Tính chấp nhận được và ổn định hóa vững của hệ tính suy biến phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

ĐỖ HỒNG NGỌC

TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG
CỦA HỆ TUYẾN TÍNH SUY BIẾN PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

ĐỖ HỒNG NGỌC

TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA VỮNG
CỦA HỆ TUYẾN TÍNH SUY BIẾN PHÂN THỨ
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN
TS. NGUYỄN THỊ NGỌC OANH

THÁI NGUYÊN - 2022


1

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ

5

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Hệ tuyến tính suy biến bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ tuyến
tính suy biến phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2 Tính chấp nhận được và ổn định hóa được của
hệ tuyến tính suy biến phân thứ

19

2.1. Phát biểu bài toán và một số định nghĩa . . . . . . . . . . 19
2.2. Tính chấp nhận được của hệ tuyến tính suy biến phân thứ 22
2.3. Tính ổn định hóa được của hệ tuyến tính suy biến phân thứ 30


2

LỜI NĨI ĐẦU
Hệ suy biến phân thứ hay cịn gọi là hệ phương trình vi phân đại số
phân thứ nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học
vì những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác
nhau [1]. Như chúng ta đã biết tính ổn định và ổn định hóa là một trong
những tính chất định tính cơ bản và quan trọng của mọi hệ động lực và
hệ suy biến phân thứ cũng khơng phải là ngoại lệ. Bài tốn nghiên cứu
tính ổn định, tính chấp nhận được và tính ổn định hóa của hệ suy biến
phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học
[8, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 18]. Chẳng hạn, X.F. Zhang và Y.Q. Chen [16]
trình bày một số điều kiện đủ cho bài tốn nghiên cứu tính chấp nhận
được và ổn định hóa vững của hệ tuyến tính suy biến phân thứ. Một
số tiêu chuẩn dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải bài tốn
nghiên cứu tính chấp nhận được và tính ổn định hóa vững của hệ phi
tuyến có cấu trúc nhiễu được đưa ra trong [17]. Bài toán ổn định trong
thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch tuyến tính phân thứ có trễ
được nghiên cứu trong [12] bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và kỹ
thuật “ inf − sup .
Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn giải bài tốn nghiên
cứu tính chấp nhận được và ổn định hóa của hệ tuyến tính suy biến phân
thứ trên cơ sở đọc hiểu và trình bày lại một cách chi tiết nội dung của
bài báo trong tài liệu [16]. Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội

dung sau:
Trong chương 1, chúng tơi trình bày một số khái niệm về giải tích


3

phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích
phân và đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ giữa đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo. Tiếp theo, chúng tơi
trình bày một số khái niệm về hệ phương trình vi phân suy biến bậc
nhất. Cuối cùng, chúng tơi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định
của hệ tuyến tính suy biến phân thứ. Nội dung chính của chương này
được viết dựa trên các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn
cho tính chấp nhận được và ổn định hóa được của hệ tuyến tính suy biến
phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ
tài liệu [16].
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận
và TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người
đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu
dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q trình thực hiện đề tài luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng
viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập
và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những
người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tơi trong suốt q
trình nghiên cứu. Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm

tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức
cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn.


4

Danh mục ký hiệu

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A

ma trận chuyển vị của ma trận A

Im

ma trận đơn vị cấp m

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

A

chuẩn phổ của ma trận A, A =

λmax (A A)

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

x
Rn×r

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) khơng gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t0 It

tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
α
t0 Dt , D

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

α
sym(P )

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α
thay thế cho P + P T


5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

1.1.1.

Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm
phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân
phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của
khái niệm tích phân lặp thơng thường.
Định nghĩa 1.1. ([5]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ
Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds,

t ∈ (a, b],

t0

+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0 Itα := I với I là
toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville
cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.
Định lý 1.1. ([5]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b].
Khi đó, tích phân t0 Itα x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 Itα x
cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.


