phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. MỤC TIÊU CỦA PHƯƠNG PHÁP:
 Xây dựng hình học trên hệ tọa độ Oxy để chứng minh các tính chất của hình học nhằm giải quyết các bài
toán hình học khó.
 Tính được độ dài các đoạn thẳng, xây dựng tỷ lệ các độ dài đoạn thẳng một cách dễ dàng nhằm tạo các
biểu thức vector trong mặt phẳng.
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Ví dụ: (A – 2012): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh
BC, N là điểm nằm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M





 và đường thẳng AN: 2x – y – 3 = 0.
Tìm tọa độ điểm A.
Chú ý: Bài toán này có tính chất là cho biết 1 hình vuông (1 hình chữ nhật), cho biết 1 điểm và cho biết 1
phương trình đường thẳng.
Bước 1: Vẽ chính xác hình mà bài toán yêu cầu.







A B


M









D N C

AN: 2x – y – 3 = 0
Bước 2: Từ 1 điểm ngoài 1 đường thẳng, ta luôn xác
định được chân đường vuông góc từ điểm đó hạ
xuống đường thẳng. Do đó ta vẽ MH vuông góc với
AN tại H.
 Tìm tọa độ H: H(t;2t – 3)  AN/ 



















 H



 Tính độ dài MH =





A B


M






H

D N C

AN: 2x – y – 3 = 0
Bước 3: Tính độ dài AH thông qua việc tìm tỷ số của
AH/MH. Vì vậy để tính được tỷ số này ta sẽ xây dựng

hệ tọa độ như hình bên bao gồm các đỉnh như sau:
D(0;0), C(a;0), B(a;a), A(0;a), M


, N


. Ta
tìm tọa độ đỉnh H bằng cách sau:
 









  











 AN: 3x + y – a = 0.
 H(t; a – 3t)  AN/ 

















  H






 AH =






 MH =





 Vậy


= 1  AH = MH =





Y
A B



M
H


D N C x


Bước 4: Tìm A.

Gọi A(t;2t – 3)  AN/ AH =




A(1; –1), A(4;5)


III. BÀI TẬP
1. Cho hình chữ nhật ABCD có A(2;0), AB = 2AD. Điểm M nằm trên đoạn AB sao cho AB = 4AM. Biết
phương trình đường thẳng (DM): 2x – y = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Cho hình vuông ABCD có A(0;4), phương trình (BN): x – 3y – 4 = 0 với N là trung điểm của CD. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình vuông.
3. Cho tam giác ABC cân tại A(2;1), có góc A bằng 120
o
, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên
đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Biết S
ABC
=

 và x
O
> 0. Tìm tọa độ B và C.
4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tìm
tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K(5; –1), phương trình đường thẳng AC là 2x + y – 3 = 0 và đỉnh A có tung
độ là một số dương.
5. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, phương trình đường thẳng AD: 2x + y – 1 = 0,
điểm I(–3;2) nằm trên cạnh BD sao cho BD = 3DI. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết rằng điểm D
có hoành độ dương và AD = 2AB.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC đều có đường cao AH và điểm M(1;1) nằm trên
đoạn BC. Biết phương trình đường cao AH là x – y + 1 = 0 và tổng khoảng cách từ M hạ xuống AB và AC
là

. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ lớn hơn 1.
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có góc B bằng 60
o
. Đường tròn nội tiếp hình thoi
tiếp xúc với đường thẳng AD và BC lần lượt tại P và Q. Biết phương trình đường thẳng PQ là

x – y = 0
và trung điểm M của AB có tọa độ M(

;1). Tính diện tích hình thoi ABCD.
PHƯƠNG PHÁP GÁN ĐỘ DÀI VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
I. MỤC TIÊU CỦA PHƯƠNG PHÁP:
 Chứng minh các tính chất của hình học sau khi ta đã vẽ hình chính xác và kết luận những tính chất hình
học ta linh cảm sẽ có trong bài.
 Các bài toán có thể gán độ dài thông thường là những bài toán có 1 điểm nằm trên 1 đường thẳng không
mang tính chất hình học, mà chỉ mang tính chất để gọi ẩn. Nhiệm vụ của chúng ta cần phải tính một độ dài
nào đó có liên quan đến điểm nằm trên đường thẳng đó.
II. PHƯƠNG PHÁP GÁN ĐỘ DÀI VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
Ví dụ: Trong hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A(1;1). Một tiếp tuyến chung của 2
đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) tại B và C(2;2). Biết B nằm trên đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0. Viết
phương trình (O) và (O’).
Đầu tiên chúng ta vẽ hình một cách chính xác ra để nhận thấy được rằng yếu tố đặc biệt cần tìm là tam giác
ABC vuông tại A. Do đó ta sẽ gán góc 

