Đề ôn tập toán 12 (431)

ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

MƠN TỐN 12
ƠN TẬP KIẾN THỨC
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 031.
Câu 1. Xét các số phức z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) thỏa mãn
giá trị lớn nhất của biểu thức
7
.
2

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.
Ta có

P = x + 2y.

B.

9
.
4

Tỉ số

M
m

ìï z - 1- i ³ 1
ï
.
í
ïï z - 3- 3i £ 5
ïỵ

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

bằng
C.

5
.
4

D.

14
.
5

® tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm ngoài hoặc trên đường trịn ( C1 ) có tâm I ( 1;1) ,
⏺ z - 1- i ³ 1 ¾¾
( 1)
bán kính R = 1.

® tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trong hoặc trên đường tròn ( C2 ) có tâm
⏺ z - 3- 3i £ 5 ¾¾
J ( 3;3) ,
( 2)
bán kính R = 5.

Từ ( 1) và ( 2) suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là phần tô đậm trong hình vẽ (có tính biên)

Gọi D là đường thẳng có phương trình x + 2y- P = 0. Khi đó để bài tốn có nghiệm (tồn tại số phức thỏa mãn
u cầu bài tốn) thì đường thẳng D
và miền tơ đậm phải có điểm chung
Û d( J , D ) Ê 5

ùỡ M = 14
M
7
Ê 5 ắắ
đ 4 Ê P Ê 14 đ ùớ
ắắ
đ
= .
ùùợ m= 4
m 2
5

9- P

1

Dấu " = " xảy ra khi
ìï x + 2y- 14 = 0
ïì x = 4
ï
Û íï
.
í
2
2
ïï ( x - 3) +( y- 3) = 5 ïỵï y = 5
ỵ
M
=
14
✔
đạt được khi
ìï x + 2y- 4 = 0
ïì x = 2
ï
Û íï
.
í
2
2
ïï ( x - 3) +( y- 3) = 5 ïỵï y = 1
m=
4
ỵ
✔
đạt được khi

Câu 2. Điểm biểu diễn của số phức
4;  1 .
A. 
Đáp án đúng: C

B.

z

1
2  3i là
 2 3
 ; .
C.  13 13  .

 3;  2  . .
z

D.

  2;3 . .

1
2  3i là

Giải thích chi tiết: Điểm biểu diễn của số phức
 2 3
 ; .
 2;3 .

3;  2  .
4;  1 .
A. 
. B. 
. C.  13 13  . D. 

x
F ( x) sin dx
2 . Biết F    1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 3. Cho
F  0    2;3
F  0     2;0 
A.
.
B.
.

F  0     4;  2 
C.
.
Đáp án đúng: B

D.

F  0    0;1

.

x
F ( x) sin dx

2 . Biết F    1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giải thích chi tiết: Cho

F  0    2;3
A.
.
Lời giải

B.

F  0     4;  2 

.

C.

F  0    0;1

.

D.

F  0     2;0 

.

x
x
F ( x) sin dx  2 cos  C
2

2
Ta có

F    1  C 1

.

x
F ( x)  2 cos  1
2 . Suy ra F  0   1   2;0  .
Vậy

ò f ( 4x) dx = x

2

Câu 4. Cho
A.

ò f ( x + 2) dx =

ò f ( x + 2) dx =

C.
Đáp án đúng: C

+ 3x +C.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2

x
+ 2x +C.
4

x2
+ 4x +C.
2

B.

ò f ( x + 2) dx =

D.

ò f ( x + 2) dx = x

2

x
+ 4x +C.
4

2

+ 7x +C.

Câu 5. Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 3;5;7 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. 15

B. 35
C. 15
D. 105
Đáp án đúng: D
Câu 6.
2


Với

là số thực dương tùy ý,

A.
Đáp án đúng: C
Câu 7.

bằng

B.

C.

D.

. Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức

A. Điểm

.

B. Điểm

.

