Các định nghĩa tín hiệu và hệ thống

Chương I
- 1 -
Chương 1
GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
Nội dung chính chương này trình bày về:
- Các định nghĩa tín hiệu và hệ thống
- Mô hình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống
- Phân loại tín hiệu
- Các phép toán cơ bản trên tín hiệu
- Các đặc điểm của tín hiệu
- Các phương pháp biểu diễn hệ thống
- Các đặc điểm của hệ thống
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ B
ẢN
“That’s one small step for man- one giant leap for mankind”. Với câu nói nổi tiếng này,
Commander Neil Amstrong đã bước ra khỏi phi thuyền, đặt chân lên bề mặt mặt trăng và trở
thành người đầu tiên trên mặt trăng. Tiếng nói, hình ảnh bước đi của Commander Amstrong
đã được truyền qua một đường truyền từ phi thuyền qua vệ tinh xuống trạm mặt đất, phân
phát qua mạng truyền hình đến các máy thu hình tại gia đình. Chúng ta gọi đường truyền đó
là hệ thống thông tin (communication system). Chức năng của hệ thống này là gởi tín hiệu
tiếng nói và video từ phi thuyền trên mặt trăng xuống máy thu hình gia đình. Các thành phần
của hệ thống gồm các thiết bị phục vụ cho việc phát, xử lý và thu nhận tín hiệu. Hệ thống
thông tin ở đây là một phần của một hệ thống khác lớn hơn- hệ thống thám hiểm mặt trăng.
Chúng ta vừa nhắc đến hai thuật ngữ- “tín hiệu” (signal) và “hệ thống” (system) trong ví dụ
trên. Hai từ này được sử dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật, khoa
học, kinh tế, chăm sóc sức khỏe, chính trị… Trong môn học này, ta tập trung xét hệ thống là
một phần hoặc ghép nối một số phần của thiết bị và phân tích ảnh hưởng của nó lên các tín
hiệu đi qua nó. Công cụ sử dụng để phân tích tín hiệu và hệ thống là m
ột số công cụ toán học
hiệu quả và thông dụng.
Chúng ta sẽ bắt đầu với việc định nghĩa hai thuật ngữ “tín hiệu” và “hệ thống”. Đồng thời

cũng xem xét mô hình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống.
1.1.1 Định nghĩa tín hiệu và hệ thống
Trước hết ta xét một ví dụ minh họa, từ đây ta đưa ra định nghĩa tín hiệu và hệ thống.
Ta xét mạch điện sau:






Chương I
- 2 -
Mạch điện trên được gọi là hệ thống (system). Các điện trở, tụ điện, cuộn dây tạo nên hệ
thống được gọi là thành phần của hệ thống (system component). Điện áp và dòng điện biến
thiên theo thời gian trong mạch gọi là tín hiệu (signal).
Như vậy, ta có các định nghĩa sau:
1. Hệ thống là tập hợp các đối tượng vật lý có quan hệ nào đó với nhau
2. Các đối tượng vật lý đó được gọi là các thành phần của hệ thống.
3. Tín hiệu là các đại lượng vật lý biến thiên có trong hệ thống.
Căn cứ vào vị trí của tín hiệu trong hệ thống, ta phân tín hiệu ra thành tín hiệu vào, tín hiệu
trung gian hay tín hiệu nội bộ và tín hiệu ra.
Tín hiệu vào (input signal) là tín hiệu đưa vào hệ thống từ một nguồn nào đó. Tín hiệu ra
(output signal) là tín hiệu t
ạo ra bởi hệ thống đáp ứng với tín hiệu vào. Tín hiệu có ở bên
trong hệ thống, không phải tín hiệu vào, cũng không phải tín hiệu ra là tín hiệu nội bộ
(internat signal) .
1.1.2 Mô hình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống
Việc phân tích tín hiệu và hệ thống cho phép ta xác định được các đặc điểm của tín hiệu và
hệ thống cũng như cách thực hiện hệ thống. Một ví dụ về
đặc điểm của tín hiệu là dạng sóng

tín hiệu. Một ví dụ về đặc điểm của hệ thống là độ lợi hệ thống. Xác định được các đặc điểm
này sẽ giúp ta biết được hệ thống có đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật đề ra hay không.
Việc phân tích tín hiệu và hệ thống yêu cầu phải có một mô hình toán học (mathematical
model) biểu diễn tín hiệu và hệ thống. Mô hình đó là các phương trình toán học biểu diễn tín
hiệu và hệ thống.
1. Ví dụ về mô hình toán:
Xét hệ thống chiếu sáng hành lang toà nhà:










Mô hình của tín hiệu vào- ở đây là tín hiệu điện áp, như sau:
∞<<∞−π= t]V[)t60.2cos(2120)t(v
Mô hình của một thành phần của hệ thống- ở đây là một bóng đèn, như sau:
R
)t(v
)t(i =
Chương I
- 3 -
với v(t) là điện áp đặt trên hai đầu điện trở, i(t) là dòng chạy qua điện trở và R là điện trở của
dây tóc bóng đèn.
Mô hình toán của tín hiệu ra- ở đây là dòng yêu cầu bởi hệ thống, như sau:
]A[)t(v
R