= α và góc 


= 180 – α, đồng thời kẻ đường thẳng qua C và song
song với OO’ cắt OB tại D.
B
D C
180 – α
O α A O’
R
1
R
2




α
ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS



B C
BC
2
= AB
2
+ AC
2
–
2.AB.AC.cosA
A
 Dùng định lý hàm số cos cho tam giác OAB: AB

2
= R
1
2
+ R
1
2
– 2.R
1
R
1
.cos α
 Dùng định lý hàm số cos cho tam giác OAC: AC
2
= R
2
2
+ R
2
2
– 2.R
2
R
2
.cos(180 – α)
= R
2
2
+ R
2

2
+ 2. R
2
R
2
.cos α
 AB
2
+ AC
2
= 2R
1
2
+ 2R
2
2
– 2R
1
2
cos α + 2R
2
2
cos α (1)
 BD = R
1
– R
2
. CD = R
1
+ R

2
.
 Dùng định lý hàm số cos cho tam giác BDC: BC
2
= BD
2
+ DC
2
– 2.BD.CD.cos α = (R
1
– R
2
)
2
+ (R
1
+ R
2
)
2

– 2.(R
1
– R
2
)(R
1
+ R
2
).cos α = 2R

1
2
+ 2R
2
2
– 2(R
1
2
– R
2
2
).cos α (2)
 Từ (1) và (2)  AB
2
+ AC
2
= BC
2
 Tam giác ABC vuông tại A.
 Vậy gọi B tham số t trên đường thẳng 2x – y + 1 = 0 sao cho 















 Viết phương trình đường thẳng BO qua B và vuông góc với BC
 Viết phương trình đường trung trực của AB. Đường thẳng đó cắt đường thẳng BO tại O.
 Tương tự ta tìm được O’.
 Bài toán kết thúc.
III. BÀI TẬP
1. Cho hai đường thẳng d
1
: x –

y = 0 và d
2
: y = 1. Từ 1 điểm I trên d
2
vẽ đường tròn (I,R) tiếp xúc với d
1

tại A, cắt d
2
tại B và C. Biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r =



. Viết phương trình (I)
biết I có hoành độ dương.
2. Cho thẳng d
1

: x –

y = 0 và d
2
: x +

y = 0 có giao điểm O. Viết phương trình đường tròn (I,R) tiếp xúc
với d
1`
, d
2
tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng




biết R  và x
I
> 0.
3. Cho d
1
: 2x – y + 1 = 0 và d
2
: 3x + y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d tạo với d
2
một góc 45
o
sao
cho d
1

, d
2
và d tạo thành một tam giác có diện tích bằng 12,5.
PHƯƠNG PHÁP DỒN ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
I. MỤC TIÊU CỦA PHƯƠNG PHÁP:
 Bước 1: Tìm tất cả những gì có thể tìm được trong hình.
 Bước 2: Gọi ẩn cho điểm nếu biết 1 điểm nằm trên một đường thẳng nào đó. Gọi hệ số góc k cho đường
thẳng nếu biết trước 1 điểm. Số phương trình = Số ẩn.
II. PHƯƠNG PHÁP DỒN ĐIỂM:
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(2;0) và phương trình (BC): 3x + y – 18 = 0. Lấy D và E cùng phía với A đối
với đường thẳng (BC) sao cho các tam giác ACE và ADB vuông cân tại A. Biết phương trình đường thẳng
(DE): 7x + 3y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C. E
D

A



B C

Gọi B(a;18 – 3a)  (BC), D(b;


)  (DE). Giải hệ phương trình 

















 hoặc B(5;3).
Vì cách lấy điểm B và D giống hệt cách lấy điểm C và E do đó 2 nghiệm của B chính là cho ta biết tọa độ của
2 đỉnh của B và C. Vì vậy ta có: B(6;0) và C(5;3) hoặc B(5;3) và C(6;0)
III. BÀI TẬP
1. Cho d
1
: x – 2y + 1 = 0, d
2
: 3x – y – 2 = 0, d
3
: 2x + y + 1 = 0. Tìm M trên d
1
, N trên d
2
để MN =

 và MN
song song với d
3
.

2. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x.
Tìm tọa độ đỉnh C.
3. Cho A(-1;0), B(1;2) và (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua A, B tiếp xúc với (d).
4. Cho d
1
: x – 7y + 17 = 0, d
2
: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0;1) tạo với d
1
và d
2

một tam giác cân tại giao điểm của d
1
và d
2
.
5. Cho tam giác ABC có A(1;1), B(-2;5), đỉnh C nằm trên đường thẳng x – 4 = 0 và trọng tâm G nằm trên
đường thẳng 2x – 3y + 6 = 0. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác.
6. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của d
1
: x – y – 3 = 0 và d
2
: x + y – 6 = 0.
Trung điểm một cạnh là giao điểm của d
1
và Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
7. Cho hình vuông ABCD có A(-4;8) và một phương trình đường chéo là 7x – y + 8 = 0. Viết phương trình
các cạnh của hình vuông.
8. Trong mặt phẳng cho A(2;1), B(-1;-3) và d

1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x – 5y – 16 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh C, D
lần lượt nằm trên d
1
, d
2
sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
9. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 22. Đường thẳng AB, BD có phương trình 3x + 4y + 1 = 0 và 2x – y
– 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
10. Cho tam giác ABC có điểm A(2;3), trọng tâm G(2;0). Hai đỉnh B, C lần lượt trên d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x
+ 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với BG.
11. Trong mặt phẳng hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(1;0), chân đường cao
hạ từ đỉnh B là K(0;2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1).
12. Cho (C): x
2
+ y
2
– x – 4y – 2 = 0 và A(3;-5), B(7;-3). Tìm M trên (C) sao cho P = MA
2
+ MB
2
min.
PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
I. MỤC TIÊU CỦA PHƯƠNG PHÁP:

 Khảo sát các tính chất hình học của hình theo yêu cầu của đề bài trước. Sau đó đi tìm cách dựng để xác
định được các đỉnh hay các đường theo yêu cầu của đầu bài.
 Học sinh cần nắm vững các tính chất cơ bản của các hình để làm bài.
II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CÁC HÌNH:
 Phương trình đường thẳng phân giác của 2 đường thẳng d
1
và d
2
:

































 Phương trình đoạn chắn: Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
o
,y
o
) và cắt 2 trục Ox và Oy tại các điểm
có hoành độ bằng a và tung độ bằng b: 






 Vị trí tương đối của 1 điểm M với đường tròn (I,R):
o IM < R  M nằm trong đường tròn.
o IM = R  M nằm trên đường tròn.
o IM > R  M nằm ngoài đường tròn.
 Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (I,R):
o 


< R  d cắt (I) tại 2 điểm phân biệt. Khi đó
 

= R  d tiếp xúc với (I) tại 1 điểm duy nhất.
o 

> R  d không cắt (I).
 Vị trí tương đối của 2 đường tròn (I,R) và (I’,R’)
o II’> R + R’  2 đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau.
o II’ = R + R’  2 đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.
o II’ < |R – R’|  2 đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau.
o II’ = |R – R’|  2 đường tròn tiếp xúc trong nhau.
o |R – R’| < II’ < R + R’  2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
 Tam giác tiếp tuyến
 
























 MAB đều  OM = 2R và M nằm trên
đường tròn tâm O, bán kính 2R.
 MAB vuông  OM =

R và M nằm trên
đường tròn tâm O, bán kính

R.



 Đường thẳng cắt đường tròn
















 

= EK
2









K
Tính
chất
trọng
tâm,
trung
tuyến
 



























 








 

 









 

 



A


G

B M C
Tính
chất
đường
phân
giác
 


















 Gọi B’ đối xứng với B qua đường thẳng AD. B’  AC.
A







B D C
Tính
chất
đường

cao và
trực
tâm
 














 Trực tâm H: 
































 AK = D
A

BC

 Đường thẳng BC nhận VTCP của AH là VTPT.
 Đường thẳng BC nhận VTPT của AH là VTCP.

