSỬDỤNGBẢNG NGUYÊNHÀM
Bàitập1.(D_2009).Tínhtíchphânsau
3
1
1
x
dx
I
e
=
-
ò


Hướngdẫn:
Tacó
33 3 3
11 1 1
(1) (1)
11 1
xx x
xx x
dx e e d e
Idxdx
ee e
-
== = -
-
òò ò ò

Bàitập2.(B_2008).Tínhtíchphânsau
4
0
sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
x
Idx
xxx
p
p
æö
÷
ç

÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
=
++ +
ò

Hướngdẫn:
Tacó
+
+
-

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


5
44
00
4
2
0
sin
4
2sincos

sin 2 2(1 sin cos ) 2 1 sin 2 2(sin cos ) 1
2sincos

2
(sin cos )
x
xx
Idx dx
xxx xxx
xx
dx
xx
pp
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
==
++ + + + + +
-

=
+
òò
ò

Bàitập3.(A_2006).Tínhtíchphânsau
4
22
0
sin 2
cos 4 sin
x
Idx
xx
p
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
22
(cos 4 sin ) 3 sin 2dx x xdx+=
()
4
22
22
0
1(cos 4sin) 1
10 2

33
cos 4 sin
dx x
Idx
xx
p
+
= = -
+
ò

Bàitập4.(D_2005).Tínhtíchphânsau
()
2
sin
0
cos cos
x
Ie xxdx
p
=+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
()
2222
sin sin
0000
11

cos cos cos cos2 1
22 4
xx
I e x xdx e xdx dx xdx e
pppp
p
=+ = ++ =-+
òòòò

Bàitập5.(B_2003).Tínhtíchphânsau
4
2
0
12sin
1sin2
x
Idx
x
p
-
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
44
2
00
12sin cos2 1

ln 2
1sin2 1sin2 2
xx
Idxdx
xx
pp
-
===
++
òò

Bàitập6.(A_2010).Tínhtíchphânsau
1
22
0
2
12
xx
x
xe xe
Idx
e
++
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
()

111
22
2
000
12
21112
ln
32 3
12 12
x
xx
xx
de
xe xe e
Idxxdx
ee
+
++ +
==+=+
++
òòò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


6
Bàitập7.(A_2011).Tínhtíchphânsau
4
0
sin ( 1)cos

sin cos
xxx x
Idx
xx x
p
++
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó:
()
444
000
sin cos
sin ( 1)cos 2
ln 1
sin cos sin cos 4 2 4
dx x x
xxx x
Idxdx
xx x xx x
ppp
pp
æö
æö
+
++ ÷
ç

÷
ç
÷
ç
÷
==+=++
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
ç
++
÷
èø
ç
èø
òòò

Bàitập8.Tínhtíchphânsau
4
3
0
sin cos
sin cos
xx
Idx

xx
p
+
=
-
ò

Bàitập9.Tínhtíchphânsau
3
22
4
sin
cos 1 cos
x
Idx
xx
p
p
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
33
22 2 2
44
sin tan
53
cos 1 cos cos 2 tan

xx
Idx dx
xx x x
pp
pp
== =-
++
òò

Nhậnxétchung:Phươngphápsửdụngbảngnguyênhàmthựcchấtlàmộtphépđổibiếnsố
đơngiản.Tuynhiênnócóthuậnlợilà:khôngcầnthựchiệncácphépđổicậncũngnhưcách
trìnhbàyđơngiản.
PHƯƠNGPHÁPĐỔBIẾNSỐ
Bàitập1.Tínhcácnguyênhàmsau:
a)
()
3
tan tanIxxdx=+
ò
b)
()
3
4
5Ixxdx
éù
=-
êú
ëû
ò


