Sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán

SỠ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỀN Tư DƯY HỌC SINH THÔNG QUA DẠY
HỌC ỨNG DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC
ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TỐN

Mơn: Tốn
Cấp học: Trung học Cơ sở
Tên tác giả: Đặng Thị Hương
Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh
Chức vụ: Giáo viên

NÁM HỌC 2019-2020

A. PHẦN MỜ ĐẦU


I. Lí do chọn đề tài
Mơn tốn là mơn khoa học có tính thực tiễn cao. Nó ảnh hường lớn đến đời sống con
người, nó ảnh hường đến các mơn khoa học khác. Trong thời đại ngày nay khi nền Cơng Nghệ
phát triển như vũ bào thì mơn tốn trờ nên cấp thiết hơn bao giờ het. Chính vì những lí do đó mà
ngành giáo dục đà đặt ra mục tiêu cho mơn tốn trong trường THCS là:
*Cê kiến thức:
- Cung cấp cho học sinh nhùng kiến thức về số (từ số tự nhiên den so thực), về các biêu thức đại
số, về phương trình bậc nhất, bậc hai, về hệ phương trình, về bất phương trình bậc nhất một ân, về
tương quan hàm số, về một số dạng hàm sổ đơn giàn và đồ thị của hàm số.
- Một số hiêu biết ban đầu về thong kê.
- Nhùng kiến thức mờ đầu về hình học mặt phẳng, quan hệ bằng nhau và quan hệ đồng dạng giừa
hai hình phẳng, một số yếu tố của lượng giác, một số vật thế trong không gian.
- Giúp học sinh ban đầu lĩnh hội được và càng được đào sâu ờ các lớp cuối cap THCS

về một số phương pháp giải Toán như: Dự đoán và chứng minh; quy nạp và suy diễn; phân tích và
tơng họp.................................

*về kỹ năng:
Hình thành và rèn luyện các kỳ năng tính tốn và sử dụng bâng số, máy tính bỏ túi; thực
hiện các phép biến đơi các biêu thức; giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn, giải
bất phương trình bậc nhất hai ẩn; vè hình, đo đạc, ước lượng. Bước đầu hình thành khả năng vận
dụng kiến thức, tri thức toán học vào trong đời sống và các môn khoa học khác.

*về thái độ:
Hình thành cho học sinh khả năng quan sát, dự đốn, phát triển trí tường tượng khơng gian,
khả năng suy luận logic, khả năng sử dụng ngơn ngừ chính xác, bồi dường các phàm chất cùa tư
duy linh hoạt, độc lập sáng tạo; bước đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác và sáng
sủa ý tường của mình, hiên được ý tưởng của người khác. Góp phần hình thành các phẩm chat lao
động khoa học và cần thiết của người lao động trong thời đại mới.
Đê thực hiện nhùng mục tiêu trên thì địi hỏi nhùng người trong cuộc phải nơ lực, cố gắng
khơng ngừng, phải tìm ra cho mình một phương pháp làm việc tối ưu và hiệu q. Qua q trình
dạy tốn, tơi thấy rằng nhùng HÁNG ĐẢNG THỨC ĐÁNG NHỚ theo suốt quá trình học tốn của
học sinh lóp 8 và các lớp sau đó. Các hằng đẳng thức đáng nhớ được ứng dụng ờ rất nhiều thể loại
toán khác nhau như thực hiện phép tính, phân tích đa thức thành nhân từ. chứng minh đằng thức,
chứng minh bất đăng thức, tìm cực trị,...
Chính vì những lý do đó mà tơi chọn chủ đề “Phát triên tư duy học sinh thông qua

dạy học ứng dụng những Hằng đăng thức đáng nhớ vào giải toán” nhằm giúp thầy và trị
hồn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đà đặt ra.


