Full đáp án đề ts vào 10 hà nội 2022 2023

GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I

(2,0 điểm)
3 x
x4
2
và B 
với x  0, x  4 .

x4
x 2
x 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .

Cho hai biểu thức A 

2) Chứng minh B 

x
.
x2

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn A  B 
Bài II

3
.
2

(2,0 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phuơng trình:
Một ơ tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm A và đi đến địa điểm B . Do vận tốc của
ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng
đường AB dài 60 km , tính vận tốc của mỗi xe. (Giả định rằng vận tốc mỗi xe là khơng đổi trên
tồn bộ quãng đường AB).
2) Quả bóng đá thường được sử dụng trong các trận thi đấu dành cho
trẻ em từ 6 tuổi đến 8 tuổi có dạng một hình cầu với bán kính bằng
9,5 cm . Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (lấy   3,14).

Bài III

(2,5 điểm)
12

2 x  y  2  5

1) Giải hệ phương trình 
.
4
3 x 
2

y2

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol

 P  : y  x2

và đường thẳng  d  : y  2 x  m 2 .

a) Chứng minh  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả giá trị của m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn

 x1  1 x2  1  3 .
Bài IV

(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A . Gọi E là một điểm bất kỳ trên tia CA sao cho điểm
A nằm giữa hai điểm C và E . Gọi M và H lần lượt là chân các đường vng góc kẻ từ điểm A
đến các đường thẳng BC và BE .
1) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh BC.BM  BH .BE và HM là tia phân giác của góc AHB .
3) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN . Gọi K là giao điểm của hai đường
thẳng EN và AB . Chứng minh ba điểm H , K , M là ba điểm thẳng hàng.

Bài V

(0,5 điểm)
Với các số thực không âm x và y thỏa mãn x 2  y 2  4 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  x  2y .

---HẾT--NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài I

(2,0 điểm)
3 x
x4
2
và B 

với x  0, x  4 .
x4
x 2
x 2
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .

Cho hai biểu thức A 

x
.
x2

2) Chứng minh B 

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn A  B 

3
.
2

Lời giải
1) Tính giá trị cùa biểu thức A khi x  9 .
Thay x  9 (tmđk) vào biểu thức A ta có: A 

3 9
9

92 5

9
Vậy khi x  9 thì A  .
5

2) Chứng minh B 

x4
2

với x  0, x  4.
x4
x 2

Ta có: B 










x4
x 2

x







x 2

x2 x
x 2



x 2

x

x2



x 2

x 2





x 2



 

2



x 2

x 2





x 2







x
x 2

Vậy B 

x
với x  0, x  4.
x 2

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn A  B 
Ta có: A  B 

3
.
2

3
2



3 x


x 2

x
3

x 2 2



2 x
3
 0
x 2 2

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI




Vì

4 x 3
2

2



x 2

x 2

x 6
x 2





 0

0

x  2  0 (với x  0, x  4 ) nên 2

Suy ra:

Bài II





ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

x 6 0 

x 6 0 





x 2  0
x  6  x  36 (với x  0, x  4 ).

Mà x nguyên dương lớn nhất, nên x  35 .
3
Vậy x  35 thì A  B  .
2
Bình luận: Bài 1 gồm 3 ý đều khá cơ bản và quen thuộc với nhiều học sinh.
- Bài 1.3 là ý phân loại, trước hết học sinh cần thu gọn được biểu thức A-B.
- Đây là dạng giải bất phương nhưng bài toán yêu cầu tìm giá trị cụ thể đó là giá trị nguyên nhỏ
nhất thỏa mãn.
- Sau khi giải bất phương trình học sinh cần chú ý tìm x nguyên nhỏ nhất, đây cũng có thể là câu
hỏi khó khăn với phần ít học sinh, khi chưa hiểu kĩ đề bài, nhầm lẫn với dạng tìm min – max.
(2,0 điểm)
1) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phuơng trình:
Một ơ tơ và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm A và đi đến địa điểm B . Do vận tốc của
ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng
đường AB dài 60 km , tính vận tốc của mỗi xe. (Giả định rằng vận tốc mỗi xe là không đổi trên
tồn bộ qng đường AB ).
2) Quả bóng đá thường được sử dụng trong các trận thi đấu dành cho trẻ
em từ 6 tuổi đến 8 tuổi có dạng một hình cầu với bán kính bằng 9,5 cm .
Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (lấy   3,14).