Hướngdẫn:
a) Tacó
()()
32
tan tan tan 1 tan tanIxxdxxxdxux=+ = + =
òò

b)
() ()
3
3
4434
55 5Ixxdx xxdxu x
éù
=- =- =-
êú
ëû
òò

Bàitập2.Tínhcáctíchphânsau:
a)
()
4
0
ln 1 tanIxdx
p
=+
ò
b)
1

2
0
ln(1 )
1
x
Jdx
x
+
=
+
ò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


7
Hướngdẫn:
a) Đặt
4
txdtdx
p
=-=-
ln 2 ln 2
48
III
pp
= -= 
b) Đặt
()
2

tan 1 tanxtdx tdt==+ .Khiđótacó:
()
4
0
ln 1 tan ln 2
8
Jtdt
p
p
=+ =
ò

Bàitập3.Tínhcáctíchphânsau:
a.
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
ò
b)
1
2
2
0
1

dx
J
x
=
-
ò

Hướngdẫn:
a) Đặt
()
2
tan , ; 1 tan
22
xtt dx tdt
pp
æö
÷
ç
÷
=Î-=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
b) Đặt
6
2

0
cos
sin cos
6
1sin
t
x t dx tdt I dt
t
p
p
== = =
-
ò

Bàitập4.Tínhtíchphânsau:
()
2
22
0
sin 2
0, 0,
cos sin
x
Idxabab
axbx
p
=>>¹
+
ò


Hướngdẫn:
Đặt
()
22
11
cos sin sin 2 ln
b
a
dt b
ta xb x dt ba xdx I
ba t ba a
=+=- = =

ò

Bàitập5.Tínhtíchphânsau:
6
4
0
tan
cos 2
x
Idx
x
p
=
ò

Hướngdẫn:Tacó:
()

66
44
22
00
tan tan
cos 2
1tan cos
xx
Idx dx
x
xx
pp
==
-
òò

Đặt
3
3
4
2
0
11
tan
1
t
txI dt
t
-+
==-

-
ò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


8
Bàitập6.(B_2004)Tínhtíchphânsau:
1
1 3 ln ln
e
xx
Idx
x
+
=
ò

Hướngdẫn:Đặt
lntx=
tacó:
1
0
116
13.
135
Ittdt=+ =
ò

Hoặccóthểđặt

13lntx=+

Bàitập7.(B_2005)Tínhtíchphânsau:
2
0
sin 2 cos
1cos
xx
Idx
x
p
=
+
ò

Hướngdẫn:Đặt
costx=
tacó:
11
2
00
2 2 (1 ) 2(1 ) 2
11
tttt
Idt dt
tt
+- ++
=- =-
++
òò


Bàitập8.(B_2006)Tínhtíchphânsau:
ln 5
ln 3
23
xx
dx
I
ee
-
=
+-
ò

Hướngdẫn:Tacó
ln 5 ln5
2
ln 3 ln 3
23 32
x
xx xx
dx e
Idx
ee e e
-
==
+- -+
òò

Đặt

55
2
33
(1)(2) 3
ln
(1)(2) 2
32
x
dt t t
te I dt
tt
tt

== = =

-+
òò

Bàitập9.(A_2004)Tínhtíchphânsau:
2
1
11
xdx
I
x
=
+-
ò

Hướngdẫn:Đặt

11
14ln2
3
tx I=-=- 
Bàitập10.(A_2005)Tínhtíchphânsau:
2
0
sin 2 sin
13cos
xx
Idx
x
p
+
=
+
ò

Hướngdẫn:Đặt
34
13cos
27
txI=+ =
Bàitập11.Tínhtíchphânsau:
1
32ln
12ln
e
x
Idx

xx
-
=
+
ò

Hướngdẫn:Đặt
10 11
12ln 2
33
txI=+ = -
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