II. Mục đích nghiên cứu:
- Rèn cho học sinh có kỳ năng về hoạt động trí tuệ đê có cơ sờ tiếp thu dễ dàng các chương học
sau, các môn học khác và ờ các lớp học sau nhằm mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực

tế.
-Bồi dường cho học sinh các kỳ năng, kỳ xảo và thói quen giải các bài tập liên quan.
- Giúp học sinh phát triển tư duy trim tượng, rèn luyện cho học sinh khà năng độc lập suy nghĩ,
sáng tạo và klià năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng cố phẩm chất đạo đức thẩm
mỹ.

III. Phương pháp nghiên cứu:
* Các phưongpháp nghiên cứu ỉỷ thuyết
Phương pháp phân tích và tông hợp lý thuyết
Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết
Phương pháp giả thuyết
**Cức phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp quan sát khoa học
Phương pháp điều tra
Phương pháp thực nghiệm khoa học
Phương pháp phân tích tơng kết kinh nghiệm
Phương pháp chuyên gia.
IV. Thời gian, địa điêm:
- Thời gian: Từ năm học 2017-2018; 2018-2019 đến năm học 2019 - 2020
- Địa điếm: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa, Hà Nội

V.

Đóng góp mới về lý luận

v.l. Cơ sở về lý luận:
- Trên thực tế sau khi học xong nhùng hằng đẳng thức đáng nhớ đà có nhiều học sinh quên đi
nhùng hằng đẳng thức đáng nhớ và điều này thường rơi vào nhùng học sinh chưa chăm học, có
tính ỷ lại cao. Một van đề đặt ra cho người giáo viên là làm thế nào để giúp học sinh ghi nhớ

những hằng đẳng thức đáng nhớ một cách có hệ thống khơng máy móc, học vẹt. Qua nhiều năm
dạy tốn 8-9, tơi thấy đê khắc phục được điều đó thì việc thực hành giải bài tập tốn đóng vai trị
quan trọng, tích cực, giúp tạo ra được hứng thú cho những học sinh vốn ngại học.
- Thông qua việc giải bài tập “ứng dụng những hằng đăng thức...”, tôi sâu chuồi, hệ thống
kiến thức, khắc sâu, ghi nhớ nhùng hằng đằng thức đáng nhớ, từ đó giúp các em có động lực để
tìm tịi, nghiên cứu các vấn đề liên quan.

V.2. Thực tiễn:
Qua q trình học mơn tốn nhiều năm. tơi thay việc học mơn đại so của học sinh là rat


khó khăn. Đặc biệt, việc ghi nhớ 7 hằng đăng thức đáng nhớ, các em không biết nên bắt đầu từ
đâu. Việc phân loại các hằng đẳng thức không phải là nhiệm vụ dễ dàng. Chính nhùng khó khăn
đó đà ảnh hưởng khơng nhỏ đen chất lượng học mơn tốn nói chung, mơn đại số nói riêng. Các em
lơ là trong việc học trên lớp cũng như chuẩn bị bài ở nhà. Cụ thể, theo kết quà điều tra, một số lớp
trong trường cuối học kỳ I năm 2016 - 2017; 2017 - 2018; 2018 - 2019 thu được kết quà như sau:

v.2.1. Làm bài tập ở nhà:
Qua quá trình kiêm tra trực tiếp với khoảng 50 học sinh trong quá giảng dạy tôi thu được
kết quà như sau:
- Tự giải: 58%
- Trao đổi với bạn bè hoặc với mọi người xung quanh đế tìm hướng giải: 12%
- Chép từ sách giải hoặc chép từ mạng xà hội: 22%
- Chép từ bài của bạn: 18%

v.2.2. Chuân bị dụng cụ học tập (sách, vờ, sách bài tập. máy tính,...)
- Đầy đủ: 70%

- Cịn thiếu: 30%

v.2.3. Học sinh hứng thú mơn học đại số:
- Hứng thú: 55%

- Bình thường: 31%

- Khơng thích: 14%

B. PHẦN NỘI DƯNG
Ngoài việc dạy cho học sinh hiêu và biết cách xây dựng nhùng hằng đăng thức đáng nhớ,
cách ghi nhớ, phân biệt các hằng đẳng thức, biết áp dụng hàng đẳng thức để tính nhanh, tính
nhầm, biết vận dụng hằng đằng thức theo hai chiều người giáo viên phải rèn cho học sinh klià
năng quan sát, nhận xét đế áp dụng hằng đẳng thức một cách hợp lý. Đê làm được điều đó sau mồi
giờ học giáo viên phải giúp học sinh tự kiểm tra. hệ thống, diễn giải, khám phá, nêu ra vấn đề và
tìm hướng giải quyết vấn đề, từ đó học sinh rót ra được kinh nghiệm học hiệu quả sau mồi bài học.

