Đề ôn tập toán 12 (160)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (749.07 KB, 21 trang )
ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN
TỐN 12
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
-------------------------
Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 060.
Câu 1.
f x
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
5 f x 2 4 x m
Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt
0;
thuộc khoảng
A. 24 .
B. 25 .
C. 21 .
D. 20 .
Đáp án đúng: B
2
Giải thích chi tiết: Đặt t x 4 x . Ta có t 2 x 4 0 x 2
Bảng biến thiên
2
Với t x 4 x .
1
m
2 15 m 10
m 14; 13;....;10
5
Dựa vào bảng biến thiên ta có
. Vì m nguyên nên
. Do đó có
25 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
Câu 2.
y f x
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
3
Khẳng định nào sau đây sai?
; 1 và 2; .
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng
2;5 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
1; 2 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
0; .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Đáp án đúng: D
y f x
Giải thích chi tiết: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
2;5 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
0; .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1
và
2; .
2
1; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải
Câu 3. Cho khối cầu có bán kính r = 2. Thể tích khối cầu đã cho là
32
.
A. 3
B. 16
C. 32 .
8
.
D. 3
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Cho khối cầu có bán kính r = 2. Thể tích khối cầu đã cho là
32
8
.
.
A. 3
B. 16
C. 32 .
D. 3
Lời giải
4
4
32
V r 3 . .23
.
3
3
3
Thể tích khối cầu bán kính r = 2 là
Câu 4. Tìm tập nghiệm của phương trình: 21+ x + 21−x =4.
A. ∅.
B. {−1 ; 1 }.
C. { 0 }.
D. { 1 }.
Đáp án đúng: C
ABC
BCD
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng
và
vng góc với nhau. Biết tam giác ABC đều
cạnh a , tam giác BCD vng cân tại D . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
a 2
A. 3 .
a 3
B. 2 .
a 3
C. 3 .
2a 3
D. 3 .
Đáp án đúng: C
3
Giải thích chi tiết:
ABC BCD
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , H là trung điểm cạnh BC . Do
và tam giác BCD vuông
cân tại D nên AH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD .
Suy ra G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán kính mặt cầu là:
2
a 3
R AG AH
3
3 .
A 0; 1; 2 , B 2;5; 4
P :2 x 2 y z 3 0 . Gọi
Câu 6. Trong không gian Oxyz cho hai điểm
và mặt phẳng
2
2
M a; b; c
P nhỏ nhất. Khi đó giá
là điểm thỏa mãn biểu thức MA MB 40 và khoảng cách từ M đến
trị a.b.c bằng:
A. 0 .
Đáp án đúng: D
B. 9 .
C. 7 .
D. 8 .
A 0; 1; 2 , B 2;5; 4
Giải thích chi tiết: Trong không gian Oxyz cho hai điểm
và mặt phẳng
P :2 x 2 y z 3 0 . Gọi M a; b; c là điểm thỏa mãn biểu thức MA2 MB 2 40 và khoảng cách từ M
P nhỏ nhất. Khi đó giá trị a.b.c bằng:
đến
A. 0 . B. 8 .C. 7 . D. 9 .
4
Lời giải
I 1; 2;3
Gọi
là trung điểm AB , AB 2 11
2
2
MA2 MB 2 40 MI IA MI IB 40
AB 2
40 MI 3
2
S cầu có tâm I 1; 2;3 , R 3 .
Do đó M thuộc mặt cầu
2.1 2.2 3 3 4
d I, P
R
2
2
2
3
2 2 1
mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
M a; b; c
P nhỏ nhất.
Gọi
là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến
2 MI 2
P
Khi đó, M thuộc đường thẳng vng đi qua M và vng góc với
x 1 2t
: y 2 2t
z 3 t
Tọa độ M là nghiệm của hệ:
2
2
x 1 2t
y 2 2t
z 3 t
x 1 2 y 2 2 z 3 2 9
2
2t 2t t 9 9t 2 9 t 1
t 1 M 3;0; 4 d M ; P
2.3 2.0 4 3
Với
10
2
3
22 2 12
t 1 M 1; 4; 2 d M ; P
Với
Vậy
.
