SỐ PHỨC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (564.5 KB, 24 trang )
§1. Số phức
1, Khái niệm số phức:
*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng
a bi
, trong đó a, b là các
số thực và số i thoả mãn
2
1
i
. Kí hiệu số phức đó là z và viết
z a bi
.
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số
phức
z a bi
.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là
.
*Chú ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo
0
b
.
+ Số phức
z a bi
có
0
a
được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
+ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa 2: Hai số phức
z a bi
(
,a b
) và
' ' '
z a b i
(
', 'a b
) được
gọi là bằng nhau nếu :
'
a a
và
'
b b
. Khi đó, ta viết:
'
z z
.
2, Biểu diễn hình học số phức:
Mỗi số phức
z a bi
(
,a b
) được biểu diễn bởi một điểm
( ; )
M a b
trên mặt
phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm
( ; )
M a b
biểu diễn một số phức
z a bi
Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi
là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.
3, Phép cộng và phép trừ số phức:
*Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức
1 1 1
z a bi
,
2 2 2
z a b i
(
1 1 2 2
, , ,a b a b
)
là số phức
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
z z a a b b i
.
*Tính chất của phép cộng số phức:
i,
1 2 3 1 2 3
( ) ( )
z z z z z z
với mọi
1 2 3
, ,z z z
ii,
1 2 2 1
z z z z
với mọi
1 2
,z z
iii,
0 0
z z z
với mọi
z
iv, Với mỗi số phức
z a bi
(
,a b
), nếu kí hiệu số phức
a bi
là
z
thì ta
có:
( ) 0
z z z z
. Số
z
được gọi là số đối của số phức
z
.
*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức
1 1 1
z a bi
,
2 2 2
z a b i
(
1 1 2 2
, , ,a b a b
)
là tổng của hai số phức
1
z
và
2
z
, tức là:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
z z z z a a b b i
.
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức
z a bi
(
,a b
) được biểu diễn bởi
( ; )
M a b
cũng có nghĩa là
véc tơ
OM
. Khi đó nếu
1 2
,
u u
theo thứ tự biểu diễn số phức
1 2
,
z z
thì:
+
1 2
u u
biểu diễn số phức
1 2
z z
+
1 2
u u
biểu diễn số phức
1 2
z z
4, Phép nhân số phức:
A-Tóm tắt lý thuyết:
*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức
1 1 1
z a bi
,
2 2 2
z a b i
(
1 1 2 2
, , ,a b a b
)
là số phức:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
. ( )
z z a a bb a b a b i
*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức
z a bi
(
,a b
), ta có:
( )
kz k a bi ka kbi
+
0. .0 0
z z
với mọi
z
.
*Tính chất của phép nhân số phức:
i,
1 2 2 1
z z z z
với mọi
1 2
,z z
ii,
.1 1.
z z z
với mọi
z
iii,
1 2 3 1 2 3
( ). .( )
z z z z z z
với mọi
1 2 3
, ,z z z
iv,
1 2 3 1 2 1 3
.( )
z z z z z z z
với mọi
1 2 3
, ,z z z
5, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức
z a bi
(
,a b
) là
a bi
và
được kí hiệu là
z
. Như vậy, ta có:
z a bi a bi
*Nhận xét: + Số phức liên hợp của
z
lại là
z
, tức là
z z
. Do đó ta còn nói
z
và
z
là hai số phức liên hợp với nhau.
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng
đối xứng nhau qua trục Ox.
*Tính chất: i, Với mọi
1 2
,z z
ta có:
1 2 1 2
z z z z
;
1 2 1 2
. .
z z z z
ii,
z
,
z a bi
(
,a b
), số
.
z z
luôn là một số thực và
2 2
.
z z a b
*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức
z a bi
(
,a b
) là số thực không âm
2 2
a b
và được kí hiệu
z
:
2 2
.
z z z a b
.
*Nhận xét: +
0
z
khi và chỉ khi
0
z
.
+ Nếu
z
là số thực thì mô đun của
z
là giá trị tuyệt đối của số thực đó.
6, Phép chia cho số phức khác 0:
*Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức
z
khác 0 là
1
2
z
z
z
. Thương
'
z
z
của phép chia số phức
'
z
cho số phức
z
khác 0 là tích của
'
z
với số phức
nghịch đảo của
z
, tức là
1
'
'.
z
z z
z
. Như vậy, nếu
0
z
thì
2
' '.
z z z
z
z
*Chú ý: Có thể viết
2
' '. '.
.
z z z z z
z
z z
z
nên để tính
'
z
z
ta chỉ cần nhân cả tử và
mẫu số với
z
. Để ý rằng
2
.
z z z
.
*Nhận xét: + Với
0
z
, ta có:
1 1
1
1.
z z
z
.
+ Thương
'
z
z
là số phức
w
sao cho
.w '
z z
. Do đó, có thể nói phép chia cho
số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân.
