Giao an 12 chuong 2

Giáo án : Giải tích 12

Chơng II:

ứng dụng của đạo hàm
Đ1: sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tiết theo PPCT : 222,

223

Tuần dạy :
Năm học :

I - Mục đích, yêu cầu:
HS biết cách tìm điểm tới hạn, xét tính đơn điệu của hàm số,
tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt ®éng cđa HS

A- ỉn ®Þnh líp, kiĨm tra sÜ
sè.
B- KiĨm tra bài cũ:

HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi:

GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ.

* Hàm số y = f(x) gọi là :

* Nêu định nghĩa hàm số đồng
biến, nghịch biến.

- Đồng biến trên (a; b) nếu
x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1)< f(x2)
- Nghịch biến trên (a; b) nÕu
x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1)> f(x2)
* Hµm sè y = f(x) gọi là đơn
điệu trên (a; b) nếu nó đồng
biến hoặc nghịch biến.

* Thế nào là hàm số đơn điệu?

C - Giảng bài mới:
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số
đồng biến, nghịch biến.
2. Điều kiện đủ của tính đơn
điệu:
GV nêu định lý Lagrăng.

29

HS đọc SGK (tr 47, 48).


Giáo án : Giải tích 12

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Định lý Lagrăng: Nếu hàm số f(x)
liên tục trên [a; b] và có đạo hàm
trên (a;b) thì tồn tại c  (a;b) sao
HS theo dâi, ghi chÐp vµ thõa
cho:
nhËn định lý.

ý nghĩa hình học:
GV đặt câu hỏi: Xét cung AB của
đồ thị hàm số y = f(x) với A(a; f(a))
* HÖ sè gãc
, B(b; f(b)).
* TÝnh hÖ sè gãc của cát tuyến AB.
* Đẳng thức (*) có ý nghĩa g× ?

.

* HƯ sè gãc cđa tiÕp tun cđa
cung AB tại điểm C(c; f(c))
bằng hệ số góc của cát tuyến
AB.

GV khẳng định: đó là ý nghĩa
hình học của định lý Lagrăng.
GV nêu định lý 2.
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có
đạo hàm trên (a; b).
a) Nếu f'(x)< 0,x (a; b) thì f(x) HS theo dõi và ghi chép.
nghịch biến trên (a; b).

b) Nếu f'(x) > 0, x (a; b) thì
f(x) đồng biến trên (a; b).
GV yêu cầu HS.

* Ta có x1, x2 (a; b), x1 < x2
* HÃy áp dụng định lý Lagrăng để theo định lý Lagrăng c
chứng minh định lý 2 (đồng thời (a;
b)
sao
cho:
dựa vào định nghĩa hàm số đơn
.
điệu).
a) Nếu f'(x) > 0 trên (a; b) thì
f'(c) > 0 nên f(x 2) - f(x1) > 0
hàm số đồng biến.
b) Tơng tự phần a).
GV nêu và cho HS thừa nhận mở
rộng của định lý 2:
Định lý 3: Cho hàm số f(x) có đạo

30


Giáo án : Giải tích 12

hàm trên (a; b). Nếu f'(x) 0 (hoặc
f'(x 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại HS theo dõi và ghi chép.
hữu hạn điểm trên (a;b) thì hàm
số tăng (hoặc giảm) trên (a;b).

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV nêu ví dụ:
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng HS lên bảng giải từng ví dụ.
biến , nghịch biến của mỗi hàm số
sau:
a) y' = 3x2 - 10x + 7
3
2
a) y = x - 5x + 7x + 2
hàm số đồng biến trên (;1) và
trên
b) y =

.

, nghịch biến
.

b)
hàm số đồng biến trên (-;
-5) và (-5; +).

c) y = x3

c) y' = 3x2 0, x
 hàm số đồng biến trên R.

