Bai toan hai chieu handout

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ
NHẬT VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HỆ
TỌA ĐỘ CỰC
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
1 / 34TRO


NỘI DUNG

1

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT

2

PHƯƠNG TRÌNH L APLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
2 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

PHƯƠNG TRÌNH DAO NG CA MNG CH NHT


à 2
2 ả
2

u

u

u

2


=
a
+
,

2
2
2

t
x
y




0 ẫ x É L1 , 0 É y É L2 , t > 0.



u(0, y, t) = 0, u(L1 , y, t) = 0,

u(x, 0, t) = 0, u(x, L2 , t) = 0





u(x, y, 0) = f (x, y),




∂u(x, y, 0)



= g(x, y)
∂t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
3 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

Theo phương pháp tách biến, giả sử
nghiệm có dạng
u = u(x, y, t) = X (x)Y (y)T (t).

Thay vào phương trình dao động trên ta
được
X 00 (x) Y 00 (y)
T 00 (t)
=
+
= λ1 ,
a2 T (t) X (x)
Y (y)

trong đó λ1 là hằng số tách biến.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
4 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

Từ đó ta suy ra 2 phương trình sau
T 00 (t) − a2 λ1 T (t) = 0.
X 00 (x) Y 00 (y)
+
= λ1 .
X (x)
Y (y)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
5 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

Tách biến cho phương trình thứ hai
Y 00 (y)
X 00 (x)
= λ1 −
= λ2
X (x)
Y (y)
(

X 00 − λ2 X (x) = 0, X (0) = X (L1 ) = 0
Y 00 (y) − (λ1 − λ2 )Y (y) = 0, Y (0) = Y (L2 ) = 0.

Đặt λ2 = −ω21, λ1 − λ2 = −ω22 giải phương trình
nπ
nπx
trên ta được ω1 = , X (x) = Xn(x) = sin
,

L1
mπ
mπx
ω2 =
, Y (y) = Ym (y) = sin
L2
L2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

L1

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
6 / 34TRO


Phng trỡnh dao ng ca mng ch nht

Phng trỡnh

ả2

n
,
L
1
à
ả2
m
1 2 = 22 =
, suy ra
L
2 #
"à ả à
ả
2
m 2
nπ

λ1 = −
+
= −λ2mn .
L1
L2
Phương trình hàm t có dạng
T 00 (t) + a2 λ2mn T (t) = 0 và có nghiệm là

Từ λ2 = −ω21 = −

µ

T (t) = Tmn (t) = Amn cos aλmn t + Bmn sin aλmn t,

trong đó Amn, Bmn là các hằng số tùy ý.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
7 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

Vậy, ta có nghiệm riêng của bài tốn là
umn (x, y, t) = Tmn (t)Xn (x)Ym (y)
mπy

nπx
sin
= (Amn cos aλmn t+Bmn sin aλmn t) sin
L1
L2

Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, ta có
nghiệm tổng quát
u(x, y, t) =

∞ X
∞
X

umn =

m=1 n=1

=

∞ X
∞
X

Tmn (t)Xn (x)Ym (y).

m=1 n=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG

TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
8 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

Điều kiện ban đầu của bài toán cho phép ta
xác định Amn và Bmn.
u(x, y, 0) =

∞ X
∞
X
m=1 n=1

Amn sin

mπy
nπx
sin
= f (x, y)
L1
L2

∞ X
∞
mπy

∂u(x, y, 0) X
nπx
=
sin
=
aλmn Bmn sin
∂t
L1
L2
m=1 n=1

= g(x, y)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM TRÌNH
— 2016.LAPLACE
9 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Phương trình

<< f , Xn >, Ym >
=
||Xn ||2 ||Ym ||2
Z L1 Z L2
4

nπξ
mπη
=
f (ξ, η) sin
sin
dξdη
L1 L2 0 0
L1
L2
<< g, Xn >, Ym >
Bmn =
=
||Xn ||2 ||Ym ||2
Z L1 Z L 2
mπη
4
nπξ
=
g(ξ, η) sin
sin
dξdη
L1 L2 aλmn 0 0
L1
L2
Amn =

trong đó ξ, η là các biến lấy tích phân.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG

TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
10 / 34TRO


Phương trình dao động của màng chữ nhật

Bài tập

GHW #5

BÀI TP 1.1

à 2
ả
u 2 u
2 u
=
+
,
t 2
x2 y 2
0 É x É 1, 0 É y É 2, t > 0.
u(0, y, t) = 0, u(1, y, t) = 0,
u(x, 0, t) = 0, u(x, 2, t) = 0
u(x, y, 0) = xy(1 − x)(2 − y),
∂u(x, y, 0)
= 0.
∂t

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —

TRÌNH
2016. LAPLACE
11 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Phương trình

