Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2014


Mục lục
1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong
không gian Banach
1.1 Toán tử Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi
phân tuyến tính có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach . . . . . . . .
1.2.2 Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa . . . . . . . .
1.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được . . . . . . . . . .
2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không
gian Hilbert
2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . .
2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam
giác trên trong tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh
và tôpô đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Khái niệm tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên . . . . . . .
2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam
giác trên trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . .
2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert . . . .

1

5
5
10
11
11
11
15
19
20
23
23
23
25
29
29

30
32
34
37
37


2.3.2

Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của một lớp các PTVP trong không gian Hilbert
2.4 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.

40
45
54
55


Mở Đầu
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm của các phương trình vi phân

(PTVP) trong không gian Hilbert có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyết
định tính các phương trình vi phân và trong các bài toán ứng dụng (xem [3]).
Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP trong không gian Banach nói chung
và PTVP trong không gian Hilbert được phát triển khá mạnh mẽ vì nó đáp ứng
được nhiều đòi hỏi đặt ra trong các mô hình ứng dụng . Đặc biệt là các bài toán
mô tả bằng toán học các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình sinh
trưởng và phát triển của các loài sinh vật (xem[6]). Trong bản luận văn này,
tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả liên quan tới sự tồn tại
nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và tính chất nghiệm của
chúng . Phương pháp nghiên cứu cơ bản của tôi là sử dụng tính chất của toán
tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki trong không gian Hilbert để
nghiên cứu sự tồn tai duy nhất nghiệm của các PTVP ở dạng phương trình toán
tử trong không gian hàm . Để nghiên cứu tính chất nghiệm của PTVP trong
không gian Hilbert, tôi đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov
cho các PTVP dạng tam giác trên trong không gian Hilbert . Trong phần cuối
của luận văn, tôi đã trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu
tính ổn định của các PTVP phi tuyến và một số ví dụ ứng dụng .
Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: chương một trình bày dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach, chương
hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không
gian Hilbert và một số ví dụ áp dụng.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng
Đình Châu. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo và các thầy cô
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về
3

các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập
tại trường. Đồng thời, tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học đã tạo những điều
kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn.
Tôi muốn gửi lời cám ơn tới các thầy và các bạn trong seminar Phương trình
vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản
thân tôi trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa vững
chắc về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập để tôi có
thể hoàn thành xong bản luận văn này .
Mặc dù, tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Đỗ Thị Hường

4


Chương 1

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của
phương trình vi phân trong không
gian Banach
1.1

Toán tử Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính
trong không gian Banach

Giả sử (X, ||.||) là một không gian Banach. Xét PTVP trong không gian Banach


 dx = f (t, x)
dt
(1.1)
 x(t ) = x
0

0

trong đó t ∈ [a; b], x : [a, b] → X là hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b] × X →
X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức là tồn tại L : [a, b] → R+ khả tích địa
phương sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y||

(1.2)

Để chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của (1.1) sau đây chúng
ta sẽ trình bày khái niệm toán tử Volterra và chuẩn Bielecki
Định nghĩa 1.1. Toán tử Volterra
Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) xác định bởi
t

V (x)(t) =

f (t, s, x(s))ds
a

Trong đó x ∈ C([a, b], X) là hàm trừu tượng cần tìm, V(x) là toán tử tích phân
Volterra
5

