ss laplace handout tín hiệu và hệ thống thông tin

ET
2060
Biến
đổi
L
a
p
l
a
c
e
TS. Đặng
Quang
H
i
ế
u
h
tt
p
://
ss
.
edab
k
.
o
r
g
Trường
Đại học Bách Khoa Hà

N
ộ
i
Viện Điện
t
ử
- Viễn
t
h
ô
n
g
2011
-
2012
Giới
t
h
i
ệ
u

về biến
đổi
L
a
p
l
a
c

e
X
é
t
hệ
t
hống
LTI
v
ớ
i
đáp
ứng
xung
h(t)
và đầu vào
x

(t) =
e
s
t

,
t
a
có:
t
r
o

ng
đó
y

(t) =
H
(
s
)
e
s
t
¸
∞
H
(
s
)

=
h
(
t
)
e
−
s
t

dt

−
∞
◮
Có
t
hể
coi
biến
đổi
Fourier
là
t
r
ư
ờ
ng

hợp riêng
của
biến
đổi
Laplace
(
v
ớ
i

s
=
j

Ω
)
.
◮
Phân
t
í
c
h
hệ
t
hống
LTI,
đặc
bi
ệ
t
là
t
í
nh
ổn định.
◮
Ứng
dụng
t
r
o
ng
lý

t
huy
ế
t

mạch,
lý
t
huy
ế
t

điều khiển,
v.v.
Định
n
g
h
ĩ
a
L
t
s
Biến
đổi
L
a
pl
a
c

e
L
−
1
x

(t)
←
L
X

(
s
)
t
r
o
ng
đó
s
là
biến số phức: s
=
σ
+
j
Ω
.
¸
∞

X

(
s
)

¾
x

(
t
)
e
−
s
t

dt
−
∞
Ví dụ: Tìm
biến
đổi
Laplace
của
x

(t) =
e
a

t

u
(
t
)
Liên hệ với biến
đổi
F
o
u
r
i
e
r
◮
Biến
đổi
Fourier
là
biến
đổi
Laplace
x
é
t

t
r
ê

n

t
r
ục
ảo
s
=
j
Ω
.
X
(jΩ)
=
X

(
s
)
|
s
=
j

Ω
◮
Biến
đổi
Laplace
là

biến
đổi
Fourier
của
x

(
t
)
e
−
σ
t
¸
∞
X

(
s
)

=
x

(
t
)
e
−
(

σ
+
j

Ω)t
dt
=
F
T
{
x

(
t
)
e
−
σ
t

}
−
∞
◮
Miền
hội
tụ
(ROC) là
những
giá

trị
của
s
t
r
ê
n

m
ặ
t
phẳng
phức sao
cho
X

(
s
)

<
∞
(
t
ứ
c
là
t
ồ
n

t
ạ
i

biến
đổi
Fourier
của
x

(
t
)
e
−
σ
t

).
Điều kiện
hội
t
ụ:
¸
∞
|
x

(

t
)
e
−
σ
t

|
dt

< ∞
−
∞
−→
Ví
dụ
Tìm
biến
đổi
Laplace
và
vẽ miền
hội
tụ
cho
các
t
r
ư
ờ

ng

hợp
s
a
u:
(a)
x

(t) =
δ
(
t
)
(b)
x

(t) =
−
e
a
t

u
(
−
t
)
(c)
x

(t) =
e
2
t

u(t) +
e
3
t

u
(
−
t
)
(d)
x

(t) =
c
o
s
(
Ω
0
t
)
u
(

t
)
Điểm cực
và
điểm
không
◮
Điểm cực: s
=
s
p
k

nếu
X

(
s
p
k

)
= ∞.
◮
Điểm
không:
s
=
s
0k

nếu
X

(
s
0
r

)
=
0.
◮
Nếu
X

(
s
)

biểu diễn bởi
m
ộ
t
hàm
hữu
t
ỉ
:
X

(
s
)

