Bg truyennhiet c ii dannhiet ondinh motchieu

Chương II
Sunday, April 30, 2023

A.

DẪN NHIỆT
ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ tương ứng với các trường hợp
trong vách phẳng, trong vật hình trụ và vật hình cầu.
I. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách phẳng rộng so với chiều dày, mật
độ dòng nhiệt đồng đều


Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương vuông góc vách



Mặt đẳng nhiệt song song bề mặt vách

Xét phần tử vách như sau


Chọn trục tọa độ vuông góc mặt đẳng nhiệt



Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo sát như sau

(2-1)
Với

Thế vào phương trình 2-1, ta có:


Chia phương trình trên cho

, ta được
(2-2)

Lấy giới hạn
(2-3)
Trong đó

Với diện tích

, phương trình 2-3 được viết lại
(2-4)

II/ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách trụ có chiều dài lớn so với bán
kính, mật độ dòng nhiệt đồng đều


Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính



Mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng tâm

Xét phần tử vách như sau



Chọn trục tọa độ trùng với trục ống



Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo sát như sau


(2-5)
Với

Thế vào phương trình 2-5, ta có:

Chia phương trình trên cho

, lấy giới hạn và sử dụng định luật Fourier
(2-6)
(2-7)

Với diện tích

, phương trình 2-7 được viết lại
(2-8)

II. TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách cầu, mật độ dòng nhiệt đồng đều
trên bề mặt


Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính



Mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu đồng tâm

Xét phần tử vách như sau

Thực hiện tương tự như phần vách trụ, với lưu ý diện tích
2-7, phương trình dẫn nhiệt

thế vào

(2-9)

III. TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT
CHO TRƯỜNG MỘT CHIỀU
Từ các phương trình 2-4, 2-8 và 2-9, ta có dạng tổng quát cho trường một
chiều như sau:
(2-10)
i.

Tọa độ vuông góc


ii.

Tọa độ trụ


iii.

Tọa độ cầu


Trường hợp hệ số dẫn nhiệt
(2-11)
i.

Trường hợp dẫn nhiệt ổn định


ii.

(2-12)

Trường hợp không có nguồn nhiệt bên trong
(2-13)

iii.

Trường hợp dẫn nhiệt ổn định
không có nguồn nhiệt bên trong
(2-14)

B. ĐIỀU KIỆN BIÊN - ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU
Giải phương trình vi phân ta được nghiệm tổng quát, đối với từng trường
hợp cụ thể sẽ có tương ứng điều kiện biên, kết hợp lại sẽ xác định được
phương trình riêng tương ứng.
I. ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU
Là hàm phân bố nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu khảo sát, tổng quát
(2-15)
II. ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO NHIỆT ĐỘ
Nhiệt độ bề mặt rất dễ xác định, do vậy điều kiện biên nhiệt có thể
cho theo nhiệt độ bề mặt
Ví dụ cho trường hợp vách phẳng có chiều dày 
(2-16
III. ĐIỀU KIỆN BIÊN MẬT ĐỘ DÒNG NHIỆT
Khi biết đầy đủ thông tin về tương tác năng lượng ở bề mặt  xác định
được mật độ dòng nhiệt  được sử dụng làm điều kiện biên
(2-17)
Lưu ý:

Chiều hướng dòng nhiệt dẫn trong vách và dòng nhiệt trên
bề mặt


Điều kiện biên:

và

Trường hợp bề mặt được cách nhiệt tốt
hoặc

và

Trường hợp đối xứng nhiệt

(2-19)

IV. ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐỐI LƯU

(2-18)


(2-20.a)
và
(2-20.b)
Ví dụ


V. ĐIỀU KIỆN BIÊN BỨC XẠ

(2-21.a)
và
(2-21.b)
Ví dụ

VI. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Trường hợp tiếp xúc lý tưởng giữa hai vách
(2-22.a)
và
(2-22.b)

VII. ĐIỀU KIỆN BIÊN SUY RỘNG

C.

MỘT SỐ VÍ DỤ
D. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU
KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG
I. PHƯƠNG TRÌNH DẪN NHIỆT

Từ phương trình 2-10


Với điều kiện
Ta được
(2-23)
Trường hợp hệ số dẫn nhiệt
(2-24)
i.

Tọa độ vuông góc


ii.

Tọa độ trụ


iii.

Tọa độ cầu


II. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
1. Vách Phẳng Một Lớp

t
Chiều dày , m
Hệ số dẫn nhiệt , W/(m.K)
Nhiệt độ bề mặt hai bên vách được
duy trì không đổi t1, t2
Vách có chiều rộng rất lớn so với
chiều dày, như vậy nhiệt độ chỉ biến
thiên theo phương vuông gốc với mặt
phẳng
 dẫn nhiệt ổn định một chiều

t
t1 ( d
x tt
)d 2
x
0
Q
t1
t2
R 

Q

x


 F

Xét vách phẳng đồng chất, đẳng hướng, mật độ dòng nhiệt đồng đều
trên bề mặt
Phương trình 2-24 được viết lại như sau:
(2-25)
Điều kiện biên
Tích phân phương trình 2-25 ta được nghiệm:

(2-26)


Thế điều kiện biên 2-26, hằng số C 1, C2 tìm từ hệ sau

Thế vào phương trình trường nhiệt độ
(2-27)
Theo định luật Fourier:

Vậy mật độ dòng nhiệt truyền qua vách phẳng:
(2-28)
Nhiệt lượng dẫn qua vách có diện tích F
W

