Dai cuong ptdhr handout

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT1 LÝ
/ 30


NỘI DUNG

1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

2

ĐƯA PTĐHR CẤP 2 VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

3

NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TẬP HỢP NGHIỆM

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT2 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Phương trình đạo hàm riêng là phương
trình có dạng
F(x, y, . . . , u, ux , uy , . . . , uxx , uxy , . . .) = 0,

(1)

F−là hàm nhiều biến với biến số là
x, y, . . . , u, ux , uy , . . . , uxx , uxy , . . . .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM

DÙNG
—TRONG
2016. VẬT3 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Ta phải tìm hàm số u(x, y, . . .) sao cho phương trình (1)
là đồng nhất thức theo những biến này, khi ta thay
u(x, y, . . .) và những đạo hàm riêng của nó vào phương
trình trên
ux =

∂u
,
∂x

uy =

∂u
,...
∂y

∂2 u
∂2 u
uxx = 2 , uxy =
,...

∂x
∂x∂y
.........

Lúc này hàm số u(x, y, . . .) được gọi là nghiệm của
phương trình đạo hàm riêng (1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT4 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Định nghĩa

Chúng ta khơng chỉ tìm nghiệm riêng lẻ mà
còn nghiên cứu mọi tập hợp nghiệm, và
trong trường hợp riêng chọn ra những
nghiệm riêng với những điều kiện bổ sung
vào phương trình (1).
Phương trình đạo hàm riêng (1) sẽ trở thành
phương trình vi phân thơng thường, nếu chỉ
có 1 biến số.
Cấp của đạo hàm cao nhất trong phương
trình vi phân, được gọi là cấp của phương

trình vi phân này.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT5 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Ví dụ

∂u
∂u
+ xy 2
= 0− PTĐHR cp 1.
y
x
à ả2
u
u
Vớ d 2.
+ 3 sin x + u − 1 = 0− PTĐHR
∂x
∂y

Ví dụ 1. 3x

cấp 1.

2
∂u
2∂ u
=a
− PTĐHR cấp 2.
Ví dụ 3.
∂t
∂x2
∂2 u ∂2 u ∂2 u
Ví dụ 4. 2 + 2 + 2 = 0− PTĐHR cấp 2.
∂x
∂y
∂z

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT6 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Phương trình tuyến tính

ĐỊNH NGHĨA 1.2
Phương trình vi phân được gọi là tuyến tính,
nếu hàm số F tuyến tính theo biến
u, ux , uy , . . . , uxx , uxy , . . . và những hệ số chỉ phụ
thuộc vào biến số x, y, . . . .
Phần lớn ta sẽ nghiên cứu những phương
trình tuyến tính; những phương trình có
dạng tổng qt hơn thường sẽ được biến
đổi về những phương trình tuyến tính.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT7 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Ví dụ

Ví dụ 1. Phương trình tuyến tính cấp 1 hai biến
A

∂u
∂u
+ B + Cu = f ,

∂x
∂y

trong đó A, B, C, f là hàm hai biến phụ thuộc vào x, y.
Ví dụ 2. Phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến
A

∂2 u
∂2 u
∂2 u
∂u
∂u
+
2B
+
C
+
D
+
E
+ Fu = g,
∂x2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂y

trong đó A, B, C, D, E, F, g là hàm hai biến phụ thuộc
vào x, y.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT8 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2

PTVPĐHR tuyến tính cấp 2 được gọi là
Eliptic nếu AC − B2 > 0
Parabolic nếu AC − B2 = 0
Hyperbolic nếu AC − B2 < 0
thuần nhất nếu g = 0, không thuần nhất
nếu g 6= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
—TRONG
2016. VẬT9 LÝ
/ 30

Những kiến thức cơ bản

1

Ví dụ

∂2 u ∂2 u
Phương trình Laplace 2 + 2 = 0 là
∂x
∂y

phương trình eliptic.
2

2
∂u
2∂ u
=a
là
Phương trình truyền nhiệt
∂t
∂x2

phương trình parabolic.
3

2
∂2 u
2∂ u
Phương trình sóng 2 = a 2 là phương

∂t
∂x

trình hyperbolic.
4

∂2 u ∂2 u
Phương trình Tricomi y 2 + 2 = 0 là PT
∂x
∂y
eliptic ở y > 0 và là PT hyperbolic ở y < 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
10 LÝ
/ 30


Những kiến thức cơ bản

Bài tập

GHW #2

BÀI TẬP 7.1

Tìm các miền trong đó các phương trình sau
đây là hyperbolic, parabolic, elliptic
1

2

∂2 u
∂2 u
∂2 u
+2
−3 2 = 0
∂x2
∂x∂y
∂y
∂2 u
∂2 u
∂2 u
− 2x
+ y 2 = u + 1.
∂x2
∂x∂y
∂y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT

11 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Đặt vấn đề

Cho phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến
∂2 u
∂2 u
∂u
∂u
∂2 u
+C 2 +D +E
+ Fu = g,
A 2 + 2B
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y

trong đó A, B, C, D, E, F, g là hàm hai biến phụ
thuộc vào x, y.
Bài toán. Bằng cách đổi biến
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) và giả sử tồn tại phép
biến đổi ngược, ta sẽ nhận được phương
trình mới có dạng đơn giản nhất tương
đương với phương trình ban đầu. Vấn đề

chọn biến mới như thế nào?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
12 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Đặt vấn đề

u x = u ξ ξx + u η η x , u y = u ξ ξ y + u η η y .
uxx = uξξ (ξx )2 +2uξη ξx η x +uηη (η x )2 +uξ ξxx +uη η xx
uxy =
uξξ ξx ξy +uξη (ξx η y +ξy η x )+uηη η x η y +uξ ξxy +uη η xy
uyy = uξξ (ξy )2 +2uξη ξy η y +uηη (η y )2 +uη ξyy +uη .η yy