9
Bàitập12.Tínhtíchphânsau:
3
22
0
221
x
Idx
xx
=
++ +
ò

Hướngdẫn:Tacó
()
33

2
22
2
00
221
11
xxdx
Idx
xx
x
==
++ +
++
òò

Đặt
()
()
42
2
22
11
11231
1ln
22 26
1
1
dt u
tx I du
u

t
=+= = =-
+
+
òò

Bàitập13.(D_2011)Tínhtíchphânsau:
4
1
41
211
x
Idx
x
-
=
++
ò

Hướngdẫn:Đặt
34 3
21 10ln
35
tx I=+=+ 
Bàitập14.(B_2002)Tínhtíchphânsau:
8
2
0
16Ixdx=-
ò


Hướngdẫn:Đặt
4sin 2 4txIp==+

Bàitập15.Tínhcáctíchphânsau
a)
()
3
2
3
2
33
2
9
dx
I
x
-
=
-
ò
b)
()
3
3
2
3
3
1
dx

I
x
-
=
+
ò

Bàitập16.(A_2009)Tínhtíchphânsau:
()
2
32
0
cos 1 cosIxxdx
p
=-
ò

Hướngdẫn:Tacó
()
222
32 5 2
000
8
cos 1 cos cos cos
15 4
I x xdx xdx xdx
ppp
p
=- = - =-
òòò


Bàitập17.Tínhcáctíchphânsau:
a)
()
1
2
1
ln 1Ixxdx
-
=++
ò

b)
2
6
2
1
x
x
Idx
e
-
=
+
ò

c)
2
2004
2004 2004

0
sin
sin cos
x
Idx
xx
p
=
+
ò

d)
2
3
0
cosIxxdx
p
=
ò


ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


10
PHƯƠNGPHÁPSỬDỤNGTÍCHPHÂNTỪNGPHẦN
Bàitập1.(Dạngcơbản)Tínhcáctíchphânsau:
a)
1
2

1
0
x
Ixedx=
ò
  b)
()
2
2
0
cos ln 1 cosIx xdx
p
=+
ò
c)
2
32
1
logIxdx=
ò

d)
()
5
4
2
2ln 1Ixxdx=-
ò
 e)
()

2
5
1
ln
e
Ixdx=
ò
  f)
2
6
0
cos
x
Iexdx
p
=
ò

g)
()
7
1
cos ln
e
Ixdx
p
=
ò
 h)
()

3
8
0
sin ln cosIxxdx
p
=
ò
 i)
()
3
2
9
ln ln
e
e
x
Idx
x
=
ò

k)
10
0
sin cosIxxxdx
p
=
ò
 l)
()

2
11
0
sin ln 1 cosIx xdx
p
=+
ò
m)
2
2
12
0
cosIxxdx
p
=
ò

Hướngdẫn:
a) Đặt
()
2
2
1
2
1
1
1
4
2
x

x
du dx
ux
Ie
dv e dx
ve
ì
ï
=
ì
ï
ï
=
ï
ï
ïï
=+
íí
ïï
=
=
ïï
ï
î
ï
ï
î

b) Đặt
3

sin
ln(1 cos )
1
1cos
cos
2
sin
x
ux
du dx
I
x
dv xdx
nx
p
ì
ï
ì
ï
ï
=+
=-
ï
ï
ï
=-
íí
+
ïï
=

ïï
=
î
ï
ï
î

c) Đặt
2
3
1
log
1
2
ln 2
ln 2
ux
du
I
x
dv dx
vx
ì
ï
ì
ï
ï
=
=
ï

ï
ï
=-
íí
ïï
=
ïï
=
î
ï
ï
î

d) Đặt
()
4
2
1
ln 1
27
24 ln 4
1
2
2
1
ux
du
I
x
dv xdx

vx
ì
ï
ì
ï
ï
=-
=
ï
ï
ïï
=-
íí
-
ïï
=
ïï
=-
ï
î
ï
ï
î

Nhậnxét:Trongcâunàytachọn
2
1
vx=-
thayvìviệcchọn
2

vx=
nhưthông
thườngsẽgiúpchoviệctínhdễdànghơn.
i) Đặt
()
9
1
ln ln
3ln3 2ln2 1
ln
1
ln
ux
du
I
xx
dv dx
vx
x
ì
ì
ï
ï
=
ï
ï
=
ï
ï
ïï

