Giao an 12 chuong 1

Giáo án: Giải tích 12

Đạo hàm

Chơng I:

Đ1: định nghĩa và ý nghĩa của đạo

hàm

Tiết theo PPCT :

202 -> 205

Tuần dạy :
Năm học :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS biết cách tính đạo hàm của một hàm số bằng định
nghĩa; biết ứng dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm
hệ số góc của tiếp tuyến và viết phơng trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số; biết ứng dụng ý nghĩa vật lý của đạo hàm để tính
vận tốc tức thời của chuyển động, cờng độ tức thời của dòng
điện,...
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

HS

Hoạt động của

A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ

số
B - Giảng bài mới:
1) Bài toán tìm vận tốc tức thời
của một chất điểm chuyển
động thẳng:
GV yêu cầu HS:

Kết quả:

* Nêu tóm tắt bài toán.
* Trình bày lại cách giải.
* Viết lại kết quả theo kí hiệu số
gia của đối số, số gia tơng ứng
của hàm số.
Giới hạn trên giống với
đạo
hàm của hàm số f(x) tại điểm

HS đọc bài toán (SGK trang 3,
4) và thực hiện các yêu cầu
của giáo viên.

gọi là
.

1


Giáo án: Giải tích 12

GV nêu đ/n đạo hàm.
HS theo dõi và ghi chép.

2) Định nghĩa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; b) và điểm
.
Khi ®ã nÕu tån t¹i
giíi h¹n:
Ho¹t ®éng cđa GV

HS

2

Ho¹t ®éng cđa


Giáo án: Giải tích 12

thì giới hạn đó đợc gọi là đạo hàm
của hàm số y = f(x) tại điểm
.
Kí hiệu
hoặc
.

Vậy :
3) Cách tính đạo hàm bằng
* Qui tắc tính đạo hàm bằng

định nghĩa:
đ/n :
1. Cho
số gia
* Từ đ/n trên hÃy nêu các bớc cần x và tính y.
thực hiện khi tính đạo hàm của một
2. Lập tỉ số
.
hàm số bằng đ/n.
3. Tìm giới hạn

.

GV cho ví dụ.
VD: Tính đạo hàm của hàm số

* Giải:

tại điểm

1. Cho số gia x tại điểm
=3

= 3.

* HÃy giải VD theo qui tắc vừa nêu.

2.
3.
Vậy :

* Khi nào tồn tại

.

*

?

GV: Từ khái niệm giơí hạn một bên
ta có khái niêm đạo hàm một bên.
4) Đạo hàm một bên:
a) Đạo hàm bên trái của hàm số y =
f(x) tại điểm x0 , kí hiệu : f'(x0-) đợc HS theo dõi và ghi chép.
đ/n:

3


Giáo án: Giải tích 12

.

Hoạt động của GV

HS

Hoạt động của

b) Đạo hàm bên phải của hàm số y = HS lu ý phân biệt hai khái

f( x) tại điểm x0 , kí hiệu : f'(x0+) đ- niệm f'(x0+) và f'(x0-).
ợc đ/n:
.
HS nêu thành định lý.
GV yêu cầu HS: Từ tính chất của giới
hạn một bên hÃy suy ra tính chất t- ĐL:
ơng ứng của đạo hàm một bên.
Khi đó:

.

5) Đạo hàm trên một khoảng:
GV nêu định nghĩa.
ĐN: Hàm số y = f(x) đợc gọi là:

HS theo dõi và so sánh định
+ Có đạo hàm trên khoảng (a; b) nghĩa này với định nghĩa tnếu có đạo hàm tại mọi điểm trên ơng ứng của tính liên tục.
khoảng (a;b).
+ Có đạo hàm trên đoạn (a; b) nếu
có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có
đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm
bên trái tại b.
HS đọc quy ớc (SGK - 6).
Quy ớc: Nếu chỉ nói hàm số y = f(x)
có đạo hàm mà không nói rõ trên
khoảng nào thì có nghĩa là hám số
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập
xác định.
* HS nhớ lại kiến thức về hàm
6) Quan hệ giữa sự tồn tại của số liên tục:

đạo hàm và tính liên tục của + ĐN: f(x) liên tục tại x0
hàm số:
GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa
+ ĐK: f(x) liên tục tại x0
và điều kiện để một hàm số liên
tục.

GV nêu định lí.

* CM:

4

.


Giáo án: Giải tích 12

ĐL: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại Từ giả thiết ta có:
điểm x0
thì nó liên tục tại điểm
đó.
GV yêu cầu HS:
* Chứng minh định lý.

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

* Chiều ngợc lại có đúng không?