Kí hiệu C([a, b], X) là tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [a; b] vào X.
Kí hiệu chuẩn Bielecki
t
a

||x(t)||B,p = sup e−p

L(s)ds

||x(t)||, p > 0

a≤t≤b

Ta dễ dàng thấy rằng nếu x = x(t), t ∈ [a; b] là nghiệm của (1.1) thì
t

(1.3)

f (τ, x(τ ))dτ

x(t) = x0 +
t0
t

Kí hiệu V [x(t)] = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ
t0

Khi đó , ta có toán tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X)
Bổ đề 1.1. Trong không gian C([a, b], X) toán tử Volterra V : C([a, b], X) →
C([a, b], X) thỏa mãn điều kiện sau
1
||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)||
p

trong đó t ∈ [a; b], p > 1
Chứng minh. Ta có
t

t

f (τ, y(τ ))dτ )||

f (τ, x(τ ))dτ − (x0 +

||V [x(t)] − V [y(t)]|| = ||x0 +

t0

t0
t

= ||

[f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ ))]dτ ||
t0

Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có
t

L(τ )||x(τ ) − y(τ )||dτ

||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤
t0

6


Do đó
||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p

t
a

L(s)ds

||V (x)(t) − V (y)(t)||

a≤t≤b
t

= sup e−p

t
a

L(s)ds

||

[f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds||

a≤t≤b
a
t

≤ sup e−p

t
a

L(s)ds

||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds

a≤t≤b
a
t
−p

≤ sup e

t
a

L(s)ds

L(s)||x(s) − y(s)||ds

a≤t≤b
a
t
−p

= sup e

t
a

s

p

L(s)ds

L(s)e

s

L(u)du
a

−p

[e

L(u)du

a

||x(s) − y(s)||]ds

a≤t≤b
a
t
−p

≤ ||x − y||B,p sup e

t
a

s

p

L(s)ds

L(s)e

L(u)du
a

ds

a≤t≤b
a

1
≤ ||x − y||B,p
p

Giả sử G là một miền mở trong X và f : [a, b] × G → X, (t0 , x0 ) ∈ G0 là hàm
liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2).
Xét hình hộp Q = {(t, x)/t0 − α ≤ t ≤ t0 + α, ||x − x0 || ≤ β}, trong đó α, β đủ
nhỏ để [t0 − α; t0 + α] ⊂ [a; b], G0 ⊂ G.
Xét tương ứng V : C([t0 − α; t0 + α], G0 ) → C([t0 − α; t0 + α], G0 ).
Đặt V [x(t)] =

t

f (τ, x(τ ))dτ .

t0

Bổ đề 1.2. a) Tương ứng V là một ánh xạ từ ([t0 − α; t0 + α], G0) vào ([t0 − α; t0 +
α], G0 ).
1
p

b) ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)||

7


Chứng minh.
t

f (τ, x(τ ))dτ − x0 ||

||V [x(t)] − V [x0 ]|| = ||x0 +
t0
t

= ||

f (τ, x(τ ))dτ ||
t0

Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có
t

L(τ )||x(τ )||dτ

||V [x(t)] − V [x0 ]|| ≤
t0

Chọn α =

1
với sup |L(t)| ≤ L0 < +∞
L0
a≤t≤b

Do đó
||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p

t

a

L(s)ds

||V (x)(t) − V (y)(t)||

a≤t≤b
t

= sup e−p

t
a

L(s)ds

||

[f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s))]ds||

a≤t≤b
a
t

≤ sup e−p

t
a

L(s)ds

||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||ds

a≤t≤b
a
t

≤ sup e−p

t
a

L(s)ds

L(s)||x(s) − y(s)||ds

a≤t≤b
a
t
−p

= sup e

t
a

s

p

L(s)ds

L(s)e

s

L(u)du
a

−p

[e

L(u)du
a

||x(s) − y(s)||]ds

a≤t≤b
a
t
−p

≤ ||x − y||B,p sup e

t
a

s

p

L(s)ds

L(s)e

L(u)du
a

ds

a≤t≤b
a

1
≤ ||x − y||B,p
p

Nguyên lí ánh xạ co: Giả sử A : X → X hoặc A : S → S trong đó S =
{x/||x − x0 || ≤ β} thỏa mãn
||Ax − Ay|| ≤ L||x − y||
8


với 0 < L < 1. Khi đó, phương trình x˙ = Ax có nghiệm duy nhất
t

Ax(τ )dτ

x(t) = x0 +

t0

Định lý 1.1. (Định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm)
Giả sử f : [a, b] × X → X là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2). Khi
đó, phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Xét phương trình
t

