XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 6 lý thuyết ước lượng

Chương 6. Lý thuyết ước lượng
§1. Khái niệm chung về ước lượng.
2
-Ký hiệu  là a,p, hoặc 
-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số nào đó
của tổng thể dược gọi là ước lượng

1.Ước lượng điểm:
Chọn G=G(W),sau đó lấy  G
1.Khơng chệch:
E (G ) 
2.Vững:
lim G 
n 
D(G )  min
3.Hiệu quả:
4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn nhấtxem SGK)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

1


Kết quả:

a  x :có đủ 4 tính chất trên.

p f :

 2 S 2 có
: đủ 4 tính chất trên.

Không chệch
2
2
 S :
Hợp lý tối đa
2.Ước lượng khoảng:
1 ,  2 

Định nghĩa: Khoảng
được gọi là khoảng ước lượng

của tham số với độ tin cậy  1  nếu:

 1     2  1  

I  2  1 -độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

2


Sơ đồ giải: Chọn G W,  sao cho G có quy luật phân
phối xác suất đã biết, tìm 2 số g1 , g 2 sao cho

  g1  G  g 2  1  

 g1  g w,    g 2
 1     2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

3


§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.
Bài tốn: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f.
Với độ tin cậy  ,hãy tìm khoảng tin cậy của p.
Giải: Chọn
Xét

G U

f  p n


 0,1 nế
u n đủlớ
n
ff1  

1 ,  2 0 : 1   2 





  u1  U  u1  2 1  
  Z 21 u1
 f

f  p n


 u1 
f 1  f 

f 1  f 

Khoa Khoa Học và Máy Tính

n

.Z 2 2  p  f 

2

Z 2 2
f 1  f 
n

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

@Copyright 2010

.Z 21
4


1)1  , 2  0     p  f 

ff1 
n



.Z2

(ướ
c lượng tỷlệtố
i đa)
2)1  0, 2   f 

ff1 
n



.Z2  p  

(ướ
c lượng tỷlệtố
i thiể

u)

ff1

3)1  2    
2
n



.Z - độchính xá
c

 f    p  f   (Ước lượng đối xứng)
 I 2
(Độ dài khoảng tin cậy)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

5


.

 f 1  f
n 
2




 .Z



2


 1


Quy ước: Nếu đề bài khơng nói rõ thì ta xét ước lượng đối
xứng.
Ví dụ 2.1:
Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300
con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400
con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với
độ tin cậy bằng 0.95.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

6


Giải: Gọi N là số cá trong hồ
300

P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ :  
N

n 400, m 60  f 0,15



f .(1  f )
n

.Z 0,05

0,15.0,85

.1,96
400

300
 f   
 f   ?  N  ?
N
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

7


Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao

nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng
tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95.
Bài giải:

 0,95, I 0, 02, f 0, 2  n
I 0, 02   0, 01
 0, 2.0,8

2
n 
. 1,96    1
2 
 0, 01


Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

8


§3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a
Bài tốn: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình
mẫu x và phương sai điều chỉnh mẫu S 2 . Với độ tin cậy
 ,hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.
Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:
2
TH1. Đã biết phương sai tổng thể



Chọn
Xét

x  a

G U 



n

 N 0,1



1,2 0 : 1   2   x 
.Z 2 2  a  x 
.Z 21
n
n

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

9

.


1.1  ,  2 0     a  x 
.Z 2
n

(Ước lượng trung bình tối đa)


2.1 0,  2  ,  x 
.Z 2  a  
n

(Ước lượng trung bình tối thiểu)



3.1  2 

2

  



n

.Z -độchính xá
c

 x    a  x   (ướ
c lượng đố
i xứ
ng)
I  2 - độdà
i khoả
ng ướ
c lượng đố
i xứ
ng
2
 
 
n  
.Z    1.
 