1
R
1
R
1
R
)t(v
R
)t(v
R
)t(v
)t(i
321321
a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=++=

Đây cũng là mô hình toán của hệ thống, vì nó biểu diễn cho quan hệ giữa tín hiệu vào, tín
hiệu ra và các thành phần của hệ thống.
Giả sử các điện trở là:
Ω
=
+= 100RRR

321
thì:
∞
<
<
∞
−
π
= t]A[)t60.2cos(091.5)t(i
a

Mô hình này chỉ ra dạng sóng của dòng yêu cầu bởi hệ thống là dạng sin với biên độ là
5.091A.
2. Ý nghĩa của mô hình toán:
Mô hình toán cho phép ta phân tích tín hiệu và hệ thống một cách định lượng, để từ đó có thể
so sánh, đánh giá hệ thống.
Mô hình toán cho phép ta thiết kế tín hiệu và hệ thống để đạt được các yêu cầu đề ra. Ta thiết
kế tín hiệu và hệ thống bằng cách:
(a)
Thay đổi các giá trị của các thông số của tín hiệu và hệ thống.
(b)
Phân tích định lượng ảnh hưởng của sự thay đổi này đến các đặc trưng của tín hiệu và
hệ thống.
(c)
Sử dụng các ảnh hưởng này để chọn giá trị tốt nhất của thông số.
Thường thì bài toán thiết kế đã cho sẵn tín hiệu vào và việc phân tích hay thiết kế là thực
hiện trên tín hiệu đó. Ví dụ như thiết kế bộ lọc các nhiễu không mong muốn như là nhiễu khí
quyển trong máy thu radio. Nhưng cũng có trường hợp ta cần phải thay đổi tín hiệu vào cho
đến khi có tín hiệu tối ưu. Ví dụ như
trong hệ thống vô tuyến, ta cần thay đổi tín hiệu vào

bằng cách điều chế để có thể phát xạ tín hiệu đó bằng anten. Bài toán thiết kế trong trường
hợp này là thiết kế tín hiệu.
Thực tế ta không thể tìm được một mô hình toán học chính xác cho tín hiệu và hệ thống vật
lý bởi vì có quá nhiều thông số liên quan. Ví dụ như mô hình biểu diễn tín hiệu điện áp trong
ví dụ trên không phải là một mô hình chính xác. Lý do là tín hiệu đ
iện áp thực tế không hoàn
toàn là tín hiệu sin do trường điện từ ở bộ phát không hoàn toàn đồng nhất. Ngoài ra, các kết
nối và cách điện không hoàn hảo cũng tạo ra nhiễu làm thay đổi tín hiệu đôi chút. Hơn nữa
điện áp cũng không tồn tại khi
−
∞
=
t
hay
+
∞
=
t
. Mô hình toán của điện trở cũng không
hoàn toàn chính xác vì giá trị điện trở không hoàn toàn là hằng số mà thay đổi theo nhiệt độ.
Nhiệt độ lại phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường, dòng chạy qua điện trở… Điện trở cũng có
thay đổi chậm theo thời gian và chuyển động ngẫu nhiên của các electron trong điện trở tạo
ra nhiễu điện áp đặt trên hai đầu của nó.
Đi
ều ta muốn là đơn giản hóa mô hình toán học chính xác càng nhiều càng tốt để giảm bớt độ
phức tạp trong phân tích. Khi đơn giản hóa, ta bỏ qua các thông số ít ảnh hưởng lên các đặc
điểm của tín hiệu và hệ thống.
Cần lưu ý rằng các phương trình sử dụng để biểu diễn các tín hiệu và hệ thống ở đây chỉ là
mô hình chứ không phải là tín hiệu thực sự hay hệ thống thực s
ự.

Chương I
- 4 -
1.2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU
Tín hiệu(signal) dùng để chỉ một đại lượng vật lý biến thiên mang tin tức. Về mặt toán học,
ta có thể mô tả tín hiệu như là một hàm theo biến thời gian, không gian hay các biến độc lập
khác. Chẳng hạn như, hàm:
2
() 20
x
tt= mô tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t. Hay
một ví dụ khác, hàm:
2
(, ) 3 5
s
xy x xy y=+ + mô tả tín hiệu là hàm theo hai biến độc lập x
và y, trong đó x và y biểu diễn cho hai tọa độ không gian trong mặt phẳng.
Hai tín hiệu trong ví dụ trên thuộc về lớp tín hiệu có thể được biểu diễn chính xác bằng hàm
theo biến độc lập. Tuy nhiên, trong thực tế, các mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý và các
biến độc lập thường rất phức tạp nên không thể biểu diễn tín hiệu như trong hai ví dụ vừa nêu
trên.
Lấy ví dụ tín hiệu tiếng nói- đó là sự biến thiên của áp suất không khí theo thời gian. Chẳng
hạn khi ta phát âm từ “away”, dạng sóng của từ đó được biểu diễn trên hình sau:







