khái quát về csdlqh với thông tin không đầy đủ

Giới thiệu
Trong những năm gần đây, các ứng dụng máy tính cho quản lý ngày càng nhiều.
Cách mạng về máy vi tính đã tạo điều kiện để máy tính hỗ trợ tích cực các nhà quản lý, họ
có thể truy cập đến hàng ngàn cơ sở dữ liệu ở nhiều vị trí khác nhau để thu thập các thông
tin cần thiết. Hầu hết các tổ chức, các công ty đều dùng phân tích có tính toán trong quyết
định của mình. Hệ trợ giúp quyết định ngày càng đóng một vai trò quan trọng trong quá
trình ra quyết định của các nhà quản lý. Hiện nay mô hình dữ liệu được sử dụng trong các
hệ trợ giúp quyết định phổ biến vẫn là mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ (CSDLQH) truyền
thống.
Trong mô hình CSDLQH truyền thống các dữ liệu được lưu trữ đều là dữ liệu rõ.
Các phép toán trên CSDL đều được xây dựng dựa trên cơ sở các phép so sánh đơn giản
như =, >, ≥, ≤, <, ≠. Trong đó các phép so sánh dùng để so sánh giữa hai biến là hai thuộc
tính hoặc giữa một biến là một thuộc tính và một hằng, kết quả cho giá trị “TRUE” hoặc
“FALSE” tùy theo mối quan hệ của chúng. Như vậy miền giá trị của biến được so sánh là
miền các giá trị rõ và việc so sánh là so sánh chính xác. Tuy nhiên thông tin về thế giới
thực cần lưu trữ hay xử lý thường có thể là thông tin không đầy đủ, chúng có thể có nhiều
dạng chẳng hạn như: không biết một số thông tin về một đối tượng, thông tin lưu trữ có thể
không chính xác, thông tin lưu trữ có thể không chắc chắn hay mờ. Do đó, các nhà quản lý
thường phải đối mặt với vấn đề thiếu thông tin trong quá trình ra quyết định, họ phải dùng
đến những thông tin không hoàn toàn đầy đủ để rút ra các tri thức tổng hợp, hỗ trợ cho việc
ra quyết định.
Việc cần thiết phải có một mô hình cơ sở dữ liệu thích hợp để cho phép lưu trữ và xử
lý cả những thông tin đầy đủ và không đầy đủ đã được nhiều nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu. Hiện tại đã có nhiều cách tiếp cận mở rộng đưa dữ liệu mờ vào lý thuyết quan
hệ với mong muốn tìm được những mô hình chấp nhận thông tin không đầy đủ, cho phép
biểu diễn và khai thác thông tin một cách tốt hơn, tiện lợi hơn trong những lớp bài toán
thực tế nào đó.
1
Với mục đích tìm hiểu các mô hình đã được sử dụng để mở rộng CSDLQH, đồ án
này sẽ đề cập đến một số cách tiếp cận mờ để mở rộng CSDLQH trong Chương I, trong đó
nhấn mạnh vào mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự của hai tác giả P.Buckles và

E.Petry. Chương II sẽ trình bày mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự của TS.Hồ Cẩm
Hà. Dựa trên các tài liệu tham khảo và các kiến thức đã được học trong môn cơ sở dữ liệu
I, trong Chương III tác giả đồ án sẽ mở rộng lý thuyết thiết kế CSDLQH truyền thống để
chuẩn hoá lược đồ CSDLQH dựa trên tính tương tự. Cuối cùng, Chương IV sẽ trình bày
việc cài đặt một mô đun cho phép thực hiện các thao tác xử lý dữ liệu theo mô hình được
đề cập trong Chương II.
Chương I. Khái quát về CSDLQH với thông tin không đầy đủ
Mô hình quan hệ mặc dù không phải là mô hình quản trị cơ sở dữ liệu (CSDL) xuất
hiện đầu tiên và cũng không phải là mô hình quản trị CSDL tiên tiến nhất nhưng lại đóng
vai trò quan trọng và được sử dụng phổ biến nhất hiện nay. Chính vì vậy, việc áp dụng lý
thuyết mờ vào mô hình CSDLQH là một trong những xu hướng đã được rất nhiều nhà
nghiên cứu quan tâm. Chương này gồm hai phần chính, phần thứ nhất sẽ trình bày tóm tắt
một số hướng tiếp cận CSDLQH mờ, phần thứ hai sẽ trình bày tương đối chi tiết cách tiếp
cận dựa trên cơ sở tính tương tự của hai tác giả P.Buckles và E.Petry.
1. Một số cách tiếp cận CSDLQH mờ
Tiếp cận dựa trên cơ sở quan hệ mờ (The fuzzy relation – based approach)
Tiếp cận này do Bladwin và Zhou đưa ra đầu tiên vào năm 1984, Zvieli đưa ra năm
1986.
Theo đó quan hệ mờ R⊆D
1
×D
2
× ×D
n
được đặc trưng bởi hàm thuộc:
µ
R
: D
1
×D

2
× ×D
n
→[0,1].
2
Như vậy, mỗi bộ của R có dạng t=(u
1
,u
2
, ,u
n
,µ
R
(u
1
,u
2
, ,u
n
)), trong đó u
i
∈D
i
với
i=1,2, ,n, µ
R
(u
1
,u
2

, ,u
n
) chỉ mức độ thuộc quan hệ R của t.
Với cách tiếp cận này, khái niệm một bộ thuộc về một quan hệ là một khái niệm mờ
trong khi các giá trị cụ thể của các thuộc tính lại là giá trị không mờ hoặc cũng có thể là
các biến ngôn ngữ nhưng được xử lý như một đơn giá trị.
Tiếp cận trên cơ sở tính khả năng (The possibility – based approach)
Tiếp cận này do Prade và Testemale đưa ra đầu tiên vào năm 1983, Zemankova đưa
ra năm 1984. Theo đó các giá trị thuộc tính bị mờ hoá bằng việc cho phép các phân phối
khả năng xuất hiện như một giá trị thuộc tính. Nghĩa là:
Một quan hệ R là một tập con của Π(D
1
)×Π(D
2
)× ×Π(D
n
), với Π(D
i
)={π|π là một
phân phối khả năng của A
i
trên D
i
}.
Một n bộ t∈R có dạng (π
1
, π
2
,…, π
n

), π
Ai
∈Π(D
i
). Ngoài ra còn có thêm phần tử đặc
biệt e để chỉ những giá trị không thể áp dụng. Như vậy π
Ai
được

định nghĩa là một hàm xác
định từ (D
i
∪e) lên [0,1].
Theo mô hình này các giá trị thuộc tính được làm mờ hóa bằng việc cho phép các
phân phối khả năng xuất hiện như một giá trị thuộc tính.
Vào năm 1989 và 1991, Rundensteiner, Hawkes, Bandler và Chen đã mở rộng mô
hình này bằng cách thêm vào một quan hệ c
i
xác định trên mỗi miền D
i
thể hiện mối quan
hệ “gần nhau” giữa các phần tử của miền, c
i
: D
i
×D
i
→[0,1] là một quan hệ mờ hai ngôi trên
D
i

thỏa các tính chất:
Phản xạ: c
i
(x,x)=1.
Đối xứng : c
i
(x,y)=c
i
(y,x).
Tiếp cận dựa trên xấp xỉ ngữ nghĩa (The semantic proximity approach)
Cách tiếp cận này do Wei-Yi-Lin đưa ra để đo mức độ xấp xỉ về mặt ngữ nghĩa giữa
hai giá trị. Hàm xấp xỉ SP có các tính chất sau:
0 ≤ SP(f
1
, f
2
) ≤ 1,
SP(f
1
, f
2
) = SP(f
2
, f
1
),
3
SP(f
1
, f