=
íí
ïï
=
ïï
=
ïï
ï
î
ï
î

l) Thựchiệnphépđổibiếnsố
2
11
1
1cos lntxItdt=+  =
ò

m) Đặt
2
2
2
1
2
sin
cos
4
ux
ux

I
dv xdx
dv xdx
p
ì
ì
ï
ï
=
=
ï
ï
ï
+=-
íí
ïï
=
=
ïï
î
ï
î

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


11
Bàitập2.Tínhcáctíchphânsau:
a)
2

3
sin
1cos
xx
Idx
x
p
p
+
=
+
ò
  b)
()
()
2
1
3
0
1
1
x
xe
Idx
x
+
=
+
ò


c)
()
1
2
0
ln 1Ixxdx=++
ò
d)
1
0
x
Ixedx=
ò

e)
2
2
11
ln
ln
e
e
Idx
x
x
æö
÷
ç
÷
=-

ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
  f)
()
1
2
0
1
x
xe
Idx
x
=
+
ò
 
Hướngdẫn:
a)
22
12
33
sin
1 cos 1 cos
xx
IdxdxII

xx
pp
pp
=+=+
++
òò

Tính
22
1
2
2
33
1
1cos 2
cos
cos
2
2
ux
dx
xx
dv
Idxdx
x
x
x
pp
pp
ì

ï
=
ï
ï
ï
ï
ï
=
== 
í
æö
æö
ï
+
÷
÷
ï
ç
ç
÷
÷
ï
ç
ç
÷
÷
ï
ç
ç
÷

÷
ç
ç
èø
èø
ï
ï
î
òò

b) Đặt
()
()
()
()
2
2
3
2
1
1
1
1
4
1
21
x
x
ux e
du x e dx

dx
Ie
dv
v
x
x
ì
ì
ï
ï
=+
ï
=+
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
=
íí
=
=-
ïï
ïï
ïï
+
+
ïï
ï

î
ï
î

c) Đặt
()
()
2
2
ln 1
ln 1 2 2 1
1
dx
du
ux x
I
x
dv dx
vx
ì
ï
ì
ï
ï
=
=++
ï
ï
ïï
=+-+

íí
+
ïï
=
ïï
=
ïï
î
ï
î

d) Thựchiệnphépđổibiến
tx=

e)
222
12
22
11 1 1
ln ln
ln ln
eee
eee
IdxdxdxII
xx
xx
æö
÷
ç
÷

=- = - =-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òòò

Tacó:
2
22
2
1 12
1
1
ln
ln
ln 2 2
e
e
dx
du
ee
u
Idx IeIIe
x
xx
x
dv dx

vx
ì
ì
ï
ï
ï
ï
=-
=
ï
ï
ïï
= =-+=-
íí
ïï
ïï
=
=
ïï
ï
î
ï
î
ò

f) Đặt
()
()
2
1

1
1
2
1
1
x
x
uxe
du x e dx
e
dx
I
dv
v
x
x
ì
ï
=
ì
ï
ï
=+
ï
ï
ï
ï
ïï
=-
íí

=
ïï
=-
ïï
ïï
+
+
ï
î
ï
ï
î

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


12
Bàitập3.Tínhcáctíchphânsau:
a)
22
3
1
ln 2 2
ln
e
xx x
Ix dx
x
æö
++

÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
b)
()
()
1
3
0
21ln 1Ix xdx=- +
ò

c)
()
4
2
0
ln sin cos
cos
xx
Idx
x

p
+
=
ò
  d)
()
4
2
2
0
sin cos
x
Idx
xx x
p
=
+
ò

e)
()
1
3
8
2
4
0
1
x
Idx

x
=
-
ò
 f)
()
1
7
2
4
0
1
x
Idx
x
=
+
ò

Hướngdẫn:
a)
()
2
22
343
12
111
21
ln 2 2
ln ln ln

eee
x
xx x
I x dx x xdx xdx I I
xx
æö
+
++
÷
ç
÷
==+=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òòò