Ví dụ tín hiệu tiếng nói

Một ví dụ khác là tín hiệu điện tâm đồ (ECG)- cung cấp cho bác sĩ những tin tức về tình
trạng tim của bệnh nhân, hay là tín hiệu điện não đồ (EEG) cung cấp tin tức về hoạt động của
não.
Các tín hiệu tiếng nói, ECG, EEG là các ví dụ về tín hiệu mang tin có thể biểu diễn là hàm
theo biến thời gian. Thực tế có những tín hiệu là hàm theo nhiều biến độc lập. Ví dụ như tín
hiệu ảnh (image)- là sự thay đổ
i của cường độ ánh sáng theo không gian, có thể xem là hàm
độ sáng theo hai biến không gian.
Tất cả các tín hiệu đều do một nguồn nào đó tạo ra, theo một cách thức nào đó. Ví dụ tín hiệu
tiếng nói được tạo ra bằng cách ép không khí đi qua dây thanh âm. Một bức ảnh có được
bằng cách phơi sáng một tấm phim chụp một cảnh/ đối tượng nào đó. Quá trình tạo ra tín
hiệu như vậy thường liên quan đến một hệ thống, hệ th
ống này đáp ứng lại một kích thích
nào đó. Trong tín hiệu tiếng nói, hệ thống là hệ thống phát âm, gồm môi, răng, lưỡi, dây
thanh Kích thích liên quan đến hệ thống được gọi là
nguồn tín hiệu (signal source). Như
vậy ta có nguồn tiếng nói, nguồn ảnh và các nguồn tín hiệu khác.
Để tìm hiểu về tín hiệu, trước tiên ta cần xem qua cách phân loại tín hiệu. Có nhiều cách
phân loại tín hiệu khác nhau tuỳ vào từng ứng dụng cụ thể.
1.2.1 Tín hiệu nhiều hướng và tín hiệu nhiều kênh
Như đã nói trên, tín hiệu có thể được mô tả là hàm theo một hoặc nhiều biến độc lập. Nếu tín
hiệu là hàm theo một biến, ta gọi đó là các
tín hiệu một hướng (one-dimention signal), như
tín hiệu điện áp, tiếng nói, ECG, EEG. Ngược lại ta gọi là
tín hiệu nhiều hướng (multi-
dimention signal)
, ví dụ như tín hiệu ảnh trắng đen, mỗi điểm ảnh là hàm theo 2 biến độc lập.
Chương I
- 5 -
Trong một số ứng dụng, tín hiệu được tạo ra không phải từ một mà là nhiều nguồn hay nhiều

bộ cảm biến. Các tín hiệu như vậy được gọi là
tín hiệu đa kênh (multi-channel signal). Bức
ảnh màu sau là một ví dụ về tín hiệu 2 hướng, 3 kênh.





Ví dụ tín hiệu ảnh màu (2 hướng- 3 kênh)
Ta thấy độ sáng I(x,y) ở mỗi một điểm là hàm theo 2 biến không gian độc lập, độ sáng này
lại phụ thuộc vào độ sáng của 3 màu cơ bản red, green và blue.
Một ví dụ khác, tín hiệu ảnh TV màu là tín hiệu 3 hướng- 3 kênh, có thể biểu diễn bởi vector
sau :
r
g
b
I(x,y,t)
I(x,y,t) I (x,y,t)
I(x,y,t)
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

Trong giáo trình này, ta tập trung xét tín hiệu một hướng- một kênh, biến là biến thời gian
(mặc dù thực tế không phải lúc nào biến cũng là biến thời gian)
1.2.2 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc
Tín hiệu liên tục (continuous-time signal)
hay còn gọi là tín hiệu tương tự là tín hiệu được
xác định tại tất cả các thời điểm. Về mặt toán học, có thể mô tả tín hiệu này là hàm của một
biến liên tục, ví dụ tín hiệu tiếng nói.
Tín hiệu rời rạc (discrete-time signal) chỉ được xác định tại một số thời điểm rời rạc nào đó.
Khoảng cách giữa các thời điểm này không nhất thiết phải bằng nhau, nhưng trong thực tế
thường là lấy bằng nhau để dễ tính toán. Có thể tạo ra tín hiệu rời rạc từ tín hiệu liên tục bằng
2 cách. Một là lấy mẫu tín hiệu liên tục, hai là đo hay đếm một đại lượng vậ
t lý nào đó theo
một chu kỳ nhất định, ví dụ cân em bé hàng tháng, đo áp suất không khí theo giờ
Tín hiệu
n
t
n
x(t) e ,n 0,1,2,3,
−
==±±± là một ví dụ về tín hiệu rời rạc. Ta có thể dùng
biến nguyên n thay cho biến thời gian rời rạc t
n
. Lúc này, tín hiệu trở thành một hàm theo
biến nguyên, về mặt toán ta có thể biểu diễn tín hiệu rời rạc là một dãy số (thực hoặc phức).
Ta sử dụng ký hiệu x(n) thay cho x(t
n
), nghĩa là t
n
= nT với T là hằng số- khoảng cách giữa

hai thời điểm rời rạc cạnh nhau. Hình sau là một ví dụ về tín hiệu tiếng nói rời rạc.