1
) ≥ SP(f
1
, f
2
),
Tác giả đưa ra tiêu chuẩn để xây dựng hàm đo xấp xỉ ngữ nghĩa trên số mờ dạng
khoảng:
Cho f
1
=[a
1
,b
1
], f
2
=[a
2
,b
2
], g
1
=[c
1
,d
1
], g
2
=[c
2

,d
2
],
SP(f
1
,f
2
)=1 ⇔ a
1
=b
1
=a
2
=b
2
,
SP(f
1
,f
2
)=0 ⇔ f
1
∩f
2
=∅,
Nếu a
1
=a
2
, b

1
=b
2
, c
1
=c
2
, d
1
=d
2
và |d
1
-c
1
|>|b
1
-a
1
| thì SP(f
1
,f
2
)≥SP(g
1
,g
2
).
Đối với mô hình này, khi so sánh hai bộ thì phải so sánh về mặt ngữ nghĩa. Nói cách
khác, hai bộ được gọi là bằng nhau nếu độ xấp xỉ ngữ nghĩa của chúng vượt quá một

ngưỡng nào đó.
Tiếp cận phối hợp (The combined approach)
Với cách tiếp cận này, sẽ áp dụng việc mờ hoá cả trong sự thuộc vào một quan hệ
của một bộ cũng như tính mờ trong các giá trị thuộc tính hay mối quan hệ giữa các phần tử
của miền. Theo Van Schooten và Kere (1988), giá trị thuộc tính là các phân phối khả năng
và mỗi bộ được gán cho một cặp (p, n) để biểu diễn một cách tương ứng các khả năng có
thể thuộc quan hệ và khả năng không thể thuộc quan hệ của bộ này. Như vậy một n-bộ có
dạng: (π
A1
, π
A2
, π
An
, p
t
, n
t
), π
Ai
∈ Π(D
i
).
Ở đây, giá trị tại các thuộc tính không cần phải là giá trị nguyên tố, một đơn giá trị,
nhưng phải được đánh giá “gần nhau” ở cấp độ nào đó.
2. Mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự
Mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự do P.Buckles và E.Petry đưa ra lần đầu
tiên vào năm 1983. Đây là việc mở rộng và làm mờ hoá CSDLQH truyền thống đã được
Codd đưa ra vào cuối những năm 70.
Trong mô hình này, các miền giá trị của CSDL hoặc là vô hướng rời rạc, hoặc là tập
số rời rạc lấy từ những tập vô hạn hay hữu hạn. Giá trị miền (giá trị tại một thuộc tính) của

một bộ cũng có thể là một giá trị vô hướng (đơn) hay một dãy gồm nhiều giá trị vô hướng.
Quan hệ bằng nhau ở đây được thay thế bởi một quan hệ tương tự được mô tả tường minh
4
mà quan hệ bằng nhau trong mô hình CSDLQH truyền thống chỉ là một trường hợp riêng
của nó.
2.1. Những định nghĩa cơ sở
Định nghĩa 1.1. Một quan hệ tương tự S
D
(x, y), trên một miền D, là một ánh xạ mọi cặp
phần tử của miền vào khoảng đóng [0, 1] thoả ba tính chất sau với mọi x, y, z∈D:
1.Phản xạ S
D
(x, x)=1
2.Đối xứng S
D
(x, y) =S
D
(y, x)
3.Bắc cầu S
D
(x, z)
≥
Max
y
(Min[S
D
(x, y), S
D
(y, z)])
Một giá trị thuộc tính d

ij
, trong đó i là chỉ số của bộ thứ i, được định nghĩa là một tập
con không rỗng của miền tương ứng D
j
. Dùng kí hiệu 2
Dj
để chỉ tập tất cả các tập con
không rỗng của D
j
.
Định nghĩa 1.2. Một quan hệ mờ r, là một tập con của tích Đề-các 2
D1
×…×2
Dm
.
Định nghĩa 1.3. Một bộ t của một quan hệ mờ là một phần tử của tập 2
D1
×…×2
Dm
.
Một cách tổng quát, một bộ t
i
∈r có dạng: t
i
=(d
i1
, d
i2
,…, d
im

), d
ij
⊆D
j
.
Định nghĩa 1.4. Một thể hiện ℑ={a
1
, a
2,
…, a
m
} của một bộ t
i
=(d
i1
, d
i2
…, d
im
) là bất cứ một
phép gán nào sao cho a
j
∈d
ij
∀j=1, 2,…, m.
Không gian thể hiện là D
1
× D
2
× × D

m
và bị giới hạn bởi tập các bộ hợp lệ trong
quan hệ mờ. Các bộ hợp lệ được xác định dưới ngữ nghĩa của quan hệ này. Trong
CSDLQH truyền thống thì bộ t trùng với thể hiện của chính nó.
Định nghĩa 1.5. Ngưỡng tương tự của một miền D
j
của một quan hệ (mờ) được kí hiệu là
Thres(D
j
) và được xác định như sau:
Thres(D
j
)≤min{min[s
j
(x,y)]}
i x,y∈d
ij
trong đó i=1, 2, là chỉ số của bộ.
Có thể thấy được rằng, CSDLQH truyền thống chính là trường hợp đặc biệt của
CSDL mờ khi ngưỡng Thres(D
j
)=1 với mọi j.
5
Trên cơ sở các ngưỡng tương tự đã cho trên mỗi miền trị thuộc tính, tính dư thừa dữ
liệu của một quan hệ trong mô hình này được xác định và đại số quan hệ được xây dựng.
Định nghĩa 1.6. Trong quan hệ mờ r, hai bộ t
i
=(d
i1
, d

i2
,…, d
im
) và t
k
=(d
k1
, d
k2
,…, d
km
), i≠k
được coi là thừa đối với nhau nếu ∀j=1, 2,…,m:
Thres(D
j
)≤min[s
j
(x,y)]
x,y∈d
ij
∪d
kj
trong đó: Thres(D
j
)≤min{min[s
j
(x,y)]}, i=1, 2,… là chỉ số của bộ.
i x,y∈d
ij
Như vậy, mỗi bộ có thể tương ứng với một số lớn các thể hiện. Tuy nhiên, với quan

niệm về dư thừa dữ liệu như trên, mô hình CSDLQH này vẫn tương thích với CSDLQH
truyền thống. Ở đây, không cho phép tồn tại hai bộ có chung một thể hiện.
2.2. Đại số quan hệ
Các phép toán quan hệ mờ cũng gồm bốn thành phần (toán tử quan hệ, thuộc tính,
tên quan hệ, điều kiện) như trong mô hình quan hệ truyền thống thêm vào đó là một câu
xác định ngưỡng tương tự áp dụng cho phép toán này.
Kết quả cuối cùng của phép toán quan hệ là một quan hệ đạt được bằng việc trộn các
bộ thừa (tức là hợp các giá trị thuộc tính tương ứng) cho đến khi không còn bộ thừa.
Một bộ được coi là nằm trong quan hệ kết quả của phép giao hai quan hệ sẽ là một
bộ thuộc một trong hai quan hệ này và có thể được trộn với một bộ nào đó thuộc quan hệ
kia mà không vi phạm các ngưỡng tương tự đã cho trước.
Phép hợp hai quan hệ cho kết quả là một quan hệ đạt được sau khi đã loại bỏ các bộ
thừa của tập gồm tất cả các bộ thuộc quan hệ này và tất cả các bộ thuộc quan hệ kia.
Các phép chiếu, hợp và giao cho kết quả duy nhất. Phép chiếu và phép hợp chỉ khác
CSDLQH truyền thống ở cách thức loại bỏ các bộ thừa.
2.3. Phụ thuộc hàm
Để mở rộng khái niệm phụ thuộc hàm cho CSDLQH dựa trên tính tương tự, trước
hết khái niệm về độ tương tự giữa hai bộ cần phải được xác định.
6
Định nghĩa 1.7. Cho một miền D
k
của một quan hệ r, độ tương tự của hai bộ t
i
và t
j
trên D
k
được định nghĩa là:
T
s