+
' '
z z
z
z
;
'
'
z
z
z z
;
1 2 1 2
.
z z z z
;
1 2 1 2
z z z z
Dạng 1: Tính toán và Chứng minh
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1,
(3 5 ) (7 3 )
z i i
2,
(4 3 )(4 5 )
z i i
3,
5 2 7(2 ) 3
z i i i
4,
14
(1 )
z i
5,
5
(3 2 )(3 2 ) 5(1 2 ) 2
z i i i i
6,
16 16
(3 ) (1 2 )
z i i
7,
8
(1 )
z i
8,
3
(3 )
z i
9,
3 2
(1 ) (1 )
z i i
10,
2
1
i
z
i
11,
2
(1 2 )(2 )
1 3
i i
z
i
12,
2
(2 3 )(3 )
6 17
i i
z
i
Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau:
1,
2
( 3) 3(2 3)( 1)
z i i i
2,
3 3
(2 ) (3 )
z i i
3,
7
7
1 1
2
z i
i i
4,
3 2
1
i i
z
i i
5,
3
2 1
4 3 2
2
i
z i i
i
6,
3
(3 1)(2 )
(1 4 )
1
i i
z i i
i
7,
18 18
20
( 1 9 ) (4 5 )
(1 )
i i
z
i
8,
3 2 3 3 2 3
2 3 2 3
i i
z
i i
9,
15
9
9
12
(1 3 ) 1
3
( 3 )
i
z i
i
i
10,
33
10
1 1
(1 ) (2 3 )(2 3 )
1
i
z i i i
i i
11,
16 8
1 1
1 1
i i
z
i i
12,
2 99
1 (1 ) (1 ) (1 )
z i i i
Bài 3: Tìm
z
và tính
z
biết rằng:
1,
2 3
z i
2,
2 2
z i
3,
2013
z
4,
2014
z i
5,
2 3 (2 3)
z i
6,
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
Bài 4: Cho số phức
1 3
2 2
z i
. Tính:
z
;
z
;
1
z
;
3
z
;
2
z
;
2
1
z z
;
2013
6
1 z
Bài 5: Cho số phức
2
(1 2 )(2 )
z i i
. Tính:
z
;
z
;
z z
;
.
z z
Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1,
3 5 2 1 ( )
x y xi y x y i
2,
3
(3 5 ) (1 2 ) 9 14
x i y i i
B-Phương pháp giải toán:
3,
3 2 1 (2 )
x yi y x i
4,
2 1 ( 2 5)
x y x y i
5,
3
( 2 )(2 ) 2
2
x yi x yi i
6,
2 2
(1 ) (4 3 ) 1 4
x i y i xy i
Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1,
2 3
(2 3 ) (2 1)(1 ) 5(7 10 )
x i y i i
2,
2 3
(2 )(3 ) ( 2 )( 2) 18 76
x i i x y i i
3,
3
(2 1)(2 ) ( 3 2 )(2 3 ) 6 85
x i y i i i
4,
7
2
1
(3 ) ( 2)( ) 19 23
1
i
x y y x i i
i
Bài 8: Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:
1,
3 2
2 3
(1 3 ) (4 3 )
(2 ) (3 80 )
i i
z
i i i
2,
2
2
(3 2 ) ( 2 ) 19
3
(1 2 )
i i
z
i
i
3,
7 7
(2 5) (2 5)
z i i
4,
2013 2013
19 7 20 5
9 7 6
i i
z
i i
Bài 9: Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:
1,
9 5
(1 3 ) (512 3)
z i i i
2,
2 2
(5 1) (1 3 ) (8 10)
z i i i
3,
5 2 5 2
2 3 10 2 3 10
i i
z
i i
4,
52 2013 52 2013
(3 1)(79 7 ) 10(23 10 )
i i
z
i i
Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1,
3 2
(1 )(2 3 )
i
z
i i
2,
(1 )(2 ) (1 )(2 )
2 2
i i i i
z
i i
3,
3
1 5
(2 )
1
i
z i
i
4,
2 4
7
(2 ) (1 )
2
i
z i i
i
Bài 11: Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:
1,
2013
2
2
1
i i
z z
z
2,
3
2
1
z z
z z
z
Bài 12: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
1,
3
1 3 1 3
2 2 2 2
i i
A
2,
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
B
i i
3,
3 3
3 3
(2 ) (2 )
(2 ) (2 )
i i
C
i i
4,
2013
10
1 1
(1 ) (2 3 )(2 3 )
1
i
D i i i
i i
Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
0
iz z i
2,
(3 2 ) 1 4
i z i z
3,
(1 5 ) 10 2 1 5
i z i i
4,
1 3
1
z i
i i
i
5,
2 3
1 3 2 1
1
i
i z
i
6,
2 1 3
1 2
i i
z
i i
7,
( 2 3) 3 2
i z i
8,
2
( 1)(1 ) 2 2
1
z i
z i i
i
Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
(4 3 ) (2 )(3 5 )
i z i i
2,
2 3 4 11
z iz i
3,
( 2) (3 )( 1 3 )
z i i z i
4,
2
2 2 1
(3 ) 10 5
i z z
i i
5,
3
7 3
(2 1) 2 1
i i
i z
6,
1 2
2 3
1 1
i z i
z i
i i
7,
2
z z
8,
2 2 4
z z i
9,
. 3 13 18
z z z z i
10,
4 (2 ) 7 3 7
z z i z i
11,
2 2
(1 ) 5 5
1
iz i
i z i
i
Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
5
z
và
z z
2,
2 3
z z
và
z z
3,
2
2 . 5
z z z
và
z z
4,
2
2
0
z z
và
1
1
3
z
z
5,
2 1 2
z i z i
và
1 10
10
z
6,
5
z
và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.
Bài 16: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
2
2
z z z
2,
5 3
1 0
i
z
z
3,
2
1 (2 3 )
2
i i z
i
z
z
4,
3
( 2 )
1 2
i
z
i
5,
2
1
( 1)(1 )
1
z
z i z
i
6,
2
. 2 10 3
z z z z z i
7,
1 5
z
và
17 5 . 0
z z z z
8,
1 2 5
z i
và
. 34
z z
9,
(2 ) 10
z i
và
. 25
z z
10,
3 1
z i iz
và
9
z
z
là số thuần ảo
Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
2 4 2
z i z i
và
1 2
z i
nhỏ nhất.
2,
1 2
z i iz
và
(2 3 2 )( )
z i z i
là số thuần ảo.