GV yêu cầu HS từ các ví dụ trên hÃy
cho biết các điểm nào có thể làm * Các điểm tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác
cho đạo hàm đổi dấu?
định.
Giáo viên nêu định nghĩa điểm tới
hạn.
3) Điểm tới hạn:
Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác
định trên (a; b), x0 (a; b). Điểm x0
gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu HS theo dõi và ghi chép.
f'(x0) = 0 hoặc f'(x0) không xác
định.
* Ngoài các điểm tới hạn ra còn * Không còn điểm nào. (c/m
điểm nào làm cho đạo hàm đổi phản chứng)
dấu không? Vì sao?
GV khẳng định: Vậy giữa hai
điểm tới hạn kề nhau đạo hàm giữ *Các bớc tìm khoảng đơn
nguyên một dấu.
điệu:
* HÃy đa ra các bớc để tìm các

31

+ Tính đạo hàm, tìm điểm


Giáo án : Giải tích 12

khoảng đơn điệu của một hàm số.

tới hạn.
+ Xét dấu đạo hàm.
+ Suy ra chiều biến thiên.

D - Chữa bài tập:
Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Bài 1 (52). Xét sự đồng biến,
nghịch biến của các hàm số:

Bài 2 (53). Tìm các khoảng đơn
điệu của các hàm số:

Bài 3 (53). Chứng minh rằng hàm số
đồng biến trên khoảng (-1;
1) và nghịch biến trên các khoảng (-

32


Giáo án : Giải tích 12

; -1) và (1; +).
Bài 4 (53). Chứng minh rằng hàm số
đồng biến trên khoảng (0;
1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Đ2: Cực đại - cực tiểu

Tiết theo PPCT :

224, 225

Tuần dạy :
Năm học :

I - Mục đích , yêu cầu:
Học sinh biết cách ¸p dơng dÊu hiƯu I , dÊu hiƯu II ®Ĩ một hàm số
có cực trị: để tìm các điểm cức trị của hàm số, tìm giá trị của
tham số để hàm số có cực trị hoặc cực trị thoả mÃn điều kiện nào
đó.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động cña HS

33


Giáo án : Giải tích 12

A - ổn định lớp , kiểm tra sĩ
số.
B - kiểm tra bài cũ:

HS lên bảng trả lời câu hỏi.

GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1) Nêu điều kiện đủ để một hàm
số tăng , giảm.

2) Nêu định nghĩa điểm tới hạn và
các bớc để xét sự biến thiên của
áp dụng: Ta có y' = 3x2 - 10x
hàm số.
+7
áp dụng để xét sự biến thiên của
Bảng
biến thiên:
x
-
1
7/3
hàm số:
+
y = x3 - 5x2 + 7x - 9
y'
+ 0
- 0
+
-6
y
+
-

c - giảng bài mới:
GV đặt câu hỏi:

* Có nhận xét gì về các điểm (1;6) và

HS suy nghĩ và trả lời.

của đồ thị hàm số

trên ?
GV khẳng định đó là các điểm
cực đại, cực tiểu và nêu định
nghĩa.
Hoạt động của GV

HS

1) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b)
và điểm x0 (a; b).
a) Kho¶ng V()=(x0 - ; x0+) ,  > 0 gọi
là lân cận của điểm x0.
b) Điểm x0 gọi là điểm cực đại của y =
f(x) nếu x V()  (a; b) cđa ®iĨm x0,
ta cã: f(x) < f(x0), x x0.

34

Hoạt động của


Giáo án : Giải tích 12

Ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x 0,
f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số, HS theo dõi và ghi chép.
điểm (x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại của
đồ thị hàm số.
c) Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của y =
f(x) nÕu x  V()  (a; b) cđa ®iĨm x0,
ta cã: f(x) > f(x0), x  x0.
Ta nãi hµm số đạt cực tiểu tại điểm x 0,
f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số,
điểm (x0; f(x0)) gọi là điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số.
d) Các điểm cực đại và cực tiểu gọi
chung là điểm cực trị, giá trị của hàm
số tại đó gọi là giá trị cực trị.
2) Điều kiện để hàm số có cực trị:
Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục trên
(a ; b) và x0 (a ; b).
GV nêu định lý Fecma.
Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x)
có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại
điểm đó thì: f'(x0) = 0.

HS theo dâi vµ ghi chÐp.

*  f'(x0)  f'(x0-) = f'(x0+)

GV đặt các câu hỏi.
* Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại
x0 ?
* Nêu cách tính f'(x0-) và f'(x0+)?

* Nếu x0 là điểm cực đại.
Chọn
có:

* HÃy chứng minh cho trờng hợp x0 là
điểm cực đại, trờng hợp x0 là điểm cực
tiểu chứng minh tơng tự.
Hoạt động của GV

đủ nhỏ ta

f(x0+x) < f(x0).