C. Điểm
.
D. Điểm
.
Đáp án đúng: D
Câu 8. Với hai số thực x và y bất kỳ, khẳng định nào dưới đây đúng?
x y
x y
x y
xy
A. 2 .2 2 .
B. 2 .2 2 .
x y
xy
C. 2 .2 4 .
Đáp án đúng: A

x y
x y
D. 2 .2 4 .

f ( x) 

Câu 9. Cho hàm số
max f ( x) 5min f  x 
  2;1

  2;1

x 4  mx  2m
x 2
với m là tham số thực. có tất cả bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn

?

A. 9
Đáp án đúng: B

B. 7

C. 6

D. 5

A 2;1;  1 , B  3;0;1 , C  2;  1;3
D 0; m;0  .
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho 
và 
Tổng tất cả các giá trị của
tham số m để A, B, C và D là các đỉnh của một khối tứ diện có thể tích bằng 5 là
1

A. 2

B. 1.

5

C. 2

D. 0.

Đáp án đúng: B
Câu 11. Họ nguyên hàm
A.

F  x 

1
C
sin 2 x
.

F  x

cos x
f  x 
1  cos 2 x là:
của hàm số
B.

F  x 

1
C
sin x

.

3


F  x  

cos x
C
sin x
.

F  x  

C.
D.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải
cos x
cos x
1
1
F  x  
dx  2 dx  2 d  sin x  
C
2
1  cos x
sin x
sin x

sin x
Ta có
.

1
C
sin x
.

z 2   a  2  z  2a  3 0 a
Câu 12. Trên tập hợp các số phức, phương trình
( là tham số thực) có 2 nghiệm z1 ,
z2 . Gọi M , N là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2 giá trị của tham số a để tam
giác OMN có một góc bằng 120 . Tổng các giá trị đó bằng bao nhiêu?
A.  6 .
B. 6 .
C. 4 .

D.  4 .

Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Vì O , M , N không thẳng hàng nên z1 , z2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng
z 2   a  2  z  2a  3 0
thời là số thuần ảo  z1 , z2 là hai nghiệm phức, khơng phải số thực của phương trình
 a  6  2 5; 6  2 5
2
. Do đó, ta phải có  a  12a  16  0
.






2 a
 a 2  12a  16

i
 z1 

2
2

2 a
 a 2  12a  16

z


i
 1
2
2
Khi đó, ta có
.

 OM ON  z1  z2  2a  3

và

MN  z1  z2   a 2  12a  16
2


MON
120

Tam giác OMN cân nên
 a 2  6a  7 0  a 3  2 .

.

2

OM  ON  MN 2

cos120
2OM .ON



a 2  8a  10
1

2  2a  3
2

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a bằng 6 .
Câu 13.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng không qua S và song song với đáy cắt

các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M , N , P , Q. Gọi

lần lượt là hình chiếu của M , N , P , Q

trên mặt phẳng đáy. Khi thể tích khối đa diện

1
.
3

A.
Đáp án đúng: C

B.

3
.
4

đạt giá trị lớn nhất, tỉ số

C.

2
.
3

D.

SM

SA

bằng

1
.
2

4


Giải thích chi tiết:
Lời giải.
Đặt

SM
= x ( 0 < x < 1) .
SA

Suy ra

MN
NP PQ SM
=
=
=
=x
AB
BC CD
SA

SMNPQ

Do MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỉ số x nên

SABCD

và

MA
= 1- x.
SA

= x2.

Ta có
Suy

ra

Xét

f ( x) = 3x2 ( 1- x) = - 3x3 + 3x2

trên

( 0;1) ,

ta

được

f  0  1, f  2  7

. Giá trị

ỉư
2÷ 4
max f ( x) = f ỗ
ữ
ỗ
ữ= 9 .
ỗ
( 0;1)
ố3ứ

Cõu 14. Cho hm s

f  x

có đạo hàm

f  x 

liên tục trên đoạn

 0; 2

và thỏa mãn

2

của

f  x  dx
0

bằng

A. I  6 .
Đáp án đúng: C

B. I 4 .

C. I 6

D. I 8 .

x y  1 z 2
d: 

Oxyz
2
1
1 ,
Câu 15. Trong khơng gian
, cho biết có hai mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng
 : x  2 y  2 z  1 0
 : 2 x  3 y  6 z  2 0
tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng  
và  

. Gọi R1 , R2 ( R1  R2 )
R1
là bán kính của hai mặt cầu đó. Tỉ số R2 bằng
A. 3 .
Đáp án đúng: B

B. 3 .

C.