6

Ví dụ 1.1. ([5])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng
ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

=λ

−α
j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville
và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([5]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng
[a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x :
[a, b] −→ R được cho bởi
RL α

t0 Dt x(t)

dn
:= n
dt

n−α
x(t)
t0 It

1
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,
t0

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)



 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

t−α
=
.
Γ(1 − α)


7

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các
hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối
liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như
sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp
nơi trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]

D=

d
}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([5]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có
dạng như sau:
n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,

+
k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t)

1
=
(n − 1)!

t

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
f (k) (t0 )
ϕ(s) = f (s), ck =
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
k!
Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm
(n)

phân thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([5]) Cho α ≥ 0, n = α . Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được

biểu diễn dưới dạng sau
n−1
RL α

t0 Dt f (t)

=
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


8

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1. ([5]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1
f (t0 )
+
=

Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville
là một tốn tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([4]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm
phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một tốn tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

1
dn

=
Γ(n − α) dtn
λ
dn
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds
t0
t
n−α−1

(t − s)
t0

µ
dn
f (s)ds +
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 g(s)ds
t0

α
RL α
= λ RL

t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([4]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng
[a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R
được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =

dn
dxn

là đạo hàm thông thường cấp n.
Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t))T đạo hàm phân
thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=

T
C α
C α

C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.


9

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo
phân thứ cấp α.
Định lý 1.3. ([5]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó
α
đạo hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn

nữa, ta có
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(1 − α)

t
t0

f (s)ds
.
(t − s)α

n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0

t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một
tốn tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([4]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm
phân thứ Caputo cấp α là một tốn tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ
Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([4]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số
α
thì C
t0 Dt ξ = 0.


10

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo
là nghịch đảo trái của tốn tử tích phân phân thứ.

Định lý 1.4. ([5]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung khơng là tốn tử
nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định
lý dưới đây
Định lý 1.5. ([5]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
n−1
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) −
k=0

f (k) (t0 )
(t − t0 )k .
k!

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)

= f (t) − f (t0 ).

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo
và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville.

Định lý 1.6. [5] Cho α > 0 và đặt n = α . Với bất kì x ∈ AC n [a, b],
chúng ta có:
n−1
C α
t0 Dt x(t)

=

RL α
t0 Dt

x(t) −
j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].
Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.
Kilbas và các đồng tác giả [5]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử
rằng f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây
α
t0 It

β
t0 It f (t)

=

β
t0 It

( t0 Itα f (t)) =

α+β
f (t),
t0 It

∀t ≥ t0 ≥ 0.


11

1.2.

Hệ tuyến tính suy biến bậc nhất

Xét hệ phương trình vi phân sau đây
F (x(t),
˙
x(t), t) = 0,

t ≥ 0,

(1.1)

trong đó x(t) ∈ Rn là trạng thái của hệ, x(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)),
F là hàm véc tơ của x(t), x(t)
˙

và t với số chiều phù hợp. Khi ma trận
Jacobian

∂F
∂ x˙

là suy biến ta nhận được hệ phương trình vi phân suy biến.

Một trường hợp đặc biệt của hệ (1.1) thường được quan tâm nghiên cứu
là hệ phương trình vi phân sau đây
E x(t)
˙
= H(x(t), t),

t ≥ 0,

trong đó H là hàm véc tơ của x(t) và t với số chiều thích hợp, E là ma
trận hằng số, suy biến. Các hệ có cấu tạo được mơ tả như trên nói chung
được gọi là hệ suy biến. Trong nhiều cơng trình nghiên cứu, hệ suy biến
cịn được gọi là hệ mô tả các biến, hệ trạng thái tổng quát, hệ phương
trình vi phân đại số. Nhiều hệ thống trong thực tế như hệ thống điện,
hàng không vũ trụ, hệ kinh tế xã hội, công nghệ sinh học thường được
mơ hình hóa bởi hệ phương trình vi phân suy biến. Vì vậy hệ phương
trình vi phân suy biến đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học với nhiều cơng trình và sách chun khảo được công bố về
lớp hệ này [2, 3, 6, 7].
Dưới đây, chúng tơi trình bày một số kết quả về nghiệm của hệ phương
trình tuyến tính suy biến
E x(t)
˙

= Ax(t) + f (t),

t ∈ T,

(1.2)

trong đó ma trận E ∈ Rn×n là suy biến (det(E) = 0), A ∈ Rn×n là ma
trận hằng số cho trước, f (t) ∈ Rn , f (t) được xem là khả vi tới bậc cần
thiết. T = (a, b) là một khoảng của đường thẳng thực.
Trong trường hợp rank(E) = n, hệ (1.2) có dạng
x(t)
˙
= E −1 Ax(t) + E −1 f (t)