Hoạt động của HS

35

+

Với

x

>

0

+

Với

x

<

0


Giáo án : Giải tích 12

Do f'(x0) f'(x0-) = f'(x0+) =
ý nghĩa hình học của định lý 0.
Fecma:
Vậy f'(x ) = 0.
0

GV đặt câu hỏi.

* Khi f'(x0) = 0 thì tiếp tuyến của đồ
thị y=f(x) tại điểm x0 cã tÝnh chÊt
g×? Suy ra ý nghÜa h×nh häc cđa * Tiếp tuyến tại x0 song song
với trục hoành Tiếp tuyến
định lý Fecma.
tại điểm cực trị song song
GV nhận xét: phát biểu trên và cả với trục hoành.
SGK là cha chính xác vì tiếp tuyến
đó có thể trùng Ox.
* Sửa lại nh thế nào?

* Tiếp tuyến tại x0 song song
hoặc trùng với trục hoành.

* Khi f'(x0) = 0 thì x0 gọi là điểm * x gọi là điểm tới hạn.
0
gì? Từ đó hÃy chứng minh hệ quả.
Chứng minh:
Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm
Giả sử x0 là điểm cực trị.
số y=f(x) đều là điểm tới hạn.

+ Nếu không f'(x0) x0 là
điểm tới hạn.
+ Nếu f'(x0) thì theo đlý
Fecma f'(x0) = 0 x0 là
điểm tới hạn.

* Điều ngợc lại có đúng không?
Cho phản ví dụ.

* Không phải mọi điểm tới
hạn đều là điểm cực trị.

VD: y = x3 có x0 = 0 là điểm
*Có nhận xét gì về dấu của đạo tới hạn nhng lhông là điểm
hàm của hàm số y= x 3 và hàm số y = cực trị.
x3-5x2 +7x+9?
* Đạo hàm của hàm số y = x3

không đổi dấu. Đạo hàm của

hàm số

3
2
* Từ nhận xét trên hÃy đa ra dấu hiệu y = x - 5x + 7x+ 9 thì đổi
để biết điểm x0 là cực đại hay cực dấu hai lần.
tiểu.
* (HS trả lời)
GV chính xác hoá.

3) Dấu hiệu để hàm số có cực
trị:
a) Dấu hiệu I (định lý I): Giả sử y =
f(x) có đạo hàm trên một lân cận của
điểm x0 (có thể trừ tại x0).
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

36


Giáo án : Giải tích 12

+ Nếu

thì x0

là một điểm cực đại của hàm số y = HS theo dõi, ghi chép và
chứng minh dựa vào định

f(x).
lý Fecma.
+ Nếu

thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số y =
f(x).
GV yêu cầu HS đa ra quy tắc để xét
cực trị dựa vào dấu hiệu I.

* Quy tắc I:
+ Tính f'(x).
+ Tìm các điểm tới hạn.
+ Xét dấu f'(x).
+ Từ bảng biến thiên
cực trị.

b) Dấu hiệu II (định lý II):
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên
tục tới cấp hai tại x0 và f'(x0) = 0,
f''(x0) 0 thì x0 là một điểm cực trị
của hàm số.
Hơn nữa:

HS theo dõi và ghi chép.

+ Nếu f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực
tiểu.
+ Nếu f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực

* Quy tắc II:
đại.
+ Tính f'(x), tìm nghiệm
GV yêu cầu HS đa ra quy tắc để tìm phơng trình f'(x) = 0.
cực trị dựa vào dấu hiệu II.
+ Tính f''(x).
+ Xét dấu f''(x) tại các
nghiệm của phơng trình
f'(x) = 0 để suy ra cực trị.
HS suy nghĩ và giải từng ví
dụ.
GV nêu ví dụ.
ĐS: x = -4 là điểm cực đại;

VD1. (Bài 2.a - SGK - tr60)

x = 1 là các điểm
Tìm các cực trị của hàm số y = x 4 2
cực
tiểu.
2x +1.
ĐS:
VD2. (Bài 2.b - SGK - tr60)

37

là các ®iÓm


Giáo án : Giải tích 12

Tìm các cực trị của hàm số y =
cực tiểu ;
sin2x - x.

là các

điểm cực đại.