2. 1 2.4 2 3
2
22 2 12
1
3
M 1; 4; 2 abc 8
.
2
Câu 7. Tập nghệm của bất phương trình
A.
log 4 ( x - 1) - log 2 ( x + 2) £ 1
là
( 1;+¥ ) .
B.
( - 2;1) È ( 1; +¥ ) .
[- 1;1) È ( 1; +¥ ) .
D.
[ 2;+¥ ) .
C.
Đáp án đúng: C
5
H
3
có thể tích là 4a , đáy là tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền bằng a 2 .
H bằng.
Độ dài chiều cao khối lăng trụ
Câu 8. Cho khối lăng trụ
A. 2a .
Đáp án đúng: B
Câu 9.
Cho hàm số
86
f
85 bằng
B. 8a .
có đạo hàm liên tục trên ¡ , thỏa mãn
A.
.
Đáp án đúng: B
B.
( x 1) f ( x)
Giải thích chi tiết:
1 x 1
ln f x ln
C
3 x2
Do
f 2 2
C. 4a .
.
C.
D. 6a .
( x 1) f ( x)
.
f ( x)
x 2 và
D.
. Giá trị
.
f x
f ( x)
1
x2
f x x 1 x 2
1 1
ln f 2 ln C C ln 2 ln 3 4 ln 2 3 4
3 4
suy ra
.
23 4
1
1
86 1
ln f ln
ln 2 3 4 ln 3 ln
2
85 3 256
4 4
Suy ra
86 1
f
85 2 .
A 0; 0; 3 B 0; 0; 1 C 1; 0; 1
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với
,
,
.
ABC
I
Tìm tọa độ tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác
.
1
1
I ;0;0
I ;0;1
I
1;0;
2
I
0;0;1
.
.
.
.
A. 2
B.
C.
D. 2
Đáp án đúng: D
A 0; 0; 3 B 0; 0; 1
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với
,
,
C 1; 0; 1
. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
1
1
I ;0;1
I ;0;0
I 1;0; 2
I
0;0;1
. D. 2 .
. C.
A.
. B. 2
Lời giải
AB 0; 0; 4 BC 1; 0; 0 AB.BC 0 AB
Ta có
,
và BC vng góc.
Suy ra ABC vng tại B . Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm I của AC .
6
x A xC 1
x
I
2
2
y y
1
I x; y; z : yI A C 0 I ;0;1
2
2
z A zC
z I 2 1
.
AB
c
,
BC
a
, AC b và góc A 60 thì khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 11. Tam giác ABC có
2
2
2
2
2
2
A. a b c bc .
B. a b c 2bc .
2
2
2
2
2
2
C. a b c 2bc .
D. a b c bc .
Đáp án đúng: D
Câu 12. Cho khối hộp chữ nhật ABCD . A ' B ' C ' D '. Hỏi mặt phẳng ( AB ' C ' D) chia khối hộp đã cho thành
bao nhiêu khối lăng trụ ?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Đáp án đúng: A
(m 1)x 3
y
(m 1)x 2 4x 1
3
Câu 13. Cho hàm số
. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1 , đạt cực đại tại x 2
đồng thời x1 x 2 khi và chỉ khi:
A. m 5
Đáp án đúng: A
m 1
C. m 5
B. m 1
y
m 1
D. m 5
(m 1)x 3
(m 1)x 2 4x 1
3
. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1 , đạt cực
Giải thích chi tiết: Cho hàm số
đại tại x 2 đồng thời x1 x 2 khi và chỉ khi:
m 1
m 1
m 50
0
A. m 1 B. m 5 C.
D. m 5
Lời giải
Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để hàm số đã cho có hai cực trị.