12

là phương trình vi phân bậc nhất thơng thường, vấn đề tồn tại nghiệm
được giải quyết bằng định lý Peano hoặc Picard - Lindeloff.
Khi E là ma trận suy biến, vấn đề tồn tại nghiệm sẽ trở nên phức tạp
hơn do xuất hiện các ràng buộc đại số. Tiếp theo, chúng tơi tìm hiểu vấn
đề tồn tại nghiệm của hệ suy biến trong trường hợp tuyến tính.
Định nghĩa 1.4. Hàm x(t) được gọi là nghiệm của (1.2) trên khoảng T
nếu x(t) là hàm khả vi liên tục trên T (tức là x(·) ∈ C 1 (T, Rn )) và khi
thay x(t) vào (1.2) thì ta được đẳng thức đúng với mọi t ∈ T.
Khác với hệ phương trình vi phân thường, khơng gian nghiệm của hệ
phương trình vi phân suy biến (1.2) có thể là vơ hạn chiều.
Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân suy biến sau





 
−1 −1 x1 (t)
1 1
x˙ (t)

 , t ∈ (0, 1).

 1  = 
(1.3)
−1 −1 x2 (t)
0 0
x˙ 2 (t)


k
x1 (t)
 trong đó xk1 (t) = tk , xk2 (t) = −tk
Khi đó các hàm có dạng xk (t) = 
xk2 (t)
với k ∈ N sẽ là nghiệm của hệ (1.3). Hơn nữa ta còn chứng minh được
rằng dãy các hàm {xk (t), k ∈ N} là độc lập tuyến tính. Như vậy không
gian nghiệm của (1.3) là vô hạn chiều. Từ Ví dụ 1.3 cho thấy, khác với
phương trình vi phân thường không phải lúc nào không gian nghiệm của
phương trình vi phân suy biến cũng là một khơng gian hữu hạn chiều.
Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến phụ thuộc
chặt chẽ vào vế phải. Điều này được thể hiện trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.4. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến sau đây



 

 

0 1
x˙ (t)
2 0
x (t)
f (t)

 1  + 
  1  =  1  , t ∈ (0, 1).
(1.4)
0 0
x˙ 2 (t)
0 1
x2 (t)
f2 (t)


13

Hệ (1.4) viết lại dưới dạng sau


x˙ 2 (t) + 2x1 (t) = f1 (t),

(1.5)


x2 (t) = f2 (t).
Từ (1.5) ta thu được x1 (t) = 12 (f1 (t) − f˙2 (t)) và x2 (t) = f2 (t). Như vậy,
nếu ta chỉ giả thiết f (·) ∈ C((0, 1), R2 ), và f khơng khả vi thì hệ (1.4)
sẽ khơng có nghiệm theo Định nghĩa 1.4, vậy hệ (1.4) là vơ nghiệm. Để
phương trình (1.4) có nghiệm theo Định nghĩa 1.4 ta phải đặt thêm điều
kiện, ví dụ như hàm f (·) là hàm khả vi đến cấp 2.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa cặp ma trận chính quy. Đây
là một công cụ quan trọng để nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của hệ
phương trình tuyến tính suy biến.
Định nghĩa 1.5. Cặp ma trận (E, A) được gọi là cặp ma trận chính quy
nếu tồn tại số λ ∈ C sao cho det(A0 − λE) = 0.
Xét hệ (1.2), để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.2)
ta giả sử cặp ma trận (E, A) thỏa mãn điều kiện chính quy và f (t) là
hàm khả vi tới bậc cần thiết. Khi đó tồn tại hai ma trận P, Q [3] sao cho




Ir 0
A
0
 , P AQ =  01
,
P EQ = 
0 N
0 In−r
trong đó N ∈ R(n−r)×(n−r) là ma trận lũy linh cấp k. Với phép biến đổi



x (t)
 1  = Q−1 x(t), x1 (t) ∈ Rr , x2 (t) ∈ Rn−r ,
x2 (t)
hệ (1.2) đưa về hệ vi phân đại số


x˙1 (t)
= A01 x1 (t) + f1 (t),

N x˙ 2 (t) = x2 (t) + f2 (t).