* Chiều ngợc lại không đúng.

(Phép chứng minh trên có chiều ngợc
lại không?)
GV cho ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: Xét tính liên tục và sự tồn tại * Giải:
đạo hàm của hàm số y = f(x) = | x |
+ TÝnh liªn tơc: ...  f(x) liên
tại điểm x0 = 0.
tục tại điểm x0 = 0.
+ Không tồn tại f'(x0) vì: f'(x0-)
f'(x0+)
* KL: f(x) có đạo hàm tại điểm
x0 thì f(x) liên tục tại điểm x 0
nhng f(x) liên tục tại điểm x0
thì cha chắc có đạo hàm tại
điểm x0 .

* Từ ví dụ trên hÃy nêu kết luận.

7) ý nghĩa của đạo hàm:
a) ý nghĩa hình học:
+ Tiếp tuyến của đờng cong
phẳng:
GV yêu cầu HS:
* Nêu định nghĩa tiếp tuyến của * Tiếp tuyến của đờng tròn là

đờng tròn.
đờng thẳng chỉ có một điểm
chung với đờng tròn.
* Định nghĩa trên không thể
* Có thể mở rộng định nghĩa trên mở rộng cho đờng cong bất
cho đờng cong bất kì hay không?
kì.
GV nêu định nghĩa tiếp tuyến của
một đờng cong bất kì.

5


Giáo án: Giải tích 12

ĐN: Cho đờng cong phẳng (C) và
điểm cố định M0 trên (C), M là một
điểm di chuyển trên (C). Nếu cát
tuyến M0M có vị trí giới hạn M 0T khi HS theo dõi và ghi chép.
điểm M di chuyển trên (C) và dần
tới điểm M0 thì đờng thẳng M0T đợc gọi là tiếp tuyến của đờng cong
(C) tại điểm M0 .
Điểm M0 đợc gọi là tiếp ®iĨm.
* ThÕ nµo lµ hƯ sè gãc cđa ®êng * Hệ số góc của đờng thẳng là
tang của góc hợp bởi đờng
thẳng?
thẳng đó và chiều dơng của
trục Ox.
* Gọi tg0 , tg là hệ số góc của các *
đờng thẳng M0T và M0M từ định (1)

nghĩa trên suy ra hệ thức giữa tg0
và tg .
Hoạt động của GV

HS

6

Hoạt động của


Giáo án: Giải tích 12

* Với (C) là đồ thị cđa hµm sè y =
f(x) vµ M0(x0; y0), M(x0 + x; y0 +
y) h·y tÝnh tg.
* Tõ (1) vµ (2) ta có:
* Từ (1) và (2) có kết quả gì ?
(Lu ý: khi

thì

)

GV khẳng định đó chính là ý
nghĩa
học của đạo hàm và
f'(xhình
0) = hệ số góc của tiếp
nêu định

lí.
tuyến M0T
ĐL:

+ Phơng trình của tiếp tuyến:
GV yêu cầu HS:

* y - y0 = a(x - x0).

* Nêu phơng trình đờng thẳng đi
* HS nêu thành định lý.
qua điểm
và có hệ số
ĐL: Phơng trình tiếp tuyến
góc a.
của đồ thị hàm số y = f(x) tại
* Từ đó suy ra phơng trình tiếp
điểm có hoành độ x0 là:
tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
điễm có hoành độ
. Nêu thành
định lí.
HS lên bảng giải cụ thể.
Đáp số: i) y = 4x - 5

GV nêu ví dụ.
VD: Viết phơng trình tiếp tuyến
của parabol
y = 2x 2 - 3,
biết rằng:

i) Hoành độ tiếp điểm là x0 = 1.
ii) Tiếp tuyến đó có hƯ sè gãc
b»ng - 8.
b) ý nghÜa vËt lÝ cđa đạo hàm.

C - Chữa bài tập:
GV gọi HS lên bảng chữa các bài
tập : 3, 5, 6, 7,8.

7

ii) y = -8x - 11

HS tù ®äc SGK (10 + 11).


Giáo án: Giải tích 12

Đ2: Các quy tắc tính đạo

hàm

Tiết theo PPCT : 206 -

> 209

Tuần dạy : 19
Năm học :
I- Mục đích, yêu cầu:
HS biết cách áp dụng các quy tắc tính: đạo hàm của một số

hàm số thờng gặp; đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng các hàm
số; đạo của hàm số hợp vào việc tìm đạo hàm của các hàm số.
II- Tiến hành:
Hoạt động của GV

HS

8

Hoạt động cña


Giáo án: Giải tích 12

A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ
số.
B- Kiểm tra bài cũ:
GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ.