y (m 1)x 2 2( m 1)x 4 . Hàmsố đã cho có hai cực trị x1 x 2 khi vàchỉ khi phương trình y 0 có hai
nghiệm phân biệt và m 1 0 , khi đó:
m 1
2
2
(m 1) 4(m 1) m 6m 5 0
m 5 m 1
m 1 0
1
Câu 14. Cho hàm số
1
y = f ( x)
thỏa mãn
0
0
1
và
2
ò éëf ( x) ùû dx = 4
0
. Giá trị
3
ị éëf ( x) ùû dx
của tích phân 0
A. 80.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.
liên tục trên đoạn
[ 0;1,]
1
ò f ( x) dx = ò xf ( x) dx = 1
bằng
B.
10.
C.
1.
D.
8.
7
éf ( x) ù2 , xf ( x) , f ( x)
ë
û
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
éf ( x) + a x + bù2 .
ë
û
1
Với mỗi số thực
a, b
ta có
1
2
2
0
0
1
a, b
sao cho
1
1
0
0
ị éëf ( x) + a x + bùû dx = ò éëf ( x) ùû dx + 2ò( a x + b) f ( x) dx + ò( a x + b)
= 4 + 2( a + b) +
Ta cần tìm
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
ị éëf ( x) + a x + bùû dx = 0
0
Û a 2 + ( 3b + 6) a + 3b2 + 6b + 12 = 0.
hay
2
dx
a2
+ ab + b2.
3
4 + 2( a + b) +
a2
+ ab + b 2 = 0
3
D = ( 3b + 6) - 4( 3b2 + 6b +12) ³ 0
2
Để tồn tại
a
thì
2
Û - 3b 2 +12b - 12 ³ 0 Û - 3( b - 2) ³ 0 Û b = 2 ắắ
đ a =- 6.
1
Vy
ũ ộởf ( x) 0
1
2
3
ự
6x + 2ù
® f ( x) = 6x - 2, " x ẻ [ 0;1] ắắ
đ ũộ
ỷ dx = 0 ắắ
ởf ( x) û dx = 10.
0
a, b thỏa mãn z 2 i z 1 i 0 và z 1 . Tính P a b .
Câu 15. Cho số phức z a bi ,
A. P 1 .
B. P 5 .
C. P 7 .
D. P 3 .
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Từ giả thiết
z 2 i z 1 i 0 a bi 2 i
a 2 b 2 1 i 0
.
a 2 a 2 b 2 0 (1)
a 2 a b b 1 a b i 0
b 1 a 2 b 2 0 (2)
.
1 2
1 ta được
Lấy ta được a b 1 0 b a 1 . Thay vào phương trình
a 2
a 2
2
a 2 a 2 a 1 0 2a 2 2a 1 a 2 2
2 2
2a 2a 1 a 2
a 2a 3 0
a 2
a 1
a 1
a 3
a 3
.
a 1 b 0 z 1 z 1
+ Với
a 3 b 4 z 3 4i z 5
+ Với
.
Vậy P a b 7 .
2
2
2
2
Câu 16.
Cho hàm số
y f x
xác định trên
\ 1
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
8
f x m
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt.
2 ; 1
2; 1
1;1 .
1;1 .
A.
B.
.
C.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 17.
Cho hình chóp
vng tại
phẳng
có
,
vng góc với mặt phẳng
và
, tam giác
(minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng
và mặt
bằng
A.
.
B.
.
Đáp án đúng: A
Câu 18. Một khối hộp chữ nhật có bao nhiêu đỉnh?
C.
A.
.
B.
.
C.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Một khối hộp chữ nhật có bao nhiêu đỉnh?
A.
. B.
Lời giải
,
. C.
. D.
.
.
D.
D.
.
.
.
9
Một khối hộp chữ nhật có
đỉnh.
f x f x 0
x 1; 4
1;4 , thỏa mãn
Câu 19. Cho hàm số
,
với mọi
và có đạo hàm liên tục trên đoạn
4
f x
f x dx
2 f x x. f x
f 1 1
x 1;4
x
1
và
với mọi
. Khi đó
bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. 2ln 2 2 .