(1.6)


14

Hệ này có nghiệm là
t
A01 t

x1 (t) = e

eA01 (t−s) f1 (s)ds,

x1 (0) +
0

(1.7)

k−1

(i)
N i f2 (t),

x2 (t) = −
i=0
(i)

trong đó f2 (t) là đạo hàm cấp i của hàm f2 (t).
Ví dụ 1.5. (xem [3], trang 14) Xét hệ suy biến




 
1 0 0 0
0 1 0 0
0




 
0 0 1 0
 1 0 0 0
0




 

˙
=

 x(t)
 x(t) +   Vs (t),
0 0 0 0
−1 0 0 1
0




 
0 0 0 0
0 1 1 1
−1
trong đó Vs (t) là hàm điều khiển đầu vào. Sử dụng phép đổi


x1 (t)
 , x1 (t) ∈ R2 , x2 (t) ∈ R2 ,
Q−1 x(t) = 
x2 (t)



1 0 1 −1
1 0 0




 0 1 0 0
−1 −1 1



P =
Q=
,
 0 0 −1 1 
0 1 0



0 0 1 0
1 0 0
khi đó hệ trở thành



 




−1 −1
1

x
˙

(t)
=
x
(t)
+



  Vs (t),
1
1



1 0
0
 




−1

0
=
x
(t)
+

  Vs (t),

2



0
trong đó A01

(1.8)

biến

0




0

,
0

1

(1.9)



 
 
−1 −1

1
−1
 , N = 0, f1 (t) =   Vs (t), f2 (t) =   Vs (t),
=
1 0
0
0


15

vậy ta thu được nghiệm có dạng
t

x1 (t) = eA01 t x1 (0) +
0

 
1
eA01 (t−τ )   Vs (τ )dτ,
0
(1.10)

 
1
x2 (t) =   Vs (t).
0
Tính tốn trực tiếp ta thu được




x (t)
 1





x(t) = 
,
−1 −1
 x1 (t)
x2 (t) + 
1 0

trong đó
√
√
√


√
3
3
3
1
t − 3 cos
t
−2 sin

t
− t − sin
2
2
2 √ 
√
√
x1 (t) = e 2 
 x1 (0)
√
3
3
3
2 sin
t
sin
t + 3 cos
t
2
2
2
√
√


√
3
3
1
t − (t−τ ) − sin

(t − τ ) − 3 cos
(t − τ )

2
2
√
e 2
+

 Vs (τ )dτ,
3
0
2 sin
(t − τ )
2
 
1
x2 (t) =   Vs (t).
0
Định nghĩa 1.6. Cặp ma trận (E, A) gọi là không xung (impulse-free)
nếu thỏa mãn deg(det(zE − A0 )) = rank(E) = r.
Giả sử (E, A) chính quy, 
khi đó tồn
 tại hai ma trận khả nghịch P, Q ∈
Rn×n [3] sao cho P EQ = 

Ir 0

0 N

, trong đó r = rank(E) ≤ n, N ∈

R(n−r)×(n−r) lũy linh chỉ số ν, với ν là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa
mãn N ν = 0, N ν−1 = 0. Khi đó chỉ số của hệ (1.2) là chỉ số lũy lĩnh ν của
N. Khi N = 0 hệ (1.2) có chỉ số 1, từ Bổ đề 2.2 trong [6] suy ra hệ (1.2)
không xung. Ngược lại nếu rank(E) = r < n và hệ (1.2) không xung, từ


16

Bổ đề 2.2 trong [6] hệ (1.2) có chỉ số 1. Tuy nhiên nếu rank(E) = n (E khả
nghịch) khi đó hệ (1.2) khơng xung (vì deg(det(zE−A0 )) = rank(E) = n)
và có chỉ số 0.
Nhận xét 1.1. Theo L. Dai [3], điều kiện chính quy và khơng xung đảm
bảo hệ



 E x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0,

 x(0) = x0

tồn tại và duy nhất nghiệm trên [0, +∞).

1.3.

Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ
tuyến tính suy biến phân thứ

Mục này chúng tơi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm
cận của hệ tuyến tính suy biến phân thứ. Nội dung mục này được viết
dựa trên tài liệu [11] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Xét hệ tuyến tính suy biến phân thứ


 EDα x(t) = Ax(t), t ≥ 0,

(1.11)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó α ∈ (0, 1) là bậc phân thứ của hệ, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng
thái, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến với rank(E) = r ≤ n, A ∈ Rn×n là
ma trận hằng số cho trước.
Định nghĩa 1.7. [11] Hệ (1.11) được gọi là chính quy nếu với điều kiện
ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn cho trước, hệ (1.11) tồn tại và duy nhất nghiệm
trên [0, +∞).
Ta có thể ký hiệu hệ (1.11) bởi bộ (E, A, α). Mệnh đề dưới đây cho ta
một tiêu chuẩn để bộ (E, A, α) chính quy, hay đó cũng là tiêu chuẩn để
hệ (1.11) chính quy.