f (τ, x(τ ))dτ

x(t) = x0 +
t0

Đặt x(t) = V [x(t)]. Khi đó V : C([a, b], X) → C([a, b], X). Áp dụng bổ đề 1.2 ta
được
1
||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ ||x(t) − y(t)||
p

t

t

s

p

L(s)e

L(u)du

a

a

1
ds =
p

s

p

d(e

L(u)du
a

)

a
s

1 p L(u)du
= e a
p

s=t

s=a

t

t

1 p L(u)du 1
1 p L(u)du
= e a
− < e a
p
p
p
1
p

Do đó, khi lấy p > 1 thì V là ánh xạ co theo chuẩn Bielecki với hệ số co . Vậy
theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất.
Xét phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x)

(1.4)

x(t0 ) = x0

Định lý 1.2. Xét f : [a, b] × G → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)
||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y||

trong đó L(t) : [a, b] → R+ khả tích địa phương mà sup |L(t)| ≤ L0 < +∞, G là
a≤t≤b

một miền mở trong X. Khi đó , phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất.
9


Chứng minh. Xét
V : C([t0 − h, t0 + h], G0 ) → C([t0 − h, t0 + h], G0 )

với h > 0 đủ nhỏ, (t0 , x0 ) ∈ G0 , G0 ⊂ G. Đặt V [x(t)] = x0 +

t

f (τ, x(τ ))dτ . Khi đó,

t0

ta có:
t

f (τ, x(τ ))dτ ||

||V [x(t)] − x0 || = ||
t0
t

||f (τ, x(τ ))||dτ ≤ |L(t)|||x(t)||.(t − t0 )

≤
t0

≤ sup |L(t)|||x(t)||.(t − t0 ) ≤ L0 ||x(t)||.(t − t0 )
a≤t≤b

≤ L0 (||x0 || + β).(t − t0 )

Chọn h =

min α,

β
L0 (||x0 || + β)

⇒ V [x(t)] ∈ G0 . Khi đó, áp dụng bổ đề 1.2 ta

được V [x(t)] là một ánh xạ co, theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình vi phân
(1.4) có nghiệm duy nhất.
1.1.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất

Trong X xét phương trình
x˙ = A(t)x

(1.5)

với t ∈ R+ , x : R+ → X là hàm cần tìm, A(t) : R+ → L(X) là toán tử bị chặn. Ta
xét bài toán Cauchy
x(t)
˙
= A(t)x(t)

x(t0 ) = x0

hay
t

A(τ )x(τ )dτ

x(t) = x0 +
t0

Hệ quả 1.1. Giả sử A(t)x : [0; T ] −→ X là đo được mạnh và khả tích Bochner.
Khi đó, nghiệm của (1.5) là tồn tại duy nhất.
Chứng minh. Do giả thiết A(t)x : [0; T ] −→ X là đo được mạnh nên tồn tại K0 > 0
sao cho
T

||A(τ )||dτ ≤ K0 < +∞
0

10


Khi đó, áp dụng định lí (1.1) ta có điều cần chứng minh.
1.1.2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất

Trong X xét phương trình
x(t)
˙

= A(t)x + f (t)

(1.6)

x(t0 ) = x0

với t ∈ R+ , x : R+ → X là hàm cần tìm, A(t) : R+ → L(X) là toán tử bị chặn và
f (t) : R+ → X là hàm đo được mạnh và khả tích Bochner.
Lấy T > 0, trên đoạn [0; T ] xét trên C([0, T ], X) phương trình
t

x(t) = x0 +

t

A(τ )x(τ )dτ +
t0

Kí hiệu g(t) = x0 +

t

f (τ )dτ

(1.7)

t0

f (τ )dτ .