I.

Tông quan:

Nhờ có hằng đăng thức đáng nhó giúp ta giải quyết được một sổ dạng bài tập sau:
1.1. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đê thực hiện phép tính
1.2. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức
1.3. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đê phân tích đa thức thành nhân từ
1.4. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đê chia đa thức cho đa thức
1.5. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đê hồ trợ việc thực hiện phép tính về phân thức
1.6. Nhóm bài tập ứng dụng hàng đằng thức đế giải phương trinh và bất phương trình một ân
1.7. Nhóm bài tập ứng dụng hằng

đăng thức đê chứng minh đăng thức

1.8. Nhóm bài tập ứng dụng hằng

đăng thức đê chứng minh bất đăng thức

1.9. Nhóm bài tập ứng dụng hằng

đăng thức đê tìm cực trị

1.10. Nhóm bài tập ứng dụng hàng đằng thức để chứng minh tính chia hết, khơng chia het


1.11. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức đế giải phương trình nghiệm ngun Thơng qua
việc dạy các ứng dụng trên nhằm phát triển tư duy của học sinh.

II. Nội dung vấn đề nghiên cứu
Các kiến thức cần nhớ:
5. (ư - bý = a3 4- 5 3a6b + 3ab2 - b3

7. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

6. a + b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)
Ngoài ra, khi dạy cho học sinh khá, giỏi, giáo viên cần cung cấp thêm các hằng đẳng thức sau:
Bằng phép nhân đa thức, ta chứng minh được các hằng đằng thức sau:
1. ữ" -ố” = (a-ố)(ứ"_1 +ữ”’2ỗ+...+ữố”’2 +ốí!_1) với mọi số n nguyên dương
2. an +bn =(ữ + ổ)(đ'í_1 -an~2b+...+abn~2 -ỏ”-1) với mọi số nguyên dương lẻ n
Chằng hạn: ữ5 -ỏ5 = (ữ-ỗ)(a4 +a3b+...+abỉ +ố4)
ứ + b' = (đ + ỗ)(ứ — ừb +...+ab' —b )
3. Nhị thức Niu-tơn (Newton)
(ữ + z>)” = ữ” + c’ (<7 + ố)" =

Với c„ = "("

Ấ
=

an + c\an~3b + c*~ỵb +......,C”_1í7ố”_1 + bn

1 2,...,77-i)(C^gọi là Số tổ hợp chập k của n

phân tử)
Ví dụ: (<7 + Z>)4 =<74 + 4a3b + 6a7 8b2 + 4ab3 + b4,
(a-bý1 = a5 — 5a4b + lOa3b2 — lOa2b3 + 5ab4 — b5
3 a2 -b2 = (a + b)(a-b)
4 (ữ + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5 (í7 + z>)2 = a2 + 2ab + b2
6 (a-b)2 = a2-2ab + b2
7
+ 2.36 _ 1 + 36 ____________________53
3
5
_ 1 + 2.36-1-3Ổ-53 _ 1
83.3Ổ-23.53 8(93 -125) 183 -103 _ 23(36 -53) 23(36 -53) 23(3ổ-53)-

11.2. Nhóm bài tốn rút gọn biêu thức và tính giá trị biểu thức.
Phương pháp giải: - Áp dụng hàng đẳng thức đáng nhớ để triển khai, rót gọn
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đà rót gọn rồi tính