2.

D. 2 .

 x 2t

 y 1  t  t   
 z  2  t


Giải thích chi tiết: Phương trình tham số của đường thẳng d là
.
C


Giả sử   là mặt cầu có tâm I  d , bán kính R , tiếp xúc với cả hai mặt phẳng   và   .
I 2t ;1  t ;  2  t 
Vì I  d nên ta đặt 
.
 C  tiếp xúc với cả    và    nên d  I ,     d  I ,    

2t  2  1  t   2   2  2t   1 2  2t   3  1  t   6   2  2t   2


6t  7 7t  7
2
2
2


12  22    2 
22    3     6 
3
7
4

 t  3
 6t  7 3  t 1  

 t  10
6
t

7

3
t

1



 6t  7 3 t  1


9 .
Với

t 

4
1
10
1
R d  I ,     
t 
R d  I ,     
3 thì
3 ; với
9 thì
9.
5


1 1
Như vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài tốn, lần lượt có bán kính bằng 3 ; 9 . Giả thiết cho R1  R2 nên
1
1
R1  R2 
3;
9.
R1

3
R
2
Vậy
.
Câu 16. Cho hình trụ có các đáy là 2 hình trịn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho AB 2a . Thể tích khối tứ
diện OOAB theo a là

3a 3
6 .
A.
Đáp án đúng: B
V

B.

V

3a 3
12 .

C.

V

3a 3
4 .

D.

V

3a 3
8 .

Giải thích chi tiết:
Kẻ đường sinh AA . Gọi D là điểm đối xứng với A qua O và H là hình chiếu của B trên đường thẳng AD
 BH   AOOA
Do BH  AD , BH  AA
AB  AB 2  AA2 
 OBD đều

 2a 

 BH 

2

 a 2 a 3  BD  AD 2  AB 2  4a 2  3a 2  a 2 a

a 3
1
a2
S AOO  AOOO 
2 , mà diện tích AOO là
2
2

1

1 a 3 a2
3a 3
V  BH S AOO  
 
3
3 2 2
12 .
Vậy thể tích khối tứ diện OOAB là
Câu 17. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức
A.

4

a

4

b.

B.

4

a.

P 4

C.

4

a
a

b.

b

4
b

a  4 ab
4
a  4 b được kết quả là:
D. b  a .
6


Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức
là:
4

A. b .
B.
Hướng dẫn giải
a
P 4
a


4a

b

4
b

4

a

4

b . C. b  a .
2

a  4 ab  4 a  
 4
4
a4b
a

b  4 a  4 b

4
a 4b

4

4

 4 b
4

b

D.
2

4



4

P 4

a
a

b

4
b

a  4 ab
4
a  4 b được kết quả

a.

a4 a4 a4b
4
a4b
.

a  4 a  4 b
4
4 a  4 b 
a4b

4

a 4 b .

Câu 18. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 1 mặt phẳng.
B. 3 mặt phẳng.
C. 2 mặt phẳng.
Đáp án đúng: B

D. 4 mặt phẳng.

Giải thích chi tiết:
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi có 3 mặt phẳng đối xứng trong đó bao gồm 2 mặt phẳng chứa từng cặp
đường chéo song song của mỗi mặt đáy và 1 mặt phẳng cắt ngang tại trung điểm của chiều cao hình hộp. Cụ thể,
 BDEH  ,  ACGF  ,  IJKL  .
theo hình vẽ trên là:
e x

khi x 0
f  x   2
 x +1 khi x  0 liên tục trên R. Biết tích phân
Câu 19. Cho hàm số
số tối giản. Giá trị của tổng a  b  c bằng
A. 19
Đáp án đúng: A
Câu 20.