A

H


B K C
Đường
tròn
nội
tiếp
 r =


(a,b,c: độ dài 3 cạnh của tam giác).

H
M
H
O
H
A
H
B
H
A
H
M
H
B
H

O
H
d
H
E
M
H
Diện
tích
tam
giác
 S =








 Diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh (Bổ đề):
Xét tam giác ABC trong hệ tọa độ Oxy trên hệ tọa độ
Oxyz ta có các điểm A(x
A
;y
A
;0); B(x
B
;y
B

;0);
C(x
C
;y
C
;0). Ta có:



























 



 

  

 



 





III. BÀI TẬP :
1. Cho d
1
: 4x – 3y – 12 = 0 và d
2
: 4x + 3y – 12 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp có 3 cạnh
nằm trên d
1
, d
2

và trục Oy.
2. Cho (d): x – 5y – 2 = 0 và (C): x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 8 = 0. Tìm tọa độ các giao điểm điểm A, B của (C) và (d)
biết A có hoành độ dương. Tìm tọa độ đỉnh C nằm trên (C) biết tam giác ABC vuông ở B.
3. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 4x – 4y + 4 = 0 và (d): x + y – 2 = 0. Chứng minh (d) cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt A, B. Tìm điểm C trên (C) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
4. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đường cao qua A và phân
giác trong qua C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0.
5. Cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+ y
2
– 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3;1). Viết phương trình các tiếp
tuyến của (C) qua M. Gọi A, B là các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó. Viết phương trình đường thẳng AB.
6. Cho tam giác ABC có đỉnh B(-2;1), đường thẳng AC có phương trình 2x + y + 1 = 0, trung tuyến AM có
phương trình 3x + 2y + 3 = 0. Tính diện tích của tam giác ABC.
7. Cho điểm E(-1;0) và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 8x – 4y – 16 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm E cắt đường tròn (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
8. Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M(0;1/3) thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7)

thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.
9. Cho (C): x
2
+ y
2
– 2x + 6y – 15 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng 4x –
3y + 2 = 0 và cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.
10. Cho (C): x
2
+ y
2
– 18x – 6y + 65 = 0 và (C’): x
2
+ y
2
= 9. Từ một điểm M trên (C) kẻ 2 tiếp tuyến tới (C’).
Gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M biết AB = 4,8.
11. Cho (C): x
2
+ y
2
+ 4x – 6y + 9 = 0 và M(1;-8). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M sao cho d cắt (C)
tại A, B sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất với I là tâm của (C).
12. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình BD: x – 7x + 14 = 0, đường
thẳng AC đi qua điểm M(2;1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
13. Cho (C
1
): x
2
+ y

2
– 4x + 2y – 4 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
– 10x – 6y + 30 = 0 có tâm là I và J. Chứng minh 2
đường tròn trên tiếp xúc nhau tại H. Tìm tọa độ điểm H. Giả sử (d) là 1 tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
và không đi qua H. (d) cắt (IJ) tại K. Viết phương trình đường tròn đi qua K và tiếp xúc với 2 đường tròn
trên tại H.
14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x –

y – 2 = 0 và hai điểm phân biệt
A(1;

) và B không thuộc d. Viết phương trình đường thẳng AB biết khoảng cách từ B đến giao điểm của
đường thẳng AB và đường thẳng d bằng 2 lần khoảng cách từ B đến d.
15. Cho (C
1
): x
2
+ y
2
= 1 và (C
2
): (x – 3)
2
+ (y – 3)
2

= 4. Viết phương trình các đường tiếp tuyến chung.
16. Cho tam giác ABC nội tiếp (C): (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 5 và A(2;0), diện tích tam giác là 4. Tìm B và C biết
tam giác ABC vuông tại B.
17. Cho (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0 và d: 3x + 4y – 20 = 0. Chứng minh d tiếp xúc với (C). Tam giác ABC
có A thuộc (C), các đỉnh B và C thuộc d, trung điểm cạnh AB thuộc (C). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết
tam giác ABC có trực tâm trùng với tâm của (C) và điểm B có hoành độ dương.
18. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A(1;1) và B. Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho BM = 2AM, điểm N(1;4) là hình chiếu của M trên CD. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết CM
vuông góc với DM, điểm B thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0.