(2-29)

Phương trình trên được thể hiện lại đồng dạng định luật Ohm:
W

(2-30)

Nhiệt trở dẫn nhiệt qua1 lớp vách phẳng,
Hình dưới cho ta thấy sự tương đương của các đại lượng trong hai công thức:

Phương trình 2-27 cũng có thể viết lại:
(2-31)
Nhận xét:

Khi hệ số dẫn nhiệt là hằng số, phân bố nhiệt độ trong
vách là hàm tuyến tính
Do diện tích các mặt đều giống nhau, nhiệt trở R  có thể
tính tương ứng cho
và công thức 2-30 chính là mật
độ dòng nhiệt qF

2. Dẫn Nhiệt Qua Vách Phẳng Nhiều Lớp
Giả sử ta có vách phẳng gồm 3 lớp như hình bên dưới
Ta tính cho một đơn vị diện tích, các vách tiếp xúc lý tưởng


q

Lớp VL
VL 1 2
1 q2

VL
3

3

1

3



t1

2
t2

t3

q

t4 q

2
1

R1  R 2  R3  3
1
2
3
Mật độ dòng nhiệt dẫn qua các lớp:

Ở chế độ dẫn nhiệt ổn định, dòng nhiệt qua các bề mặt đẳng nhiệt
bất kỳ của các vách phẳng phải bằng nhau:

(2-32)
Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có

(2-33)

Mật độ dòng nhiệt:
(2-34)
Tương tự, trường hợp vách có n lớp:
(2-35)


Nhiệt độ tại vị trí tiếp xúc (lý tưởng) giữa các lớp:
(2-36)


2. Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất
Qua Vách Phẳng
Trường hợp này có trao đổi nhiệt đối lưu của lưu chất
Ta viết phương trình tính nhiệt lượng trao đổi đối lưu theo Newton đồng dạng
định luật Ohm như sau:
(2-37)

Nhiệt trở đối lưu của vách phẳng,
Xét hai lưu chất trao đổi nhiệt qua vách phẳng 2 lớp như hình sau:

Hệ phương trình trao đổi nhiệt

(2-38)
Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định, ta có
(2-39)

Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có:

(2-40)


W

(2-41)

Khi tính mật độ dòng nhiệt, có khái niệm hệ số truyền nhiệt như sau:

(2-42)

với

(2-43)
gọi là hệ số truyền nhiệt qua vách phẳng
Trường hợp vách n lớp
(2-44)

nhiệt độ

(2-45)

3. Dẫn Nhiệt Qua Vách Phức Hợp
Trường hợp này vách gồm tổ hợp nhiều vật liệu khác nhau.
Nhiệt lượng truyền qua các lớp vách:
(2-46)
với tổng nhiệt trở

tính tương ứng như mạch điện trở.

Ví dụ tính tổng nhiệt trở cho lớp vách phức hợp sau:


4. Nhiệt Trở Tiếp Xúc

(2-47)


III. DẪN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ
1. Trường Hợp Vách Trụ Một Lớp

Xét vách trụ 1 lớp như hình bên dưới

Đường kính trong
Đường kính ngoài

,m
,m

Chiều dài L, m
Hệ số dẫn nhiệt ,
Nhiệt độ bề mặt vách phía trong và
phía ngoài là t1 và t2.

Phương trình 2-24 được viết lại như sau
(2-48)
Điều kiện biên
Tích phân phương trình 2-48 ta được nghiệm:

(2-49)


(2-50)
Thế điều kiện biên 2-49, hằng số C 1, C2 tìm từ hệ sau

Thế vào phương trình trường nhiệt độ
(2-51)
Theo định luật Fourier:

(2-52)

Có thể tìm nhiệt lượng truyền qua vách trụ như sau

hay

(2-53)

Dẫn nhiệt ổn định
và

(2-54)

Nhiệt dẫn qua cylinder xác định như sau

hay
với

, lấy tích phân phương trình trên

(2-55)

Ta được cùng kết quả như phương trình 2-52
,W
Phương trình trên có thể viết ở dạng mạng nhiệt trở
,W
Với nhiệt trở Rcyl

(2-56)


,
Lưu ý:

(2-57)

Nhiệt lượng truyền qua tại hai bề mặt bằng nhau
Nhưng mật độ dòng nhiệt khác nhau trên hai bề mặt:

Để thuận tiện trong tính toán, người ta thường tính nhiệt lượng dẫn qua
ứng với
m chiều dài ống:
(2-58)

Nhiệt trở qua 1 lớp vách trụ ứng với 1m chiều
dài ống,
Lưu ý:

Trong trường hợp
phẳng để tính toán

, có thể sử dụng công thức vách

Diện tích vách lấy theo đường kính trung bình

Nhiệt lượng dẫn qua vách trụ có chiều dài L là:
Mật độ dòng nhiệt tính cho một đơn vị diện tích:
(2-59)
Mật độ dòng nhiệt tính cho một đơn vị chiều dài:
(2-60)


Nhiệt trở

W

(2-61)

2. Dẫn Nhiệt Qua Vách Trụ Nhiều Lớp
Xét vách trụ 3 lớp như hình dưới đây

Ta có phương trình dẫn nhiệt trong trường hợp ổn định

(2-62)
Trường hợp vách trụ có n lớp
Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp:
(2-63)
Nhiệt độ tại các biên vách:
(2-64)
Hay theo dạng vách phẳng, xem laïi 2-61