D - Chữa bài tập:
Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Bài 1 (60). áp dụng dấu hiệu I, tìm
các điểm cực trị của các hàm số
sau:

Bài 2 (60). áp dụng dấu hiệu II,
tìm các điểm cực trị của các hàm
số sau:

Bài 3 (60). Chứng minh rằng hàm
số
không có đạo hàm tại x
= 0 nhng vẫn đạt cực đại tại điểm
đó.
Bài 4 (60). Xác định m để hàm số
đạt cực đại tại x = 2.
Bµi 5 (60). Chøng minh r»ng hµm

38


Giáo án : Giải tích 12

số

luôn luôn có một cự

đại và một cực tiểu.
Bài 6 (60). Tìm a và b để các cực
trị của hàm số
đều là những số dơng và

là

điểm cực đại.
Đ3: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tiết theo PPCT : 226,227
Tuần dạy :
Năm học :

I - Mục đích, yêu cầu:
Học sinh biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một khoảng, trên một đoạn; áp dụng vào bài toán thực tế.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn định lớp, kiểm tra
sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài 1. Học sinh nhớ lại kiến thức và trả
cũ.
lời.
1. Nêu hai dấu hiệu để tìm
cực trị của mét hµm sè.
2. + y' = 3x2 - 12x + 9
2. áp dụng để tìm cực trị của
hàm số sau: y = x3 - 6x2 + 9x 2

+ y' = 0 x =1 hoặc x = 3
+ Bảng biến thiªn:
x
-
1
+
y'

39

y

+

+

0
2

1
-

0


Giáo án : Giải tích 12

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1,
yCĐ = 2;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 3,
yCT = -2.
GV vẽ phác dạng đồ thị rồi đặt
câu hỏi:

* y = 2 (y = -2) có phải lá giá trị * Không, vì hàm số còn có những
lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của giá trị lớn hơn (nhỏ hơn) giá trị đó.
hàm số không? Vì sao?
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

C - Giảng bài mới:
GV nêu định nghĩa.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
tập D.

a) Số M đợc gọi là giá trị lớn nhất của HS theo dõi và ghi chép.
hàm số y = f(x) trên tập D nếu:

Kí hiệu :

.

b) Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:

Kí hiệu :

.

2. giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một
HS đọc bài toán SGK (tr 61).
khoảng:
GV tóm tắt kết quả:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
khoảng (a; b). Nếu trên (a; b) hµm sè HS theo dâi vµ ghi chÐp.
cã mét cùc trị duy nhất là cực đại
(hoặc cực tiểu) thì giá trị cực đại
đó là giá trị lớn nhất (hoặc giá trÞ

40


Giáo án : Giải tích 12

cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của
hàm số đà cho trên khoảng (a; b).
HS giải VD (có kèm giải thích
dựa vào kết quả trên).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1: Dựa vào bảng biến thiên *
vì trên (0; 2) chỉ
của hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x - 2 (®·
cã mét cùc trị là cực đại.
xét) hÃy:
* Tìm

* Không

vì trên (0;

* Tìm

*

* Tìm

* Không tồn tại

+) có hai cực trị.
vì trên (2; +)

chỉ có một cực trị là cực tiểu.
.

* Tìm
Hoạt ®éng cđa GV
VÝ dơ 2: SGK (tr 62)

Ho¹t ®éng cđa HS
HS giải VD.
Gọi x là cạnh của các hình vuông
bị cắt

. Nên thể tích

khối

hộp

là:

(loại)
Bảng biến thiên:
x 0
a/2
V'(x)

+

a/6
0

-

V(x)

Vậy thể tích khối hộp lớn nhất khi
các hình vuông cắt đi có cạnh là
3. Giá trị lớn nhất và giá trị a/6.
nhỏ nhất của hàm số trên một
đoạn:
GV nêu ví dụ.

41


Giáo án : Giải tích 12

VD: Dựa vào bảng biến thiên của
hàm số y = f(x) = x 3 - 6x2 + 9x - HS dựa vào bảng biến thiên để
2. Tìm :
giải thích và nêu kết quả.
a)
a)
b)

.

b)

.

GV yêu cầu HS so sánh với VD1 Nhận xét: Hàm số liên tục trên [a;
(phần 2) để nêu nhận xét.

b] thì luôn có giá trị lớn nhất và
Gv
nêu
quy
tắc
tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
:
10) Tìm các điểm tới hạn x1,
x2, ..., xn cđa
f(x) trªn [a; b].
20) TÝnh f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn),
f(b).
30) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ
nhất m
trong các số trên thì:
.