Tacó:
()
()
3
4
2
4 24
1 12
2
1

1
4ln
ln
11
ln 1 ln
1
22
1
2
e
e
x
du
ux
e
x
Ixxdx Ix xI
dv xdx
vx
ì
ï
ï
ì
=
ï
ï
=
+
ï
ï

ïï
= =+-=
íí
ïï
=
ïï
ï
î
=+
ï
ï
ï
î
ò

Nhậnxét:Ởcâutrêntachọn
()
2
1
1
2
vx=+đểtiệnchoviệctínhtíchphânsovớicáchchọn
thôngthường.
b) Đặt
()
()
()
()
22
3

3
2
2
33
ln 1
3
1
11
ln 2
2
21
1
xx
du dx dx
ux
x
xxx
I
dv x dx
vx x
ì
ï
ï
ì
ï
==
ï
=+
ï
ï

ï
+
+-+
=-
íí
ïï
=-
ïï
ï
î
ï
=-+
ï
î

c) Đặt
()
2
cos sin
ln sin cos
3
sin cos
ln 2
1
sin cos
42
tan 1
cos
cos
xx

uxx
du
xx
I
xx
dv dx
vx
x
x
p
ì
ï
-
ì
ï
ï
=+
=
ï
ï
ï
ï
ïï
+
=-+
íí
ïï
+
=
ïï

=+=
ïï
ï
î
ï
ï
î

d) Tacó
()()
44
2
22
00
cos
.
cos
sincos sincos
xxxx
Idx dx
x
xx x xx x
pp
-
==-
++
òò

Đặt
()

2
2
sin cos
cos
4
cos
cos
1
4
sin cos
sin cos
x
xx x
u
du
x
x
I
xx
dv dx
v
xx x
xx x
p
p
ì
ï
ì
ï
ï+

=
ï
ï
=
ï
ï
-
ï
ï
ïï
=
íí
ïï
+
=-
ïï
=
ïï
ïï
+
+
ï
î
ï
ï
î

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh



13
Bàitập4.(TríchtừcácđềthiĐH_CĐ)Tínhcáctíchphânsau:
a)(B_2009)
()
3
2
1
3ln
1
x
Idx
x
+
=
+
ò
  b)(D_2008)
2
3
1
lnx
Idx
x
=
ò

c)(D_2007)
32
1
ln

e
Ixxdx=
ò
  d)(D_2006)
()
1
2
0
2
x
Ixedx=-
ò

e)(D_2004)
()
3
2
2
lnIxxdx=-
ò
 f)(A_CĐSP_2004)
4
2
0
tanIxxdx
p
=
ò

Hướngdẫn:

a)
() () ()
333
222
111
3ln 3 ln
111
xx
Idxdxdx
xxx
+
==+
+++
òòò

Đặt
()
2
ln
1
1
1
11
dx
ux
du
x
dx
dv
x

v
x
xx
ì
ì
ï
ï
=
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
ïï

íí
=
-
ïï
ïï
=+=
ïï
+
ïï
++
ï
î
ï

î

27
3ln
16
4
I
+
=

e) Đặt
()
2
2
21
ln
1
x
uxx
du dx
xx
dv dx
vx
ì
ï
-
ì
ï
ï
=-

=
ï
ï
ïï

íí
-
ïï
=
ïï
=-
ï
î
ï
ï
î
.Khiđótacó:
()
()
()
()
()
3
33
3
22
2
22
2
1

1ln 2 1ln 2 lnIx xx dxx xx x x
x
æö
÷
ç
÷
=- - - - =- - - -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò










ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


14
Tínhdiệntíchhìnhphẳng
 Chohìnhphẳnggiớihạnbởicácđường

(), 0
, ()
yfxy
xaxbab
ì
ï
==
ï
í
ï
== <
ï
î
.Khiđódiệntích
S
của
nóđượctínhbởicôngthức:
()
b
a
Sfxdx=
ò

Cáctrườnghợpthườnggặp:
  

()
b
a
Sfxdx=

ò
  
()
b
a
Sfxdx=-
ò
 
() () ()
cd e
acd
S f xdx f xdx fxdx=-+
òòò

 Chohìnhphẳnggiớihạnbởi
(), ()
, ()
yfxygx
xaxbab
ì
ï
==
ï
í
ï
== <
ï
î
.Khiđódiệntíchcủahìnhphẳng
đượctínhbởicôngthức:

() ()
b
a
Sfxgxdx=-
ò

Cáctrườnghợpthườnggặp:
   

()
() ()
b
a
Sfxgxdx=-
ò
 
() () () ()
cd
ac
Sfxgxdxgxfxdx
éùéù
=-+-
êúêú
ëûëû
òò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


15

 Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi
1
2
(): ()
(): ()
Cyfx
Cygx
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
(cácđườngcongtựcắtkhépkín)

 +Bước1:Giảiphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm () ()
xa
fx gx
xb
é
=
ê
=
ê
=
ê
ë


 +Bước2:Sửdụng
() ()
b
a
Sfxgxdx=-
ò

 Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi
1
2
3
(): ()
(): ()
(): ()
Cyfx
Cygx
Cyhx
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï

ï
î


 +Bước1:Giảicácphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
 +Bước2:Sửdụng
() () () ()
cn
ac
S fxhxdx gxhxdx
éùéù
=-+-
êúêú
ëûëû
òò

Chúý:
Đểphádấutrịtuyệtđốitacóhaicáchchínhlà:
 +DựavàođồthịhàmsốDùngnhiềutrongcácđềthi
 +Dựavàođịnhnghĩagiátrịtuyệtđối
Phảighichữ“đvdt”vàokếtquảcuốicùngsaukhitínhdiệntích.
ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


16
Bitp1.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
: 3 2, 0, 0, 3Syx x y x x=-+ = = =
Hngdn:

Dintớchcntớnhl:
()()()
12 3
222
012
11
32 32 32
6
S xxdx xxdx xxdx=-+ ++-+=
ũũũ
(vdt)
Bitp2.Tớnhdintớchhỡnhphng
3
1
:log,0, ,3
3
Sy xy x x
ỡỹ
ùù
ùù
====
ớý
ùù
ùù
ợỵ

Hngdn:
+Xộtdu
3
log x

trờn
1
;3
3
ộự
ờỳ
ờỳ
ởỷ

x

1
3
1
3

3
log x


-
0
+

+Dintớchcntớnhl:
313 31
333
111 11
33 3
184

log log log ln ln
ln 3 3 3 ln 3
S x dx xdx xdx xdx xdx
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
==-+= -=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ũũũ ũũ
(vdt)
Bitp3.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
:43,0Sy x x y=- + - =
Hngdn:

+Phngtrỡnhhonhgiaoim
2
1
430
3
x
xx
x
ộ
=
ờ
-+ -=
ờ
=
ờ
ở

+Dintớchcntớnhl:
()
33
22
11
4
43 43
3
Sxxdx xxdx=-+- =-+- =
ũũ
(vdt)
Bitp3.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}

2
:2,Sy x yx=- + =
Hngdn:
+Phngtrỡnhhonhgiaoim
22
2
220
1
x
xxxx
x
ộ
=-
ờ
- += +=
ờ
=
ờ
ở

ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


17
+Dintớchcntớnhl:
()
11
22
22
9

22
2
Sxxdx xxdx

= + = + =
ũũ
(vdt)
Bitp4.Choth
2
(): 4 3Cy x x=- + -

a) Vitphngtrỡnhtiptuyn
12
,TT
vi
()C
lnltti
(0; 3), (3;0)MN-

b) Tớnhdintớchhỡnhphnggiihnbith
Hngdn:
+Tiptuynti
M
:
43yx=-

+Tiptuynti
N
:
26yx=- +

+PThonhgiaoimgia
1
T
v
2
T
l
3
2
x =
+Dintớchcntớnhl:
()
3
3
2
2
2
03
2
9
3
4
Sxdx xdx=+-=
ũũ
(vdt)
Bitp5.Tớnhdintớchhỡnhphnggiihnbi
22
(): 8Cx y+=
v

2
(): 2Py x=
(Phn
bờntrong
()P
)
Hngdn:
+Xộth
22
2
84
2
2
xy x
x
yx
ỡ
ộ
ù
+= =-
ù
ù
ờ

ớ
ờ
ù
=
=
ờ

ù
ở
ù
ợ
(loaùi)

+Vi
22xy==

+
22 2
(): 8 8Cx y x y+==-

+Dintớchcntớnhl
2
2
2
2
4
82
23
y
Sydy
p
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
= =+

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ũ
(vdt)


ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


18
Bitp6.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
:43,3Sy x x yx=-+ =+

Hngdn:
+Phngtrỡnhhonhgiaoim:
()
2
0
43 3
5
30
x
xx x
x

x
ỡ
ộ
ù
=
-+=+
ù
ù
ờ

ớ
ờ
ù
=
+
ờ
ù
ở
ù
ợ

+Dintớchcntớnhl
()
5
2
0
109
343
6
Sx xxdx=+ + =

ũ
(vdt)
Bitp7.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
: ( ): 2 0,( ): 0SCy yx Dxy-+= +=

Hngdn:
+
2
0; 0
() (): 2 0
3; 3
yx
CDy yy
yx
ộ
==
ờ
ầ-++=
ờ
==-
ờ
ở

+Dintớchcntớnhl
()
3
2
0

9
3
2
Syydy=-+ =
ũ
(vdt)

Bitp8.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
:(): 2,(): 2 2 0, : 0SPy xDxy Oxy=-+==

Hngdn:
+Tacú:
2
2
2
() ():
2
22
y
yx
PD
x
xx y
ỡ
ỡ
ù
ù
=

=
ù
ù
ù
ầ
ớớ
ùù
=
== -
ùù
ợ
ù
ợ

+Dintớchcntớnhl
()
2
2
23
2
0
0
8
22 2
266
yy
Sydyyy
ộựổử
ữ
ỗ

ờỳ
ữ
= =-+=
ỗ
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
ốứ
ởỷ
ũ
(vdt)


ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


19
Tớnhthtớchkhitrũnxoay
Thtớchhỡnhtrũnxoaykhiquayquanhtrchonhhỡnhphnggiihnbi:
(): ()
0
,
Cy fx
y
xaxb
ỡ
ù
=

ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
==
ù
ù
ợ

Thtớchctớnhbicụngthc:
2
()
b
a
Vfxdx
p
=
ũ

Thtớchhỡnhtrũnxoaykhiquayquanhtrchonhhỡnhphnggiihnbi:
1
2
(): ()
(): ()
,
0()(), ;
Cyfx

Cygx
xaxb
fx gx x ab
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
=
ù
ù
ớ
==
ù
ù
ù
ù
ộự
ÊÊ "ẻ
ù
ờỳ
ởỷ
ù
ợ

Thtớchctớnhbicụngthc:
22
() ()
b

a
Vfxgxdx
p
ộự
=-
ờỳ
ởỷ
ũ

Bitp1.Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquayquanhtrc
Ox
hỡnhphnggiihnbi
44
sin cosyxx=+
,trchonh,cỏcngthng 0,xxp==