Đáp án đúng: D
2
D. 2 ln 2 .
f x
2
2
f
x
x
.
f
x
f x 0
x 1;4
x
Giải thích chi tiết: Vì
với mọi
nên giả thiết
f x
2 f x x. f x
2. f x
x. f x
f x
2 x. f x
x
1
x
1
dx
x
2 x. f x 2 x C
Vì
f 1 1 2.1. f 1 2 1 C C 0
Do đó
4
2 x. f x 2 x f x
1
x.
4
4
1
f x dx dx ln x ln 4 2ln 2.
1
x
1
1
A 1; 0; 2
Câu 20. Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng qua
, cắt và vuông góc với đường thẳng
x 1 y z 5
d1 :
1
1
2 . Điểm nào dưới đây thuộc d ?
A.
Q 0; 1;1
.
B.
P 2; 1;1
C.
.
Đáp án đúng: A
D.
N 0; 1; 2
.
M 1; 1;1
.
A 1; 0; 2
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz , gọi d là đường thẳng qua
, cắt và vng góc với đường
x 1 y z 5
d1 :
1
1
2 . Điểm nào dưới đây thuộc d ?
thẳng
P 2; 1;1
A.
.
Lời giải
B.
Q 0; 1;1
.
C.
N 0; 1; 2
.
D.
M 1; 1;1
.
10
u
1;1; 2
d
Đường thẳng 1 có một VTCP vectơ chỉ phương là
.
d
Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng 1 tại B .
AB t ; t ;3 2t
B 1 t ; t ;5 2t d1
Khi đó
và
d
AB
d
AB.u 0
1
Vì đường thẳng d vng góc với đường thẳng 1 nên
t t 3 2t 2 0 t 1
.
B 2;1;3
Suy ra
.
A
1;0;
2
và có vectơ chỉ phương AB 1;1;1 là
Phương trình đường thẳng d đi qua
x 1 y z 2
1
1
1 .
Nhận thấy
Q 0; 1;1 d
.
Câu 21. Thể tích V của khối cầu có bán kính đáy r 2 bằng
A. 16 .
Đáp án đúng: B
32
.
3
B.
Câu 22. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số
A.
f x dx
C. 32 .
f x
1
1
x4
ln
C
12x 4 36 x 4 3
1
x 3x 5
9
B.
4
1
1
x
f x dx 12x 4 36 ln x 4 3 C
C.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
D. 8 .
D.
f x dx
1
1
x4
ln
C
3x 4 36 x 4 3
1
1
x4
f x dx 3x 4 36 ln x 4 3 C
4
4
1
x3
1
dx 4
1 x 3 x
4
f x dx x9 3x5 dx x 4 2 x 4 3 dx 4 x 4 2 x 4 3 12 x 4 2 x 4 3 dx
1 dx 4
1
dx 4
1
1 x4
2
ln
C
12 x 4 12 x 4 x 4 3
12x 4 36 x 4 3
0
SA ABC , AB 3, AC 2
Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có
và BAC 30 . Gọi M , N lần lượt là hình
chiếu của A trên SB, SC. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM là
A. R 2.
B. R 13.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải
Trong tam giác ABC , ta có BC 1.
Do đó tam giác ABC vng tại B. (1)
C. R 1.
D. R 2.
11
CB AB
CB SAB AM CB
CB
SA
Ta có
AM CB
AM SBC AM MC AMC
AM SB
vuông tại M . (2)
Tam giác ANC vuông tại N . (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra mặt cầu tâm I , bán kính R IC ( I là trung điểm của AC ) ngoại tiếp hình chóp
A.BCNM R 1.
Câu 24. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f (x),
trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b được xác định bằng cơng thức nào?
b
A.
a
S = ị f (x)dx.