B. 21

Trong không gian

C. 20

, khoảng cách giữa đường thẳng

2

a

c

f ( x)dx b  e

1

a
với b là phân

D. 18

và mặt phẳng

bằng:

7


A.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Đường thẳng
Mặt phẳng

C.

qua

có vec-tơ pháp tuyến

D.

và có vec-tơ chỉ phương

.

.

Ta có:

 Q  :2 x  y  2 z  1 0 và mặt cầu
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  23 0 . Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  và cắt mặt
 S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r 4 .
cầu
A. 2 x  y  2 z  11 0 hoặc 2 x  y  2 z 11 0 .
B. 2 x  y  2 z  9 0 hoặc 2 x  y  2 z  9 0 .
C. 2 x  y  2 z  8 0 .
Đáp án đúng: B

D. 2 x  y  2 z  1 0 .

 Q  :2 x  y  2 z  1 0 và mặt cầu
Giải thích chi tiết: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  23 0 . Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  và cắt mặt
 S  theo giao tuyến là đường trịn có bán kính r 4 .
cầu
A. 2 x  y  2 z  11 0 hoặc 2 x  y  2 z  11 0 .B. 2 x  y  2 z  1 0 .
C. 2 x  y  2 z  8 0 .
D. 2 x  y  2 z  9 0 hoặc 2 x  y  2 z  9 0 .
Lời giải
 P  song song với  Q  nên  P  :2 x  y  2 z  m 0  m 1 .
Vì
 S  có tâm I  1;0;1 và bán kính R  12  02  12  23 5 .
Mặt cầu
2.1  0  2.1  m
d  I ; P   R2  r 2 

 52  4 2
2
2
2
2 1    2
 m 9  m 9
Ta có
(thỏa m 1 ).
 P  :2 x  y  2 z  9 0 hoặc  P  :2 x  y  2 z  9 0 .
Vậy
 4;3 là
Câu 22. Khối đa diện đều loại
A. Khối chóp tứ giác đều.
B. Khối bát diện đều.
C. Khối tứ diện đều.
D. Khối lập phương.
Đáp án đúng: D
Câu 23.
y  f  x
Cho hàm số
xác định trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

8


y  f  x
Khi đó hàm số
đồng biến trên khoảng
  1;  .
  ; 2  .

  1; 2  .
  ;  1 .
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: C
y  f  x
Giải thích chi tiết: Cho hàm số
xác định trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

y  f  x
Khi đó hàm số
đồng biến trên khoảng
  1;  . B.   ; 2  . C.   1; 2  . D.   ;  1 .
A.
Lời giải
y  f  x
  1; 2  .
Từ bảng xét dấu, hàm số
đồng biến trên khoảng
Câu 24. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 3a . Diện tích xung quanh của hình nón
bằng
2
2
2
2
A. 20 a .
B. 24 a .
C. 12 a .

D. 40 a .
Đáp án đúng: C
Câu 25.
y  f  x
f  x   0, x  
y  f  x 
Cho hàm số
và
. Biết hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ và
 1  137
f 
 2  16 .

g  x  e
m    2020; 2020
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
A. 2019 .
B. 2020 .
C. 4040 .

 x 2  4 mx  5

1

 1; 

. f  x
2.

đồng biến trên 
D. 4041 .
9


Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Ta có

g  x    2 x  4m  .e x

 g  x     2 x  4m  . f  x   f  x   .e  x

2

2

4 mx  5

. f  x   e x

2

4 mx  5

. f  x 

 4 mx  5

.

1

 g  x  0, x    1; 
2  và g  x  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc

Yêu cầu bài toán
1

   2 x  4m  . f  x   f  x  0, x    1; 
2
2  (vì e  x 4 mx  5  0 )


  2 x  4m 
 4m 2 x 

Xét

f  x 
1

, x    1; 
f  x
2


, ( vì

f  x 
1


, x    1; 
f  x
2   *


f  x 
1

h  x  2 x 
, x    1; 
f  x
2


f  x   0, x  

1

  1; 
2.