PHƯƠNG TRÌNH L APLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Xét phương trình Laplace
∂2 u ∂2 u
+
=0
∂x2 ∂y 2

(1)

Cho miền D được giới hạn bởi 2 đường trịn
bán kính r1, r2(r1 < r2). u cầu: tìm hàm
u(x, y) thỏa mãn phương trình (1) với (x, y)
bên trong miền D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
12 / 34TRO

Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Phương trình

Chuyển sang hệ tọa độ cực
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Miền D lúc này là
r1 < r < r2 , 0 É ϕ < 2π. Phương trình Laplace
trong hệ tọa độ cực
∂2 u 1 ∂u 1 ∂2 u
+
+
= 0.
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ2

(2)

Giải bằng phương pháp tách biến. Nghiệm
của (2) được tìm dưới dạng
u(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
13 / 34TRO

Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Phương trình

Thay nghiệm này vào phương trình (2) ta
được
1
1
R00 (r)Φ(ϕ) + R0 (r)Φ(ϕ) + 2 R(r)Φ00 (ϕ) = 0 (3)
r
r
Chia 2 vế cho R(r)Φ(ϕ)/r 2 ta được
r 2 R00 (r) + rR0 (r)
Φ00 (ϕ)
=−
= λ2
(4)
R(r)
Φ(ϕ)

Từ đó ta thu được 2 phương trình vi phân
Φ00 (ϕ) + λ2 Φ(ϕ) = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ0 (2π)
r 2 R00 (r) + rR0 (r) − λ2 R(r) = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

(5)
(6)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG

TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
14 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Phương trình

Giải phương trình (5) ta được λn = n và
Φn (ϕ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ.

Giải phương trình (6) ta được
R0 (r) = C0 ln r + D0 khi λ = 0 và
Rn (r) = Cn r λ + Dn r −λ khi λ > 0.
Nghiệm tổng quát của phương trình
Laplace là
u(r, ϕ) = A0 (D0 + C0 ln r)+
+

∞
X

(Cn r n + Dn r −n )(An cos nϕ + Bn sin nϕ)

n=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG

TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
15 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Bài tốn Laplace bên trong hình trịn

Xét trường hợp hình trịn R1 = 0, R = R2.
Phương trình Laplace ∇u = 0 với điều kiện
biên u|r=R = f (ϕ). Khi đó
1
1
urr + ur + 2 uϕϕ = 0, (0 < r < R), u|r=R = f (ϕ).
r
r

Nghiệm tổng quát của phương trình
Laplace là
u(r, ϕ) = A0 (D0 + C0 ln r)+
+

∞
X

(Cn r n + Dn r −n )(An cos nϕ + Bn sin nϕ)

n=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
16 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Bài tốn Laplace bên trong hình trịn

Ta thấy trong cơng thức nghiệm ln r và r −n
không bị chặn tại tâm (0, 0) của tọa độ cực.
Theo ý nghĩa vật lý thì nghiệm như vậy
khơng tồn tại, do đó hệ số của những hàm
này bằng 0. Do đó nghiệm tổng qt của
phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực
có dạng
u(r, ϕ) = a0 +

∞
X

(an r n cos nϕ + cn r n sin nϕ).

n=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
17 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Bài tốn Laplace bên trong hình trịn

Để xác định những hệ số an, cn ta sử dụng
điều kiện biên
f (ϕ) = a0 +

∞
X

(an Rn cos nϕ + cn Rn sin nϕ)

n=1

Phân tích Fourier của hàm f (ϕ) trên đoạn
[0, 2π] ta được
f (ϕ) = f0 +

∞
X

(fnc cos nϕ + fns sin nϕ)

n=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
18 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Bài tốn Laplace bên trong hình trịn

Do tính duy nhất của phép phân tích
Fourier ta được
a0 = f0 , an Rn = fnc , cn Rn = fns (n = 1, 2, . . .)

Trong đó
1
f0 =
2π

Z2π
f (ϕ)dϕ,
0

1
fns =
π

1
fnc =
π

Z2π
f (ϕ) cos nϕdϕ,
0

Z2π
f (ϕ) sin nϕdϕ, (n = 1, 2, 3, . . .)
0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
19 / 34TRO


Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực

Bài tốn Laplace bên trong hình trịn

GHW #5

BÀI TẬP 2.1
Giải phương trình Laplace với điều kiện
biên Dirichlet sau
∇2 u = 0, 0 É r < 3, u|r=3 = ϕ2 (0 É ϕ < 2)

ỏp s.

ả
à
r n 1
4 2

P
u(r, ) = + 4
cos nϕ − sin nϕ
3
n2
n
n=1 3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT VÀ PHƯƠNG
TP. HCM —
TRÌNH
2016. LAPLACE
20 / 34TRO