Lời giải
1) Giải bài tốn bằng cách lập phương trình
Gọi vận tốc của xe máy là x ( x  0; km /h)
Vận tốc của ô tô là x  20  km /h 
60
(giờ)
x
60
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là:
(giờ)
x  20
1
Do ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút 
giờ nên ta có phương trình:
2

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là:

 x  60  loaïi 
60
60
1

 
x x  20 2
(thỏa mãn điều kiện)
 x  40
Vậy vận tốc của xe máy là: 40 km /h.
Vậy tốc của ô tơ là: 40  20  60 km /h.
Bình luận: Bài tốn giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình khá quen thuộc, đa số

học sinh sẽ lập và giải phương trình bậc hai.
- Học sinh có thể thiếu điều kiện của ẩn, thiếu đợn vị đo .
- Chỉ kết luận vận tốc của ôtô hoặc xe máy khi mà bài tốn u cầu tìm vận tốc của ơtơ và xe máy

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

2) Bài tốn thực tế

Diện tích bề mặt của quả bóng là: S  4 R 2  4.3,14.9,52  1133, 54  cm 2  .
Vậy diện tích bề mặt quả bóng xấp xỉ bằng 1133,54 cm2 .

Bài III

Bình luận: Học sinh cần nhớ cơng thức tính diện tích xung quanh hình cầu và thay số chính xác
là được.
- Học sinh có thể mắc lỗi nhớ nhầm cơng thức, làm trịn hoặc tính tốn sai, qn đơn vị đo. Dùng
sai dấu xấp xỉ và dấu bằng.
(2,5 điểm)
12

2
x

5


y2

1) Giải hệ phương trình 
.
3 x  4  2

y2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol

 P  : y  x2

và đường thẳng  d  : y  2 x  m 2 .

a) Chứng minh  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả giá trị của m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn

 x1  1 x2  1  3 .
Lời giải
12

2 x  y  2  5

1) Giải hệ phương trình 
.
3 x  4  2

y2
Điều kiện y  2.

Đặt

1
a
y2

Hệ phương trình trở thành:

x  1
2 x  12a  5
2 x  12a  5
11x  11
x  1
x  1







1
3x  4a  2
9 x  12a  3
3x  4a  2
3.1  4a  2
 4a  1
a  4
1
1

1
Với a  
  y  2  4  y  2 (thỏa mãn điều kiện)
4
y2 4
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x; y   1; 2  .
Bình luận:
- Chú ý cần đạt điều kiện mẫu khác 0.
- Học sinh có thể giải trực tiếp mà khơng cần đặt ẩn phụ.
- Lỗi học sinh hay mặc phải là quên điều kiện để hệ phương trình xác định, hoặc xác định sai điều kiện.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x 2 và đường thằng  d  : y  2 x  m2 .
a) Chứng minh  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn

 x1  1 x2  1  3.
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Lời giải

a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm của  P  và  d  là x 2  2 x  m 2  x 2  2 x  m 2  0 1 .
Ta có  '  b '2  ac   1  1.  m 2   1  m2
2

Do m2  0  1  m2  0   '  0 m
Khi đó phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .

Suy ra đường thẳng  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
b) Theo câu a) đường thẳng  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 .

 x1  x2  2
Vì (1) có hai nghiệm với mọi giá trị của m , theo hệ thức Viet ta có: 
.
2
 x1 x2   m
Theo đề bài ta có

 x1  1 x2  1  3  x1 x2  x1  x2  1  3  m2  3  3  m2  6  m  

6.

Vậy m   6 thì  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn  x1  1 x2  1  3.
Bình luận:
Với ý a: nếu học sinh tính a.c  m 2 rồi kế luận  m 2  0 là sai vì  m 2  0. Bài này học sinh cần tính
đenta cụ thể.
Với ý b: yêu cầu bài toán, ta chỉ cần nhân phá ngoặc biến đổi về biểu thức đối xứng.
Bài toán vi-et đưa về đối xứng tổng và tích 2 nghiệm khá căn bản.

