TÍCH PHÂN bất ĐỊNH

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
ĐỊNH NGHĨA
F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) ⇔ F’(x) = f(x)
∫f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2
1
1/ arctan 2 / arctan
1
3 / arcsin 4 / arcsin
1
5 / ln
6 / arcsin
2 2
7 / ln
2 2
dx dx x
x C C
a a
x a x
dx dx x
x C C
a
x a x
dx

x x k C
x k
x a x
a x dx a x C
a
x k
x kdx x k x x k C
= + = +
+ +
= + = +
− −
= + + +
+
− = − + +
+ = + + + + +
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫


BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
2
2
8 /
9 /
10 /
11/
12 / ln tan

sin 2
13 / ln tan
cos 2 4
chx dx shx C
shx dx chx C
dx
thx C
ch x
dx
cothx C
sh x
dx x
C
x
dx x
C
x
π
= +
= +
= +
= − +
= +
 
= + +
 ÷
 
∫
∫
∫

∫
∫
∫


Ví dụ
2
arcsin
x
C= +
1
2 2
arctan
x
C= +
2
4
dx
x +
∫
1
3 3
3 1
( ) ( )
ln
x x
e dx e C= = +
+
∫
2

4
dx
x−
∫
3
x x
e dx
∫
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.Đổi biến:
Đổi biến 1: x =

u(t)
⇒
dx = u’(t) dt
∫f(x) dx = ∫f(u(t))u’(t) dt
Đổi biến 2: u(x) = t
⇒
u’(x) dx = dt
∫f(u(x))u’(x) dx = ∫f(t) dt
2. Tích phân từng phần:
∫u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ∫u’(x)v(x) dx
Ví dụ
3
2 x
x e dx
∫
3
3
1

3
( )
x
e d x=
∫
3
1
3
x
e C= +
2
2
4
arctan
x
dx
x+
∫
1
2 2 2
arctan arctan
x x
d
 
=
 ÷
 
∫
Một số lưu ý khi dùng tp từng phần
( )

n
P x
n
n
n
P x dx
P xdx
P xdx
α
∫
∫
∫
.ln( )
.arctan
.arcsin
n
dv P dx= ,
là đa thức bậc n.
x
n
n
P e dx
P xdx
α
∫
∫
.
.sin
( ),
n

u P x=
dv là phần còn lại
u là phần còn lại
Ví dụ
arcsinI xdx=
∫
2
arcsin
1
xdx
I x x
x
= −
−
∫
2
2
1 (1 )
arcsin
2
2 1
d x
x x
x
−
= +
−
∫
2
1

arcsin 1
2
x x x C= + − +
2
arcsin
1
dx
u x du
x
= ⇒ =
−
, dv dx chon v x= =
&
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản
2
( )
,
( )
m
dx Ax B dx
x a x px q
+
− + +
∫ ∫
Trong đó: * m là các số tự nhiên,
* Các tam thức bậc 2 có ∆ = p
2
- 4q< 0
Tích phân các phân thức cơ bản

ln
dx
x a C
x a
= − +
−
∫
1
1 1
1
( ) ( )
m m
dx
C
m
x a x a
−
= +
−
− −
∫
(m > 1)
Tích phân các phân thức cơ bản
2
( )+
+ +
∫
Ax B dx
x px q
2

2
2
+
=
+ +
∫
x p
dx
x px q
A
2
2
 
+
 ÷
+ +
 
−
∫
dx
x
B
px
A
q
p
2
ln
2 +
+ +

= = +
∫∫
x p
dx
x px q
du
u C
u
Đạo hàm của MS (lấy hết Ax)
Tích phân các phân thức cơ bản
2
+ +
∫
dx
x px q
2
2
2 4
=
 
+ + −
 ÷
 
∫
dx
p p
x q
2 2
1
arctan= = +

+
∫
dv v
C
a a
v a
Ví dụ
2
1
1
x
dx
x x
-
- +
ò
2
1 2 1
2
1
x
dx
x x
-
=
- +
ò
2
1
1

2
1
dx
x x
æ ö
÷
ç
+ -
÷
ç
÷
ç
è ø
- +
ò
2
1
ln( 1)
2
x x= - +
2
1
2
1 3
2 4
dx
x
-
æ ö
÷

ç
- +
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
2
1
1 1 2
2
ln( 1) . arctan2.
2 2
3 3
x
x x C
-
= - + - +
Tích phân các phân thức cơ bản
2 2 2
( ) (2 )
( )
2 2
( ) ( ) ( )
n n n
Ax B dx A x p dx Ap dx
B
x px q x px q x px q
+ +