=
N
(
s
)
D
(
s
)
t
hì

s
p
k

là
nghiệm
của đa
t
hứ
c

D
(
s

)
và
s
0r
là
nghiệm
của
đa
t
hứ
c

N
(
s
)
.
Ví dụ: Tìm
biến
đổi
Laplace
và
vẽ các điểm cực, điểm
không
x

(t) =
δ
(
t

)

−
3
e
−
2
t

u(t) +
2
e
t

u
(
t
)
Các
t
í
nh

c
h
ấ
t

của
ROC

(i)
ROC chứa các
dải
song song
v
ớ
i

t
r
ục
ảo
t
r
ê
n

m
ặ
t

phẳng
s
.
(ii)
ROC không chứa các điểm
c
ự
c
(iii)

Nếu
x

(t)
có
chiều
dài
hữu
hạn và ¸
∞
−
∞
|
x

(
t
)
|
dt

<
∞
t
hì
ROC
sẽ
là cả
m
ặ

t

phẳng
phức.
(iv)
Nếu
x

(t)
là dãy
m
ộ
t

phía
(
t
r
á
i

hoặc
phải)
t
hì
ROC?
(v)
Nếu
x

(t)
là dãy hai
phía
t
hì
ROC?
Biến
đổi
Laplace
n
g
ư
ợ
c
Áp dụng
biến
đổi
Fourier
ng
ư
ợ
c
:
Ta có:
x

(
t
)
e

−
σ
t

=
1
2π
¸
∞
X
(σ
+
j
Ω
)
e
j

Ω
t

d
Ω
−
∞
x

(t)
=
1

2πj
¸
σ
+
j

∞
σ
−
j

∞
X

(
s
)
e
s
t

ds
◮
Nếu
X

(
s
)
là hàm

hữu
tỷ
t
hì

biến
đổi
ngược bằng cách
khai
t
r
i
ể
n

t
hà
nh

các
phân
t
hứ
c

tối
giản.
◮
Lưu
ý

về
ROC.
Ví dụ: Tìm
biến
đổi
ngược
của
X

(
s
)

=
−5s −
7
(
s

+
1
)(
s

−
1
)(
s

+

2
)
, ROC : −1
<
Re{s}
<
1
Các
t
í
nh

c
h
ấ
t
◮
Tuyến
t
í
nh
◮
Dịch
t
hờ
i
gian:
x

(t

−
t
0
)
←
L
◮
Dịch
t
r
ê
n

miền s:
e
s
0

t

x

(t)
L
e
−
s
t
0

X

(
s
)
X

(
s

−
s
0
)
◮
Co
dãn:
x

(
a
t
)
←
L
←−→
1
X

(

s
/
a
)
|
a
|
◮
Liên
hợp
phức:
x

∗
(
t
)

←
L
X

∗
(
s
∗
)
◮
Chập:
x

1
(t)
∗
x
2
(t)
←
L
X
1
(
s
)
X
2
(
s
)
◮
Đạo
hàm
t
r
ê
n
miền
t:
d
x

(
t
)
L
←
−
→
s
X

(
s
)
◮
Đạo hàm
t
r
ê
n

miền s:
−
t
x

(t)
←
L
d
X

(
s
)
d
s
◮
Tích
phân
t
r
ê
n

miền
t:
¸
t
−
∞
x
(τ
)
d
τ
=
1

X

(
s
)
◮
Định lý giá
trị
đầu và
cuối:
Nếu
t
í
n

hiệu
nhân
quả
(
x

(t) =
0,
∀
t

<
0)
t
hì
x

(
0
+
)

=
li
m
s
→∞
s
X

(
s
)
,
li
m
t
→∞
−→
−→
−→
−→
d
t
−→
s
x

(t)
=
lim
s
X

(
s
)
s
→
0
Hàm
t
r
u
y
ề
n

đ
ạ
t

H
(
s
)

của hệ
t
h
ố
n
g

L
T
I
x

(
t
)
h
(
t
)
y

(
t
)
y

(
t
)

=

x

(
t
)

∗

h
(
t
)
Biến
đổi
Laplace
cả hai
vế,
áp
dụng
t
í
nh

c
hấ
t

chập,

t
a
có:
H
(
s
)