17

Mệnh đề 1.5. [10] Bộ (E, A, α) chính quy khi và chỉ khi det (sα E − A) =
0, với s ∈ C nào đó.
Mệnh đề sau đây có vai trị quan trọng khi nghiên cứu tính ổn định
của hệ (1.11).

Mệnh đề 1.6. [11] Giả sử det (sα E − A) = 0, với s ∈ C nào đó. Khi đó
(i) Tồn tại các ma trận khơng suy biến P và Q thỏa mãn
P EQ = diag{Ir , N }, P AQ = diag{A1 , In−r },

(1.12)

trong đó A1 ∈ Rr×r và N ∈ R(n−r)×(n−r) là một ma trận lũy linh.
(ii) Nếu deg (det(βE − A)) = rank(E) thì tồn tại hai ma trận không suy
biến P và Q thỏa mãn
P EQ = diag{Ir , 0}, P AQ = diag{A1 , In−r },

(1.13)

trong đó β ∈ C, A1 ∈ Rr×r và rank(E) = r.
Chứng minh. Giả sử rank(E) = r và det (sα E − A) = 0, với s ∈ C nào
đó. Khi đó theo [3] tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho
hệ (1.11) đưa về dạng tương đương sau đây
P EQQ−1 Dα x(t) = P AQQ−1 x(t)


 


α
(1.14)
Ir 0
D x1 (t)
A1 0
x1 (t)









⇔
=
,
0 N
Dα x2 (t)
0 In−r
x2 (t)


x1 (t)
 = Q−1 x(t). Vì deg (det(βE − A)) = rank(E) nên theo
trong đó 
x2 (t)
[3] ta suy ra N = 0.
Theo mệnh đề trên, hệ (1.11) sẽ đưa về hệ phương trình vi phân phân
thứ
Dα x1 (t) = A1 x1 (t)

(1.15)

N Dα x2 (t) = x2 (t),

(1.16)

và hệ phương trình đại số


18
(n−r)×(n−r)
trong đó N ∈ R
 là ma trận lũy linh, P EQ = diag{Ir , N }, P AQ =
x1 (t)
 = Q−1 x(t), x1 (t) ∈ Rr , x2 (t) ∈ Rn−r .
diag{A1 , In−r }, 
x2 (t)

Định nghĩa 1.8. [10] Hệ (1.11) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nghiệm
x(t) của hệ thỏa mãn lim

t−→+∞

x(t) = 0.

Định lý dưới đây đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận
của hệ (1.11).
Định lý 1.8. [11] Hệ tuyến tính suy biến phân thứ (1.11) ổn định tiệm
cận nếu các điều sau đây thỏa mãn:
(i) Bộ (E, A, α) chính quy, tức là det (sα E − A) = 0, với s ∈ C nào đó.
(ii) Cặp (E, A) không xung, tức là deg (det(βE − A)) = rank(E).
(iii) Tập tất cả các giá trị riêng λi của ma trận A1 trong hệ (1.17) thỏa
mãn | arg(λi )| > α π2 , ∀i = 1, 2, . . . , r.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.5, nghiệm x(t) của hệ tồn tại và duy nhất
nếu điều kiện (i) thỏa mãn. Theo Mệnh đề 1.6, tồn tại các ma trận không

suy biến P và Q sao cho hệ (1.11) viết lại dưới dạng (1.17) với N = 0,
tức là hệ trở thành


 


α
I 0 D x1 (t)
A
0
x (t)
 r 
= 1
 1 ,
0 0 Dα x2 (t)
0 In−r
x2 (t)

(1.17)

trong đó rank(E) = r < n. Từ đó suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ
đưa về tính ổn định của hệ Dα x1 (t) = A1 x1 (t). Theo kết quả trong [10],
hệ ổn định nếu điều kiện (iii) được thỏa mãn.


19

Chương 2

Tính chấp nhận được và ổn định
hóa được của hệ tuyến tính suy
biến phân thứ
2.1.