[D
k
(t
i
,t
j
)]=Min(s
k
(p,q))
p,q
∈
d
ik
∪d
jk

Ở đây d
ik
và d
jk
là giá trị của bộ t
i
và bộ t
j
trên thuộc tính thứ k của quan hệ r, có
nghĩa là d
ik
và d
jk
đều là tập con của D

k
. Trong CSDLQH truyền thống cả d
ik
và d
jk
đều chỉ
gồm một phần tử, khi đó độ tương tự của hai bộ bất kỳ chỉ có thể là một nếu hai bộ này có
giá trị trùng nhau ở mọi thuộc tính, nếu không độ tương tự của chúng phải bằng 0. Như
vậy:
Thres(D
k
)=Min{T
s
[D
k
(t
i
,t
j
)]}
∀i,j
Một phụ thuộc hàm trong mô hình này là một mở rộng trực tiếp phụ thuộc hàm trong
CSDLQH truyền thống.
Định nghĩa 1.8. Nếu A và B là hai thuộc tính của một quan hệ r thì ta nói r thoả phụ thuộc
hàm A→B nếu với mọi bộ t
i
, t
j
: T
s

[A(t
i
,t
j
)]≤T
s
[B(t
i
,t
j
)].
Định nghĩa 1.9. Nếu X và Y là hai thuộc tính của một quan hệ r thì ta nói r thoả phụ thuộc
hàm X→Y nếu với mọi bộ t
i
, t
j
:
Min{T
s
[A(t
i
,t
j
)]}≤Min{T
s
[B(t
i
,t
j
)]}

∀A,A∈X ∀B,B∈Y
3. Nhận xét
Việc sử dụng lý thuyết mờ, một mở rộng của lý thuyết tập hợp thông thường, để mở
rộng khả năng biểu diễn thông tin mơ hồ, không chính xác trong CSDL là một điều tự
nhiên và hợp lý. Có thể thấy có hai khuynh hướng chủ yếu đã được sử dụng để mờ hóa
thông tin:
Khuynh hướng thứ nhất là sử dụng nguyên lý thay thế quan hệ đồng nhất thông
thường của các giá trị trong cùng một miền (giá trị thuộc tính) bởi các độ đo về sự “giống
nhau” giữa chúng. Tính không chính xác của những giá trị dữ liệu ẩn trong việc sử dụng
7
các quan hệ mờ được cho bởi những bảng tách riêng. Khuynh hướng này cho phép coi một
tập các giá trị nào đó như một thể hiện có thể (hay một xấp xỉ về mặt ngữ nghĩa) của một
đơn giá trị. Mô hình CSDLQH được mở rộng theo khuynh hướng này có thêm khả năng
làm việc (lưu trữ và xử lý) với những thông tin không chính xác.
Khuynh hướng thứ hai là dùng phân phối khả năng như một rằng buộc mờ về các giá
trị có thể lấy cho một bộ trên một thuộc tính. Tính không chắc chắn của dữ liệu được thể
hiện tường minh nhờ các phân phối khả năng. Các mô hình CSDLQH được mở rộng theo
khuynh hướng này cho phép biểu diễn không chỉ các thông tin chính xác, chắc chắn mà cả
những thông tin không chắc chắn, những giá trị null.
Tuy nhiên việc lưu trữ và thao tác trên những thông tin trong các mô hình CSDLQH
được mở rộng theo hai khuynh hướng này thực sự phức tạp với quá nhiều phép tính toán.
Để có được những mô hình mở rộng của CSDLQH có khả năng mạnh mẽ trong việc
lưu trữ và xử lý cả những giá trị có thể không chính xác khi biểu diễn thông tin lẫn những
giá trị thể hiện thông tin không chắc chắn, giải pháp đưa ra là phối hợp cả hai khuynh
hướng trên. Tuy có được một mô hình cho phép nắm bắt thông tin không đầy đủ ở tình
huống tổng quát song điều này càng làm cho mô hình trở nên phức tạp cả ở lưu trữ lẫn xử
lý.
Có thể nhận thấy rằng, mô hình của hai tác giả P.Buckles và E.Petry khác với
CSDLQH truyền thống ở hai điểm quan trọng: giá trị tại mỗi thuộc tính của một đối tượng
có thể là một tập và trên mỗi một miền của thuộc tính có một quan hệ mờ thể hiện cấp độ

tương tự giữa các phần tử của miền. Trong mô hình này, tuy giá trị của mỗi bộ tại mỗi
thuộc tính có thể chứa một hay nhiều phần tử của miền tương ứng, nhưng có một ràng buộc
là các phần tử trong cùng một giá trị thuộc tính (của cùng một đối tượng) phải đủ tương tự
với nhau nghĩa là cấp độ tương tự của một cặp bất kỳ các phần tử trong cùng giá trị thuộc
tính không nhỏ hơn ngưỡng tương tự đã xác định. Cách mở rộng mô hình CSDL của hai
tác giả này thuộc khuynh hướng thứ nhất trong hai khuynh hướng cơ bản đã nêu ở trên,
nhằm mục đích có được khả năng biểu diễn thông tin không chính xác. Mặc dù giá trị của
8
mỗi bộ tại mỗi thuộc tính là một tập nhưng các phần tử trong tập này đều được coi là
những thể hiện (có thể không chính xác) của một giá trị đơn.
Chương II. Mở rộng mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự
Chương này sẽ dành để trình bày mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự do TS.
Hồ Cẩm Hà đề xuất. Nội dung của chương được chia thành năm phần. Phần thứ nhất sẽ
nêu lên các khái niệm cơ sở của mô hình, dựa trên các khái niệm đó trong phần hai sẽ trình
bày các phép toán đại số quan hệ. Phần ba sẽ nêu lên các quy tắc cập nhật dữ liệu, phần
tiếp theo sẽ đề xuất một ngôn ngữ hỏi cho mô hình này và phần cuối cùng sẽ trình bày về
các phụ thuộc dữ liệu.
1. Mở rộng mô hình CSDLQH của P.Buckles và E.Petry
Như đã nêu trong phần nhận xét của Chương I, trong mô hình CSDLQH dựa trên
tính tương tự của P.Buckles và E.Petry mặc dù giá trị của mỗi bộ tại mỗi thuộc tính là một
tập nhưng các phần tử trong tập này đều được coi là những thể hiện của một giá trị đơn.
Trong công trình nghiên cứu của mình TS. Hồ Cẩm Hà đã đưa ra một mô hình CSDLQH
kế thừa ý tưởng của hai tác giả trên, nhưng cho phép các phần tử của mỗi bộ tại mỗi giá trị
thuộc tính không bị đòi hỏi đủ tương tự theo ngưỡng. Điều này cho phép mỗi giá trị thuộc
tính chứa các phần tử biểu diễn những khả năng rất khác xa nhau có thể xảy ra bởi những
giá trị không hề tương tự.
9
Khi mô hình hoá một CSDLQH theo cách này sẽ không chỉ cho phép nắm bắt những
thông tin không chính xác mà cả những thông tin không chắc chắn. Sự phân tách thành các
khả năng thực chất là nhờ vào độ đo tương tự trên mỗi miền và ngưỡng đặt ra. Bởi vậy