t0

Xét phương trình
t

A(τ )x(τ )dτ

x(t) = g(t) +

(1.8)

t0

Hệ quả 1.2. Nghiệm của (1.8) tồn tại duy nhất trên đoạn [a, b]
Chứng minh. Đặt
t

V [x(t)] = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
t0

Khi đó, V [x(t)] là ánh xạ co, do đó theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình
x(t) = V [x(t)] có nghiệm duy nhất

1.2

Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính có nhiễu

1.2.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có
nhiễu trong không gian Banach

Xét phương trình
x(t)
˙
= A(t)x + f (t, x)

(1.9)

với A(t) là toán tử tuyến tính liên tục và liên tục theo t và f (t, x) : [a, b] × X → X
là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)
11


Hệ quả 1.3. Phương trình vi phân (1.9) luôn có nghiệm duy nhất
Chứng minh. Đặt F (t, x) = A(t)x + f (t, x). Ta có:

||F (t, x) − F (t, y)|| = ||A(t)x + f (t, x) − A(t)y − f (t, y)||
= ||[A(t)(x − y)] + [f (t, x) − f (t, y)]||
≤ ||A(t) + L(t)||.||x − y||
≤ (||A(t)|| + ||L(t)||).||x − y||

Do A(t) là hàm đo được mạnh và khả tích địa phương, L(t) là hàm khả tích
địa phương nên theo định lí tồn tại duy nhất nghiệm thì phương trình (1.9) có
nghiệm duy nhất.
Sau đây, chúng ta sẽ chỉ rõ công thức nghiệm và một vài đánh giá nghiệm
trên khoảng vô hạn của phương trình vi phân sau trong không gian Banach X :

dx
= A(t)x + f (t), t ∈ R+
dt

(1.10)

Giả sử hàm x(t), A(t) ∈ L(X) nhận giá trị trong X với X là đo được mạnh và khả
tích Bochner trên tập con hữu hạn của R+ .
Nghiệm của phương trình tích phân
t

x(t) = x0 +

t

A(τ )x(τ )dτ +
t0

f (τ )dτ

(1.11)

t0

với x0 = x(t0 ) là nghiệm của (1.10).
Nếu f (t) liên tục và A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả vi liên
tục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I .
Xét phương trình vi phân tổng quát
t

A(τ )x(τ )dτ

x(t) = g(t) +

(1.12)

t0

với g(t) = x0 +

t

f (τ )dτ , ta sẽ chỉ ra rằng (1.12) có một nghiệm liên tục trên

t0

đoạn hữu hạn [a; b] bất kì nằm trong I.
Đặt C(X; [a; b]) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b] nhận giá trị
trong X và chuẩn
|||x||| = max ||x(t)||
t∈[a;b]

12


Bổ đề 1.3. Kí hiệu V (t, s) =

∞

Vn (t, s)

n=0

1. x(t) = V (t, s) là nghiệm của phương trình
t

x(t) = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
s

2. Nếu

sup
t0 ≤t1 ≤τ1

||A(t)|| ≤ M0 thì ta có:
||Vn|| ≤

t1

3. Nếu

M0n (t − t0 )n
n!

||A(t)||dt ≤ M1 thì ta có:

t0

M1n

||Vn || ≤
n!

Chứng minh. 1. Giả sử τ1 > t0 và s ∈ [t0 , τ1 ], ta xét toán tử V : [s, τ1 ] → X xác
định bởi:
t

V [x(t)] = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
s

với s ∈ [t0 , τ1 ], τ1 ∈ [t0 , +∞).
Ta lập dãy xấp xỉ {Vn (t)}∞
0 như sau:
V0 (t) = g(t)
t

V1 (t)x =

A(τ )V0 (τ )xdτ
s

..........
t

Vn (t)x =

A(τ )Vn−1 (τ )xdτ
s

Xét chuỗi
Ta có:

∞
n=0

Vn (t). Kí hiệu M0 =

sup

||A(t)|| < +∞.