Bài IV

Lỗi học sinh có thể mắc phải là: m2  6  m  6 , bị thiếu giá trị m   6 . Lỗi này, thí sinh sẽ bị
trừ điểm.
(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại định A . Gọi E là một điểm bất kỳ trên tia CA sao cho điểm
A nằm giữa hai điểm C và E . Gọi M và H lần lượt là chân các đường vng góc kẻ từ điểm A
đến các đường thẳng BC và BE .
1) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh BC.BM  BH .BE và HM là tia phân giác của góc AHB .
3) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN . Gọi K là giao điểm của hai đường
thẳng EN và AB . Chứng minh ba điểm H , K , M là ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
B

N

M
K
H

E

C

A

1) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.
AMB  90.
Ta có: AM  BC (giả thiết)  

AHB  90.
AH  BE (giả thiết)  
NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

AMB  
AHB  90  
AMB  
AHB  180o .
Xét tứ giác AMBH có: 
Mà hai góc ở vị trí đối nhau.
Do đó tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh BC.BM  BH .BE và HM là tia phân giác của góc AHB .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A có đường cao AM , ta có:
AB 2  BC.BM (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABE vng tại A có đường cao AH , ta có:
AB 2  BH .BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC.BM  BH .BE
  45o
Xét tam giác ABC vng cân tại A có BMA

  45o
AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên MAB
Vì AMBH là tứ giác nội tiếp (cmt) nên ta có: 
AHM  
ABM  45o ( 2 góc nội tiếp cùng chắn


AM ) (3)

 ) (4)

  MAB
  45o ( 2 góc nội tiếp cùng chắn BM
MHB
  45o
Từ (3) và (4) suy ra 
AHM  MHB
HM là tia phân giác của góc AHB (đpcm).

3) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng
EN và AB . Chứng minh ba điểm H , K , M là ba điểm thẳng hàng.
Gọi K ' là giao điểm của HM và AB.

HA K  A

HM là tia phân giác góc 
AHB nên ta có:
HB K  B
Tứ giác ABNC có M là trung điểm của AN và BC.
Mà AB  AC; AB  AC (giả thiết).

 5

Do đó: ABNC là hình vng  AB  BN .

  KBN
  90 ; EKA
  NKB
 (hai góc đối đỉnh).
Xét AKE và BKN có: EAK
KA AE AE



(vì AB  BN ).
KB BN AB
  90.
 chung; 
AHB  EAB
Xét HAB và AEB có: B
HA AE
Do đó HAB ∽AEB (g – g) 

HB AB
HA KA
Từ  6  và  7  , suy ra

HB KB
Do đó: AKE ∽BKN (g – g) 

Từ  5 và  8 ta có:



 6
7
 8

K  A KA
K  A K B




.
KA
KB
K  B KB

K  A K  B K  A  K  B AB



1
KA
KB
KA  KB
AB

Do đó K  K  . Vậy ba điểm H , K , M thẳng hàng.

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Bình luận: Bài tốn khơng cho trước đường trịn nên nhiều học sinh sẽ bỡ ngỡ khi vẽ hình.
- Ý 4a) Chứng minh tứ giác nội tiếp khá cơ bản và rất quen thuộc học sinh chứng minh tổng 2 góc
đối diện bằng 180 độ.
- Câu b có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh. Học sinh cần chú ý điều

kiện đặc biệt của đầu bài, tam giác ABC vuông cân tại A.
- Câu 4c dựa vào câu 4b đã gợi ý, học sinh quay sang xét tam giác đồng dạng sẽ bị lạc đường,
khơng tìm ra hướng làm. Chú ý điểm N đặc biệt nên ABNC là hình vng, điều này học sinh dễ
nhận ra nhưng thường vướng mắc vào việc chứng minh góc AHK bằng 45 độ, làm thế khơng ra.
Căn cứ vào ý b, để nhận ra phải chứng minh HK là phân giác góc AHB thơng qua tỉ số rút ra từ
tính chất đường phân giác.
Bài V

(0,5 điểm)
Với các số thực không âm x và y thỏa mãn x 2  y 2  4 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  x  2y .

Lời giải
Cách 1:
Ta có P 2   x  2 y   x 2  4 xy  4 y 2  ( x 2  y 2 )  4 xy  3 y 2  4
2

 P  2 . Min P  2 , Dấu bằng xảy ra khi x  2; y  0
Cách 2:

x 2  y 2  4  ( x  y)2  4  2 xy  4  x  y  2
 P  x  2 y  ( x  y)  y  ( x  y)  2

Min P  2 , Dấu bằng xảy ra khi x  2; y  0
Bình luận:
- Đây là bài phân loại nhưng năm nay khá cơ bản học sinh chỉ biến đổi và áp dụng bất đẳng thức
-Học sinh có thể bình phương P sau đó dựa vào điều kiện x 2  y 2  4 và x; y  0 để tìm được
GTNN của P.
Cách 2. Dựa vào dự kiện x 2  y 2  4 sẽ suy ra được x  y  2 từ đó tìm được GTNN của P.
---HẾT---

NHĨM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI

/>

GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

/>

GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

/>