I(x
1
,y
)
x
1
y
1
y

x
Chương I
- 6 -








Hình 1.3 Ví dụ tín hiệu rời rạc


Trong môn học này, ta tập trung xét tín hiệu liên tục và hệ thống hoạt động với tín hiệu liên
tục ở đầu vào, tạo ra tín hiệu liên tục ở đầu ra. Hệ thống đó gọi là
hệ thống liên tục
(continuous-time system).

1.2.3 Tín hiệu biên độ liên tục và biên độ rời rạc
Biên độ của cả tín hiệu liên tục và rời rạc đều có thể liên tục hay rời rạc.
Nếu tín hiệu có tất cả các giá trị trong một dải biên độ nào đó thì ta gọi đó là
tín hiệu biên độ
liên tục (continuous-valued signal). Ngược lại, nếu tín hiệu chỉ lấy một số giá trị nào đó (còn
gọi là mức) trong một dải biên độ thì đó là
tín hiệu biên độ rời rạc (discrete-valued signal).
Khoảng cách giữa các mức biên độ này có thể bằng nhau hay không bằng nhau. Thường thì
ta biểu diễn các mức biên độ này bằng một số nguyên, đó là bội số của khoảng cách giữa hai
mức biên độ cạnh nhau. Tín hiệu rời rạc theo cả thời gian và biên độ được gọi là
tín hiệu số
(digital signal). Hình sau là một ví dụ về tín hiệu số.





Ví dụ tín hiệu số với 6 mức biên độ khác nhau
1.2.4 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên
Dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu, ta có một cách phân loại tín hiệu khác.
Các tín hiệu có thể được mô tả duy nhất bằng một biểu diễn toán học rõ ràng như là phương
trình, đồ thị, bảng dữ liệu được gọi là
tín hiệu xác định (deterministic signal). Từ “xác
định” ý muốn nhấn mạnh là ta biết rõ và chắc chắn các giá trị của tín hiệu trong quá khứ,
hiện tại và tương lai.
Tuy nhiên trong nhiều ứng dụng thực tế, có những tín hiệu không thể biểu diễn chính xác
bằng các công thức toán học hay những mô tả toán như vậy là quá phức tạp. Ta không thể
đoán trước sự biến thiên của các giá trị của loại tín hiệu này. Ta gọi đây là
tín hiệu ngẫu
nhiên (random signal). Ví dụ tín hiệu nhiễu là tín hiệu ngẫu nhiên.

Ta cần lưu ý rằng việc phân loại tín hiệu thực thành xác định hay ngẫu nhiên không phải lúc
nào cũng rõ ràng. Đôi khi, xem tín hiệu là xác định hay ngẫu nhiên đều dẫn đến những kết
Chương I
- 7 -
quả có ý nghĩa. Nhưng đôi khi, việc phân loại sai sẽ dẫn đến kết quả bị lỗi, bởi vì có những
công cụ toán chỉ có thể áp dụng cho tín hiệu xác định, trong khi các công cụ khác lại chỉ áp
dụng cho tín hiệu ngẫu nhiên. Điều này sẽ trở nên rõ ràng hơn khi ta kiểm tra các công cụ
toán cụ thể.
Trong môn học này, ta tập trung xét tín hiệu xác định.
1.3 CÁC PHÉP TOÁN CƠ SỞ TRÊN TÍN HIỆU
Có ba phép toán cơ bản trên tín hiệu thường xuất hiện trong hệ thống và trong phân tích hệ
thống. Đó là phép thay đổi thang thời gian, đảo thời gian và dịch thời gian. Mỗi phép toán
này tạo ra một sự biến đổi khác nhau đối với biến thời gian trong mô hình toán học của tín
hiệu.
1.3.1 Phép thay đổi thang thời gian
Phép thay đổi thang thời gian là nén hoặc giãn tín hiệu theo trục thời gian.
Ví dụ khi truyền dữ liệu từ vệ tinh xuống trạm mặt đất, ta rời rạc hóa tín hiệu thành các mẫu
rời rạc, lưu các mẫu lại rồi nén tín hiệu bằng cách thu hẹp khoảng cách giữa hai mẫu cạnh
nhau để giảm thời gian truyền tín hiệu. Xuống đến trạm mặt đất, tín hiệu rời rạc bị nén sẽ
đượ
c giãn ra như lúc đầu, sau đó được khôi phục lại thành tín hiệu liên tục.
Đối với tín hiệu liên tục, để thay đổi thang thời gian với hệ số là
b > 0, ta thay t bằng bt trong
mô hình tín hiệu. Nói chung, tín hiệu
x(bt) là một phiên bản nén thời gian của x(t) nếu b > 1
và là phiên bản giãn thời gian của
x(t) nếu b < 1.
Ví dụ: b = 0.5 và b = 2