những thông tin không chắc chắn thể hiện bằng sự tồn tại của những giá trị mà độ tương tự
giữa chúng nhỏ hơn ngưỡng đã cho chứ không biểu diễn bằng các phân phối khả năng.
Theo một nghĩa nào đó, nếu coi các phần tử đủ tương tự với nhau (theo ngưỡng cho
biết) thuộc về cùng một khả năng có thể xảy ra thì mô hình của P.Buckles và E.Petry chỉ
cho phép nắm giữ thông tin của những đối tượng mà với những đối tượng này thông tin
biết được về mỗi thuộc tính chỉ thuộc về một khả năng (tương tự của một đơn giá trị). Tuy
nhiên trong cuộc sống có thể gặp những thông tin không chắc chắn về một đối tượng mà
trên một thuộc tính có thể xảy ra nhiều khả năng.
Mô hình mới đã khắc phục những hạn chế trên do có các đặc tính sau: mỗi miền trị
thuộc tính được gắn với một độ đo “sự tương tự” của cặp hai phần tử bất kỳ của miền trị
này; thông tin về một đối tượng được thể hiện bởi một bộ trong quan hệ; giá trị của một bộ
tại một thuộc tính có thể là một tập gồm nhiều phần tử và được phân hoạch thành các lớp
tương đương bao gồm các phần tử “đủ” tương tự (theo ngưỡng); có thể quan niệm rằng các
phần tử trong một lớp tương đương là những thể hiện không chính xác của một giá trị đơn
hoặc cũng có thể coi mỗi lớp tương đương thể hiện một khả năng có thể xảy ra.
Ngữ nghĩa của mỗi bộ trong mô hình mới sẽ được trình bày trong phần dưới đây,
một quan điểm tương ứng về dư thừa dữ liệu cũng được phát biểu. Khai niệm về bộ dư
thừa rất quan trọng vì nó là cơ sở để xây dựng các qui tắc cập nhật dữ liệu, các phép toán
quan hệ và khái niệm các phụ thuộc hàm.
1.1. Ngữ nghĩa của một bộ, quan niệm về các bộ thừa trong quan hệ
Cho một lược đồ quan hệ R(U), U là tập hữu hạn các thuộc tính, U = {A
1
, A
2
,…,
A
m
}. D
j
là miền trị của A

j
. Trên mỗi miền trị D
j
có một quan hệ tương tự (với tính chất bắc
cầu) s
j
. Dùng kí hiệu 2
Dj
để chỉ tập tất cả các tập con khác rỗng của D
j
. Một quan hệ mờ r,
là một tập con của tập tích Đề-các 2
D1
×…×2
Dm
. Một bộ t của một quan hệ mờ là một phần
10
tử của tập 2
D1
×…×2
Dm
. Một cách tổng quát, một bộ t ∈ r có dạng: t = (d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D

j
.
Bộ t cung cấp thông tin về một đối tượng O.
Giá trị d
j
của bộ t trên thuộc tính A
j
là một tập hợp khác rỗng, sử dụng kí pháp tập
hợp, chẳng hạn {a
1
,a
2
,…,a
k
}, trong đó ∀i = 1, 2,…, k, a
i
∈ D
j
. Khi đó có một số cách hiểu
khác nhau về ngữ nghĩa của bộ t (trên thuộc tính A
j
) như sau:
1. Chỉ một trong số các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
(nhưng chưa
biết được chính xác là tập con nào) và không có phần tử nào ngoài tập d
j
là thông

tin đúng về O trên A
j
.
2. Một tập khác rỗng các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
(nhưng chưa
biết được chính xác là tập con nào) và không có tập con nào của (D
j
-d
j
) là thông
tin đúng về O trên A
j
.
3. Thông tin đúng về O trên A
j
chỉ có thể là một phần tử của D
j
và có thể một trong
số các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
.
4. Có thể một tập khác rỗng các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j

.
Với một ngưỡng α
j
của miền D
j
, kí hiệu THRES(D
j
)=α
j
, x, y
∈
D
j
, nếu s(x, y)
≥
α
j
thì
chúng ta viết x∼
α
j
y. Rõ ràng ∼
α
j
là một quan hệ hai ngôi trên D
j
và:
Bổ đề 2.1. ∼
α
j

là một quan hệ tương đương trên D
j
.
Khi đã có một ngưỡng α
j
xác định trên miền D
j
và không sợ nhầm lẫn có thể viết
x∼y thay vì viết đầy đủ x∼
α
j
y.
Chứng minh:
∀x∈D
j
, s(x,x)=1
≥
α
j
nên x∼x. Từ x∼y ta có y∼x do tính đối xứng của quan hệ s. Cuối
cùng, nếu có x∼y và có y∼z sẽ có x∼z do s có tính bắc cầu T1.
Như vậy quan hệ ∼ phân hoạch D
j
thành các lớp tương đương, mỗi lớp tương đương
gồm các phần tử đủ tương tự với nhau hay còn nói rằng những phần tử này xấp xỉ nhau
(theo ngưỡng). Gọi mỗi lớp tương đương là một khả năng. Các lớp tương đương phân biệt
cho các khả năng khác nhau. Khi ngưỡng thay đổi số khả năng xuất hiện ở d
j
có thể thay
đổi, dễ thấy khi lấy ngưỡng giảm đi số khả năng sẽ không tăng và có thể giảm, khi lấy

11
ngưỡng tăng lên số khả năng sẽ không giảm và có thể tăng. Với quan niệm về khả năng
nhờ vào khái niệm xấp xỉ theo một ngưỡng tương tự giữa các phần tử như vậy, có một số
cách hiểu khác nhau về ngữ nghĩa của bộ t (trên thuộc tính A
j
) như sau:
5. Chỉ một trong số các khả năng xuất hiện ở d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
(nhưng chưa biết được chính xác là khả năng nào). Không có khả năng nào
không xuất hiện trong d
j
lại là thông tin đúng về O trên A
j
.
6. Một tập con khác rỗng của tập tất cả các khả năng xuất hiện ở d
j
là thông tin đúng
về O trên A
j
(nhưng chưa biết chính xác là tập con nào) và không có tập con khả
năng nào là thông tin đúng về O trên A
j
nếu như nó chứa khả năng không xuất
hiện ở d
j
.
7. Thông tin đúng về O trên A
j

chỉ có thể là một khả năng trong D
j
và có thể một
trong số các khả năng xuất hiện ở d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
.
8. Có thể một tập khác rỗng các khả năng xuất hiện ở d
j
là thông tin đúng về O trên
A
j
.
Dễ dàng nhận thấy rằng, nếu lấy ngưỡng α
j
=1.0 thì sẽ có các cách hiểu 1. và 5. trùng
nhau, 2. và 6. trùng nhau.
Ở đây chỉ xem xét mô hình mở rộng, giới hạn trong cách hiểu 6. đối với kí pháp tập
hợp và phần tử trong tập hợp {a
1
, a
2
,…, a
k
}, kí pháp đã được dùng để biểu thị giá trị d
j
của
bộ t trên thuộc tính A
j

.
Qui ước:
. Dùng
j
d
để chỉ tập tất cả các lớp tương đương của d
j
được phân hoạch bởi ngưỡng
đã xác định cho A
j
. Nghĩa là
j
d
={
i
a
/a
i
∈
d
j
}.
. Dùng 2
j
D
để chỉ tập tất cả các tập con khác rỗng của tập thương (D
j
/∼
α
j

).
Định nghĩa 2.1. Với ngưỡng α=(α
1
, α
2
,…, α
m
). Một thể hiện khả năng theo α, T
α
=(v
1
, v
2
,
…, v
m
) của một bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) là bất cứ phép gán nào sao cho ∀i=1, 2,…, m: ∅≠v
i
⊆
i
d
.
12
Định nghĩa 2.2. Ngữ nghĩa theo ngưỡng α của một bộ t, kí hiệu là S

p
(t)
α
, là tập tất cả các
thể hiện khả năng theo α của bộ t.
Ví dụ 2.1:
Cho quan hệ t như dưới đây:
A B
{a
1
, a
2
, a
3
} {b
1
, b
2
}
Giả sử với ngưỡng α đang xét thì
a
1
=
a
3
≠
a
2
,
b