Ví dụ 2.1.
a) (x + y)2 +(x-yý = X2 + 2xy + y2 +x2 - 2xy + y2 = 2x2 + 2y2
b)2(x-y + zý + (z - v)2 + 2(x - y + z)(v-z) = (x-y + z + y - z )2 =Y2

c)x2-y2tại X = 87 và y = 13
Giải : c) x2-y 2=(x-y)(x+y)

d) „ 3a' ~ a tại X = -8
9.Y2 - 6.Y +1

_ 1 + 2.36 _ 1 + 36
23 (36 -53)
_
8


Áp dụng các hằng đắng thức trên và tính chia hết ta có:
* an-bn chia het cho ( với a sb van nguyên dương );
* ỡ2"+1 chia hết cho a+b; a2n - b2n chia hết cho a+b

11.1. Nhóm bài tập áp dụng hằng đăng thức đáng nhớ đê thực hiện phép tính.
Phương pháp giải: Đưa về 1 trong 7 hằng đằng thức đáng nhớ để thực hiện phép tính

Ví dụ 1.1. Tính
à)(a + b + c)2 =a2 +b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ca
b)

(2x-.v)(4x2 +2.ỴV+v2) = (2x)3-y3

c)

(2x-y)(4x2-2.Ỵi’-y2) = 8x3- y3

= 8y3 -y3

Ví dụ 1.2. Thực hiện phép tính:


Thay X =87 và y = 13 vào ta có (x-y)(x + y) = (87-13)(87 + 13) = 100.74 = 7400

Ví dụ 2.2. Cho a+b = ỉ. Tính giá trị M 2(r/3 + Z>3)-3(<72 +z>2)
M = 2(ữ3+Z>3)-3(a2+Z>2) = 2(a + Z>)(a2-aố + ố2)-3a2-3Z>2 .Vì

Giải:

a+b = ỉ

nên M = 2.1.(Í72-ab + b2)-3a2-3b2 = 2a2-2b2-2ab-3a2-3b2 = -(ơ + b)2 =-l Ví dụ 2.3. Tính giá trị
cùa biểu thức.
432 -112

_

(43 + ll)(43-l 1)

_ 54.32 _3

(36,5) -(27,5) - (36,5— 27,5)(36,5 + 27,5) "Tóĩ
2

2

Ví dụ 2.4. Cho \x2+y2+z2=b2

Tính x3+y3+z3theo a,b,c

Giải: Áp dụng hằng đăng thức
X3 + V3 + z3 -3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2-xy-yz-zx}
X3 + y3 + z3 = 3xyz + Í7 [z>2 - (xy + yz + zx)]. cần tính xy+yz + zx và xyz theo Í7, b, c
Ta có: ữ2 =(x + y + z)2 = X + y + z + 2(xy + yz + zx)

,
, , 3c(ơ2-ố2) + ữ(3ố2-a2)
3
=> X + y3 + ? = —ì-------2

II.3. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đê phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp giải: Dùng các hằng đằng thức đáng nhớ để biến đổi các biểu thức thành tích một
cách phù họp.

Ví dụ 3.1. Phân tích đa thức thành nhân từ
à)x2-9 = (x-3)(x + 3)

z>)9x2+ 6xv + y2 =(3x+v)2

c)6x-9-x2 =-(x-3)2

Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta can co gắng phân tích được triệt đê (càng nhiều
nhân từ càng tốt)

Các bài tập áp dụng
Ví dụ 3.2. Tính nhanh. n)252 -152 = (25 -15)(25 +15) = 10.40 = 400 Ỗ)872+732 -272-132 =(872132) + (732-272) = [(87-13)(87 + 13) + (73-27)(73 + 27)] = (74.100)+ (46.100) = 7400 + 4600 =
1200

Ví dụ 3.3. Rút gọn các biêu thức sau:
Giải:


a) A = (x + 2)(x2 - 2x + 4)-(x3 -2) = (x3 + 23 )-(x3 - 2) = X3 +8 -X3 + 2 = 10
Ố)B = [(ỡ + 2)(a2 -2ứ + 4)][(ữ-2)(ữ2 +2a + 4)] = (ữ3 +8)(ỡ3 -8) = (a3)2-82 = ữ6-64