Hngdn:
Thtớchcntớnhl:
()
44 2
000
1313
sin cos 1 sin 2 cos 4
2444
V x xdx xdx xdx
ppp
pppp
ổửổử
ữữ
ỗỗ

ữữ
=+=- =+ =
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ốứốứ
ũũũ
(vtt)
Bitp2.Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquayquanhtrc
Ox
hỡnhphnggiihnbi
2
yx=
v
2yx=

Hngdn:
+PThonhgiaoim
2
20;2xxxx== =

+Thtớchcntớnhl:
()
2
24
0
64
4

15
Vxxdx
p
p
=-=
ũ
(vtt)
ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


20
Bitp3.Chomin(D)giihnbi
2
(): 2Py x=
v
:2dx=

a) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrchonh
b) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrctung
Hngdn:
a) Thtớchcntớnhl:
22
2
00
() 2 4Vfxdx xdx
ppp
===
ũũ

b) Min(D)giihnbi:

2
1
2, , 2 2
2
xxy y== -ÊÊ
Thtớchcntớnhl
2
2
24 4
2
2
1164
24
4205
Vydyyy
p
pp
-
-
ổửổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
=- =- =
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ốứố ứ

ũ
(vtt)
Bitp4.Chomin(D)giihnbi
2
(): 2Py x x=-
vtrchonh.
c) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrchonh
d) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrctung
Hngdn:
a) Phngtrỡnhhonhgiaoim:
2
0
20
2
x
xx
x
ộ
=
ờ
-=
ờ
=
ờ
ở

Thtớchcntớnhl:
()
2
2

2
0
16
2
15
Vxxdx
pp
=-=
ũ
(vtt)
b) Tacú:

1
22
2
11
220 (1)
11
xy
yxx x xy y
xy
ộ
=+ -
ờ
=--+= Ê
ờ
ờ
=- -
ở

Min(D)giihnbi
1
2
11
11
01
xy
xy
y
ỡ
ù
=+ -
ù
ù
ù
ù
=- -
ớ
ù
ù
ÊÊ
ù
ù
ù
ợ

Thtớchcntớnhl:
()
()()
11 1

22
12 1212
00 0
8
41
3
Vxxdyxxxxdy ydy
pp pp
=-=+-= -=
ũũ ũ
(vtt)

(
P
)
y
x

-2
2
2
O
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


21
Bàitập5.Chomiền(D)giớihạnbởi
()
2
2

(): 4 1Cx y+- =
.Tínhthểtíchhìnhtrònxoay
khiquay(D)quanhtrụchoành:
Hướngdẫn:
+Tacó
()

2
2
1
2
2
2
41
41 (1 1)
41
yx
xy x
yx
é
=+ -
ê
+- = -££
ê
ê
=- -
ê
ë

+Thểtíchcầntínhlà:

()
()()
11
22
12 1212
11
Vyydxyyyydx
pp

=-=+-
òò


1
22
1
16 1 8xdx
pp
-
=-=
ò
(đvtt)
Bàitập6.Chomiền(D)giớihạnbởi
2
(): 5 0Py x+-=
và
:30dx y+-=
.Tínhthể
tíchkhốitrònxoaykhiquay(D)quanhtrụchoành.
Hướngdẫn:

+Tacó
2
5
50 ( 5)
5
yx
yx x
yx
é
=-
ê
+-= £
ê
ê
=- -
ë

+Xéthệ
2
4; 1
50
1; 2
30
xy
yx
xy
xy
ì
é
ï

==-
+-=
ï
ï
ê

í
ê
ï
==
+-=
ê
ï
ë
ï
î

+Khiđómiền(D):
5
3
0
15
yx
yx
y
x
ì
ï
=-
ï

ï
ï
ï
=-
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
££
ï
ï
î

+Thểtíchcầntínhlà:
() ()
53
2
11
16
53
3
Vxdxxdx
pp p
= =
òò
(đvtt)