1. Quy tắc tính đạo hàm bằng
định nghĩa:

1. HÃy nêu quy tắc tính đạo hàm + Cho số gia x tại điểm x0 y.
bằng định nghĩa.
+ Lập tỉ số
.
+ Tìm giới hạn

.

2. HS tính cụ thể -> kết quả:
2. áp dụng để tính đạo hàm của
các hàm số sau tại điểm x bất kỳ:

GV có thể hớng dẫn HS làm phần
d).

Hoạt động của GV

HS

Hoạt động của

C- Giảng bài mới:
1) Đạo hàm của một số hàm số
thờng gặp:
GV chính xác hoá và tổng hợp các
kết quả HS vừa tìm đợc.

HS theo dõi và ghi chép.

9


Giáo án: Giải tích 12

2) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích,
thơng những hàm số :
GV nêu bài toán.

HS suy nghĩ và giải bài toán.

B.toán: Cho các hàm số u = u(x), v Giải:
= v(x) có đạo hàm tại điểm x.
Cho số gia x tại điểm x thì số
a) Đặt y = u + v, tøc y(x) = u(x) + gia tơng ứng của u là u =
v(x).
u(x+x)-u(x), của v là v =
v(x+x)-v(x).
Tính y' = (u + v)'.
a) Ta có:

b) Đặt y = u - v, tøc lµ y(x) = u(x) v(x).
Tính y' = (u - v)'.

b) Tơng tự trên ta có: y' = u' v'
c) Ta có:

c) Đặt y = u.v, tức là
u(x).v(x).

y(x) =

Tính y' = (u.v)'.

Hoạt động của GV

d) Đặt
Tính

, tức là

.

Hoạt động của HS

d) Ta có:

.

10


Giáo án: Giải tích 12

GV chính xác hoá kết quả bài
toán trên thành định lí.
ĐL: Cho các hàm số u = u(x),
v= v(x) có đạo hàm tại điểm
x. Khi đó:

* áp dụng định lí trên, hÃy
tính:

HS theo dõi và ghi chÐp.

* HS tÝnh cơ thĨ -> kÕt qu¶:

VËy x  0,n Z* thì (xn)' =
nxn-1.

Hoạt động của GV
GV nêu ví dụ.

Hoạt động của HS
HS lên bảng giải ví dụ.

VD: Tìm đạo hàm của các Đáp số:
hàm số:

11


Giáo án: Giải tích 12

3) Hàm số hợp và đạo hàm
của nó:
HS đọc định nghĩa hàm số hợp a) ĐN:
SGK(19).
GV tóm tắt:
Cho hai hàm số g : (a; b) R
x  u

= g(x)

vµ f : (c; d)  R
u  y HS theo dâi vµ ghi chÐp.

= f(u)

sao cho tập giá trị của g(x)
nằm trong khoảng (c;d).
Khi đó xác định hàm số y =
f(g(x)), với x (a;b) gọi là hàm
số hợp của x thông qua trung
gian là hàm số u.
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: HÃy chỉ ra hàm số hợp và a) Đặt u = x7+ x y = u2 nên y là
hàm số trung gian, tìm tập hàm số hợp của x qua hàm số trung
xác định của hàm số hợp trong gian u = x7+ x và TXĐ của y là R.
các trờng hợp sau:
b) Đặt u = x2 - 1 y = lgu nên y là
hàm số hợp của x qua hµm sè trung
gian u = x2 - 1 và TXĐ của y là: (-;1) (1;+).
c) Đặt
y = lg(1 - u) nên y là
hàm số hợp của x qua hàm số trung
gian
và TXĐ của y là: [0;1).

b) Đạo hàm của hàm số hợp:
GV nêu định lí.
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

ĐL: Nếu hàm số u = g(x) có đạo

hàm theo x, kí hiệu là u'x và hµm HS theo dâi vµ ghi chÐp.
sè y = f(u) có đạo hàm theo u, kí
hiệu là y'u thì hàm sè y = f(g(x))

y'x =
y'u.u'x

12


Giáo án: Giải tích 12

có đạo hàm theo x, kí hiƯu lµ y'x
vµ:
HS suy nghÜ vµ chøng minh
theo híng dÉn của GV.

GV hớng dẫn HS chứng minh định + Cho số gia x tại x, số gia tlí.
ơng ứng của u là u, với số gia
u thì số gia tơng ứng của y là
* HÃy phân tích giả thiết.
y. Theo giả thiết:

+ Nếu u 0 thì :
* HÃy chứng minh:

và

+ Nếu u 0 thì :

HS suy nghĩ và giải ví dụ.
GV nêu ví dụ.
VD: Tính đạo hàm của các hàm số
sau:

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

13


Giáo án: Giải tích 12

Bảng tóm tắt (SGK).