B.
a
S = ị f (x)dx.
b
b
S =-
b
ò f (x)dx.
C.
Đáp án đúng: D
D.
a
S = ò f (x) dx.
a
Câu 25. Khối nón có đường kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 90 . Đường sinh của khối nón bằng
A. 2 .
Đáp án đúng: A
C. 2 2 .
B. 2 .
D. 1 .
Giải thích chi tiết: [2H2-1.2-2] Khối nón có đường kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 90 . Đường sinh của
khối nón bằng
A. 1 . B. 2 .
C. 2 2 .
Lời giải
FB tác giả: Mai Hoa
D. 2 .
Gọi đường kính đáy của khối nón là AB , O là đỉnh của khối nón. Khi đó: AOB 90 .
2
2
2
Khi đó: Tam giác OAB vng cân tại O và AB 2 , OA OB AB
Đường sinh của khối nón là OA OB .
12
2
2
2
Vậy: 2OA AB 4 OA 2 OA 2 .
x
Câu 26. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y e , y 3, x 0, x 2 được tính bởi cơng
thức nào dưới đây?
2
A.
2
S (e x 3) dx
0
.
B.
S (e x 3)dx
0
2
.
2
S (e x 3) 2 dx
0
C.
Đáp án đúng: D
.
D.
S (e x 3)dx
0
.
x
Giải thích chi tiết: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y e , y 3, x 0, x 2 được tính
bởi cơng thức nào dưới đây?
2
A.
2
S (e x 3) 2 dx
0
. B.
S (e x 3)dx
2
0
.
2
S (e x 3)dx
0
C.
Lời giải
2
. D.
S (e x 3) dx
0
2
x
.
2
x
S | e ( 3) | dx | e 3 | dx S (e x 3)dx
.
Câu 27. Cho một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xung quanh của khối trụ bằng
80 . Thể tích của khối trụ là:
A. 164 .
B. 160 .
C. 64 .
D. 144 .
Đáp án đúng: B
2
Giải thích chi tiết: . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y cos 2 x 3sin x 2sin x ?
0
0
0
A. 4 . B. 6 . C. 5 . D. 2 .
Câu 28. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB 2a , góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng
AA ' B ' B bằng 30 . Gọi H là trung điểm của AB . Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A.HB ' C ' .
R
a 2
2 .
A.
Đáp án đúng: B
B.
R
a 66
4 .
C.
R
a 30
6 .
D.
R
a 3
6 .
13
Giải thích chi tiết:
Vì
C ' H AA ' B ' B
AA ' B ' B là: HAC
' 30 .
nên góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng
A ' H HC '.cot 300 3 AA ' 2 2a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B ' C ', BC thì MN là trục đường tròn ngoại tiếp HB ' C '
Gọi I MN : IB ' IA thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HB ' C ' .
2
IS IA IM MA ' A ' A IM 2 MB '2
Ta có
5 2a
2.IM . A ' A 10a 2 IM
4 .
Vậy
R IM 2 MB '2
66a
4 .
: x 2 y 4 z 1 0
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
.Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ?
A.
n2 1;2;4
.
B.
D.
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
A.
Lời giải
. B.
.
n 1;2;4
C. 4
Đáp án đúng: D
n3 1; 2;4
n1 1;2; 4
n1 1;2; 4
. C.
n2 1;2;4
n3 1; 2;4
: x
.
2 y 4 z 1 0
.Vectơ nào dưới đây là một
. D.
n4 1;2;4
14
z 1 3i z 5 i 2 65
z 2i
Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
đạt được khi
2
2
a
,
b
z a bi với
là các số thực dương. Giá trị của 2a b bằng
A. 24 .
B. 36 .
C. 17 .
D. 33 .
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Gọi
Theo giả thiết
z x yi;
x, y . Điểm
M x; y
biểu diễn số phức z .
z 1 3i z 5 i 2 65
x yi 1 3i x yi 5 i 2 65
x 1
2
2
y 3
x 5
2
2
y 1 2 65
(1)
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường elip E có tiêu điểm F1 1; 3 và F2 5;1 . Mà
z 2i
x 2
2
2
y 1 MA
A 2; 1
, với
là trung điểm của F1 F2 .