1
≠
b
2
. Khi đó sẽ có
d
A
={
a
1
,
a
2
}={
a
3
,
a
2
},
d
B
={
b
1
,
b
2
}.
Các thể hiện khả năng theo α có thể có của bộ t là:

1. ({
a
1
,
a
2
},{
b
1
,
b
2
})
2. ({
a
1
},{
b
1
,
b
2
})
3. ({
a
2
},{
b
1
,

b
2
})
4. ({
a
1
,
a
2
},{
b
1
})
5. ({
a
1,
a
2
},{
b
2
})
6. ({
a
1
},{
b
1
})
7. ({

a
1
},{
b
2
})
8. ({
a
2
},{
b
1
})
9. ({
a
2
},{
b
2
})
Như vậy ngữ nghĩa S
p
(t)
α
là tập gồm 9 thể hiện khả năng kể trên. Trong mô hình của
P.Buckles và E.Petry, tuy một bộ có thể có nhiều thể hiện nhưng vẫn chỉ có một thể hiện
khả năng.
Trong một CSDL rõ, một bộ được coi là thừa nếu và chỉ nếu nó trùng hoàn toàn với
một bộ khác. Theo quan điểm của P.Buckles và E.Petry, một bộ là thừa nếu có thể trộn nó
với một số bộ khác mà vẫn không vi phạm ngưỡng tương tự đã cho, hay nói cách khác, nếu

nó có chung một thể hiện với một bộ khác. Trong mô hình đang xem xét ở đây, hai bộ
được coi là thừa với nhau nếu chúng có cùng một tập các khả năng trên mỗi thuộc tính. Có
thể hình thức hoá điều này như sau:
Định nghĩa 2.3. Trong quan hệ mờ r, hai bộ t
i
=(d
i1
, d
i2
,…, d
im
) và t
k
=(d
k1
, d
k2
,…, d
km
), i≠k
được gọi là thừa đối với nhau nếu ∀j=1, 2,…, m, ∀x∈d
ij
∃x’∈d
kj
: x∼
α
j
x’ và ngược lại,
nghĩa là ∀j=1, 2,…, m, ∀x∈d
kj

∃x’∈d
ij
: x∼
α
j
x’. Dùng kí hiệu t
i
∼
α
t
k
để nói rằng t
i
là thừa đối
với t
k
theo ngưỡng α, trong đó α=(α
1
, α
2
,…,α
m
).
13
Không có gì là mâu thuẫn khi dùng kí hiệu d
ij
∼
α
d
kj

để nói rằng giá trị tương ứng của
hai bộ t
i
, t
k
trên thuộc tính A
j
là d
ij
và d
kj
tương đương (hay thừa) với nhau. Nếu không sợ
nhầm lẫn có thể viết d
ij
≈d
kj
thay cho viết d
ij
≈
α
j
d
kj
.
Bổ đề 2.2. ≈
α
là quan hệ tương đương trên một quan hệ mờ r.
Việc chứng minh tính đúng đắn của bổ đề này rất đơn giản.
Như vậy quan hệ ≈
α

cho một phân hoạch trên r. Có thể gọi hai bộ thừa đối với nhau
(theo α) là hai bộ tương đương nhau (theo α).
Bổ đề 2.3. Cần và đủ để hai bộ là thừa đối với nhau (theo α) là ngữ nghĩa (theo α) của
chúng bằng nhau.
Ta cũng có thể dễ dàng chứng minh được bổ đề này.
Ví dụ 2.2:
Các hình: Hình 2.1, Hình 2.2, Hình 2.3 dưới đây cho một quan hệ mờ với các quan
hệ tương tự trên các miền thuộc tính.
Giả sử ngưỡng α=(0.0, 0.6, 0.8) khi đó ngưỡng của Dom(TÊN) là 0.0, ngưỡng của
Dom(Màu xe) là 0.6, ngưỡng của Dom(Nghề nghiệp) là 0.8.
Dom(Màu xe) được phân hoạch thành 3 lớp tương đương (ngưỡng 0.6):
{xanh đậm, xanh nhạt, xanh đen}, {hồng, tím, đỏ}, {trắng, kem}.
r
1
TÊN MÀU XE NGHỀ NGHIỆP
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
An
Bình
Phúc
Lộc
Thọ

xanh đậm, xanh nhạt, hồng
xanh đen, tím đỏ
trắng, hồng
hồng, kem
xanh đen, đỏ
nhà văn, giáo sư
đạo diễn, giáo viên
nhà thơ
nhà thơ
phi công
Hình 2.1. Một quan hệ mờ.
xanh
đậm
xanh
nhạt
xanh
đen
hồng đỏ tím đỏ trắng kem
xanh đậm 1.0 0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1
xanh nhạt 0.6 1.0 0.6 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1
14
xanh đen 0.8 0.6 1.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1
hồng 0.0 0.0 0.0 1.0 0.6 0.6 0.0 0.0
đỏ 0.0 0.0 0.0 0.6 1.0 0.9 0.0 0.0
tím đỏ 0.0 0.0 0.0 0.6 0.9 1.0 0.0 0.0
trắng 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 1.0 0.7
kem 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.7 1.0
Hình 2.2. Quan hệ tương tự trên Dom(Màu xe).
nhà văn nhà thơ đạo diễn giáo viên giáo sư phi công
nhà văn 1.0 1.0 0.9 0.5 0.5 0.2

nhà thơ 1.0 1.0 0.9 0.5 0.5 0.2
đạo diễn 0.9 0.9 1.0 0.5 0.5 0.2
giáo viên 0.5 0.5 0.5 1.0 0.8 0.2
giáo sư 0.5 0.5 0.5 0.8 1.0 0.2
phi công 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1.0
Hình 2.3. Quan hệ tương tự trên Dom(Nghề nghiệp).
Dom(Nghề nghiệp) cũng được phân hoạch thành 3 lớp tương đương (ngưỡng 0.8):
{nhà văn, nhà thơ, đạo diễn}, {giáo viên, giáo sư}, {phi công}.
Như vậy với ngưỡng α cho ở trên thì trong r
1
, t
1
thừa đối với t
2
và t
3
thừa đối với t
4
.
Việc loại trừ những bộ thừa theo một ngưỡng α trong một quan hệ r được tiến hành
bằng cách trộn những bộ thừa lại với nhau cho đến khi không còn tồn tại hai bộ thừa đối
với nhau nữa.
Định nghĩa 2.4. Cho một quan hệ mờ r, hai bộ t
i
, t
k
∈r, t
i
=(d
i1

,d
i2
,…,d
im
) và t
k
=(d
k1
,d
k2
,
…,d
km
). Kết quả của việc trộn hai bộ t
i
, t
k
là mộ bộ t sao cho t=(d
1
,d
2
,…,d
m
) và d
j
=d
ij
∪
d
kj

,
h=1, 2,…,m.
Bổ đề 2.4. Việc loại bỏ các bộ thừa (theo một ngưỡng xác định) bằng phép trộn các bộ thừa
với nhau cho một kết quả duy nhất không phụ thuộc vào thứ tự trộn các bộ.
Cho một quan hệ r, một ngưỡng tương tự α, có thể đưa ra một r’ duy nhất bằng cách
loại bỏ các bộ thừa của r. Kí hiệu r’=M
α
(r).
Ví dụ 2.2:
Với quan hệ r
1
cho ở Hình 2.1, α=(0.0, 0.6, 0.8), ta có r
2
=M
α
(r
1
) cho ở Hình 2.4.
TÊN MÀU XE NGHỀ NGHIỆP
{An, Bình} {xanh đậm, xanh nhạt, xanh {nhà văn, giáo sư, đạo
15
đen, hồng, tím đỏ} diễn, giáo viên}
{Phúc, Lộc} {trắng, hồng, kem} {nhà thơ}
{ℑọ}
{xanh đen, đỏ} {phi công}
Hình 2.4. Quan hệ r
2
.
Bổ đề 2.5. Cho một quan hệ mờ trên lược đồ R(U), nếu kết quả của việc trộn hai bộ t
i

