Bat va he bat bac haippt

bất phương trình và
hệ bất phương trình bậc hai


ôn tập chương IV
Phần 1: Phương trình bậc hai một ẩn
Phần 2: Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Phần 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình
bậc hai một ẩn
Phần 4: Phương trình và bất phương trình qui về
bậc hai


§Þnh lÝ vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai
§Þnh
lÝ.

Cho tam thøc : f(x) = ax2 + bx + c (a
 0)

và b2 - 4ac.
Nếu thì f(x) cùng dấu với hệ sè a, víi mäi
è thùc x.

/2a.

NÕu th× f(x) cïng dÊu víi a víi mäi x  -

NÕu th× f(x) cã hai nghiệm x1 và x2 và
iả sử x1 < x2.

x1 ; x2 

ThÕ th× f(x) cïng dÊu víi a víi mọi x ngoài đoạn
(tức là x < x hay x > x ) và f(x) trái dấu với a


Ví dụ áp dụng:
Giải các bất phương trình sau:
a)3x2 + 7x - 6 < 0
b) -x2 + 6x + 16  0
c) 9x2 + 6x +19 > 0


Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

1) §Þnh lÝ.
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0),
 R. af() < 0

x2)

* f(x) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 (x1 <
* x1 < < x2.

Phương trình bậc hai
2) Hệ
quả 0)
1. có hai

f(x) = ax2 + bx + c = 0

 sè  af( ) < 0.
nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 (x
: 1 < x2)
3) HƯ qu¶
2. Cho tam thøc f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Vµ hai số
(<.
một nghiệm
(,
kia
nằm
ngoài
đoạn
Phươngnghiệm
trình f(x)
=
0 có
hai nghiệm,
f().f()
< 0 [](1)


*) VÝ dơ ¸p
dơng
Cho tam thøc bËc hai
f(x) = ( m2 +1)x2 - ( m4 + m2 + 1 )x + m4 2
m
- 1 minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm
Chứng
phân

biệt m.
Bài giải
Ta có
f(1) =

m2 + 1 - m4 - m2 + 1 + m4 - m-2 (- m2 + 1)
1=

Do ®ã
- ( m2 + < 0 m.
a.f(1) =
1)2
Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiƯm
ph©n biƯt  m.


So s¸nh mét sè  víi c¸c nghiƯm cđa
tam thøc bËc hai
TÝnh
af()
+

f(x) cã 2
nghiƯm x1<  <

-

x2

f(x) v«
nghiƯm

TÝnh 
(’)

+

=0
=0

TÝnh ( S/2 -

f(x) cã 2
nghiƯm x1
)

+

 lµ nghiƯm
cđa f(x)

f(x) cã ngkép x0 =
-b/2a và so sánh x0
với

f(x) có 2
nghiệm  < x1

Bài 8 Trang 129
So sánh số -3 với các nghiệm của phương trình:
=0

(m2 +1)x2 - 2(m+ 2)x -2

Bài giải:

9(m2 + 1) +
= 9m2 + 6m +19
> 0  m.
-2 9m2 + 6m > 0 
Ta cã:
f(-3) 6(m+2)
=(m2 + 1)(
af(-3)
=
+19)
m
’ = (m+2)2 + 2(m2 3m2 + 4m +> 0  m.
+1) =
62
m+2
S
3m +m+
=
- (-3)
+3
> 0  m.

2
5
2
2 =
m +1
m +1
Do ®ã phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt
x1 , x2( x1 < x2)

vµ

-3 < x1 < x2


Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m 12 =0
Xác định m để :
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và
đều lớn hơn 1
c) Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng
(-1;1)
Bài
giải:
còn nghiệm
kia có
nằm
đoạn
a)Phư

ơng trình
haingoài
nghiệm
trái[-1;1]
dấu ac <
0
(m+1)(2m-12) <
0
-1 < m < 6


Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m 12 =0
Xác định m để :
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và
Bàiđều
giải:lớn hơn 1
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn
1 (1 < x1 < x2)
m < -1
af(1) > 0
(m+1)(5m - 15)
m>3
>
0
’ > 0 


-2 < m < 8
2

S -1>
-m1+6m+16
>
>
0
-1 < m <
2 0
0 2m
m+1
1/2
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm , suy ra không có giá
trị nào của m thoả mÃn yêu cầu bài toán


Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
c) phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]
Bài giải:
phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (1;1)
a0

f(-1)f(1) < 0
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]


m+10

(m-7)(5m-15) < 0

m -1

3 < m < 7
3