s
[M0 (t − s)]n
||Vn(t)x|| ≤
n!
[M0 τ1 ]n
≤
n!
13


[M0 τ1 ]n
hội tụ.
n!
n=0
∞

Theo tiêu chuẩn Dalambert chuỗi
Vậy

∞

∞

Vn (t) hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu V (t) =

n=0

Vn (t).

n=0

Khi đó, ta có:

∞

∞

x(t) = V (t)x =

Vn (t) = g(t) +
n=0

Vn (t)
n=1

Giả sử V : C([s, τ1 ], X) → C([s, τ1 ], X) là toán tử được xác định bởi

t

V [x(t)] = g(t) +

A(τ )x(τ )dτ
s

2. Xét S (n) (t)x =

n

Vk (t)x.

k=0

Ta có:

t

Vn (t)x =

A(τ )Vn−1 (τ )xdτ
s
t

=

τ

A(τ )[g(τ ) +

s

A(t1 )Vn−2 (t1 )dt1 ]xdτ
s

t

=

τ

A(τ )g(τ )dτ +
s

A(τ )dτ
s

t

=

τ

s
τ

τ

A(τ )g(τ )dτ +
s

A(t1 )Vn−2 (t1 )x.dt1

A(τ )A(t1 )Vn−2 (t1 )x.dt1 dτ
s

s

Khi đó, ta có: S (n) (t)x − S (n−1) (t)x = Vn (t) và
t

Vn (t) =

Vn−1 (τ )dτ
s
t

=

.....
s

Do đó
Mà

s

.....
s s

sup
t0 ≤t1 ≤τ1

A(τ )A(t1 ).....A(tn−1 )dτ.dt1 ....dtn
s

s

tn−2 tn−1

t t1

||Vn(t)|| ≤

tn−2 tn−1

t1

||A(τ )||.||A(t1 )||.....||A(tn−2 )||.||A(tn−1 )||dτ.dt1....dtn
s

s

||A(t)|| ≤ M0 nên ta có:
||Vn || ≤

M0n (t − t0 )n
n!
14

3. Ta có

t1

t0 ||A(t)||dt ≤ M1 nên theo cách chứng minh phần 2 ta có:



1 
||Vn || ≤
n!
1.2.2

t

s

n

M1n

||A(τ )||dτ
≤
n!

Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa

Xét toán tử
t

U(t, s) = I +
t

∞

A(t1 )dt1
t0
tn

t2

A(tn )A(tn−1 )....A(t1 )dt1 ...dtn

......

+
n=2 t

0

=I+

(1.13)

t0

t0
t

A(τ )U(τ, s)dτ
s

∞

=

Un (t, s)
n=0

t

Ta có ||U(t, s)|| ≤ 1 + ||A(τ )||.||U(τ, s)||dτ . Sử dụng bổ đề Gronwall - Belman ta
được

s

||U(t, s)|| ≤ e

t
s

||A(τ )||dτ

Ta có thể dễ dàng kiểm tra toán tử U(t) được định nghĩa ở trên là liên tục
trong L(X) khả vi hầu khắp nơi , thỏa mãn phương trình

 dU = A(t)U
dt
(1.14)

 U(t ) = I
0

Ta xét phương trình tổng quát

Có thể viết bởi dạng

dZ
= A(t)Z − ZB(t)
dt

(1.15)

dZ
= U(t)Z
dt

(1.16)

15


trong đó U(t) : Z → At Z − Br Z = A(t)Z − ZB(t) là toán tử tuyến tính. Khi đó,
phương trình (1.15) có duy nhất một nghiệm khả vi liên tục Z(t) mà thỏa mãn
điều kiện Z(t0 ) = Z0 , được biểu diễn bởi công thức
∞

Zk (t)

Z(t) =

(1.17)

k=0

với Zn (t) =

t

t

U(t)Zn−1 (τ )dτ =

A(τ )Zn−1 (τ ) − Zn−1 (τ )B(τ )dτ và Z(t) là hàm

t0

t0

vector liên tục theo chuẩn toán tử.
Từ đẳng thức (1.15) cho A = 0 , ta có phương trình
dZ
= −ZB(t)
dt