D - Luyện tập: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Bài 1 (21).
tại x0 = 1 ;
tại x0 = 2 ;
tại x0 = 1.
Bài 2 (21).

Bài 3 (22).
a) y' = 2(7x6 + 1)(x7 + x)
b) y' = 2x(5 - 3x2) - 6x(x2 + 1)

c) y' =
d) y' =
e) y'=(2x - 1)(3x + 2) +2x(3x + 2)
+3x(2x-1)
g) y' = (x + 2)2(x + 3)3 + 2(x + 2)(x
+1)(x+3)3
+ 3(x + 3)2(x + 1)(x + 2)2
h) y' =

14


Giáo án: Giải tích 12

Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Bài 4 (22).

Bµi 5(22). Cho y = x3 - 3x2 + 2. a) x < 0 hoặc x > 2
Tìm x ®Ó:
b) x
a) y' > 0 ;
b) y' < 3 .

15


Giáo án: Giải tích 12

Đ3. đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Tiết theo PPCT : 210 ->214
Tuần dạy :
Năm học :
I. Mục đích, yêu cầu:
HS nắm đợc một số công thức mở rộng về giới hạn: giới hạn của
hàm lợng giác; giới hạn có liên quan tới số e, logarit tự nhiên. Từ đó biết
cách tìm ra các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ
bản và áp dụng vào bài tập.
II. Tiến hành:
Hoạt động của GV

HS

Hoạt động của

A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ
số.
B - Kiểm tra bài cũ:
Nêu các qui tắc tính đạo hàm
đà học.

C - Giảng bài mới:
1) Một số công thức mở rộng về
giới hạn:
GV nêu định lí 1.

HS tự dọc chứng minh trong

SGK(23).

ĐL1:
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
GV nêu ví dụ.
VD: Tìm các giới hạn sau:

16


Giáo án: Giải tích 12

GV nêu định lí 2.

HS thừa nhận định lí 2.

ĐL2:
Hoạt động của GV

Hoạt động của
HS

17


Giáo án: Giải tích 12

GV đặt câu hỏi:

HS suy nghĩ và trả lời.

* Nhắc lại định nghĩa số e.
* Nếu đặt

*

thì ta có kết quả *

gì ?

.
thì x y 0.

nên

GV nêu thành hẹ quả.

.

HS theo dõi và ghi chép.

Hệ quả:

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

GV nêu ví dụ.
VD: Tìm các giới hạn sau:

Đặt

GV nêu định lí 3 và hệ quả.
ĐL3: Nếu hàm số y = f(x) có giới HS theo dõi và ghi chép.
hạn khi x x0 và f(x0) > 0 thì :
HS thừa nhận định lí 3.

HS theo dõi và ghi chép.
Hệ quả:
2) Đạo hàm của các hàm số sơ
cấp cơ bản:
a. Đạo hàm của các hàm số lợng
giác:
GV nêu bài toán.

18


Giáo án: Giải tích 12

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Bài toán: Tìm đạo hàm của các HS suy nghĩ và giải bài toán.
hàm số:
i) Tính bằng định nghĩa: ...
i) y = sinx

ii) Tính tơng tự i) hoặc:

ii) y = cosx

iii)Ta có:
iii) y = tgx

iv) Tính tơng tự iii) hoặc:
iv) y = cotgx

GV chính xác hoá các kết quả và
nêu thành định lí.
ĐL:

HS theo dõi và ghi chép.

GV đặt câu hỏi.

HS suy nghĩ và nêu thành hệ
quả.

* Cho hàm số u = u(x) hÃy tính Hệ quả:
đạo hàm của các hàm số sinu,
cosu, tgu, cotgu.
(áp dụng công thức đạo hàm của
hàm số hợp)

19


Giáo án: Giải tích 12

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: Tìm đạo hàm của các hàm
số sau:

b. Đạo hàm của hàm số mũ và
hàm số logarit:
GV nêu định lí 1.
ĐL1:

Hệ quả:
GV nêu ví dụ.

HS theo dõi và ghi chép.
HS đọc chứng minh trong SGK(tr
30+31).
Suy ra từ công thức đạo hàm của
hàm số hợp.

VD: Tìm đạo hàm của các hàm HS suy nghĩ và giải ví dụ.
số sau:

GV nêu định lí 2.
ĐL2

HS theo dõi và ghi chép.
HS đọc chứng minh trong SGK(tr
32+33).

20