MA z 2 i
M E
Do đó
nhỏ nhất khi
; với đi qua A , F1 F2 và M có tọa độ dương. Ta có
4 3x
y
F1 F2 6; 4 n 3; 2
3
x
2
y
4
0
2 .
. Phương trình là
2
3x 4
3
x 1
2
2
Thay vào (1) ta được
2
3x 4
1 2 65
x 5
2
2
x 2
13 x 2 52 x 104 2 65 13 x 2 52 x 156 0
x 6 .
+ Với x 6 y 7 (loại).
x 2 y 5 M 2;5 a 2; b 5 2a 2 b 2 33
+ Với
.
Câu 31. Hàm số nào sau đây có tối đa ba điểm cực trị.
y ax 3 bx 2 cx d a , b, c, d
y ax 4 bx 2 c a, b, c
A.
.
B.
.
ax b
2
y
a, b, c, d
y ax bx c a, b, c
cx d
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: B
3
x 1
I
dx a ln b
x
1
Câu 32. Biết
. Tính a b .
A. 6 .
B. 5 .
C. 1 .
D. 5 .
Đáp án đúng: D
0 SA ABCD
Câu 33. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành AB 3a; AD a; BAD 120 .
1
SM SB
10
và SA a . Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho
, N là trung điểm của SD . Tính cosin góc giữa
hai mặt phẳng
AMN
2 715
A. 55 .
Đáp án đúng: B
và
ABCD .
B.
165
55 .
3
C. 4 .
D.
13
4 .
15
0
Giải thích chi tiết: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành AB 3a; AD a; BAD 120 .
1
SM SB
SA ABCD
10
và SA a . Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho
, N là trung điểm của SD . Tính
AMN và ABCD .
cosin góc giữa hai mặt phẳng
165
3
2 715
A. 55 . B. 55 . C. 4 . D.
Lời giải
Ta có:
13
4 .
SB SA2 AB 2 a 10 SM
a 10
.
10
2
2
Lại có: SB.SM a SA AM SB . Do SA AD a AN SD .
1
BD 2 AB 2 AD 2 2 AB. AD.COS1200 9a 2 a 2 2.3a.a. 13a 2
2
Mặt khác: Xét ABD có:
BD a 13 .
Dựng đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD có đường kính AK
AB BK
BK SAB BK AM .
SA BK
Do đó
AM SBK AM SK
.
SK AMN
Lý luận tương tự: AN SK . Suy ra
.
AMN ABCD SA; SK ASK
SA ABCD
.
Theo giả thiết:
, suy ra
ABD AK 2 R
Áp dụng định lý sin vào
BD
a 13 2a 39
3
3
sin BAD
2
.
16
Xét SAK có:
SK SA2 AK 2
a 55
SA
165
cos ASK
3 và
SK
55
.
x 1 y z 1
2
1
3 . Gọi P là mặt
Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
P lớn nhất. Khoảng
phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và
M 1; 2;3
P bằng
cách từ điểm
đến mặt phẳng
d:
A 5;0;3
A. 7 2 .
Đáp án đúng: C
7 6
B. 6 .
7 6
C. 3 .
5 6
D. 3 .
Giải thích chi tiết:
P .
Gọi I là hình chiếu của A lên d , H là hình chiếu của I lên
d / / P
d d , P IH IA
P lớn nhất khi H A hay AI là vec
Vì
nên
. Như vậy khoảng cách giữa d và
P .
tơ pháp tuyến của
I 1 2t ; t ;1 3t d AI 4 2t ; t ; 2 3t u 2;1;3
;
là vec tơ chỉ phương của d
AI 2;1;1
2.
4
2
t
1.
t
3.
2
3
t
0
14
t
14
t
1
AI u
suy ra
.