=
Y
(
s
)
X

(
s
)
◮
Hệ
t
hống

nghịch
đảo:
H
inv
(
s
)

=
1
◮
Hệ
t
hống
pha
tối
t
hi
ể
u:

H
(
s
)

và H
inv
(
s
)
đều
nhân
quả
,

ổ

n
định.
H
(
s
)
Hệ
t
h
ố
n
g
LTI
nhân quả
và ổn định
◮
Nhân quả:
ROC
của
H
(
s
)
là
nửa bên
phải của
m
ặ
t

phẳng
phức
◮
Nhân quả,
v
ớ
i

H
(
s
)
là hàm
hữu
tỷ:
ROC
là phần
m
ặ
t

phẳng
bên
phải của
điểm cực ngoài
cùng.
◮
Ổn định:
ROC chứa
t

r
ục
ảo
(
s

=
j
Ω
)
.
◮
Nhân quả, ổn định,
H
(
s
)

hữu
tỷ:
T
ấ
t
cả
các điểm cực
của
H
(
s
)

nằm
bên
t
r
á
i

t
r
ục
ảo của
m
ặ
t

phẳng
phức.
◮
Hệ
t
hống
pha
tối
t
hi
ể
u:

T
ấ

t
cả
các điểm cực
và
đi
ể
m

k
hông
của
H
(
s
)

đều
nằm
bên
t
r
á
i

t
r
ục
ảo.
Tìm đáp ứng xung của hệ
t

h
ố
n
g

L
T
I
Cho hệ
t
hống
LTI
được biểu diễn bởi phương
t
r
ì
nh

s
a
i
phân
t
uy
ế
n
t
í
nh
hệ

số
hằng:
d

3
d

2
d

2
d
dt
3
y

(t) +
3

dt
2
y

(t)
−
4
y

(t) =
4

dt
2
x

(t) +
15

dt
x

(t) +
8
x

(
t
)
Hãy
t
ì
m
đáp
ứng
xung
h(t)
t
r
o
ng

t
r
ư
ờ
ng

hợp
hệ
t
hống
nhân
quả, ổn định.
Biến
đổi
Laplace
m
ộ
t

ph
í
a
Ký
hi
ệ
u:
X

(

s
)

¾
¸
∞
x

(
t
)
e
−
s
t

dt
0
x

(
t
)
L
u
X

(
s
)

Các
t
í
nh

c
hấ
t

t
ư
ơ
ng

t
ự

như biến
đổi
Laplace
hai
phía, ngoại
t
r
ừ
:
dx


(

t



)

dt
←−→
s
X

(
s
)

−
x

(
0
−
)
Giải phương
t
r
ì
nh
vi
phân

t
u
y
ế
n

t
í
nh

hệ số
hằng
Cho hệ
t
hống
LTI
được biểu diễn bởi phương
t
r
ì
nh
vi
phân
t
uy
ế
n
t
í
nh

hệ
số
hằng
d

2
d d
dt
2
y

(t) +
5

dt
y

(t) +
6
y

(t)
=
x

(t) +
6
x

(

t
)
dt
Hãy
t
ì
m
đầu ra
y

(t)
của hệ
t
hống
khi có đầu vào
x

(t) = u(t)
,
v
ớ
i
các điều kiện
đầu:
y
(0
−
)
=
1 và

y

′
(0
−
)
=
2.
←−→
L
u
Bài
t
ậ
p
1.
Sử
dụng hàm
r
oo
t
s
để
t
ì
m

điểm cực
và
điểm

không của hàm
t
r
uy
ề
n

đạ
t

H
(
s
)
.
2.
Sử
dụng hàm
r
e
s
i
due
để phân
t
í
c
h

H

(
s
)

hữu
tỷ
t
hà
nh
các
phân
t
hứ
c

tối
giản.
3. Tìm
hiểu về cách sử
dụng
các
hàm
tf
,
zpk, ss,
p
z
m
ap
,

t
z
e
r
o
,

po
l
e
,
bode và
f
r
eq
r
e
s
p
để
biểu diễn
và phân
t
í
c
h
hệ
t
hống
.