Bài giảng Sức bền vật liệu: Chương 8 - GVC.ThS. Lê Hoàng Tuấn

CHƯƠNG 8-
CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN
GVC. Th.s. Lê Hoàng Tuấn
1. KHÁI NIỆM
Đường đàn hồi-
Trục cong của dầm
Đường
đàn hồi
v=y
P
y
z
K
K'
u


 KK'- Chuyển vị
thẳng của m/c K
 v- Chuyển vị đứng
( độ võng)
 u- Chuyển vị ngang
  -Chuyển vị góc (góc
xoay) của m/c K
1. KHÁI NIỆM
Trong điều kiện
chuyển vị bé thì
<<
u v
K’ sau khi biến dạng nằm
trên đường vuông góc

với trục dầm trước biến dạng .
Góc xoay

có thể lấy gần đúng:
dz
dv
tg 
KK’  v= y(z)
.
Đường
đàn hồi
v=y(z)
P
y
z
K
K'

(z)

(z)
P
z
1. KHÁI NIỆM
Giải tích hóa các
chuyển vị:
Đường
đàn hồi
v=y(z)
P

y
z
K
K'

(z)

(z)
P
z
Trong hệ trục (y,z):
 P/t Đường đàn hồi
y = y(z)
 Độ võng điểm có
hoành độ z: y
 Góc xoay m/c hoành độ z:  =  (z)  tg  (z) = y' (z)
Phương trình của góc xoay là đạo
hàm của phương trình đường đàn hồi.
1. KHÁI NIỆM
1000
1
300
1








L
f
 Quy ước dương của chuyển vị:
- Độ võng y dương nếu hướng xuống.
- Góc xoay

dương nếu mặt cắt quay
thuận chiều kim đồng hồ.
trong đó: L - chiều dài nhịp dầm
f - độ võng lớn nhất của dầm , y
max
 Điều kiện cứng:
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Xét điểm bất kỳ K hoành độ z trên dầm.
Đường
đàn hồi
y(z)
P
y
z
K
K'

(z)

(z)
P
z


x
x
EI
M1


Chương 7:
HH giải tích :
 
2
3
2
1
1
y
y






Sau khi chịu lực K  K'.
 
x
x
2
3
2
EI

M
'y1
y




2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Vì y'== góc xoay bé
 
x
x
2
3
2
EI
M
'y1
y




Và M
x
luôn trái dấu y"
Nên ta được :
x
x

EI
M
y ''
Phương trình vi phân của Đường đàn hồi:
M
x
y
z
M
x
y"< 0
M
x
> 0
M
x
y
z
M
x
y"> 0
M
x
< 0
Tích số EI
x
là độ cứng khi uốn của dầm
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
x

x
EI
M
y ''
Từ phương trình

 Cdz
EI
M
y
x
x
'

 









 DdzCdz
EI
M
y
x
x

C và D là hai hằng số tích phân, tìm được từ các
điều kiện biên
Tích phân lần 1  P/t góc xoay:
Tích phân lần 2 P/t ĐĐH hay P/t độ võng:
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Các điều kiện biên:
y
A
=

A
= 0
A
A B
C
y
A
= 0
y
B
= 0

ph
C
tr
C
yy 
ph
C

tr
C

3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Thí dụ 1:
A
B
L
P
z
y

B
0
y
B
=
z
y
A

A
Viết p/t đường đàn hồi
và góc xoay cho dầm
công son (console).
Suy ra độ võng và
góc xoay lớn nhất.
Phương trình mômen uốn
tại mặt cắt có hoành độ z là:

EI
x
= hằng số.
Giải:
M
x
= –Pz
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
A
B
L
P
z
y

B
0
y
B
=
z
y
A

A
EI
x
= hằng số.
xx

x
EI
Pz
EI
M
''y 
P/t vi phân ĐĐH :
Tích phân 2 lần :
Điều kiện biên: z=L ; =0 và y=0
C
EJ
Pz
y
x

2
'
2

DCz
EJ
Pz
y
x

6
3

EI2
PL

C
x
2

x
3
EI3
PL
D 
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
A
B
L
P
z
y

B
0
y
B
=
z
y
A

A
EI
x

= hằng số.
x
3
x
2
x
3
EI3
PL
z
EI2
PL
EI6
Pz
y 
P/t góc xoay:
x
2
x
2
EI2
PL
EI2
Pz

Độ võng và góc xoay ở A
ứng với z=0:
và
x
2

A
EI2
PL

x
3
A
EI3
PL
y 
P/t ĐĐH:
Dấu + chỉ độ võng hướng xuống.
Dấu - chỉ góc xoay ngược kim đồng hồ;
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Thí dụ 2:
Viết p/t đường đàn hồi
và góc xoay cho dầm
đơn chịu tải đều.
Suy ra độ võng và
góc xoay lớn nhất.
Phương trình mômen uốn
tại mặt cắt có hoành độ z là:
Giải:
M
x
= V
A
.z - q.z
2

/ 2
A
B
q
z
z
EI
x
= hằng số.
L
L/2
C

V
A
V
B
Phản lực: V
A
= qL/2
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
P/t vi phân ĐĐH :
Tích phân 2 lần :