3,
z
nhỏ nhất và
( 1) 2
z z i
là số thực.
4,
z
nhỏ nhất và
3 2
iz z i
5,
z
lớn nhất và
2 (1 )
z z
là số thuần ảo.
Bài 18: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
2 52
z i
và
4 2
z i
nhỏ nhất.
2,
1 2 3 4
z i z i
và
2
z i
z i
là số thuần ảo.
3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:
1
z
và
2
2
3
z z
Bài 19: Tìm số phức z thoả mãn:
1,
1 2 3 4
z i z i
và
1 10
z z i
2,
1
1
z
z i
và
3
1
z i
z i
3,
2 5
3
3 2
z
z i
và
5
1
1
z
z
4,
1
1
3
z
z
và
2
2
z i
z i
5,
1
1
z i
z
và
( 3)( 3 ) 9
z z i
6,
3
1
z i
z i
và
( 2)( 5 2 ) 6
z iz i
7,
2
2
0
z z
và
1
1
3
z
z
8,
2
1
2
z
z i
và
( 1) 5
z z i
Bài 20: 1, Tìm số phức z sao cho
w (2 3 )(2 )(3 2 )
z i i i
là 1 số thực.
2, Cho số phức z thoả mãn:
2 3
z z i
. Tính
12
z
.
3, Cho số phức z thoả mãn:
7
1
2
z
z
z
. Tính
2
z i
z i
.
4, Cho số phức z thoả mãn:
18
1
2
z
z
z
. Tính
4
2
z i
z i
.
5, Cho số phức z thoả mãn:
2 3( 1 2 )
z z i
. Tính
2 3
w
z z z
.
6, Cho số phức z thoả mãn:
4
1
z i
z
. Tính
1 (1 )
A i z
.
7, Cho số phức z thoả mãn:
2
2
z i
z
là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1
T z z i
.
Bài 21: 1, Cho hàm số:
3 2
( ) 2 7 3
f z z z z
. Chứng minh rằng:
w (1 ) (1 )
f i f i
là một số thực.
2, Cho số phức
z x yi
(
,x y
) thoả mãn:
3
18 26
z i
.
Tính giá trị của biểu thức:
2013 2013
( 2) (4 )
A z z
.
3, Cho số phức
1
w
1
z
z
. a, Xác định phần thực của w biết rằng
1
z
và
1
z
.
b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì
1
z
.
Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm:
1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn:
(2 ) 10
z i
và
. 25
z z
2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn:
2
z
và
2
z
là số thuần ảo.
3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng:
2
( 2 ) (1 2 )
z i i
Cho số phức z thoả mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
. Tính
z iz
.
4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn:
3
5
3
z
z i
và
4 10
z i z i
.
5,(A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết:
2
2
z z z
Tính
z
, biết rằng:
(2 1)(1 ) 1 (1 ) 2 2
z i z i i
6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng:
5 3
1 0
i
z
z
.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
3
1 3
1
i
z
i
7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn:
5
2
1
z i
i
z
. Tính
w
biết
2
w 1
z z
.
8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
.
Tính mô đun của số phức
w 1
z i
.
9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn:
(1 )( ) 2 2
i z i z i
.
Tính môđun của số phức w, biết
2
2 1
w
z z
z
.
Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn:
1 5
z z i
và
(2 )
z i z
là số ảo.
2, Tìm số phức z thoả mãn:
2
2
2
( ) 2 2 3
z i z z i
3, Tìm các số phức z, w thoả mãn:
w 4
z i
và
3 3
w 7 28
z i
4, Tìm số phức z thoả mãn:
2 2
z z i z i
và
(2 )
z i z
là số thực.
5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
1
3
1 3
n
i
z
i
là số thực và
2
2
5
2 3
n
i
z
i
là số thuần ảo.
6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn
1 3
2
z z
z
, hãy tìm số phức có
môđun nhỏ nhất.
7, Cho số phức z thoả mãn
2
6 13 0
z z
. Tính
6
z
z i
.
8, Cho số phức z thoả mãn
2
2 4 0
z z
. Tìm số phức
7
1 3
w
2
z
z
.
9, Cho z là số phức thoả mãn
(1 )( )
z i z
là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T z i
.
10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn
(1 )
2 3
1
i z
i
, hãy tìm số phức có
môđun nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất.
Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn
2 3 4
z iz z
. Tính
2013
2014
1
w z
z
.
2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện:
3
4
z z
.
3, Tính môđun của số phức z, biết
3
12
z i z
và z có phần thực dương.
4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng:
2
12 2 (3 )
z i z
5, Tìm số phức z biết:
2
2 1 1 (1 )
z z i z
.
6, Tìm số phức z biết:
2
2
2 . 8
z z z z
và
2
z z
.
7, Tìm môđun của số phức z biết:
2
1 2 11 2
z i iz z i
.
8, Tìm số phức z thoả mãn:
(1 3 )
i z
là số thực và
2 5 1
z i
.
9, *Tìm số phức z sao cho
5
z
và
2
1
z
là hai số phức liên hợp của nhau.
10, Cho số phức
1 3
2
i
z
. Tính giá trị của biểu thức:
2 3 4 5
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
Bài 25: 1, Cho số phức
11
1
1
i
z
i
. Tính môđun của số phức:
2013 2014 2016 2021
w
z z z z
2, Tính môđun của số phức z biết:
3
2
1 3
.(1 2 )
1
i
z i
i
3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn
2
w
z
là số thực và
w 2 3
z
.
Tính môđun của số phức z.
4, Tìm số phức z thoả mãn:
2
(1 3 )
1
iz i z
z
i
.
5, Tìm môđun của số phức z, biết:
2
2 3
1
z z
z
z
.