11.4. Nhóm bài tập ứng dụng hang đăng thức đáng nhớ đê chia đa thức cho đa thức
Ví dụ 4.1. Tính nhanh
ữ)(x2+2^ + y2):(x + y) = (x + y)2:(x + y) = x + y ố)(125x3+l):(5x + l) = (5x + l)(25x2-5x + l): (5x +
l) = 25x2-5x + l
c)(x2 -2xy + /):(>’-x) = (y-x)2 :(y-x) = y-x

Ví dụ 4.2. Khơng thực hiện phép chia, hày xem xét đa thức A có chia hết cho đa thức B không?
Ắ = X2 - 2x +1;

5 = 1- X

Giải: Vì A = X2 -2x+1 = (x-l)2 = (1-x)2. Do đó A chia hết cho B

11.5. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đáng nhớ đê chứng minh giá trị biêu
thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Phương pháp giải:
- Thực hiện phép biển đôi đồng nhất các biêu thức hừu tì đê rót gọn biêu thức khơng có chứa
biến.
- Áp dụng các hằng đằng thức đáng nhớ để biến đổi biếu thức đà cho khơng cịn chứa biển.

Ví dụ 5.1. Chứng minh giá trị biêu thức sau khơng phụ thuộc vào biến X.
Í7)(2x + 3)(4x2 -6x + 9)-2(4x3 -1)

ỗ)(x + 3)3 -(x + 9)(x2 +27)

c)(x + y)(x2 -xj’ + y2) + (x-y)(x2+xj’ + y2)-2x3
Giải
Í7)(2X

+ 3)(4X2-6X + 9)-2(4X3-1) = (2x)3+9-8X3+1 = 10

Vậy giá trị của biêu thứ trên không phụ thuộc vào giá trị của biến X.
Zộ(x+3)3-(x + 9)(x2+27) = x3+9x2+27x + 27-x3-27x-9x2 -243 = -216
Vậy giá trị biêu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến X.
c)(x + y)(x2 -XV + v2) + (x- v)(x2 +XV+V2 )-2x3 = -X3 - y3 +x3 - y3 = -2v3
Vậy giá trị biêu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của bien X.

II. 6. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đăng thức đê chứng minh đăng thức:
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số kiến thức liên quan để biến đổi vế trái bằng vế phải
hoặc vế phải bằng vế trái, hoặc cả hai vế về cùng biêu thức.

Ví dụ 6.1. Chứng minh (10a + 5)2 = 100ứ(đ + l) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là số 5 và áp dụng đế tính


252, 352, 652, 752.
Giải: Biến đổi vế trái, ta có: (10ớ + 5)2 = 100ứ2 + 10ŨỚ + 25 = 100đ(ữ + l) + 25
Bình phương của một sổ có hai chừ sổ và có tận cùng bằng chừ sổ 5 là một số có tận cùng bằng 25
và số trăm bằng tích số trục cùa số đem bình phương với số liền sau. Áp dụng: 252= 625, 352=
1225,

652=4225,

752 = 5625

Ví dụ 6.2. Chứng minh rằng: (ứ + ỏ)2 =(ứ-ỏ)2 +4đố
Giải: Cách 1:
Biến đổi vế trái, ta có: (đ + ố)2 = ữ2 +2aè + ố2 = đ2 -2ab + 4ab + b2 = (a-b)2 +4ab = VP
Vậy đăng thức được chứng minh.
Cách 2:
Biến đổi vế phải, ta có: (ữ-è)2 +4aỉ> = ữ2 -2ab + 4ab + b2 = a2 +2ab + b2 = (a + b)2 = VT
Vậy đăng thức được chứng minh.
Cách 3: Biến đôi câ hai vế về cùng một biêu thức:
Biến đồi vế trái: (<7 + è)2 = a2+2ab + b2
Biến đồi vế phải: (ơ-ố)2 +4đố = ơ2 -2ab + 4ab + b2 = a2 +2ab + b2 vế phải = Ve trái. Vậy đăng
thức được chứng minh.