)

.

. Ta có

f  x  . f  x    f  x  

h x  2 
f 2  x

2

.

2
 f  x   0
f  x  . f  x    f  x  
1

1

, x    1;  
 0, x    1; 

2
2
f  x  0

f  x
2

Mà 
.
1
1



h x   0, x    1; 
 1; 

2  . Vậy hàm số h  x  đồng biến trên 
2.

Từ đó suy ra

Bảng biến thiên

10


1
f  
225
225
2
1
1
 4m h    4m 2.       4m 
 m
137
548
 2
 2 f  1
 
*

 2

Vậy điều kiện
.
m  

m    2020; 2020  m   1; 2;3;...; 2020 .
Lại có 
Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 26. Bán kính của khối cầu ngoại tiếp khối lập phương có cạnh a là:
RC 

a 3
4 .

A.
Đáp án đúng: D

B.

Câu 27. Biết số phức z thỏa mãn
2

A. 5 .
B.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Đặt z x  yi

RC 

a 3
3 .

C. RC a 3 .

iz  3  z  2  i

và

z

2
5.

D.

RC 

a 3
2 .

có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng:
1
1

C. 5 .
D. 5 .

( x , y   ).

Khi đó

iz  3  z  2  i 
Lại có
Thay

z  x2  y 2  2

 1

vào

 2

2

x 2    y  3 

 x  2

2

2

  y  1  x  2 y  1 0  x  2 y  1  1
.

.

ta được:
2

2 1
5

2
 5 y    
2
2
2
2
z  x  y    2 y  1  y  5 y  4 y  1
5 5 5

2
2
y  0  y 
5
5.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Thay

y 

2
1
x 
1


5 vào
5.

suy ra


1
5.

Vậy phần thực của số phức z là
 N  có đường trịn đáy bán kính R và độ dài đường sinh là l .  N  có diện tích tồn phần là
Câu 28. Hình nón
2
A.  Rl .
B. 2 Rl  2 R .
2
2
C.  Rl   R .
D. 2 Rl   R .
Đáp án đúng: B

 N  có đường trịn đáy bán kính R và độ dài đường sinh là l .  N  có diện tích
Giải thích chi tiết: Hình nón
tồn phần là
2
2
2
A.  Rl . B. 2 Rl   R . C.  Rl   R . D. 2 Rl  2 R .
Lời giải
11


 N

2
có diện tích tồn phần là S 2 Rl  2 R .



Câu 29. Cho ABC . Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MB  2MC .
Trong các biểu thức sau biểu thức nào đúng?

1  2

 1  2
AM  AB  AC
AM  AB  AC
3
3
3
3
A.
.
B.
.

1  2


 1
AM  2AB  AC
AM  AB  AC
3

4
3
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: B
log 22 x   m  2  log 2 x  3m  1 0
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
có hai
nghiệm x1 , x2 sao cho x1.x2 8 .
A. m 1 .
Đáp án đúng: A

B. m 6 .

Câu 31. Số tiếp tuyến của dồ thị hàm số
A. 3
B. 1
Đáp án đúng: D

C. m 3 .
y

D.

m

4
3.

x 1
x  1 song song với đường thẳng d có phương trình y  2 x  1 là
C. 0
D. 2

Câu 32. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, AD 4 . Thể tích của vật thể trịn xoay thu được khi quay hình
chữ nhật ABCD quanh trục AC bằng?
4269
4271
4269
4271
A. 640 .
B. 640 .
C. 320 .
D. 320 .
Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:
Khối trịn xoay tạo thành gồm 2 khối bằng nhau: 2 khối nón có thể tích bằng nhau và 2 khối nón cụt có thể tích
bằng nhau.
V 2  V1  V2 
Gọi V1 là thể tích khối nón V2 là thể tích khối nón cụt ta có thể tích khối nón trịn xoay cần tìm là
.
2
2
Ta có AC  3  4 5 .