P đi qua A 5;0;3 có một vectơ pháp tuyến AI 2;1;1 có phương trình
Mặt phẳng
P : 2 x 5 y z 3 0 2 x y z 7 0 .
2 2 37
14 7 6
h
2
3
6
2 12 12
M 1; 2;3
P
Khoảng cách từ điểm
đến
là:
.
Câu 35. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC a 3 , góc ACB bằng
300 . Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng ABC bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC
bằng
3a
A. 4 .
Đáp án đúng: C
a 21
B. 8 .
a 21
C. 4 .
a 21
D. 2 .
17
Giải thích chi tiết:
AB AC.sin 300
a 3
2
Trong tam giác vng ABC có:
AB ' ABC A
ABC
Vì
và hình chiếu của B ' lên mặt phẳng
là B nên góc giữa đường thẳng AB ' và mặt
'
'
ABC
phẳng
bằng góc giữa hai đường thẳng AB ' và AB , và bằng góc B AB ( vì tam giác AB B vng tại B
'
0
). Do đó B AB 60 .
'
Trong tam giác vng AB B có:
BB ' AB.tan 60 0
a 3
3a
.tan 600
2
2
2
3a
A'C AA'2 AC 2
'
2
Trong tam giác vng AA C có:
3a
2
21
a
2
'
'
'
BC ABB ' A'
'
0
0
BC
AB
BC
AA
Ta có:
và
nên
, suy ra BC A B hay A BC 90 . Mà A AC 90 , suy
'
ra hai điểm A , B cùng nhìn A C dưới một góc vng.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC bằng
R
'
AC
21
a
2
4
.
Câu 36.
Điểm nào ở hình vẽ bên biểu diễn số phức z 3 2i
B. Q .
A. M .
Đáp án đúng: B
Câu 37.
Cho lăng trụ tam giác đều
đường thẳng
A.
có tất cả các cạnh bằng
. Khoảng cách lớn nhất giữa
.
D. N .
C. P .
. Gọi
và
B.
là điểm di chuyển trên
bằng
.
18
C.
.
Đáp án đúng: D
D.
Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác đều
điểm di chuyển trên đường thẳng
A.
Lời giải
Gọi
.B.
,
.
lần lượt là trung điểm
có gốc tại
và tia
cùng hướng với tia
Khơng mất tổng quát, coi
có tất cả các cạnh bằng
. Khoảng cách lớn nhất giữa
. C.
hệ trục toạ độ
.
D.
,
. Gọi
và
là
bằng
.
, khi đó
, chiều dương các tia
và
,
. Chọn
trùng với các tia
,
.
1
A 0; ;0
O 0;0;0
2 ,
, khi đó ta có
,
,
và
.
Suy ra
,
,
2
AM , BC m; 3 ; 3m 3 AM , BC 7 m 3m 15
2
2
4
4
4 16
.
. Do đó
19
Suy ra
.
Dẫn đến
28d
2
12 m2 12 d 2 1 m 15d 2 3 0
.
Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi
Từ đó ta được giá trị lớn nhất của
là
.
14a
4 .
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa
và
bằng
Câu 38.
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn số phức z . Số phức z bằng
A. z 2 3i .
Đáp án đúng: C
B. z 2 3i .
C. z 2 3i .
D. z 2 3i .
Giải thích chi tiết: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn số phức z . Số phức z bằng
A. z 2 3i . B. z 2 3i . C. z 2 3i . D. z 2 3i .
Lời giải
Từ hình vẽ ta có z 2 3i z 2 3i .
2
I 26 1 cos3 x .sin x.cos 5 xdx
1
Câu 39. Giá trị của tích phân
12
21
A. 91 .
B. 91 .
Đáp án đúng: A
là
12
C. 19 .
21
D. 19 .
2
Giải thích chi tiết: Giá trị của tích phân
I 26 1 cos3 x .sin x.cos5 xdx
1
là
20