Ví dụ 6.3. Cho a + b + c =2p
Chứng minh rang (p - <7)2 + (/? - è)2 + (/? - c)2 + p2 = Í72 + ổ2 + c2
Giải: Ta có: (p-ữ)2 =p2-2ạp + đ2(l),
(p-è)2=p2-2Z>p + ỗ2(2),
(p-c)2 = p2-2cp + c2(3)
Cộng ve với vế của (1), (2), và (3), ta có:
(p-a)2 + (p-b)2 + (p-c)2 + p2 = p2 -2ap + a2 + p2 -2bp + b2 + p2 -2cp + c2 + p2 (p - a)2 + (p - b)2 +
(p - c)2 + p2 = 4p2 -2p(a + b + c) + a2 + b2 +c2
(p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 + p2 = 4p2 -2p.2p + a2 +b2 + c2(do a + b + c = 2p)
(p-à)2 + (p-b)2 + (p-c)2 + p2 =4p2 -4p2 + a2 +b2 +c2
(p-a)2 + (p-b)2 + (p-c)2 + p2 - a2 +b2 +c2
Vậy đăng thức được chứng minh.

Ví dụ 6.4. Chứng minh rằng nếu b = a-1 thì
5 = (đ + ố)(a2 + b2)(ữ4 + ố4)...(a32+ố32) = a64 -b64

Giải: Từ b = a-1, ta có: a - b = 1. Nhân hai vế cùa s với a-b, ta có:
S(ữ-Z>) = (ữ-Ố)(a + Ố)(a2+Z>2)(ữ4 + Z>4)...(đ32+Z>32)


5.1 = (ữ2 - z>2)(a2+ố2)(a4 + ố4)...(a32 + ố32)
5 = (a4-ố4)(a4+ố4)...(ữ32+ố32)
5 = ....
5 = (a32-ố32)(ữ32+ố32)
s = ữ64-ố64
Vậy đăng thức được chứng minh.

II.7. Nhóm bài tập ứng dụng hang đăng thức đáng nhớ đê giải một số bài toán cực trị
(a + b)2 = a2+2ab + b2 Ị .ị ,
, đê đưa biêu thức
2
2
2
(fl-z>)
=
a
-2ỡố+ố
về
dạng
T = ữ + [/(x)]2
2
với a là hằng số, f(x) là biêu thức có chứa biến X. Vì [/(x)] > 0 với mọi X nên T>a. Khi đó giá trị
nhỏ nhất của T bang a kill f(x) = 0 và ta phải tìm X đê f(x) bằng 0.
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đăng thức

II.7.1. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biêu thức có dạng là đa thức

Ví dụ 7.1. Cho A = X2 -3x+5. Tìm Am in với X > 2
Giải: A = x2 - 2(x.ị) + (ị)2 +“7 = (x- ị-)2 + ^7
2
2
4
2

4

. .1 '
3 1 . z 3,2
1 . ,1.11 . _ ,
Với x>2thi x-->-^(x--) >-=>.4>- + — =^A>3
22
2
4
44

Suy ra: Amin = 3 khi X đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy Am in =3 khi X =2

Ví dụ 7.2. Cho c = (x2 -l)(x2 +1) với xeR. Tìm Cmin.
Giải: c = (x2 - l)(x2 +1) = X4 -1 vì X4 > 0 V X e R nên c > -1V X e R vậy Cmin = - 1


Ví dụ 7.3. Cho Z) = (x + y)2+(* + l)2+(y-*)2 với x,y&R. Tìm
= X + 2.XV + y + X + 2x +1 + y - 2xy + X
D = 3x2 + 2 y2 + 2x +1 « D = (Vãx)2 + 2A/3X-4= + ị + 2 y2 + ị
5/3 3
3

2

2

« D = (V3x + 4)2 + 2y2 +1
V3 3

2

2

2

Dmin.

z>