Chương I
- 8 -
1.3.2 Phép đảo thời gian
Phép toán này phản xạ tín hiệu qua một trục đi ngang gốc thời gian t = 0, nghĩa là nó đảo
ngược tín hiệu trên trục thời gian.
Ví dụ tín hiệu ảnh chuyển động có được khi ta quay ngược cuốn film.
Đối với tín hiệu liên tục, ta đảo thời gian bằng cách thay
t bằng -t trong mô hình tín hiệu.
Ví dụ:

1.3.3 Phép dịch thời gian
Phép dịch thời gian là phép dịch tín hiệu sang phải hoặc trái một khoảng thời gian nào đó.
Đối với tín hiệu liên tục, phép dịch thời gian sang phải
t
1
giây là phép thay t bằng t – t
1
(t
1
>0)
trong mô hình tín hiệu, phép dịch thời gian sang trái là phép thay
t bằng t + t
1
(t
1
>0) trong
mô hình tín hiệu. Nói cách khác,
x(t - t
1
) là phiên bản dịch phải hay trễ của x(t) và x(t + t
1
) là
phiên bản dịch trái hay sớm của
x(t).
Ví dụ tiếng sấm ta nghe được bị trễ đi so với khi thấy ánh chớp của sét trên bầu trời. Trong ví
dụ này, ta có: 0v/rt
s1
>= với r là khoảng cách từ chỗ ta đứng đến chỗ phát ra tia chớp và

v
s
là vận tốc của âm thanh trong không khí.
Ví dụ:













Chương I
- 9 -
1.3.4 Kết hợp các phép toán
Ta có thể kết hợp nhiều phép toán với nhau trên cùng một tín hiệu. Trong trường hợp này, tín
hiệu kết quả sẽ không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện các phép toán.
1. Kết hợp phép thay đổi thang thời gian với phép đảo thời gian
Ta có tín hiệu x(t), giả sử ta cần thay đổi thang thời gian với b = 2 và nén, ta có thể thực hiện
hai cách như sau:
- nén x(t) đi 2 lần ta được x(2t), sau đó đảo thời gian x(2t) ta được x(-2t).
- đảo thời gian trước ta được x(-t), sau đó nén x(-t) ta được x(-2t) trùng với kết quả trên.
2. Kết hợp phép thay đổi thang thời gian với phép dịch thời gian
Ta có tín hiệu x(t), giả sử ta cần thay đổi thang thời gian với b = 0.5 và dịch phải với t
1

= 1, ta
thực hiện hai cách như sau:
- giãn x(t) ta được x(0.5t), sau đó dịch sang phải ta được x(0.5(t-1)) = x(0.5t – 0.5)
- dịch x(t) sang phải ta được x(t – 1), sau đó giãn ta được x(0.5(t-1)) = x(0.5t – 0.5) trùng với
kết quả trên.
3. Kết hợp phép dịch thời gian với phép đảo thời gian
Ta có tín hiệu x(t), giả sử ta cần dịch thời gian với t
1
= 1 và đảo, ta có thể thực hiện hai cách
như sau:
- đảo x(t) ta được x(-t), sau đó dịch phải ta được: x(-(t-1)) = x(-t+1)
- dịch phải trước ta được x(t – 1), sau đó đảo thời gian ta được x(-(t-1)) = x(-t+1) trùng với
kết quả trên.
Ví dụ:
(a) t2)t(x −=
(b)
⎩
⎨
⎧
≤≤−
<≤−
=
2t0,t2
0t3,2
)t(y

Chương I
- 10 -

Chương I
- 11 -
1.4 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA TÍN HIỆU
Tín hiệu có thể được mô tả bằng nhiều đặc điểm khác nhau của nó. Sau đây ta xét một số đặc
điểm quan trọng của tín hiệu.
1.4.1 Tín hiệu đơn hàm và đa hàm
Tín hiệu đơn hàm (simply-defined signal) là tín hiệu có mô hình toán học là một phương trình
duy nhất trên toàn trục thời gian
Ngược lại,
tín hiệu đa hàm (piecewise-defined signal) là tín hiệu có mô hình toán là một tập
hợp các phương trình và mỗi phương trình như vậy chỉ có giá trị trong một đoạn thời gian
nào đó.
Ví dụ:
Tín hiệu 1t)t(x
2
−= là tín hiệu đơn hàm.