D - Chữa bài tập:
Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Bài 1 (66). Tìm giá trị lớn nhất của
các hàm số sau:

Bài 2 (66). Tìm giá trị nhỏ nhất
của các hàm số sau:

Bài 3 (66). Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

trên [-4; 4].
trªn [-10; 10].

42


Giáo án : Giải tích 12

trên [-1; 1].
trên

.

Bài 4 (66). Cho trớc chu vi hình
chữ nhật là p = 16cm, dựng hình
chữ nhậtcó diện tích lớn nhất.
Bài 5 (66). Trong tất cả các hình
chữ nhật có diện tích 48m2 , hÃy xác
định hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất.

Đ4: tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

Tiết theo PPCT: 228, 229
Tuần dạy:
Năm học:

I - Mục đích, yêu cầu:
Học sinh biết xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị
hàm số. Từ đó biết tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số

có điểm uốn thoả mÃn một số điều kiện nào đó.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn ®Þnh líp, kiĨm tra sÜ
sè.
43


Giáo án : Giải tích 12

B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.

1. HS suy nghĩ và trả lời.
1. Nêu cách tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên một
khoảng, một đoạn.
2. ĐS :
2. áp dụng để tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên
đoạn [-7;5]
y = f(x) = 2x3 - 6x2 + 6x -10.

C - Giảng bài mới:
1. Khái niệm về tính lồi, lõm,
điểm uốn:
GV giới thiệu khái niệm và minh hoạ

bằng hình vẽ trên bảng.
HS theo dõi và ghi chép, quan
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm sát hình vẽ để nắm định
nghĩa.
trên (a; b).
+ Đồ thị y = f(x) gọi là lồi trên (a; b)
nếu tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi
điểm M(x; f(x)) với x (a; b) đều
nằm về phía trên của đồ thị.
+ Đồ thị y = f(x) gọi là lõm trên (a;
b) nếu tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi
điểm M(x; f(x)) với x(a; b) đều
nằm về phía dới của đồ thị.
+ Cho x0 (a; b), nếu đồ thị y =
f(x) là lồi (lõm) trên (a; x 0) và lõm
(lồi) trên (x0; b) thì điểm M0(x0;
f(x0)) đợc gọi là điểm uốn của đồ
thị y = f(x).
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa trên HS suy nghĩ và trả lời: Tiếp
có nhận xét gì về tiếp tuyến tại tuyến tại điểm uốn xuyên
điểm uốn ?
qua đồ thị.
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn:
GV nêu định lý 1.
Định lý 1 (dấu hiệu lồi, lõm): Cho hàm
số y=f(x) có đạo hàm đến cÊp hai

trªn (a; b).

44


Giáo án : Giải tích 12

+ Nếu f''(x) < 0, x (a; b) thì đồ HS theo dõi, ghi chép và
thị của hàm số lồi trên (a; b).
thừa nhận ®Þnh lý 1.
+ NÕu f''(x) < 0, x  (a; b) thì đồ
thị của hàm số lõm trên (a; b).
GV nêu định lý 2 và yêu cầu HS chứng
minh.
Định lý 2 (dấu hiệu điểm uốn): Cho
hàm số y=f(x) liên tục trên một lân
cận nào đó của điểm x 0 và có đạo
hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có
thể trừ tai x0). Nếu đạo hàm cấp hai
đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm
M0(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị
hàm số đà cho.

HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh
định lý.
HS suy nghĩ và trả lời.

GV yêu cầu HS từ hai định lý vừa nêu
đa ra quy tắc tìm khoảng lồi, lõm và

điểm uốn của đồ thị hàm số.
GV chính xác hoá.
Quy tắc:
+ Tính y'', tìm nghiệm của y'' và
những điểm làm y'' không xác định.

HS theo dõi và ghi chép.