= + −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
2
(2 )
( )
n n
x p dx du
x px q u
+
=
+ +
∫ ∫
2 2 2
( ) ( )
n
n n
dx dv
I
x px q v a
= =
+ + +
∫ ∫
1
2 2 2
1
(2 1)
2 ( )
n n
n

v
I n I
na v a
+
 
= + −
 
+
 
Chứng minh quy nạp I
n
2 2
( )
n
n
dx
I
x a
=
+
∫
2 2 2 2 1
( ) 2 ( )
,
n n
u x a du nx x a dx
dv dx choïn v x
− − −
= + ⇒ = − +
= =

2 2 2 2 2 1
( ) 2 ( )
n n
n
I x x a n x x a dx
− − −
= + + +
∫
2 2 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 1
( ) 2 ( )( )
( ) 2 ( ) 2 ( )
n n
n
n n n
I x x a n x a a x a dx
x x a n x a dx na x a dx
− − −
− − − −
= + + + − +
= + + + − +
∫
∫ ∫
2 2 2
1
( ) 2 2
n
n n n
I x x a nI na I
−

+
= + + −
1
2 2 2 2
1
(2 1)
2 ( )
n n
x
I n I
na x a
+
 
⇒ = + −
 
+
 
ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH
2
( )
( )
( ) ( ) ( )
m n r
p x
f x
x a x b x px q
=
− − + +
Hàm hữu tỷ:
Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam

thức ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng
1 2 1
2
1 1 2 2
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( )

( ) ( )
m n
m n
r r
r
A A A B B
f x
x a x b
x a x a x b
C x D C x D C x D
x px q x px q x px q
= + + + + + +
− −
− − −
+ + +
+ + + +
+ + + + + +

MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH
2
2 1 2 1
( )

( 1)( 3) 1 3
2 3
x x A B
f x
x x x x
x x
− −
= = = +
− + − +
+ −
1
2 1 1
( 1)
3 3 4
x
x B
A x A
x x
=
−
= + − ⇒ =
+ +

Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1
Để tính nhanh, trong biểu thức
2 1
( 1)( 3)
x
x x
−

− +
Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A

Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3
(hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu)⇒ B = 7/4

2 2
2 1
( )
1 3
( 1) ( 3) ( 1)
x A B C
f x
x x
x x x
−
= = + +
− +
− + −
Tính B: vế trái che (x-1)
2,
sau đó thay x bởi 1
2 2
1 / 42 1
( )
1 3
( 1) ( 3) ( 1)
x A C
f x
x x

x x x
−
= = + +
− +
− + −
Tính B: vế trái che (x-1)
2,
sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
2 2
1 / 4 72 1
( )
1 3
( 1) ( 3) ( 1)
/ 16x A
f x
x x
x x x
−−
= = + +
− +
− + −
Tính B: vế trái che (x-1)
2,
sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→ ∞
2 2
1 / 4 72 1
( )

1 3
( 1) ( 3) ( 1)
/ 16x A
f x
x x
x x x
−−
= = + +
− +
− + −
Tính B: vế trái che (x-1)
2,
sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→ ∞
2 2
2 1
( )
1 3
( 1) ( 3) ( 1
4 6
)
1/ 7 / 1x A
f x
x x
x x x x
x x x
−
= = + +
−

−
− +
+ −
7
0 0
16
A= + −
Tính B: vế trái che (x-1)
2,
sau đó thay x bởi 1
Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→ ∞
7
16
A⇒ =
Sử dụng nguyên tắc chung
2 2
2 1
( )
3
( 1)( 3) 1
x A Bx C
f x
x
x x x x x
− +
= = +
+
+ + + + +
2

2
2 1 ( 1) ( )( 3)
2 1 ( ) ( 3 ) 3
x A x x Bx C x
x A B x A B C x A C
− = + + + + +
⇔ − = + + + + + +
0
3 2
3 1
A B
A B C
A C
+ =


⇔ + + =


+ = −

Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế
1
1
0
A
B
C
= −



⇔ =


=

Ví dụ tính tích phân
2
2 1
( 1) ( 3)
x
dx
x x
−
− +
∫
7 1 1 7
ln 1 ln 3
16 4 1 16
x x C
x
= − − − + +
−
2
7 / 16 1 / 4 7 / 16
1 3
( 1)
dx dx dx
x x
x

−
= + +
− +
−
∫ ∫ ∫