XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 4 các quy luật phân phối xác suất cơ bản

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p)

X

x1

x2 ... xk

P

1
k

1
k



...

1
k

X

0

1

P

q

p

Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
k
k n k



n
,
p




k

C
.
p
  
 n .q , k 1, n
Định nghĩa 1.2:

Định lý1.2:
  n, p     X  np, D   npq,

Mod  k0   n  1 p hoaë
c k 0   n  1 p  1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

1


4. Phân phối siêu bội
Bài tốn: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng cịn lại
là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (khơng hồn
lại), n khơng lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối
xác suất của X là số bi trắng lấy được.
k
n k
Giải:
CM
C
.
N M
  k  
, k 0, n
n
CN

Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối
siêu bội H(N,M,n)
  H ( N , M , n)     np,
Định lý 1.3: Giả sử
N n
M
D   npq
,p
N1
N
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

2


Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức
lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội
5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
k
a

a
Định nghĩa 1.4:   a     k  e . , k 0,1, 2...
k!
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a
Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)

 0  X 12  0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  …)

 6  X 12   0  X 12    0  5 
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

3


Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch
vụ cơng cộng thì X tn theo quy luật phân phối Poisson
P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó.
Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện.
Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút thì
X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
4
5
    4  e  5 .
4!

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

4


§2: Các quy luật phân phối liên tục
1. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 2.1:

 a , 

2

,   0

1
   a ,    f  x  
e
 2
2

2

 x  a 
2 2

2

Định lý 2.1: X có phân phối  a,   thì E(X) = a, D(X) =
2

Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phới ch̉n

tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu:

1
 u2 /2
f u  
e
2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(hàm mật độ Gauss).

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

5


Định lý 2.2: U có phân phới N(0,1) thì
u

1  t 2 /2
e dt 0,5   u 
2

FU u  0,5  
0

với  u  là tích phân Laplace (hàm lẻ)
Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:

1 u1  U  u2   u2    u1 ;
2   U    2  .
Định lý 2.4:

X a
   a ,    U 
 0,1


Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

6


Định lý 2.5: Giả sử

   a ,  2 

.Khi ấy ta có:

   a
  a
1










 





  
  

2     a    2.  
 

Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn
2
N(165, 5 ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn.

 160  165 
    X  160   
     
5




  1      0, 34134  0, 5
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

7


Ví dụ 2.2: Cho U   0,1 hãy tính kỳ vọng của

U

m

Giải:

1  u 2 /2
m
m
 U   u .
e du 0 nếu m lẻ vì cận đối xứng,

2
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.


1  u2 / 2

1  u2 / 2
2
2
 U   u
e
du  u.u
e
du

2
2

1  u2 / 2
1  u2 / 2
dv u
e
 v 
e
2
2

1  u 2 / 2 
1  u 2 /2
2
  U   u.
e

e
du 1





2
2


Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

8


Tương tự:


1  u 2 /2
 U   u u
e du
2

4

3

1  u 2 /2
3
 u .

e
2






 3. u


 U  5 U  5.3.1;
6

...

 U

2n

2

1  u 2 /2
e du 3. U 2  3.1;
2

4

 2n  1!!

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

9


Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt khơng hồn lại gặp vàng thì
dừng.Tính xác suất để lấy được 3 bi trắng, 2 bi đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:
3
C6
.C52
4
P 
.
5
C15
10

2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)
Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối đều trên miền D nếu
 1
, neá
u (x, y)  D

f (x, y)   S (D)
0

, nế
u (x, y)  D

,vớ
i S(D) làdiệ
n tích miề
nD
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

10


E ( )

3. Phân phối mũ
:
Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ nếu hàm mật độ của X là:

Định lý 2.6 :

 x


.
e
neá
u x  0;

 SGK)
4. Phân phối khi bình phương:(Xem
f (x) 
5. Phân phối Student:(Xem SGK) 
neá
ux0,
0

 >0

1
X  E ( )  E ( X )  ( X ) 


Khoa Khoa Học và Máy
Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

11


§3. Các định lý giới hạn ( luật số lớn).
1. Định lý Chebyshev:
• Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X là 1 đại
lượng ngẫu nhiên.Khi đó ta có:
P (| X  E ( X )|   ) 

D( X )

2

• Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 ,  2 ,...,  n ,... đơi
một độc lập có C  0 : D(X k )  C, k.Khi đó ta có:
 1
lim P 
 n
n 


n

X
k1

k

1

n

n



k1


E (X k )   

 1


2. Định lý Bernoulli:
• Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m là số lần thành công trong
dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì:
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

12


 m

lim P 
 p    1
n 
 n

3. Các định lý giới hạn trung tâm.
Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 ,  2 ,...,  n đôi một độc
n
lập và
3
E X k  E( X k )

lim k 1
0

3/ 2
n 
n


D

   k 
 k 1

Khi ấy ta có:
1 n
1 n
 i   E  i 

n
n i 1
n 30 

U  i 1
 N 0,1
khi
n
đủ
lớn
1 n
D  xi 

n i 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

13


Hệ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có

E ( X i ) a, D( X i )  2 , i 1, n
1 n
( . X i  a). n
n i 1
U
 N (0,1)

Hệ quả 3.2:

m
 p). n
U n
 N (0,1)
p(1  p)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(

khi n đủ lớn

khi n đủ lớn

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

14


Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối: 1 ,  2 ...,  n với
phương sai: D  i  5 i 1, 2,..n 
Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973 :
a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01
b) Trị tuyệt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005.
Bài giải:

1 n
    i , E (  i ) a  E  X  a;
n i 1
D  i   2 5    5
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

15


.

a )   E   0, 01 0, 9973




a
n


0,
01
n
.   U 

 0, 9973



5


 0, 01 n 
  
  0, 5 0, 9973
5 

 0, 01 n 
  
 0, 4973  2, 785 
5 


 2, 785. 5 
0, 01 n

2, 785  n 

0, 01 
5

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

2

16


b)

.

(   E    0, 005) 0, 9973
.

| X  E ( X ) | n 0, 005. n
 P (| U |

 ) 0, 9973


5
 0, 005 n 
 2. 
 0, 9973
5


 0, 005 n  0, 9973
  
 3
 
2
5


 3 5 
0, 005 n

3  n 

5
 0, 005 

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

17


$4.Các cơng thức tính gần đúng
1. Cơng thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức.
Định lý 4.1:Khi nN
nghĩa là:
k
n k

CM .CN  M
k
k
n k
  X k  

C
.
p
.
q
n
n
CN

Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp có N=1000 bi trong đó có
M=600 bi trắng còn lại là bi đen. Rút ngẫu nhiên ra 20
bi,tính xác suất để lấy được đúng 12 bi trắng.

12
8
C600
.C400
12
12
8
  X 12  

C
.0,
6
.0,
4
20
20
C1000
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

18


2. Nhị thức và Poisson:
Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé  B n, p   a  với
a=np ,
k
a

nghĩa là:  X k C k . p k .q n  k e  a . , k o, n





n

k!

Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho.
Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm
xác suất để khi vận chuyển:
a) Có đúng sáu chai bị vỡ
b) Có không quá 12 chai bị vỡ.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

19


. Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X có phân phối B(n,p)

n 8000, p 0, 001  a np 8
6
1)  6  C8000
. p 6 .q8000 6

2) 0  12  0,936204

6
8
e  8 . 0,122138
6!

Chú ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta có thể coi q là p mới
( tức là đổi p thành q,q thành p).

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

20