6, Cho số phức z thoả mãn:
6 7
1 3 5
z i
z
i
. Tìm phần thực của số phức
2013
z
.
7, Cho số phức z thoả mãn:
3
1 3
2 .
1
i
z i z
i
. Tính
2 .
A z i z
.
8, Tìm số phức z, biết:
( 1)(2 3 ) 1 (2 3 ) 14
z i z i
và
2
z
.
9, Tìm số phức z có môđun bằng 1, đồng thời số phức
2
w 2 1
z z
có môđun
lớn nhất.
10, *Cho số phức
0
z
thoả mãn
2
z
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
z i
P
z
.
Bài 26: Cho hai số phức
1
z
và
2
z
. Chứng minh rằng:
1,
1 2 1 2
z z z z
2,
1 2 1 2
. .
z z z z
3,
1 2 1 2
. .
z z z z
4,
1 2 1 2
z z z z
5,
1 1
2
2
z z
z
z
(
2
0
z
) 6,
1
1
2 2
z
z
z z
(
2
0
z
)
Bài 27: Cho hai số phức
1
z
và
2
z
. Chứng minh rằng:
1,
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
z z z z z z
2,
2
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
z z z z z z z z
3,
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
z z z z z z
4,
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
z z z z z z
Bài 28: Cho hai số phức
1
z
và
2
z
. Chứng minh rằng:
1,
1 2 1 2
z z z z
2,
2 2 2
1 2 1 2
. .
z z z z
3,
2
2 2
1 2 1 1 2 2
2
z z z z z z
4,
2 2
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
5,
3
3 2 2 3
1 2 1 1 2 1 2 2
3 3
z z z z z z z z
Bài 29: Cho số phức z thoả mãn
1
z
. Chứng minh rằng:
1,
3 2
1 5
z i
z
2,
3 2
1 1 1 5
z z z
Bài 30: Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng:
x y z x y z x y z x y z
Bài 31: Cho hai số phức
1
z
và
2
z
đều có môđun bằng 1.
Chứng minh rằng số phức
1 2
1 2
1
z z
z z
là số thực, với
1 2
1
z z
.
Bài 32: Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thoả mãn:
1 2 1 2
0
z z z z
.
Tính giá trị của biểu thức:
4 4
1 2
2 1
z z
A
z z
.
2, Cho
1
z
,
2
z
là 2 số phức thoả mãn phương trình
6 2 3
z i iz
và
1 2
1
3
z z
.
Tính
1 2
A z z
.
3, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thoả mãn:
1 2
1
z z
và
1 2
3
z z
. Tính
1 2
z z
.
4, Cho
1
z
,
2
z
,
3
z
là các số phức thoả mãn
1 2 3
1
z z z
và
1 2 3
1
z z z
.
Chứng minh rằng:
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
.
5, Cho hai số phức:
2 2
1
( 1) (2 3 4)
z a a a a i
(
a
) và
2
3 2
z i
.
Tìm giá trị của tham số a để
1 2
z z
.
6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt
1
z
,
2
z
thoả mãn điều kiện
1 2
z z
khi và chỉ khi
1 2
1 2
z z
z z
là số thuần ảo.
Bài 33: Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thoả mãn:
1
3
z
,
2
4
z
và
1 2
37
z z
.
Tìm số phức
1
2
z
z
z
.
2, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
. Chứng minh rằng:
1 2 1 2
w
z z z z
là 1 số thực.
3, Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thoả mãn:
2 2
1 2 1 2
z z z z
. Tính
1 2
1 2
z z
z z
.
4, Cho
1
z
,
2
z
,
3
z
là các số phức thoả mãn
1 2 3
1
z z z
.
Chứng minh rằng:
1 2 2 3 3 1 1 2 3
z z z z z z z z z
5, Cho số phức
0
z
thoả mãn điều kiện:
3
3
1
2
z
z
. Chứng minh:
1
2
z
z
.
Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm
● Véc tơ
( ; )
u x y
biểu diễn số phức
z x yi
.
● Điểm
( ; )
M x y
biểu diễn số phức
z x yi
, tức là
OM
biểu diễn số phức đó.
● Tập hợp điểm
( ; )
M x y
thoả mãn:
+
0
Ax By C
,
2 2
0
A B
: là một đường thẳng
+
MA MB
: là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
+
2
y ax bx c
,
0
a
: là một Parabol
+
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
: là đường tròn tâm
( ; )
I a b
, bán kính R.
+
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
: là hình tròn tâm
( ; )
I a b
, bán kính R.
+
1 2
2
MF MF a
,
1 2
2 2
FF c a
: là một Elip
+
1 2
2
MF MF a
,
1 2
2 2
FF c a
: là một Hypebol …
Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:
1,
3
z
2,
2
z i
3,
3 2
z i
4,
2
z i
Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
1
z
2,
2
z
3,
1 2 4
z i
4,
2 3
z i
5,
2 1
z i
6,
2 2
z z
7,
4 4 10
z i z i
8,
1 2
z
9,
1 1 2
z i
Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
2
2 5z z
2,
2
z
là số thuần ảo 3,
3 4
z z i
4,
(3 4 ) 2
z i
(B-2010) 5,
(1 )
z i i z
(D-2009)
6,
3 2 2 1 2
z i z i
7,
1 2
z z i
8,
2 2
z i z z i
Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
4
z z
2,
3
z i
3,
2
2
4
z z
4,
2 1 2 3
z i
5,
(2 3 ) 2 0
i z i m
6,
(1 ) (1 ) 2 1
i z i z z
7,
1
z i
z i
8,
2
1
3
z i
z
9,
3
2
z i
z
Bài 5: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
(2 )( )
z z i
là số thuần ảo 2,
2
2 4
z z i
là số thực
3,
2 3
1
z i
z
là số thuần ảo 4,
1
1
iz i
z i
là số thực
Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
2
z
là số thực âm 2,
2
( )
z i
là số thuần ảo
3,
2
( )
z i
là số thực âm 4,
2
2
( )
z i z
5,
1
z i
là số thuần ảo 6,
z i
z i
là số thực dương
Bài 7: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1,
1 2 0
z i
2,
(1 ) (1 )
i z i z
3,
log 1
z i
4,
2 2
2 2 26
z z
5,
1
1
z z
z
6,
1
3
2 2
log 1
4 2 1
z
z
7,
1 1 4
z z
8,
2 2 6
z i z i
9,
5 5 8
z z
Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:
1, M biểu diễn các số phức
1
z i
, trong đó
1 2 3
z i
.