(1.18)

Trong trường hợp đặc biệt, ta có phương trình
dV
= −V B(t)

dt

(1.19)

Ta xem nghiệm của (1.18) thỏa mãn điều kiện V (t0 ) = I . Dễ dàng kiểm tra
rằng U −1 (t) tồn tại và V (t) = U −1 (t).
Giả sử Z1 (t) = V (t)U(t) và Z2 (t) = U(t)V (t). Khi đó
dZ1(t)
dV
dU
=
U +V
= −V AU + V AU = 0 ⇒ Z1 (t) ≡ Z1 (t0 ) = I
dt
dt
dt

Mặt khác, Z2 (t) thỏa mãn hệ




dZ2 (t)
dU
dV
=
V +U
= AZ2 − Z2 A
dt
dt

dt
Z2 (t0 ) = I

có nghiệm duy nhất thỏa mãn Z2 (t) ≡ I
Ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân không thuần nhất

 dx = A(t)x + f (t)
dt

 x(t ) = x
0
0

(1.20)

Ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và tính duy nhất của nó
dưới dạng x = U(t)y , trong đó U(t) là hàm toán tử (1.13).
Xét hệ phương trình

 dy = U −1 (t)x + f (t)
dt
(1.21)
 y(t ) = x
0

0

16

Tích phân từ t0 đến t, ta được
t

U −1 (τ )f (τ )dτ

y = x0 +
t0

Do đó

t

U(t)U −1 (τ )f (τ )dτ

x(t) = U(t)x0 +

(1.22)

t0

Đặt U(t, τ ) = U(t)U −1 (τ ). Toán tử U(t, τ ) được gọi là toán tử tiến hóa.
Từ đẳng thức
dU(t) −1
dU(t, τ )
=
U (τ ) = A(t)U(t)U −1 (τ ) = A(t)U(t, τ )
dt
dt

Toán tử này thỏa mãn phương trình sau:


 X = A(t)X

(1.23)

dt

 X(τ ) = I

Việc xây dựng toán tử U(t) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị t0 . Ta kí hiệu
U(t) = U(t, 0) là toán tử Cauchy. Khi đó, sử dụng toán tử tiến hóa nghiệm của
bài toán Cauchy cho phương trình thuần nhất
dưới dạng

dx
= A(t)x, x(τ ) = xτ có thể viết
dt

x(t) = U(t, τ )xτ

và nghiệm của phương trình không thuần nhất là
t

U(t)U(t, τ )f (τ )dτ

x(t) = U(t, t0 )x0 +

(1.24)

t0

Trong tài liệu [5] đã chứng minh định lí sau đây về các tính chất cơ bản của
họ toán tử
Định lý 1.3.

1. U(t, t) = I

2. U(t, s)U(s, τ ) = U(t, τ )
3. U(t, τ ) = [U(τ, t)]−1
t

4. ||U(t, τ )|| ≤ exp[ ||A(τ )||dτ ], (τ ≤ t)
τ

17


Tương ứng với phương trình (1.23) và (1.24), ta có thể xét phương trình toán
tử

t

U(t, τ ) = I +

A(θ)U(θ, τ )dθ

(1.25)

τ

Khi đó, U(t, τ ) có thể viết dưới dạng
t

U(t, τ ) = I +

[dF (θ)]U(θ, τ )
τ

với F (t) =

A(t)dt
t

U(t, τ ) = I +

[S1 (θ)dF (θ)S2 (θ)]U(θ, τ )

(1.26)

τ

Ở đó Sk (θ)(k = 1, 2) là các hàm toán tử liên tục. F (θ) bị chặn.
Nghiệm của phương trình (1.26) có thể viết dưới dạng
t

U(t, τ ) =

exp[S1 (θ)dF (θ)S2 (θ)]

(1.27)