2
x
zLz
EI2

q
''y 
C
3
z
2
Lz
EI2
q
'y
32
x










DCz
12
z
6
Lz
EI2
q
y

43
x










Điều kiện biên:
z=L ; y=0
z=0 ; y=0
x
3
EI24
qL
C ;0D 
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Độ võng y
max
=y
C
=y
(z=L/2)
:
A

B
q
z
z
EI
x
= hằng số.
L
L/2
C

V
A
V
B
P/t ĐĐH:









3
3
2
2
x

3
L
z
L
z
21z
EI24
qL
y
P/t góc xoay:









3
3
2
2
x
3
L
z
4
L
z

61
EI24
qL
'y
Góc xoay 
A
= y'
A
=y'
(z=0)
:
x
4
2
L
z
max
EI384
qL5
yy 







x
3
AA

EI24
qL
y 


x
3
BB
EI24
qL
y 


Góc xoay 
B
= y'
B
=y'
(z=L)
:
4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY
BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO
Các liên hệ trong dầm
thực (DT):
'y
x
x
EI
M
''y 

y
Q
dz
dM

q
dz
dQ

q
Dầm giả tạo (DGT)
x
x
gt
EI
M
''yq 
của DT
'yQ
gt

của DT
yM
gt

của DT
4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY
BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO
Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm
thực (DT) thì chỉ cần tính lực cắt Q

gt
và mômen uốn M
gt
do tải trong giả tạo q
gt
tác dụng trên DGT gây ra.
 Dầm giả tạo:
+ Có liên kết tương ứng với chuyển vị của DT
+ Có chiều dài bằng chiều dài DT
 Lực giả tạo q
gt
:
x
x
gt
EI
M
q 
+ Trị số = M
X
chia EI
x
+ Chiều hướng theo thớ căng của DT
DT DGT
B
A
y= 0
  0
y=0
  0

B
A
M
gt
=0
Q
gt

0
M
gt
=0
Q
gt

0
M
gt
=0
Q
gt
=0
M
gt

0
Q
gt

0

A
B
B
y = 0

= 0
A
y

0
 
0
Tại C :y = 0;
 
0;

tr
=

ph
A C
B
Tại C : M
gt
=0; Q
gt
 0; Q
tr
= Q
ph

A C B
DẦM GIẢ TẠO VÀ DẦM THỰC
TƯƠNG ỨNG
THÍ DỤ 3
Giải:
A
q
a)
L
B
DGT
c)
x
2
EI2
qL
b)
2
qL
2
M
x
Tính độ võng và góc xoay đầu B
EI
x
= const
 Dầm thực- hình a)
 Biểu dồ mômen uốn-
hình b)
 Dầm giả tạo- hình c)

d)
x
2
EI2
qL
Q
gt
M
gt
 Tính chuyển vị:
x
4
x
2
B
gtB
x
3
x
2
B
gtB
EI8
qL
L
4
3
L
EI2
qL

3
1
My
EI6
qL
L
EI2
qL
3
1
Q


THÍ DỤ 4
Tính độ võng ở giữa nhịp và góc xoay
2 đầu A,B ; EI
x
= const
L/2 L/2
L
C
A B
P
4
PL
M
x
DGT
EI4
PL

M
gt
EI4
PL
V
gt
L/2
Giải:
 Dầm thực
 Biểu đồ mômen uốn
 Dầm giả tạo
 Tính chuyển vị:
EI
16
PL
EI
4
PL
2
L
2
1
V
2
gt

EI
16
PL
V

2
gtA

EI48
PL
2
L
3
1
EI4
PL
2
L
2
1
2
L
Vy
3
gtC

5. DẦM SIÊU TĨNH
Định nghĩa:
Đó là các dầm mà ta không thể xác định toàn bộ
phản lực liên kết chỉ với các p/t cân bằng tĩnh học (
bài toán phẳng có nhiều nhất 3 p/t cân bằng tĩnh
học).
Phải tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào
điều kiện biến dạng hay xchuyển vị của dầm.
Cách giải:

THÍ DỤ 5
Giải:
Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm AB ;
EI
x
= const
A
q
a)
L
B
A
q
b)
L
B
V
B
c)
2
qL
2
M
x
LV
B
 Dầm siêu tĩnh - hình a)
 Dầm thay thế - hình b)
 Biểu đồ mômen uốn
-hình c)

 P/t đ/k chuyển vị: y
B
=0
 Tính chuyển vị y
B
bằng
pp dầm giả tạo:
THÍ DỤ 5
(TT)
A
q
b)
L
B
V
B
c)
2
qL
2
M
x
LV
B
DGTd)
EI2
qL
2
EI
LV

B
Q
gt
e)
EI2
qL
2
EI
LV
B
M
gt
B
 Biểu đồ mômen uốn
-hình c)
 Dầm thực- hình b)
 Dầm giả tạo- hình d)
 Tính chuyển vị- hình e)
3
L2
EI
LV
L
2
1
4
L3
EI2
qL
L

3
1
My
B
2
B
gtB

THÍ DỤ 5
(TT)
A
q
b)
L
B
V
B
A
q
h)
L
B
V
B
=3qL/8
 Cho y
B
=0
qL
8

3
V
B

- hình h)
 Vẽ biểu đồ nội lực
với V
B
- hình i,j)
Q
y
8
qL
2
128
qL9
2
8
qL3
8
qL5
M
x
 Đây cũng là biểu
đồ nội lực của dầm
siêu tĩnh