1
1

1
1 1
25
12
 2
  
 IB 
2
2
AB
BC
9 16 144
5 .
Xét tam giác ABC có: IB

Do ABC CDA  HAC cân tại H nên HO  AC ( O là trung điểm AC ) suy ra

OA OC 

AC 5

2
2.

12


AB 2 9
5 9 7
16

AB  AI . AC  AI 

OI OA  AI    ; IC 
AC 5 nên
2 5 10
5
có
2

Xét ABC
Mặt khác hai tam giác vuông COH và CIB đồng dạng nên:
12 5
.
OH OC
IB.OC 5 2 15

 OH 


16
IB
IC
IC
8
5
.
2

1
1  12  9 432

V1   .IB 2 . AI   .   . 
3
3  5  5 125 (đvtt).
Thể tích hình nón:
Thể tích hình nón cụt
2
2
1
1   12  16  15  5 
2
2
V2   .  IB .IC  OH .OC    .    .    .  3, 2143125
3
3   5  5  8  2 

(đvtt)

 432
 4269
V 2  V1  V2  2. 
 3, 2143125  

 125
 320 (đvtt).
Vậy thể tích cần tìm là
Câu 33. Có bao nhiêu số nguyên của tham số thực mỴ [- 3;6] để đồ thị hàm số
đúng 4 đường tiệm cận?
A. 10.
B. 7.
C. 8.

Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Hướng dẫn giải. Ta có
và
Do đó để yêu cầu bài tốn thỏa mãn khi ĐTHS có đúng 2 TCĐ
Û phương trình
Û

2x2 - 2x - m+ 2 - x - 1= 0

y=

x- 1
2

2x - 2x - m+ 2 - x - 1

có

D. 9.

nên ĐTHS có 2 đường TCN.

có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

ïì x ³ - 1
2x2 - 2x - m+ 2 = x +1 Û ïí 2
.
ïïỵ x - 4x - m+1= 0

( *)
Ta có
Để ( *) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vng cạnh a , góc giữa đường thẳng AC và

 1
A
'
M
 A' B

3
mặt phẳng ( A ' CD) bằng 30 . Gọi M là điểm sao cho
. Thể tích khối tứ diện A ' CDM bằng
a3
A. 3 .
Đáp án đúng: C

a3 3
B. 3 .

a3
C. 18 .

a3 3
D. 12 .

Giải thích chi tiết: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vng cạnh a , góc giữa đường

 1

A' M  A' B

3
thẳng AC và mặt phẳng ( A ' CD) bằng 30 . Gọi M là điểm sao cho
. Thể tích khối tứ diện
A ' CDM bằng

a3
a3
a3 3
A. 18 .B. 3 . C. 12 .

a3 3
D. 3 .
13


Lời giải

Trong mặt ( A ' ADD ') , kẻ AK  A ' D ( K  A ' D ).
Ta có CD  ( A ' ADD ')  CD  AK .
 AK  CD
 AK  ( A ' CD)

AK

A
'
D


 K là hình chiếu của A lên ( A ' CD) .
Ta có
 KC là hình chiếu của AC lên ( A ' CD) .


 (
AC ,( A ' CD)) ( AC , KC )  ACK
30 ( ACK nhọn do AK  CK ).
14


sin ACK sin 30 

AC a 2 ; ACK vuông tại K nên
Xét A ' AD vng tại A có AK là đường cao nên
1
1
1
1
1
1




 2  A ' A a
2
2
2
2

2
AK
A' A
AD
A' A a
a 2


 2 
.

AK
AK
a 2

 AK 
AC a 2
2 .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc tọa độ A(0;0;0) .
Chuẩn hóa D(0;1;0), B(1;0;0), C (1;1;0), A '(0;0;1), B '(1;0;1) .



 1
1 2
M  ;0; 
A'M  A' B
3 3.
3

Ta có
nên



2
1
DA ' (0;  1;1), DC (1;0;0), DM  ;  1; 
3.
3
Từ đó



1
1
VA '.MCD   DA ', DC  DM 
6
8.
Vậy
Câu 35. Cho hàm số
 1;   .
A.
Đáp án đúng: B

y  f  x  ln

B.