2, M biểu diễn các số phức
2
z i
, với
2 1 3
z i
.
Bài 9: Giải các bài toán sau:
1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w 1 3 2
i z
, biết
1 2
z
.
2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w 2 3
z i
, biết:
a,
2
3 . 9
z i z z
b,
2
2 3 . 1
z i z z
c,
2 3 5
z i
3, Cho số phức
3
5
1 3
16(1 )
i
z
i
. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng:
w 2
iz z
.
4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w 3
iz
, biết:
2 1 2 6
z zz z iz
.
Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt
biểu diễn các số phức
1 3
i
,
2 2
i
,
4 2
i
,
1 7
i
,
3 4
i
,
1 3
i
,
3 2
i
.
1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Điểm Q biểu diễn số phức nào?
3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tìm tâm và
tính bán kính đường tròn đó.
Bài 11: Các véc tơ
,
u v
trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
, '
z z
. Chứng minh: 1,
1
. ' '
2
u v zz zz
2,
' '
u v z z z z
3, Nếu
0
u
thì
,
u v
vuông góc khi và chỉ khi
'
z
z
là số thuần ảo.
§2.Căn bậc hai của số phức
Phương trình bậc hai
1, Căn bậc hai của số phức:
*Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho
2
w z
.
*Phương pháp xác định căn bậc hai của số phức:
Xét số phức
z a bi
. Gọi
w x yi
là căn bậc hai của số phức z.
+ Nếu
0, 0
a b
thì
0
z
có đúng một căn bậc hai là
0
w
.
+ Nếu
0, 0
a b
thì căn bậc hai của z là
w a
.
+ Nếu
0, 0
a b
thì
2
z a ai
nên
w ai
.
+ Nếu
0
b
thì ta có
2 2 2
2
w x y xyi
nên
2 2
2
2
x y a
w z
xy b
(*)
Giải hệ
(*)
để xác định các giá trị của x, y.
2, Phương trình bậc hai:
Xét phương trình bậc hai:
2
0
az bz c
(1)
, với
, ,a b c
và
0
a
.
Ta có biệt thức
2
4
b ac
.
+ Nếu
0
thì phương trình
(1)
có hai nghiệm trùng nhau:
1 2
2
b
z z
a
.
+ Nếu
0
, gọi
là căn bậc hai của
thì phương trình
(1)
có hai nghiệm
phân biệt:
1
2
b
z
a
;
2
2
b
z
a
*Nhận xét: Hệ thức Viét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức:
1 2
b
z z
a
;
1 2
c
z z
a
Dạng 1: Căn bậc hai và phương trình bậc hai
Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1,
2
z i
2,
2
z i
3,
3 4
z i
4,
2 2 3
z i
5,
1 4 3
z i
6,
4 6 5
z i
7,
1 2 6
z i
8,
7 5
z i
9,
46 14 3
z i
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
6 11 0
z z
2,
2
3 10 0
z z
3,
2
3 4 6 0
z z
4,
2
2 3 7 0
z z
5,
2
( 5) 8 0
z i z i
6,
2
(4 5 ) 11 13 0
z i z i
B-Phương pháp giải toán:
A-Tóm tắt lý thuyết:
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
3(1 ) 5 0
z i z i
(D-2012) 2,
2
2(2 ) 7 4 0
z i z i
3,
2
(1 3 ) 2(1 ) 0
z i z i
4,
2
(3 4 ) 1 5 0
z i z i
5,
2
2 2(5 2 ) 28 4 0
z i z i
6,
2
(5 14 ) 2(5 12) 0
z i z i
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
2(1 ) 4 0
iz i z
2,
2
2(2 ) 6 8 0
z i z i
3,
2
(1 ) 6 3 0
z i z i
4,
2
(1 ) 10 11 0
z i z i
5,
2
7 3 16 3 0
z i z i
6,
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0
i z i z i
Bài 5: Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm của phương trình:
2
3 5 3 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
1,
2 2
1 2
A z z
2,
3 3
1 2
B z z
3,
5 5
1 2
C z z
4,
3 3
1 2
2 1
z z
D
z z
5,
1 2
2 1
2 1 2 1
z z
E
z z
6,
2 2
1 2 2 1
1 2
2 2
z z z z
F
z z
Bài 6: Chứng minh rằng:
1, Hai số phức liên hợp z và
z
là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với
hệ số thực.
2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm phức là z thì
z
cũng
là nghiệm của nó.
Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm:
1,
1
5 2
z i
và
2
5 2
z i
2,
1
2 5
z i
và
2
2 5
z i
3,
2
z i
4,
4
z i
5,
2 3
z i
Bài 8: Tìm hai số phức biết:
1, Tổng của chúng bằng
4
i
và tích của chúng bằng
5(1 )
i
.
2, Hiệu của chúng bằng
6
i
và tích của chúng bằng
2(7 6 )
i
.