τ

Khi đó , nghiệm của (1.25) được viết dưới dạng
t

U(t, τ ) =

exp A(θ)dθ
τ

Giả sử UB (t, τ ) là toán tử tiến hóa của phương trình
dx
= B(t)x
dt

với B(t) ∈ L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner Đặt
U(t, τ )X = UA (t, τ ).X.UB (τ, t)

(1.28)

Đạo hàm hai vế theo t, ta được
(d/dt)U(t, τ )X = A(t)UA (t, τ ).X.UB (τ, t) − UA (t, τ ).X.UB (τ, t)B(t)
= A(t)U(t, τ )X − U(t, τ )XB(t)

Từ đó ta có U(τ, τ )X = X và (1.28) là nghiệm toán tử của phương trình (1.18).
Do đó, nghiệm của phương trình
dX/dt = A(t)X − XB(t) + F (t)
18

(1.29)


có thể viết dưới dạng
t

X(t) = U(t, t0 )X(t0 ) +

U(t, τ )F (τ )dτ
t0

(1.30)

t

UA (t, τ )F (τ )UB (τ, t)dτ

= UA (t, t0 )X(t0 )UB (t0 , t) +
t0

Trong trường hợp riêng, kết hợp phương trình (1.14) và (1.19) ta được
t

F (τ )UA (τ, t)dτ

X(t) = X(t0 )UA (t0 , t) +

(1.31)

t0

1.2.3

Ví dụ

Trong phần này, ta sẽ xét một số ví dụ về phương trình vi phân thuần nhất và
không thuần nhất. Giả sử X là không gian hữu hạn chiều X = Cn . Gọi e1 , ..., en
là cơ sở trực chuẩn và đặt xk =< x, ek > (k = 1, 2, ..., n) theo thứ tự là vector
x ∈ Cn và ajk =< Aek , ej > là ma trận của toán tử A trong cơ sở này.
Phương trình (1.10) tương đương với hệ phương trình
dxj
=
dt

n

ajk (t)xk ,

(j = 1, 2, ..., n)

(1.32)

k=1

Toán tử tiến hóa U(t, τ ) được cho bởi ma trận ||ujk (t, τ )|| thỏa mãn hệ phương
trình

n
 dujk =
ajs (t)usk , (j = 1, 2, ..., n)

dt



s=1

ujk (τ, τ ) = δjk

Nghiệm tổng quát của (1.17) là:
n

ujk (t, τ )xk (τ )

xj (t) =
k=1

Nghiệm của hệ phương trình không thuần nhất
dxj
=
dt

n

ajk (t)xk + fj (t), (j = 1, 2, ..., n)
k=1

được cho bởi công thức
n

n

ujk (t, τ )fk (τ )dτ

ujk (t, t0 )xk (t0 ) +

xj (t) =

k=1 t0

k=1

19

t

(1.33)


1.2.4

Các phương trình so sánh tích phân được

Giả sử trên nửa khoảng [0; ∞) , xét hai phương trình
dx
= Ak (t)x
dt

(k = 1, 2)

(1.34)

Ta nói 2 phương trình này có thể so sánh tích phân được nếu :
∞

|||A2 − A1 ||| =

||A2 (t) − A1 (t)||dt < ∞
0

Ta có A2 (t) = A1 (t) + [A2 (t) − A1 (t)] .
Ký hiệu B(t) = A2 (t) − A1 (t).
Xét phương trình
x(t)
˙
= A(t)x

(1.35)

y(t)
˙ = A(t)x + B(t)x

(1.36)

và
Trong đó t ∈ R+ , x : R+ → X, A(t), B(t) ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện đo được
mạnh và khả tích theo Bochner.
Kí hiệu U(t, t0 ) : X → X là toán tử được xác định bởi :
t