, t
k
là
một bộ t thì t tương đương với t
i
và t
k
. Nghĩa là:
M
α
(t{t
i
, t
k
})=t thì ((t
i
≈
α
t) và t
k
≈
α
t)).
Chứng minh:
Điều kiện để t
i
và t
k
được trộn với nhau theo α là t
i

≈
α
t
k
, cụ thể là nếu t
i
=(d
i1
, d
i2
,…,
d
im
) và t
k
=(d
k1
, d
k2
,…, d
km
) thì ∀j∈{1, 2,…, m} d
ij
≈d
kj
. Theo định nghĩa của phép trộn M
α
thì t=(d
1
, d

2
,…, d
m
) với ∀j∈{1, 2,…, m}: d
j
=d
ij
∪d
kj
. Dễ thấy d
j
≈d
ij
và d
j
≈d
kj
, suy ra điều cần
chứng minh.
Định lý 2.1. Cho một quan hệ mờ trên lược đồ R(U), nếu kết quả của phép trộn M
α

trên tập
T gồm các bộ tương đương nhau theo α là một bộ t thì t ttương đương theo α với bất kỳ bộ
nào trong T.
Như vậy, nếu có T={t
1
, t
2
, t

k
}⊆r sao cho ∀i, j∈{1, 2,…, m}: t
i
≈
α
t
j
và t=M
α
(T) thì có
∀i∈{1, 2,…, k}: t
i
≈
α
t.
Chứng minh :
Từ Bổ đề 2.4, Bổ đề 2.5 và tính bắc cầu của quan hệ tương đương ≈
α
dễ dàng chứng
minh được định lý.
Định nghĩa 2.5. Cho hai quan hệ mờ r, r’ trên cùng một lược đồ R(U). Hai quan hệ gọi là
tương đương với nhau theo ngưỡng α nếu ∀t∈r ∃t’∈r’: t≈
α
t’ và ngược lại, nghĩa là ∀t’∈r’
∃t
∈
r: t≈
α
t’.
Ví dụ 2.3:

Cho r
3
trong Hình 2.5, r
2
trong Hình 2.4. Với α=(0.0,0.6,0.8), thì r
3
≅
α
r
2
.
TÊN MÀU XE NGHỀ NGHIỆP
{An, Bình} {xanh đậm, xanh nhạt,
hồng, tím đỏ}
{giáo sư, đạo diễn,
giáo viên}
{Phúc} {trắng, hồng, tím đỏ} {nhà thơ, đạo diễn}
16
{Thọ, Lộc} {xanh đen, đỏ} {phi công}
Hình 2.5. Quan hệ r
3
.
1.2. Các giá trị NULL
Trong nghiên cứu về CSDL theo mô hình quan hệ, thông tin không đầy đủ được biểu
diễn bằng các giá trị null. Nhiều người sử dụng thuật ngữ này với những ý nghĩa khác
nhau. Nói chung có các trường hợp như sau:
1) Những giá trị không tồn tại, thường kí hiệu là ⊥. Nếu ⊥ xuất hiện ở bộ t ứng với
một thuộc tính A thì điều đó được thể hiểu là bất cứ một phần tử nào ở Dom(A)
cũng không thể là giá trị của bộ t trên thuộc tính A. Nói cách khác, bộ t là thông
tin về một đối tượng mà đối tượng này không thể xét thuộc tính A. Ví dụ, không

thể có tên cơ quan của một người đang thất nghiệp.
2) Những giá trị tồn tại nhưng chưa biết tại thời điểm đang xét, thường kí hiệu là D.
Nếu D xuất hiện ở bộ t tương ứng với một thuộc tính A thì điều đó được hiểu là
bất cứ một phần tử nào thuộc Dom(A) cũng có thể là giá trị của bộ t trên thuộc
tính A. Nói cách khác, biết rằng bộ t có một giá trị trên thuộc tính A nhưng giá trị
đó là gì thì chưa xác định được. Ví dụ biết An đi làm bằng xe của anh ta nhưng
không hề biết xe anh ta màu gì.
3) Không có thông tin về một thuộc tính A của bộ t, chúng ta không biết một giá trị
xác định, lại cũng không rơi vào tình huống nào trong hai loại null kể trên. Chẳng
hạn chúng ta không biết nhà An có điện thoại hay không khi xét thuộc tính điện
thoại của An.
Để tăng cường khả năng biểu diễn thông tin không đầy đủ cho mô hình đã đề xuất,
chúng ta sử dụng hai kí hiệu null D và ⊥ cho trường hợp 1) và 2). Có thể dùng <D, ⊥> để
nói rằng có hai khả năng 1) và 2) cho giá trị trên thuộc tính đang xét, không xác định được
thực tế rơi vào tình huống nào, đây chính là trường hợp 3).
Ví dụ 2.4:
Quan hệ r
null
cho trong Hình 2.6 sẽ giải thích rõ hơn ý nghĩa của hai kí hiệu null đã
sử dụng ở trên.
17
TÊN MÀU XE NGHỀ NGHIỆP
An xanh đậm, xanh nhạt, hồng bác sĩ, nha sĩ, kế toán
Bắc
xanh đậm, xanh nhạt, ⊥ D, ⊥
Yến D
⊥
Hình 2.6. Quan hệ r
null
.

Nhìn vào quan hệ r
null
, có thể thấy rõ được ý nghĩa của các kí hiệu null đã sử dụng.
Cụ thể, những thông tin trong bảng trên cho biết Bắc có thể không có xe mô tô và cũng có
thể có, nếu có thì xe của anh ta phải có màu xanh đậm hoặc xanh nhạt. Không biết Bắc có
nghề nghiệp hay không (thất nghiệp). Yến có xe nhưng không biết một chút gì về màu xe
của cô ấy, Yến không có nghề nghiệp.
Ở đây, giới hạn rằng các kí hiệu null không được xuất hiện trong các giá trị của
thuộc tính là khoá. Và khi cho phép sử dụng kí hiệu null trong các giá trị thuộc tính, cần
thiết phải xác định lại qui tắc cú pháp viết giá trị của một bộ trên một thuộc tính cùng với
ngữ nghĩa tương ứng.
Định nghĩa 2.6 (Biểu thức trị của một bộ trên một thuộc tính A
j
)
. ∀a∈D
j
, {a} là một biểu thức tập hợp của D
j
,
. Nếu M là một biểu thức tập hợp của D
j
thì ∀a∈D
j
, M∪{a} là một biểu thức tập hợp
của D
j
,
.M ọi biểu thức tập hợp của D
j
đều là biêu thức trị trên A

j
,
.Nếu M là một biểu thức tập hợp của D
j
thì <M, ⊥> là biểu thức trị trên A
j
,
.<D> là biểu thức trị trên D
j
, <⊥> là biểu thức trị trên A
j
,
.<D, ⊥> là biểu thức trị trên A
j
.
Định nghĩa 2.7. (Thể hiện khả năng của một bộ trên một thuộc tính A
j
)
Một thể hiện khả năng của một bộ t trên một thuộc tính A
j
theo ngưỡng α
j
được xác
định một cách tương ứng trong các trường hợp của biểu thức trị d
j
của bộ t trên thuộc tính
A
j
như sau:
. Nếu d

j
là một biểu thức tập hợp M của D
j
, thì ∀v, ∅≠v⊆
M
, v là một thể hiện khả
năng của t trên A
j
theo α
j
, với
M
=M/∼
α
j
,
18
. Nếu d
j
=<M, ⊥>, trong đó M là biểu thức tập hợp của D
i
thì ∀v, ∅≠v⊆M, v là một
thể hiện khả năng của t trên A
j
và {∅} cũng là một thể hiện khả năng của t trên A
j
,
. Nếu d
j
=<D> thì ∀v∈2