Bài 9: Giải các bài toán sau:
1, Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 10 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2 2
1 2
A z z
2, Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 5 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2 2
1 2
B z z
3, Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
4 5 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2013 2013
1 2
1 1P z z
4, Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 2 8 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2013 2013
1 2
P z z
5, Gọi
1 2
,
z z
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0
i z i z i
.
Tính giá trị của các biểu thức:
2 2
1 2
A z z
6, Gọi
1
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình:
2
2 5 0
z z
. Tìm
tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn:
1
2
2 1
1
2
z
z z
z z
7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm
1
z
của phương
trình:
2
2 5 0
z z
và điểm B biểu diễn số phức
2 1
1
2
i
z z
. Tính diện tích của
tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.
8, Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức
12
6
6
1 3 (2 )
1 3 (1 )
i i
i i
là nghiệm của
phương trình:
2
8 64 0
z bz c
.
9, Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 4 11 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2 2
1 2
2
1 2
z z
P
z z
10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn
0
a b c
và z là nghiệm
của phương trình:
2
0
az bz c
. Chứng minh rằng:
1 5 1 5
2 2
z
11, Gọi
1 2
,
z z
là các nghiệm phức của phương trình:
2
2 4 0
z z
. Tính giá trị
của các biểu thức:
2
1 2 1 2
2 2
1 2
2
z z z z
A
z z
Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
3
1 0
z
2,
3
z i
3,
6
0
z i
4,
4
1 0
z
5,
4
4 0
z
6,
4 3
8 8 1
z z z
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
3 2
3 8 10 4 0
z z z
2,
3 2
2 2 2 0
z z z
3,
3 2
2(1 ) 3 1 0
z i z iz i
4,
3 2
2 5 (3 2 ) 3 0
z z i z i
5,
3 2
(2 1) (3 2 ) 3 0
z i z i z
6,
3 2
2(1 ) (4 9 ) 1 7 0
z i z i z i
7,
3 2
5 (4 5 ) 4(2 ) 8 0
z i z i z i
8,
3 2
(1 4 ) 2 0
iz z i z
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
4 2
3 4 0
z z
2,
4 2
6 25 0
z z
3,
4 2
(2 ) 2 0
z i z i
4,
4 3
27 27 0
z z iz i
5,
4 2
6(1 ) 5 6 0
z i z i
6,
2
2 2
1 ( 3) 0
z z
7,
4 2
(1 3 ) 2 2 0
z i z i
8,
2
2 2
4 12 0
z z z z
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2 3
( ) 4 0
z i z z i
2,
2
( 3)( 2) 10
z z z z
3,
2 2
2 1 0
z i z iz
4,
2
1 8( 1) 15 0
zi zi
5,
2
( 2 3 ) 6( 2 3 ) 13 0
z i z i
6,
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0
z z z z z z
7,
2
1 1
3 2 0
z z
z i z i
8,
2
3 3
2 2 0
2 2
iz iz
z i z i
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy)
1,
4 3 2
2 7 9 7 2 0
z z z z
2,
4 3 2
(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0
z i z i z i z
3,
4 3 2
2 (3 4) 2(2 3 ) (3 4) 2 0
z i z i z i z
4,
4 3 2
(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0
z i z i z i z
5,
4 3 2
2 (7 ) 2(5 ) (7 ) 2 0
z i z i z i z
6,
4 3 2
(3 ) (4 3 ) 2(3 ) 4 0
z i z i z i z
7,
4 3 2
4 (6 10 ) (15 8) (6 10 ) 4 0
z i z i z i z
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1,
2
4 3
1 0
2
z
z z z
2,
4 2
( 2) ( 2) 5 14 13 1 0
z z z z
3,
4 3 2
2 4 4 0
z z z z
4,
5 4 3 2
2 4 8 16 32 0
z z z z z
5,
2
2 2
3 5 3 36 0
z z z z
6,
2 2
3 2 11 30 60
z z z z
7,
4 4
( ) ( 3 ) 256
z i z i
8,
2 2
1 8 15 105
z z iz
9,
5 4 3 2
1 0
z z z z z
10,
( 1)( 2)( 4)( 7) 34
z z z z
11,
4 3 2
2 4 4 0
z z z z
12,
4 3 2
4 7 16 12 0
z z z z
Bài 7: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
4 3 2 2 2
2 3 2 2 ( 1)( )
z z z z z z az b
2, Giải phương trình:
4 3 2
2 3 2 2 0
z z z z
Bài 8: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
3 3 63 ( 3)( )
z z z z z az b
2, Giải phương trình:
3 2
3 3 63 0
z z z
Bài 9: Cho phương trình:
3 2
(2 2 ) (5 4 ) 10 0
z i z i z i
(1)
Chứng minh rằng
(1)
có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình
(1)
.
Bài 10: Cho phương trình:
3 2
2(1 ) 3 1 0
z i z iz i
(1)
1, Chứng minh rằng
1
z
là 1 nghiệm của phương trình
(1)
.
2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
2(1 ) 3 1 ( 1)( )
z i z iz i z z az b
3, Giải phương trình đã cho.
Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
z i
:
3 2
(3 ) (3 4 ) 1 0
z i z i z mi
Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho.
Bài 12: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
2 9 14 5 (2 1)( )
z z z z z az b
2, Giải phương trình:
3 2
2 9 14 5 0
z z z
Bài 13: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
4 3 2 2 2
2 3 2 2 ( 1)( )
z z z z z z az b
2, Giải phương trình:
4 3 2
2 3 2 2 0
z z z z
Bài 14: Gọi
1 2 3
, ,
z z z
là các nghiệm phức của phương trình:
3
27 8 0
z
.