Tín hiệu
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
==
−
−
0t,e
0t,e
e)t(x
t
t
|t|
là tín hiệu đa hàm.
1.4.2 Tín hiệu chẵn và lẻ
Chẵn (even) và lẻ (odd) là hai đặc điểm của tín hiệu dùng để mô tả mối quan hệ giữa các giá
trị của tín hiệu trong miền thời gian dương với các giá trị của tín hiệu trong miền thời gian
âm.
Tín hiệu chẵn có cùng giá trị tại t = t
1
và t = -t
1
với t
1
bất kỳ, nghĩa là x(t
1

) = x(-t
1
)
Ngược lại, tín hiệu lẻ có giá trị tại t = t
1
ngược dấu với giá trị của tín hiệu tại t = -t
1
với t
1
bất
kỳ, nghĩa là x(t
1
) = -x(-t
1
).
Trên đồ thị, tín hiệu chẵn đối xứng qua trục tung và tín hiệu lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.







Hầu hết tín hiệu không chẵn cũng không lẻ. Tuy nhiên, ta có thể phân tích tín hiệu đó ra
thành tổng của hai tín hiệu- tín hiệu chẵn x
e
(t) và tín hiệu lẻ x
o
(t) như sau:
)t(x)t(x)t(x

oe
+
=

với
)t(x))t(x)t(x(
2
1
)t(x
ee
−=−+=
và
)t(x))t(x)t(x(
2
1
)t(x
00
−=−−=
Chương I
- 12 -
1.4.3 Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn
Tín hiệu tuần hoàn (periodic signal) là tín hiệu được lặp lại liên tục sau một khoảng thời gian
nào đó. Khoảng thời gian đó được gọi là
chu kỳ (periodic). Như vậy, tín hiệu tuần hoàn có
giá trị như nhau tại những thời điểm cách nhau một chu kỳ.
Về mặt toán học, tín hiệu x(t) là tuần hoàn khi và chỉ khi tồn tại một giá trị T
0
> 0 sao cho:
t)t(x)Tt(x
0

∀
=
+

Những tín hiệu không thoả điều kiện trên là
không tuần hoàn (aperiodic signal)
Giá trị T
0
nhỏ nhất trong các giá trị của T
0
gọi là chu kỳ cơ bản (fundamental period). Định
nghĩa này đúng ngoại trừ trường hợp tín hiệu là hằng số. Lúc này T
0
có thể lấy giá trị bất kỳ
nên không có giá trị T
0
nhỏ nhất.







Ta có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dưới dạng tổng của vô số tín hiệu, mỗi tín hiệu là một
chu kỳ:
∑
∞
−∞=
−=

i
0p
)iTt(x)t(x
với
⎩
⎨
⎧
≠
+≤≤
=
t0
Tttt)t(x
)t(x
011
p

Lưu ý:
1.
Tổng của M tín hiệu tuần hoàn chưa chắc là tín hiệu tuần hoàn.






2. Không có tín hiệu vật lý nào là hoàn toàn tuần hoàn vì tín hiệu vật lý không bắt đầu và kết
thúc ở vô cùng. Tuy nhiên, nếu nó lặp lại có chu kỳ trong một khoảng thời gian đủ dài thì ta
có thể xem nó là tuần hoàn.
Ví dụ một cái quạt điện, sau khi bật được vài giây, nó sẽ đạt được một tốc độ ổn định không
phụ thuộc vào thời điểm nó được bật/tắt, do đó khi cần tính dòng hay là công suất chẳng hạn,

ta coi như
là cái quạt đó đã được bật lên vào lúc
−
∞
=
t và sẽ được tắt đi vào lúc
∞
=
t và
tín hiệu điện áp nguồn cung cấp cho quạt là dạng sin.
Chương I
- 13 -
1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN HỆ THỐNG
Cùng với mô hình toán học là phương trình hệ thống thì việc biển diễn hệ thống bằng các
công cụ khác giúp ta thực hiện bài toán phân tích hệ thống. Mô hình toán giúp ta tính toán,
phân tích định lượng các thông số trong hệ thống. Các phương pháp biểu diễn khác giúp ta
nhìn thấy rõ sự kết nối giữa các thành phần hoặc là các phép toán trong hệ thống.
1.5.1 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối
Đối với nhiều hệ thống thì việc biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối (block diagram) rất thuận
tiện cho việc phân tích.
Trong sơ đồ khối, các phép toán trên tín hiệu được biểu diễn bằng các khối- là các hộp/vòng
tròn có ghi ký hiệu bên trong. Đường đi của tín hiệu được biểu diễn bằng các đoạn thẳng kết
nối các hộp/vòng tròn đó. Cuối các đoạn thẳng có mũi tên chỉ chiều đi của tín hiệu. Tín hiệu
đi trên mỗi đường được ghi bên trong đoạn thẳng n
ối hay cuối đoạn thẳng.
Các phép toán cơ sở trong hệ thống gồm: nhân với hằng số, đạo hàm, tích phân, cộng hai tín
hiệu. Ký hiệu các khối này như hình sau:

Dựa vào sơ đồ khối ta phân hệ thống ra thành hai loại:
hệ có một đầu vào-một đầu ra (single-
input, single-output system) và hệ có nhiều đầu vào-nhiều đầu ra (multi-input, multi output
system).
Ví dụ:
Hệ có một đầu vào-một đầu ra Hệ có nhiều đầu vào-nhiều đầu ra







Khối nhân
x
1

(t)+x
2
(t)
x
2
(t)
d
t
)t(dx

ττ
∫
∞−
d)(x
t

Kx(t)
x
1
(t)
x(t)
x(t)
K
∫
∞−
t

dt
d

x(t)
Khối tích phân
Khối đạo hàm
Khối cộng
y(t) x
1
(t)
x
2
(t)
x(t)
∫
∞−
t

K
Chương I
- 14 -
Trong môn học này, ta chỉ xét hệ có một đầu vào-một đầu ra. Công cụ sử dụng để phân tích
hệ một đầu vào-một đầu ra cũng hữu hiệu đối với phân tích hệ nhiều đầu vào-nhiều đầu ra vì
ta có thể xem hệ nhiều đầu vào-nhiều đầu ra là ghép nối của các hệ con một đầu vào-một đầu
ra.
Từ sơ đồ khối, ta có thể tìm được phương trình biểu diễn h
ệ thống.
Ví dụ:
Ta xét ví dụ hệ một đầu vào-một đầu ra trên đây.
Ta viết 3 phương trình cho 3 thành phần của hệ thống là khâu cộng, tích phân và nhân như
sau:

Kết hợp 3 phương trình trên, ta được phương trình hệ thống như sau:
)t(x)t(Ky
d
t
)t(dy
=+
1.5.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ thành phần hệ thống
Ta có thể mô tả hệ thống một cách rõ ràng và chi tiết hơn bằng sơ đồ thành phần hệ thống
(system-component diagram). Sơ đồ này gồm các ký hiệu và các đoạn thẳng biểu diễn cho
các thành phần của hệ thống và kết nối các thành phần đó.
Ví dụ hệ thống là một mạch điện thì các thành phần của hệ thống gồm các linh kiện như điện
trở, cuộn dây, tụ điện, các nguồn điện như nguồn dòng, nguồn áp, các tín hiệu như dòng,
áp…
Từ sơ
đồ thành phần hệ thống, ta cũng có thể tìm được phương trình biểu diễn hệ thống.
Ví dụ:
Tìm phương trình của hệ thống là mạch điện sau. Cho biết tín hiệu vào là v
1
(t) và tín hiệu ra
là v
2
(t).

Phương trình hệ thống:
dt
)t(dv
)t(v
C
R
dt
)t(dv
1
2
2
=+
∫
∞−
ττ=
=
−
=
t
1
2
21
d)(x)t(y
)t(Ky)t(x
)t(x)t(x)t(x
Chương I
- 15 -

1.6 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA HỆ THỐNG
Trên đây ta đã xét các sơ đồ dùng để biểu diễn hệ thống bên cạnh mô hình toán học. Trong
phần này ta sẽ xét các đặc điểm của hệ thống và mối liên quan giữa mô hình toán học với các
đặc điểm của một hệ vật lý.
1.6.1 Hệ có thông số tập trung và thông số phân tán
Tín hiệu không truyền tức thời qua các thành phần của hệ thống. Ví dụ tín hiệu điện là tín
hiệu điện từ truyền với tốc độ bằng tốc độ ánh sáng. Như vậy, các giá trị của tín hiệu là hàm
theo cả không gian và thời gian.
Tuy nhiên, nếu tín hiệu biến đổi chậm trong thời gian truyền qua một khoảng cách nào đó thì
tín hiệu gần như là hằng số trong khoảng cách đó. Nếu kho
ảng cách đó lớn hơn khoảng cách
giữa hai thành phần hệ thống thì tín hiệu truyền giữa hai thành phần đó chỉ là hàm theo thời
gian. Ta chỉ cần dùng phương trình hệ thống thông thường phụ thuộc biến thời gian là đủ để
biểu diễn hệ thống. Ta gọi hệ như vậy là
hệ có thông số tập trung (lumped-parameter
system).
Thực tế có những hệ thống có khoảng cách giữa hai thành phần hệ thống quá nhỏ so với
khoảng cách mà tín hiệu là hằng số trong khoảng đó. Ta gọi những hệ như vậy là
hệ có thông
số phân tán (distribited-parameter system). Ví dụ như, hệ thống là đường truyền tải điện
Bắc-Nam dài cả ngàn cây số, ta không thể xem tín hiệu là hằng số khi truyền qua một khoảng
cách xa như vậy, ngay cả khi tín hiệu thay đổi rất ít. Một ví dụ khác là bộ khuếch đại vi ba,
tín hiệu thay đổi quá nhanh nên không thể xem là hằng số được mặc dù khoảng cách giữa hai
thành phần hệ thống rất nhỏ. Đối với hệ có thông số phân tán, ta ph
ải dùng phương trình phụ
thuộc vào cả biến không gian và thời gian mới đủ để biểu diễn hệ thống.
Trong môn học này, ta chỉ xét hệ có thông số tập trung.
1.6.2 Hệ có nhớ và không nhớ
Hệ thống có thể có nhớ hay không có nhớ. Hệ có nhớ có khả năng lưu giữ các thông tin trong
quá khứ. Ta có các định nghĩa sau đây:

Hệ không nhớ (memoryless system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t
1
phụ thuộc vào tín
hiệu vào tại cùng thời điểm. Hệ không nhớ không chứa các phần tử lưu trữ năng lượng như tụ
điện, cuộn dây… Phương trình hệ không nhớ không có phép đạo hàm, tích phân mà chỉ đơn
giản là phương tình đại số.
Hệ có nhớ (memory system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t
1
phụ thuộc vào tín hiệu vào
tại cùng thời điểm và tại các thời điểm khác. Hệ có nhớ có chứa các phần tử lưu trữ năng
lượng như tụ điện, cuộn dây… Phương trình hệ có nhớ có phép đạo hàm, tích phân và đó là
phương trình vi phân.
Ví dụ: Các hệ sau đây là có nhớ hay không có nhớ?







Chương I
- 16 -

1.6.3 Hệ nhân quả
Hệ nhân quả (causal system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t
1
phụ thuộc vào tín hiệu vào
ở các thời điểm
1
tt ≤ .
Theo định nghĩa này ta thấy hệ không nhớ là hệ nhân quả. Các hệ vật lý là hệ nhân quả, vì
các giá trị của tín hiệu vào trong tương lai là chưa có nên không thể ảnh hưởng đến tín hiệu
ra được.
Ví dụ: Hệ
6
5
)t(x
12
1
)t(y −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
là hệ nhân quả.
1.6.4 Bậc của hệ thống

Bậc của hệ thống (system order) được định nghĩa là bậc của phương trình vi phân biểu diễn
hệ thống.
Như vậy bậc của hệ thống chính là bậc của đạo hàm cao nhất của tín hiệu ra trong phương
trình vi phân mô tả hệ thống.
Ví dụ: Bậc của hệ )t(x
d
t
)t(dx
)t(y2
d
t
)t(dy
3
d
t
)t(yd
3
3
+=++ là: 3.
1.6.5 Hệ tuyến tính
Hệ tuyến tính (linear system) là hệ thỏa điều kiện sau:
)t(yB)t(yA)t(y
)t(xB)t(A x)t(x
21
21
+=
+
=

ở đây y

i
(t) là tín hiệu ra khi tín hiệu vào là x
i
(t), A và B là hằng số.
Các hệ thống tuyến tính có thể được mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính. Ta có thể giải
các phương trình vi phân tuyến tính bằng các phương pháp kinh điển. Ngược lại, phương
trình mô tả hệ phi tuyến là phương trình vi phân phi tuyến và giải các phương trình phi tuyến
này rất khó hay đôi khi không giải được.
Trong môn học này, ta chỉ xét hệ tuyến tính.
Chương I
- 17 -
Ví dụ:
Xét tính tuyến tính của các hệ sau đây:
(a)
6
5
)t(x
12
1
)t(y −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
(b)
)t(x
d

t
)t(dx
)t(y2
d
t
)t(dy
3
d
t
)t(yd
3
3
+=++

Chương I
- 18 -
1.6.6 Hệ bất biến
Hệ bất biến (time-invariant system) là hệ không thay đổi theo thời gian.
Về mặt toán học, hệ bất biến là hệ thỏa điều kiện sau:
)t(y)t(y
)t(x)t(x
1
1
τ−=
τ
−
=

Phương trình mô tả hệ bất biến là phương trình vi phân hệ số hằng, tức là các thành phần của
hệ thống là hằng số. Thực tế thì các thành phần của hệ vật lý có thay đổi theo thời gian nhưng
sự thay đổi đó rất nhỏ nên ta bỏ qua và xem hệ vật lý là hệ bất biến.
Ví dụ: xét tính bất biến của các hệ sau đây:

(a) y(t) = t.x(t) - 4
(b)
)t(x
d
t
)t(dx
)t(y2
d
t
)t(dy
3
d
t
)t(yd
3
3
+=++

1.6.7 Hệ ổn định
Trước khi định nghĩa hệ ổn định, ta định nghĩa tín hiệu hữu hạn (bounded signal)- đó là tín
hiệu có biên độ hữu hạn. Khi thiết kế hệ thống, ta luôn mong muốn hệ được ổn định theo
nghĩa là tín hiệu ra hữu hạn khi tín hiệu vào hữu hạn, để cho tín hiệu ra không tăng lên mà
không kiểm soát được. Hệ như vậy được gọi là
hệ ổn định BIBO (Bounded Input Bounded
Output).
Ta sẽ xét kỹ hơn về hệ ổn định trong các chương tiếp theo sau.