+ Xét dấu y'', rồi dựa vào định lý 1 và HS suy nghĩ và giải các ví
định lý 2 để kết luận.
dụ.
GV nêu các ví dụ.
ĐS: Đồ thị hàm số lồi trên (-;
VD1: Tìm các khoảng lồi, lõm và 0) và (2; +), lõm trên (0; 2),
điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm uốn (0; 0) và (2;
-16).
= x4 - 4x3.
§S: a = -1/2 , b = 3/2 và đồ
VD2: Tìm a và b để điểm (1; 1) là thị không còn điểm uốn nào
điểm uốn của đờng cong y = ax3 + khác.
bx2. Đờng cong này còn có điểm uốn
ĐS: Ba điểm uốn là (0; 0),
nào khác không ?
VD3:

Chứng

minh

rằng

hàm

số

và

.

có ba điểm uốn thẳng hàng.

D - Chữa bài tập:
Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Bài 1 (70). Chứng minh rằng đồ thị
của hàm số

45


Giáo án : Giải tích 12

a) y = 3 + 2x - x2 lồi trên khoảng (; +).
b) y = lnx
+).

lồi trên khoảng (0;

c) y = 2x4 + x2 - 1 lõm trên khoảng (; +).
Bài 2 (70). Chứng minh rằng đồ thị
của hàm số y = 3x2 - x3 lõm trên
khoảng (-; 1), lồi trên khoảng (1;
+) và M(1; 2) là điểm uốn.
Bài 3 (70). Tìm các khoảng lồi, lõm
và điểm uốn của đồ thị của mỗi
hàm số sau:
a)
b)
c)
Bài 4(70). Tìm a và b để hàm số
y=x3- ax2+x+b nhận điểm (1; 1) làm
điểm uốn.
Bài 5 (70). Tìm a để hµm sè y = x4
- ax2 + 3
a) Cã hai điểm uốn.
b) Không có điểm uốn.
Bài 6 (70). Chứng minh rằng đờng
cong

có ba điểm uốn cùng

nằm trên một đờng thẳng.

46


Giáo án : Giải tích 12

Đ5: tiệm cận

Tiết theo PPCT: 230, 231
Tuần dạy:
Năm học:

I - Mục đích, yêu cầu:
Học sinh nắm vững định nghĩa nhánh vô cực và các loại tiệm
cận (tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên) của đồ thị hàm
số. Từ đó biết cách xét nhánh vô cực và tìm các tiệm cận của đồ thị
hàm số.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu định nghĩa tính lồi, lõm và
định nghĩa diểm uốn của đồ thị hàm HS suy nghĩ và trả lời.
số.
2. Nêu dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
của đồ thị hàm số.

C - Giảng bài mới:
1. Định nghĩa:
GV nêu định nghĩa (SGK - tr71) và minh
hoạ bằng hình vẽ.
+ Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)

và M(x; y) là điểm thay đổi trên (C).
Nếu ít nhÊt mét trong hai täa ®é cđa M HS theo dõi và ghi chép.
dần tới thì ta nói (C) có một nhánh vô
cực.
Ta cũng nói điểm M dần tới vô cực.
+ Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực, đờng thẳng d đợc gọi là tiệm cận của (C)

47


Giáo án : Giải tích 12

nếu:
với M (C).
2. Cách xác định tiệm cận:
a) Tiệm cận đứng:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV nêu định lý (SGK - tr71).
Định lý: Nếu
thì đờng
thẳng d có phơng trình x = x0 là một HS theo dõi và ghi chép.
tiệm cận của đồ thị (C).
HS tự đọc chứng minh
Ta gọi đờng thẳng x = x0 là tiệm cận trong SGK.
đứng của đồ thị (C).
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng của đồ Giải: TXĐ: R\ {1; 2}
thị hàm số
Ta
.

Vậy đồ thị hàm số có hai
tiệm cận đứng là hai đờng thẳng: x = 1 và x = 2.

GV nêu chú ý (SGK - tr72).
Chú ý: Nếu

có:

(hay

)

thì đờng thẳng x = x0 là tiệm cận HS theo dõi và ghi chép.
đứng bên phải (hay bên trái) của đồ thị
hàm số y = f(x).
b) Tiệm cận ngang:
GV nêu định lý (SGK - tr72).
Định lý: Nếu
thì đờng
HS theo dõi và ghi chép.
thẳng d có phơng trình y = y0 là một
HS tự đọc chứng minh
tiệm cận của đồ thị (C).

trong SGK.
Ta gọi đờng thẳng y = y0 là tiệm cận
ngang của đồ thị (C).
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị Giải:
hàm số
Ta có:

Vậy đồ thị hàm số có một
tiệm cận ngang là đờng

48