Tính giá trị của biểu thức:
2
1 2 3
2 2 2
1 2 3
( 1)
z z z
T
z z z
.
Bài 15: Gọi
1 2 3 4
, , ,
z z z z
là các nghiệm phức của phương trình:
4 3 2
2 6 4 0
z z z z
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
T
z z z z
.
Bài 16: Cho phương trình:
4 3 2
3 5 3 4 2 0
z z z z
(1)
1, Chứng tỏ rằng
1
z i
là 1 nghiệm của phương trình
(1)
.
2, Tìm các còn lại của phương trình
(1)
.
Dạng 3: Hệ phương trình phức
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1,
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
z z i
z z i
2,
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
3
1
z z z z
z z z z
3,
3 3
3(1 )
9( 1 )
z w i
z w i
4,
3 2 3
2 5 2
z w i
z w i
5,
3 3
3 7
iz w
z w i
6,
3 (1 ) 2 14
(2 1) 4 9
z i w i
iz i w i
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1,
(2 ) (3 2 ) 10 8
(3 2 ) ( 1 ) 3 6
i z i w i
i z i w i
2,
2 2
2 3
3 3 4 0
z w
z w zw z
3,
2 2 2
2
2 1 0
z w
z w w z w
4,
2 2
(4 ) 7
3 (1 3 ) 291 53
z i w
z i w i
5,
2 2
(2 ) 2
3 5 15
z i w
z iw i
6,
(3 ) 2(2 ) 2(1 3 )
2(2 ) (2 3 ) 5 4
i z i w i
i z i w i
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1,
2 2
5
8(1 )
z w i
z w i
2,
2 2
3
4(1 )
z w zw
z w i
3,
3 3 2 2
1 2
45 60
z w i
z w z w zw i
4,
2
2
5(2 )
5(2 )
z w z
w z w
5,
2
2
2 5 3
2 5 3
z w z
w z w
6,
2
2
10 42 6 11
10 42 6 11
z iz i w
w iw i z
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
1,
4 2
2 2 5
2 3 9 2
x y z i
x y z i
x y z i
2,
2 10 0
2 20 0
( 3 ) (1 ) 30
x iy z
x y iz
i x y i z
3,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
z z z
z z z
z z z
Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:
2
(1 2 ) (1 2 ) 6
2 3 0
i z i z
z i z z
§3. Dạng lượng giác của số phức
1, Số phức dưới dạng lượng giác:
Dạng
(cos sin )
z r i
với
0
r
, được gọi là dạng lượng giác của số phức
0
z
.
+
được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc
lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số
phức z trong mặt phẳng phức). Argument của số phức z được đo bằng rađian,
mọi argument của z có dạng
2
k
(
k
).
+ r là môđun của số phức z, tức là
r z
.
2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Xét hai số phức
1 1 1 1
(cos sin )
z r i
;
2 2 2 2
(cos sin )
z r i
. Khi đó ta có:
+
1 2 1 2 1 2 1 2
cos( ) sin( )
z z rr i
, với
1 2
0, 0
r r
.
+
1 1
1 2 1 2
2 2
cos( ) sin( )
z r
i
z r
, với
1 2
0, 0
r r
.
3, Công thức Moivre:
Xét số phức
(cos sin )
z r i
, với mọi số nguyên dương n ta có:
(cos sin ) cos sin
n
n n
z r i r n i n
*Chú ý: i, Với
1
r
ta có
(cos sin ) cos sin
n
i n i n
ii, Căn bậc hai của số phức
(cos sin )
z r i
(
0
r
) là hai số phức
cos sin
2 2
r i
và
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i r i
iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức
(cos sin )
z r i
gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng
2 2
cos sin
n
k k
r i
n n n n
; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến
1
n
Dạng 1: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác
● Chuyển số phức từ dạng đại số
z a bi
(
2 2
, ; 0
a b a b
) sang dạng
lượng giác như sau:
+ Tính
2 2
r z a b
+ Tìm
thoả mãn đồng thời
cos
a
r
và
sin
b
r
B-Phương pháp giải toán:
A-Tóm tắt lý thuyết:
Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là
(cos sin )
z r i
.
● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu
là 1 argument thì mọi argument
đều có dạng
2
k
(
k
) và
n
z
có một argument là
n
.
● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu
1 2
,
z z
lần lượt có một
argument là
1 2
,
thì
1 2
z z
và
1
2
z
z
có argument lần lượt là
1 2
,
1 2
.
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1,
z i
2,
1
z i
3,
1
z i
4,
1 3
z i
5,
3
z i
6,
3
z i
7,
1 3
z i
8,
9 9 3
z i
9,
1 3
4 4
z i
Bài 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1,
1 3 (1 )
z i i
2,
1 3 (1 )
z i i
3,
2 3
z i i
4,
3
1
i
z
i
5,
1
2 2
z
i
6,
(1 )( 2 2 )
z i i i
7,
3(1 )( 5 5 )
z i i
8,
1 3
1
i
z
i
9,
1 3
( 3 3 ) 2 3 2
2 2
z i i i
Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1,
(3 )(1 3 )
z i i
2,
2 3 (1 3 3 )
z i i
3,
2 4 4 3 (3 3 )
z i i i
4,
( 3)(1 12 )
5 2
i i
z
i
5,
3 2 5 3 17
2 3
i i
z
i
6,
11 3 3
2 3 5 ( 1 )
i
z
i i
7,
1 3 ( 1 )
z i i
8,
2
3 (1 7 )(1 2 )
z i i i
9,
7 8
9
1 3 3
( 1 )
i i
z
i
Bài 4: 1, Tính
cos
8
và
sin
8
.
2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức:
1 2 1
z i
.