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

10


TH2. Chưa biết phương sai tổng thể
Chọn:

x  a

G U 

n

S

2

 , n 30

 N 0,1

S
S
1,2 0;1   2   x 
.Z 2 2  a  x 
.Z 21
n
n

Kết quả tương tự TH1, thay

Khoa Khoa Học và Máy Tính

bằng S ta có:



Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

11


S
.Z 2
. 1.1  ,  2 0     a  x 
n
(Ước lượng trung bình tối đa)
S
2.1 0,  2  ,  x 
.Z 2  a  
n
(Ước lượng trung bình tối thiểu)


S
3.1  2    
.Z -độchính xá
c
2
n
 x    a  x   (ướ
c lượng đố
i xứ
ng)
I  2 - độdà

i khoả
ng ướ
c lượng đố
i xứ
ng
2
 S
 
n   .Z    1.
 
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

12


2

, n  30
. TH3.Chưa biết phương sai tổng thể

x  a

Chọn G T 
Xé
t

n

T n  1

S
1,2 0;1   2 





  t1    T  t1  2   1  
  T21

n  1

x  a


S

n

 T22

n  1

S
S
n  1

 x
T2 2
a x
.T21 n  1
n
n
n  1
Z
Kết quả tương tự TH2 , thay  bằng T
ta có:
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

13


.

S
1.1  ,  2 0     a  x 
.T2 n  1
n

(Ước lượng trung bình tối đa)

2.1 0,  2  ,  x 

S

.T2 n  1  a  
n

(Ước lượng trung bình tối thiểu)


S
n 1
3.1  2    
.T
-độchính xá
c
2
n
 x    a  x   (ướ
c lượng đố
i xứ
ng)
I  2 - độdà
i khoả
ng ướ
c lượng đố
i xứ
ng

  S ( n  1)  2 
n   .T    1.
 
  
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

14


Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại
lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch chuẩn
 0, 03. Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được
bảng số liệu:
Mức hao phí
nguyên liệu(gam)

19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3

6
8
18
4
Số sản phẩm
Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí ngun liệu
trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.
TH1.

 0, 03, x 19,91111,  0, 01  Z 0,01 2,575
0, 03

.2,575 0, 012875
36

x    a  x 

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

15


Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại
xe ơ tơ chạy trên đoạn đường từ A đến B ,chạy thử 49
lần trên đoạn đường này ta có bảng số liệu:
Lượng xăng
hao phí(lit)

9,6-9,8

9,8-10,0

10,0-10,2

10,2-10,4

10,4-10,6

4

8

25

8

4

Số lần

Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao
phí xăng trung bình của loại xe nói trên.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

16


Giải
.

TH 2 : n 49  30
x 10,1 ; S 0, 2

 0, 95  Z 0,05 1, 96
1, 96.0, 2
 
0, 056
7

 10, 044  a  10,156
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

17


§4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể



2

Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương sai
2
 tìm khoảng
hiệu chỉnh mẫu
. SVới
độ tin cậy
hãy
ước lượng của phương sai tổng thể
2
Bài giải
2
n

1




2
2


(n  1),
1,2 0 : 1   2 
Chọn G  
2
S
   12 1 (n  1)   2  22 (n  1)  1  

n  1 S 2

22 (n  1)

 2 

n  1 S 2

12 1 (n  1)

Quy ước: Ta lấy 1  2  (nếu không cho 1 ,  2)
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

18


Ví dụ 3.1: Để định mức gia cơng 1 chi tiết máy,người ta theo
dõi q trình gia cơng 25 chi tiết máy,và thu được bảng số
liệu sau:

Thời gian gia
công (phút)
Số chi tiết máy

15-17

17-19

19-21

21-23

23-25

25-27

1

3

4

12

3

2

a)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian
gia cơng trung bình 1 chi tiết máy.
b)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho phương
sai.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

19


Giải
a)TH3

n 25 ; x 21, 52 ; S 2, 4
(24)
 0, 95  T0,05
2, 064

2, 064.2, 4
 
5
 x    a  x 

b)

2
2
 0,975
(24) 12, 40 ;  0,025
(24) 39, 36
2
24.2, 4 2
24.2,
4

 2 
39, 36
12, 40

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6
@Copyright 2010

20