A(τ )U(τ, t0 )x0 dτ

U(t, t0 )x0 = x0 +
t0

Kí hiệu W (t, t0 ) : X → X là toán tử được xác định bởi
t

[A(τ ) + B(τ )]W (τ, t0 )x0 dτ

W (t, t0 )x0 = x0 +

(1.37)

t0

Nghiệm của (1.35) là x(t) = U(t, t0 )x0 và nghiệm của (1.36) là y(t) = W (t, t0 )y0 .
Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng
t

W (t, s) = U(t, s) +

U(t, τ )B(τ )W (τ, s)xdτ
s

20


Trước tiên, ta sẽ xây dựng toán tử Volterra.
Với s ∈ R+ , ta xét dãy dãy Vn (t) như sau:
V0 (t) = U(t, s)

t

V1 (t)x =

U(t, τ )B(τ )V0 (τ )xdτ
s
t

V2 (t)x =

U(t, τ )B(τ )V1 (τ )xdτ
s

.............
t

Vn (t)x =

U(t, τ )B(τ )Vn−1 (τ )xdτ
s

Bổ đề 1.4. Chuỗi

∞

Vn (t) hội tụ tuyệt đối trên [s; t0 ] trong đó t0 ∈ R+

n=0

Chứng minh. Lấy τ ∈ R+ . Kí hiệu ∆τ0 = (t; s)/t, s ∈ R+ ; 0 ≤ s ≤ t ≤ τ0 .

Xét phương trình (1.35). Từ tính chất của họ toán tử tiến hóa, ta suy ra
(U(t, s))t≥s là bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi0 và ωi0 sao cho
||U(t, s)|| ≤ Mi0 .eωi0 (t−s)

với t ≥ s; (t, s) ∈ ∆τ0 . Do đó, (W (t, s))t≥s là cũng bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi1
và ωi1 sao cho
||W (t, s)|| ≤ Mi1 .eωi1 (t−s)

Từ giả thiết B(t) ∈ L(X), ∀t ∈ R+ , ta có thể suy ra
|||B(t)|| − ||B(t0 )||| ≤ |||B(t)|| − B(t0 )||| → 0

Mặt khác, B(t) : R+ → R nên sup ||B(t)|| ≤ b0 < +∞.
[0,τ0 ]

Xét dãy Vn , ta thấy ||Vn|| ≤ M0 . Khi đó
||V1(t)|| ≤ M02 .b0 (t − s)
||V2(t)|| ≤ M03 .b20

(t − s)2
2!

............
(t − s)n
n!
∞
bn (t − s)n
hội tụ.
Theo tiêu chuẩn Dalambert, chuỗi
M0n 0
n!

n=0
||Vn(t)|| ≤ M0n+1 .bn0

21


Kí hiệu W (t, s) =

∞

Vn (t; s)
n=0

Bổ đề 1.5. Phương trình
t

W (t, t0 )y0 = U(t, t0 )y0 +

U(t, τ )B(τ )W (τ, t0 )y0 dτ
t0

có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t0 )y0
Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3
Nhận xét 1.1. W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ ∆τ0 là họ các toán tử bị chặn mũ
thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.3

22


Chương 2

Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương
trình vi phân trong không gian
Hilbert
2.1
2.1.1

Phương trình vi phân trong không gian Hilbert
Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Cho H là không gian Hilbert tách được với cơ sở trực chuẩn là {en }∞
1 . Khi
đó, với mỗi x ∈ H , ta có
∞

ej xj = (x1 ; x2 ; .....; xn ; ....)

x=
j=0

Trong H ta xét PTVP

dx
= f (t, x)
dt

(2.1)

Trong đó, f : [a; b] × H → H với t ∈ [a; b], x ∈ H .
Như vậy, trong cơ sở trực chuẩn này thì PTVP (2.1) có thể viết được dưới

dạng hệ vô hạn các PTVP như sau

dx1


= f1 (t, x1 , x2 , ....)


dt


dx2



 dt = f2 (t, x1 , x2 , ....)
(2.2)
...........



dxn


= fn (t, x1 , x2 , ....)


dt



 ...............
23