Bài 5: Tuỳ theo góc
, viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1,
1 cos sin
z i
2,
1 cos sin
z i
3,
1 cos sin
z i
4,
1 cos sin
z i
5,
1 sin cos
z i
6,
1 sin cos
z i
7,
cos (1 sin )
z i
8,
cos (1 sin )
z i
9,
1 cos sin
1 cos sin
i
z
i
10,
1 sin cos
1 cos sin
i
z
i
11,
1 cos sin 1 cos sin
z i i
Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1,
2 cos sin
6 6
z i
2,
cos sin
17 17
z i
3,
sin cos
17 17
z i
4,
cos sin
7 7
z i
5,
9 cos sin
6 6
z i
6,
1 cos sin
6 6
z i
Bài 7: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:
1,
2 6
z i
2,
5 15
z i
3,
2 3
z i
4,
2 3
z i
5,
2 3
z i
6,
(4 7 )( 3 11 )
z i i
7,
5 11 3
7 4 3
i
z
i
8,
1 7 3
2 3 5
i
z
i
9,
3 2 5 3 2
4
1 2 2
i i
z
i i
Bài 8: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:
1,
1 cos sin
12 12
z i
2,
1 sin cos
5 5
z i
3,
8
6
8
6
2 3 2
(1 )
(1 )
2 3 2
i
i
z
i
i
4,
4
10 4
(1 ) 1
3 2 3 2
i
z
i i
5,
2013 2013
1 3 1 3
z i i
6,
5
6
3
33 19 3
.
(1 )
6 13 3
i
i
z
i
i
Bài 9: 1, Tính
cos
12
và
sin
12
.
2, Xác định môđun và argument của số phức:
4(cos sin )
6 6
6 2 6 2
i
z
i
.
Bài 10: Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một argument của z là
, tìm một
argument của số phức:
1,
2
2
w z
2,
1
2
w
z
3,
w z z
4,
2
w z z
Bài 11: Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết:
1,
5
z
và một argument của
iz
là
7
9
.
2,
4
z
và một argument của
.
i z
là
.
3,
1
3
z
và một argument của
1
z
i
là
3
4
.
Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:
1,
2
z
và một argument của
(1 )
i z
là
5
12
.
2,
9
zz
và một argument của
1 3
i z
là
4
.
3,
1 3
z z
và một argument của
3
z
bằng một argument của
3
z
cộng
với
2
.
4,
1
4
z
và một argument của
3
z
i
là
2
3
.
5,
3
16
z
và một argument của
(1 ) 4 3 3
13 3
z i i
i
là
12
.
6,
1 2 2
z i z
và một argument của
3
3
z
z
là
4
.
7,
1 3
z z i
và một argument của
.
i z
là
6
.
8,
2 2
z i z z
và một argument của
1 3
i
z
là
2
3
.
Bài 13: Cho hai số phức
1
2 2
z i
và
2
1 3
z i
.
1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.
2, Tính môđun và argument của các số phức
3
1
z
,
2
2
z
và
3
1
2
2
z
z
.
3, Từ đó suy ra giá trị chính xác của
cos
12
và
sin
12
.
Bài 14: Cho hai số phức
1
3 cos sin
3 3
z i
và
2
2 cos sin
4 4
z i
.
Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
1,
1 2
z z
2,
1
2
z
z
3,
1
1
z
4,
2
1
z
Bài 15: Cho các số phức
1
6 2
z i
,
2
2 2
z i
và
1
3
2
z
z
z
.
1, Viết
1 2 3
, ,
z z z
dưới dạng lượng giác.
2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của
7
cos
12
và
7
sin
12
.
3, Tính
1 2
w z z
.
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác số phức:
2013
2014
2 6
5
sin sin
3 6
i
z
i
Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải toán
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
1,
6
9
3
z i i
2,
16
10
1 3 (1 )
z i i
3,
7
5
cos sin 1 3
3 3
z i i i
4,
21
9
1 3
(1 )
i
z
i
5,
18
5 7
6
i
z
i
6,
10
9
1
( 3 )
i
z
i
Bài 2: Tìm số phức z sao cho:
1,
5
z
và
2
1
z
là hai số phức liên hợp 2,
4
z
và
3
1
z
là hai số phức liên hợp
3,
3
z
và
2
32
z
là hai số phức liên hợp 4,
3
10 22
8 3
i
z
i
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1,
5
10
10
(1 ) 3
1 3
i i
A
i
2,
2013
1
i
B
i
3,
21
5 3 3
1 2 3
i
C
i
4,
10
9
(1 )
3
i
D
i
Bài 4: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?
1,
3 11
4 7
n
i
z
i
2,
5 3 3
1 2 3
n
i
z
i
3,
3 3
3 3
n
i
z
i
4,
13 3 9
12 3
n
i
z
i
5,
2
(7 17 )
(2 3 )
n
n
i
z
i
6,
2
59 11 3
3 3 2
n
n
i
z
i
Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
1
3
1 3
n
i
z
i
là số thực và
2
2
5
2 3
n
i
z
i
là số thuần ảo.
Bài 6: Giải các bài toán sau:
1, Tính giá trị của biểu thức:
6 6
5 5
1 3 (1 ) (1 ) 1 3
A i i i i
2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức
2013
2013
1
w z
z
, biết
1
1
z
z
.
3, Cho số phức
1 3
2 2
z i
. Tính
2011 2012 2013
w z z z
.
4, Cho số phức
1 3
2 2
z i
. Tính
2 3 4 9 10
1
C z z z z z z
.
5,(A-2013) Cho số phức
1 3
z i
. Viết dưới dạng lượng giác của số phức z.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức
5
(1 )
w i z
.