Dj
, v là một thể hiện khả năng của t trên A
j
,
.Nếu d
j
=<⊥> thì {∅} là một thể hiện khả năng của t trên A
j
,
.Nếu d
j
=<D, ⊥> thì
∀
v
∈
2
Dj
, v là một thể hiện khả năng của t trên A
j
và {∅} cũng là
một thể hiện khả năng của t trên A
j
.
Định nghĩa 2.8. (Thể hiện khả năng của một bộ)
Với ngưỡng α=(α
1
, α
2
,…, α
m

). Một thể hiện khả năng theo α, T
α
=(v
1
, v
2
,…, v
m
) của
một bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) là bất cứ phép gán nào sao cho ∀i=1, 2,…, m: v
i
là một thể hiện
khả năng của bộ t trên A
i
(theo α
i
).
Định nghĩa 2.9. Ngữ nghĩa theo ngưỡng α của một bộ t, kí hiệu là S
p
(t)
α
, là tập tất cả các
thể hiện khả năng theo α của bộ t.
Ví dụ 2.5:

Cho quan hệ sau:
A B
t a
1
, a
2
b
1
, b
2
, ⊥
Giả sử với ngưỡng α đang xét thì a
1
=a
2
, b
1
≠b
2
.
Các thể hiện khả năng theo α có thể có của bộ t là:
1) ({a
1
}, {b
1
, b
2
})
2) ({a
1

}, {b
1
})
3) ({a
1
}, {b
2
})
4) ({a
1
}, ∅).
Như vậy ngữ nghĩa S
p
(t)
α
là tập gồm 4 thể hiện khả năng kể trên.
Nếu cho phép kí hiệu null xuất hiện trong biểu thức trị của một bộ trên một thuộc
tính thì khái niệm hai bộ thừa (hay tương đương) với nhau trước đây cần được mở rộng.
Định nghĩa 2.10. (Hai bộ tương đương với nhau trên một thuộc tính)
Trong quan hệ mờ r, hai bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) và t’=(d
1
’, d
2
’,…, d

m
’) được coi là tương
đương đối với nhau trên A
j
theo α
j
nếu rơi vào một trong những trường hợp sau:
19
. d
j
và d
j
’ đều là các biểu thức tập hợp của D
j
thoả mãn điều kiện sau đây: ∀x∈d
j
’
∃x’∈d
j
: x ∼
α
j
x’ và ngược lại, nghĩa là ∀x∈d
j
∃x’∈d
j
’: x ∼
α
j
x’.

. d
j
và d
j
’ đều chỉ chứa kí hiệu null và cùng chứa các kí hiệu null như nhau. Cụ thể là:
d
j
=d
j
’=<D> hoặc d
j
=d
j
’=<⊥> hoặc d
j
=d
j
’=<D, ⊥>.
. d
j
=<M, ⊥> và d
j
’=<M’, ⊥> trong đó M và M’ đều là biểu thức tập hợp trên D
j
và
M∼
α
j
M’ (theo(1)).
Dùng kí hiệu d

j
≈
α
j
d
j
’ để nói rằng d
j
tương đương (thừa) đối với d
j
’ trên A
j
theo
ngưỡng α
j
.
Định nghĩa 2.11. (Hai bộ tương đương với nhau)
Trong quan hệ mờ r, hai bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) và t’=(d
1
, d
2
,…, d
m
) được coi là thừa đối

với nhau theo ngưỡng α=(α
1
, α
2
,…, α
m
) nếu ∀j=1, 2,…, m, d
j
≈
α
j
d
j
’. Dùng kí hiệu t≈
α
t’ để
nói rằng t thừa đối với t’.
Theo các định nghĩa 2.9 và 2.11 có thể dễ dàng chứng minh được phát biểu của bổ
đề 2.3 vẫn đúng trong trường hợp cho phép kí hiệu null xuất hiện.
Bổ đề 2.6. Cần và đủ để hai bộ là thừa đối với nhau (theo α) là ngữ nghĩa (theo α) của
chúng là bằng nhau.
Nội dung của Định lý 2.1 phát biểu cho trường hợp không có kí hiệu null, rằng việc
trộn các bộ tương đương với nhau sẽ cho kết quả là một bộ tương đương với một bộ bất kỳ
đã tham gia vào phép trộn, vẫn đúng trong trường hợp có kí hiệu null.
2. Mở rộng các phép toán quan hệ
2.1. Mở rộng phép hợp
Cho r
1
và r
2

là hai quan hệ trên cùng một lược đồ R(U). Hợp theo ngưỡng α của r
1
và r
2
là một quan hệ kí hiệu là r
1
∪
α
r
2
được xác định như sau:
r
1
∪
α
r
2
=M
α
(r
1
∪r
2
).
Tính chất của phép hợp:
20
Từ định nghĩa của phép hợp (với ngưỡng α) trên đây, kết hợp với bổ đề 2.3 về kết
quả trộn các bộ thừa với nhau không phụ thuộc thứ tự trộn, dễ suy ra phép hợp có tính giao
hoán và kết hợp. Nghĩa là:
r∪

α
s=s∪
α
r
(r
1
∪
α
r
2
)∪
α
r
3
=r
1
∪
α
(r
2
∪
α
r
3
).
2.2. Mở rộng phép giao
Cho r
1
và r
2

là hai quan hệ trên cùng một lược đồ R(U). Giao theo ngưỡng α của r
1
, r
2
là một quan hệ kí hiệu là r
1
∩
α
r
2
được xác định như sau:
r
1
∩
α
r
2
=M
α
({t|(t∈r
1
và ∃t’∈r
2
: t≈
α
t’) hoặc (t∈r
2
và ∃t’∈r
1
: t≈

α
t’)}).
Tính chất của phép giao:
Tương tự như phép hợp, phép giao cũng có tính chất giao hoán và kết hợp:
r∩
α
s=s∩
α
r
(r
1
∩
α
r
2
)∩
α
r
3
=r
1
∩
α
(r
2
∩
α
r
3
).

2.3. Mở rộng phép hiệu
Cho r
1
và r
2
là hai quan hệ trên cùng một lược đồ R(U). Hiệu theo ngưỡng α của r
1
đối với r
2
là một quan hệ kí hiệu là r
1
-
α
r
2
được xác định như sau:
r
1
-
α
r
2
=M
α
{t∈r
1
|∀t’∈r
2
: t
α

≈
/
t’}.
Tính chất của phép hiệu:
Cũng như trường hợp CSDL truyền thống, phép giao có thể được biểu thị qua phép
hiệu, nghĩa là (r
1
∩
α
r
2
)≅
α
r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
).
Chứng minh:
a) Với t∈r
1
∩
α
r

2
, theo định nghĩa phép ∩
α
, ∃t
1
∈r
1
, ∃t
2
∈r
2
: t
1
≈
α
t
2
, t=M
α
({t
1
,t
2
}). Theo
định lý trộn 2.1, t ≈
α
t
1
. Chúng ta sẽ chỉ ra t
1