1  x2  x

 . Tập nghiệm của bất phương trình f  a  1  f  ln a  0 là

 0;1 .

C.

 0;1 .

D.

 0;    .

1  x 2  x 2  x  x  x  1  x 2  0
Giải thích chi tiết: x   , ta có
.
 TXĐ của f  x  là D  ,


1
2
f   x  ln 1  x 2  x ln 
  ln 1  x  x  f  x 
2
 1 x  x 
mà
.
 f  x

là hàm số lẻ.









Mặt khác,
 f  x
đồng biến trên  .
f  ln a   f  a  1 0  1
Xét bất phương trình
. Điều kiện: a  0 .
 1  f  ln a   f  a  1
Với điều kiện trên,
 f  ln a   f  1  a 
f  x
(vì
là hàm số lẻ)
 ln a 1  a (vì f  x  đồng biến trên  )
 a  ln a 1  2  .
g  a  a  ln a a  0
Xét hàm số
,
.

x   .

15


1
0
a  0  g  a  đồng biến trên  0;    ,
a
Vì
g  1 1
 2   g  a  g  1  a 1 .
mà
nên
g  a  1 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

 0;1 .

 x t

x  2 y  1 z  2 d 2 :  y 3
d1 :


 z  2  t

1
1
1 ,

Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
. Có bao nhiêu
2
2
2
mặt phẳng song song với cả d1 , d 2 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 y  2 z  3 0?

B. 0.

A. Vô số.
Đáp án đúng: C

C. 1.

D. 2.

 x t

x  2 y  1 z  2 d 2 :  y 3
d1 :


 z  2  t

1
1
1 ,
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng
. Có
2

2
2
d
,
d
bao nhiêu mặt phẳng song song với cả 1 2 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 y  2 z  3 0?
A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải





u (1;  1;  1) , u2 (1; 0;1) .
Nhận thấy d1 , d 2 là hai đường thẳng chéo nhau, lần lượt có VTCP là 1
Gọi ( P) là mặt phẳng song song với cả d1 , d 2 , khi đó VTPT của ( P) là
Khi đó phương trình mp ( P) có dạng:  x  2 y  z  D 0.

   
n  u1 , u2  ( 1;  2;1)

.

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1), bk R  6.
Mp ( P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) khi d ( I , ( P)) R


 1  2 1  D
6

 D 8
 6  D  2 6  
 D  4 .

Với D 8 , mp ( P) :  x  2 y  z  8 0 khi đó mp ( P) song song với d1 nhưng chứa d 2 : không thỏa mãn.
Với D  4 , mp ( P) :  x  2 y  z  4 0 khi đó mp ( P) song song với d1 , d 2 : thỏa mãn.
Vậy có 1 mp ( P) thỏa mãn.
3

f '  x  dx  2; f  2   2

2;3

y

f
(
x
)
2
Câu 37. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
và thỏa mãn
.Khi
f 3
đó,   bằng:
A.  4 .
B. 4 .
C. 1 .

D.  6 .
Đáp án đúng: A
3

3

f '  x  dx  f  3  f  2   f  3  f  2   f '  x  dx

Giải thích chi tiết: Ta có 2
Câu 38.

2

 2  2  4 .

16


Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình
bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có
I  2; 9 
đỉnh
với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song
song với trục hồnh. Tính qng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.

B. s 26, 5 (km)
D. s 27 (km)

A. s 24 (km)
C. s 28, 5 (km)

Đáp án đúng: C
Câu 39.

lim f  x  , lim  f  x   ,
x 1
Cho hàm số
xác định trên K , có x  1
lim f  x  , lim f  x   
x  
x  
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng.
Đáp án đúng: D
m

 4i 
z 
 ,
 i  1  m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m   1;100 để z là số thực?
Câu 40. Cho số phức
A. 28.
B. 26.
C. 27.
D. 25.
Đáp án đúng: D
m

 4i 
z 
 ,
i

1

 m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m   1;100 để z là số
Giải thích chi tiết: Cho số phức
thực?
----HẾT---

17