Thay vào phương trình ban đầu ta được
a11 uξξ + 2a12 uξη + a22 uηη + G = 0, trong đó
a11 = A(ξx )2 + 2Bξx ξy + C(ξy )2 ,
a12 = Aξx η x + B(ξx η y + ξy η x ) + Cξy η y ,
a22 = A(η x )2 + 2Bη x η y + C(η y )2 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG

TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
13 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình đặc trưng

ĐỊNH NGHĨA 2.1
Đường ϕ(x, y) = C = const được gọi là đường
cong tích phân đặc trưng, nếu nó là nghim
ca phng trỡnh

A
x
à

ả2

à ả2


+C
+ 2B .
= 0.
x y

y

Vỡ (x, y) = C nên
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy = 0.
∂x
∂y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
14 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình đặc trưng

PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG
A(dy)2 − 2B.dxdy + C(dx)2 = 0
1

2

3

Nếu B2 − AC > 0 thì
p PTĐHR có 2 họ đặc
trưng Ady p
− (B + B2 − AC)dx = 0 và
Ady + (B + B2 − AC)dx = 0
Nếu B2 − AC = 0 thì PTĐHR có 1 họ đặc
trưng Ady − Bdx = 0
Nếu B2 − AC < 0 thì
p PTĐHR có 2 họ đặc
trưng Ady −p(B + i |B2 − AC|)dx = 0 và
Ady + (B − i |B2 − AC|)dx = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
15 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình loại Hyperbolic

Đối với phương trình Hyperbolic thì B2 − AC > 0 nên

ta có 2 đường cong tích phân ξ(x, y) và η(x, y) do đó
a11 = 0 và a22 = 0. Lúc này phương trình thu được có

dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ , uη ). Đây là dạng chính tắc thứ
nhất của phương trình loại Hyperbolic. Nếu đổi biến
ξ+η
ξ−η
, β=
, ta được
2
2
1
1
1
uξ = (uα + uβ ), uη = (uα − uβ ), uξη = (uαα − uββ ). Vậy
2
2
4
uαα − uββ = 4Φ1 . Đây là dạng chính tắc thứ hai của

thêm 1 lần nữa α =

phương trình loại Hyperbolic.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT

16 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình loại Parabolic

Đối với phương trình Parabolic thì
B2 − AC = 0 nên ta có 1 đường cong tích phân
ξ(x, y) do đó a11 = A(ξx )2 + 2Bξx ξy + C(ξy )2 =
p
p
( Aξx + Cξy )2 = 0. Từ đó suy ra
a12 = Aξx η x + B(ξx η y + ξy η x ) + Cξy η y =
p
p
p
p
( Aξx + Cξy )( Aη x + Cη y ) = 0. Lúc này

phương trình thu được có dạng
uηη = Φ(ξ, η, uξ , uη ). Đây là dạng chính tắc của
phương trình loại Parabolic.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.

TRONG VẬT
17 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Phương trình loại Elliptic

Đối với phương trình Elliptic thì B2 − AC < 0
nên ta có 2 đường cong tích phân phức
ξ(x, y) = ϕ(x, y) và η(x, y) = ϕ(x, y) do đó a11 = 0
và a22 = 0. Lúc này phương trình thu được có
dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ, uη) giống như phương
trình loại Hyperbolic. Để khơng gặp biến
phức, ta đổi biến thêm 1 lần nữa α =

ξ+η
,
2

1
ξ−η
, ta được uξη = (uαα + uββ ). Vậy
2i
4
uαα + uββ = 4Φ1 . Đây là dạng chính tắc của

β=

phương trình loại Elliptic.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
18 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Ví dụ

VÍ DỤ 2.1
Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
x2 uxx − y 2 uyy = 0
A = x2 , B = 0, C = −y 2 . B2 − AC = x2 y 2 > 0. Đây là

phương trình thuộc dạng Hyperbolic.
Ptđt x2(dy)2 − y 2(dx)2 
=0
"

⇒

xy = C1
xdy + ydx = 0


y
⇔
= C2
xdy − ydx = 0
x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
19 LÝ
/ 30


Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc

Ví dụ

y
x

Thực hiện phép đổi biến ξ = xy, η = . Khi đó
ta có ux = uξξx + uηη x = uξy − uη

y
,

x2

1
u y = u ξ ξy + u η η y = u ξ x + u η .
x
2
2
y 2 ∂2 u y 2
∂
u
∂u y
∂
u
0
2
uxx = (ux )x = 2 y −2
. 2 + 2 . 4 +2 . 3
∂ξ
∂ξ∂η x
∂η x
∂η x
2
2
2
∂u ∂u 1
∂u
+
. .
uyy = (uy )0y = 2 x2 + 2
∂ξ

∂ξ∂η ∂η2 x2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG
TP. HCM
DÙNG
— 2016.
TRONG VẬT
20 LÝ
/ 30