∈(r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
)) bằng cách chứng tỏ rằng ∀t’∈(r-
α
r
2
): t
1
≈
α
t’. Thật vậy, giả sử có t’∈(r
1
-
α
r
2
) sao cho t
1
≈
α
t’, khi đó do tính bắc cầu của ≈
α

chúng ta có t
2
≈
α
t’, điều này mâu thuẫn với giả sử phản chứng t’∈(r
1
-
α
r
2
). Như vậy
∀t∈r
1
∩
α
r
2
, ∃t
1
∈(r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
): t ≈

α

t
1
.
b) Với t
∈
(r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
)) thì:
21
t
∈
r
1
(1) và
∀
t’
∈
(r
1
-

α
r
2
) : t
≈
/
α
t’ (2)
Để chứng minh rằng t
∈
r
1
∩
α
r
2
chỉ cần chứng tỏ rằng
∃
t
2
∈
r
2
: t
≈
α
t
2
. Giả sử
∀

t*
∈
r
2
: t
≈
/
α
t*, từ đó thấy được t
∈
(r
1
-
α
r
2
), và theo (2) suy ra t
≈
/
α
t, đây là một điều vô lý. Vậy
∀
t
∈
(r
1
-
α
(r
1

-
α
r
2
)), thì t
∈
r
1
∩
α
r
2
.
Theo định nghĩa hai quan hệ tương đương theo
α
(
≅
α
), kết hợp với chứng minh a) và
b) trên đây, có (r
1
∩
α
r
2
)
≅
α
r
1

-
α
(r
1
-
α
r
2
).
2.4. Mở rộng phép chiếu
Cho r là quan hệ trên cùng một lược đồ R(U), U={A
1
, A
2
,…, A
m
}, ∀i=1, 2,…, m,
miền trị của A
i
là D
i
, X⊆U. Chiếu theo ngưỡng α của r trên X là một quan hệ trên lược đồ
R(X) kí hiệu là r
α
[X] được xác định như sau:
r
α
[X]=M
α
(r[X]).

Ví dụ 2.6:
Cho 2 quan hệ r
1
(Hình 2.10) và r
2
(Hình 2.11) trên lược đồ R(A, B, C), và các quan
hệ tương tự trên các miền ở các hình : Hình 2.7, Hình 2.8, Hình 2.9.
a
1
a
2
a
3
a
5
a
1
1.0 0.3 0.8 0.7
a
2
0.3 1.0 0.3 0.3
a
3
0.8 0.3 1.0 0.7
a
5
0.7 0.3 0.7 1.0
Hình 2.7. Quan hệ tương tự trên Dom(A).
b
1

b
2
b
3
b
4
b
1
1.0 0.1 0.6 0.1
b
2
0.1 1.0 0.1 0.9
b
3
0.6 0.1 1.0 0.1
b
4
0.1 0.9 0.1 1.0
Hình 2.8. Quan hệ tương tự trên Dom(B).
22
c
1
c
2
c
3
c
1
1.0 0.0 0.8
c

2
0.0 1.0 0.0
c
3
0.8 0.0 1.0
Hình 2.9. Quan hệ tương tự trên Dom(C).
A B C
a
1
b
1
, b
3
c
1
, c
2
a
2
, a
3
b
2
c
3
Hình 2.10. Quan hệ r
1
.
A B C
a

2
, a
5
b
4
c
3
a
1
, a
3
b
2
c
2
Hình 2.11. Quan hệ r
2
.
23
Với α=(0.7, 0.6, 0.8) sẽ có:
r
1
∪
α
r
2
A B C
a
1
b

1
, b
2
c
1
, c
2
a
2
, a
3
, a
5
b
2
, b
4
c
3
a
1
, a
3
b
2
c
2
Hình 2.12. r
1
∪

α
r
2
.
r
1
∩
α
r
2
A B C
a
2
, a
3
, a
5
b
2
, b
4
c
3
Hình 2.13. r
1
∩
α
r
2
.

r
1
-r
2
A B C
a
1
b
1
, b
3
c
1
, c
2
Hình 2.14. r
1
-r
2
.
r
2
,
α
[B]
B
b
2
, b
4

Hình 2.15. r
2
,
α
[B].
2.5. Mở rộng phép tích Đề-các
Cho r và s là hai quan hệ tương ứng trên các lược đồ R(A
1
, A
2
,…, A
m
) và S(A’
1
, A’
2
,
…, A’
n
). Tích Đề-các theo ngưỡng
α
của r và s là một quan hệ trên lược đồ (A
1
, A
2
,…,
A
m
, A’
1

, A
2
,…, A
n
) kí hiệu là r×
α
s, được xác định như sau:
r×
α
s=M
α
(r×s).
2.6. Mở rộng phép chọn
Định nghĩa phép giao khả năng
Cho d
i
và d
i
’ là hai biểu thức tập hợp trên D
i
, giao khả năng của d
i
và d
i
’ theo ngưỡng
α
i
là một biểu thức tập hợp trên D
i
hoặc là tập ∅, kí hiệu là d

i
∩
P
α
i
d
i
’, được xác định như
sau:
d
i
∩
P
α
i
d
i
’={a∈d
i
/∃a’∈d
i
’: a∼
α
i
a’}∪{a’∈d
i
: a ∼
α
i
a’}.

Có thể chứng minh được rằng nếu (d
i
∩
P
α
i
d
i
’) là biểu thức tập hợp trên D
i
(nghĩa là ≠∅) thì
ngữ nghĩa của nó chính là ngữ nghĩa (theo α
i
) của d
i
giao với ngữ nghĩa (theo α
i
) của d
i
’.
Định nghĩa biểu thức của phép chọn
24
1) Một phát biểu f
i
có dạng (α
i
.A
i
: d) là một biểu thức với α
i

∈[0, 1], A
i
là tên một
thuộc tính, D
i
là miền tương ứng của thuộc tính A
i
, d⊆D
i
.
2) Một phát biểu f
i
có dạng NOT(α
i
.A
i
: d) là một biểu thức với α
i
∈
[0, 1], A
i
là tên
một thuộc tính, D
i
là miền tương ứng của thuộc tính A
i
, d⊆D
i
.
3) Nếu P, Q là hai biểu thức thì P AND Q là biểu thức, P OR Q là biểu thức.

Cho r là một quan hệ trên lược đồ R, phép chọn trên r với biểu thức chọn đã cho
được xác định như sau:
a) Chọn chặt:
Chọn chặt trong r, thoả biểu thức F là một quan hệ trên R kí hiệu là σ
F
(r) được xác
định như sau:
1) Nếu F có dạng (α
i
.A
i
: d). Quan hệ σ
F
sẽ gồm các bộ t=( d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D
j
sao
cho d
i
≈
α
i
d.

2) Nếu F có dạng NOT(α
i
.A
i
: d). Quan hệ σ
F
sẽ gồm các bộ t=( d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D
j
sao cho d
i
≈
/
α
i
d.
3) Nếu F có dạng (P AND Q) thì σ
F
(r)= σ
P
(r)∩σ
Q
(r).

4) Nếu F có dạng (P OR Q) thì σ
F
(r)= σ
P
(r)∪σ
Q
(r).
b) Chọn không chặt:
Chọn không chặt trong r, thoả biểu thức F là một quan hệ trên R kí hiệu là σ
F
được
xác định như sau:
1) Nếu F có dạng (α
i
.A
i
: d). Quan hệ σ
F
sẽ gồm các bộ t=( d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆
D
j
sao

cho d
i
∩
P
α
i
d≠∅.
2) Nếu F có dạng NOT(α
i
.A
i
: d). Quan hệ σ
F
sẽ gồm các bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D
j
sao cho d
i
∩
P
α
i
d=∅.

3) Nếu F có dạng (P AND Q) thì σ
F
(r)= σ
P
(r)∩ σ
Q
(r).
4) Nếu F có dạng (P OR Q) thì σ
F
(r)= σ
P
(r)∪σ
Q
(r).
25