Phát biểu bài tốn và một số định nghĩa

Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ
EDα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(2.1)

trong đó α ∈ (0, 1) x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ, u(t) ∈ Rl là véc
tơ điều khiển, E ∈ Rn×n là ma trận hằng số thỏa mãn 0 ≤ rank(E) =
m ≤ n, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×l là các ma trận hằng số cho trước.
Khi khơng có tác động của véc tơ điều khiển, hệ (2.1) trở thành
EDα x(t) = Ax(t), t ≥ 0.

(2.2)

Ta có thể đồng nhất hệ (2.1) với bộ (E, A, α). Khi ma trận E = I, hệ
(2.2) trở thành hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ
Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0.

(2.3)

Định nghĩa 2.1. [16]
• Bộ (E, A, α) được gọi là chính quy nếu det(sα E − A) = 0 với s ∈ C
nào đó.

20

• Bộ (E, A, α) được gọi là khơng xung (impulse-free) nếu deg(det(sE −
A)) = rank(E).
• Bộ (E, A, α) được gọi là ổn định nếu tập tất cả các nghiệm của
phương trình det (sα E − A) = 0 thỏa mãn | arg(spec(E, A, α))| >
α π2 , trong đó spec(E, A, α) chính là tập phổ hay là tập tất cả các
nghiệm của phương trình det (sα E − A) = 0.
• Bộ (E, A, α) được gọi là chấp nhận được (admissible) nếu nó là chính
quy, khơng xung và ổn định.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày một số bổ đề sẽ được dùng trong các
mục tiếp theo của chương này.
Bổ đề 2.1. [16] Hệ (2.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại các ma
trận X, Y ∈ Rn×n sao cho


X Y

 < 0,
−Y X
aAX − bAY + aXAT + bY AT < 0,

(2.4a)
(2.4b)

trong đó a = sin α π2 , b = cos α π2 .
Bổ đề 2.2. [16] Hệ (2.2) chính qui khi và chỉ khi tồn tại hai ma trận
không suy biến M và N sao cho





A
0
Im
0
,
 , M AN =  1
M EN = 
0 In−m
0 Jn−m

(2.5)

trong đó Jn−m là một ma trận lũy linh.
Giả sử hệ (2.2) chính quy, khi đó theo Bổ đề 2.2 hệ (2.2) biến đổi thành


 Dα x1 (t) = A1 x1 (t),

 Jn−m Dα x2 (t) = x2 (t),


21
T

trong đó x1 (t) x2 (t) = N −1 x(t), điều kiện ban đầu cho bởi





α
Eα,1 (At ) x1 (0)
x1 (t)



 = N  n−m−1
,
(k−1)α
k
−
δ
(t)J
x
(0)
x2 (t)
n−m 2

(2.6)

k=1
α

trong đó Eα,1 (At ) là hàm Mittag-Leffler xác định bởi
∞
α

Eα,1 (At ) =

k=0

Ak tkα
.
Γ(kα + 1)

Bổ đề 2.3. [16] Giả sử rằng hệ (2.2) chính quy và tồn tại hai ma trận
khơng suy biến M và N sao cho điều kiện (2.5) thỏa mãn. Khi đó:
(a) Hệ (2.2) khơng xung nếu và chỉ nếu Jn−m = 0,
(b) Hệ (2.2) ổn định nếu và chỉ nếu | arg spec(A1 , α) | > α π2 ,
(c) Hệ (2.2) chấp nhận được nếu và chỉ nếu Jn−m = 0 và | arg spec(A1 , α) | >
α π2 ,
Chú ý rằng khi tính chính quy của hệ (2.2) khơng được bảo đảm, ta
vẫn ln tìm được hai ma trận không suy biến M và N sao cho




A A
Im 0
 , M AN =  1 2  .
M EN = 
A3 A4
0 0

(2.7)

Bổ đề sau đây cho ta một số tiêu chuẩn cho tính chấp nhận được của hệ
(2.2) trong trường hợp này.
Bổ đề 2.4. Xét hệ (2.2). Khi đó

(a) Hệ (2.2) chính quy nếu và chỉ nếu ma trận A4 không suy biến.
(b) Hệ (2.2) chấp nhận được nếu và chỉ nếu ma trận A4 không suy biến
π
và | arg spec(A1 − A2 A−1
4 A3 , α) | > α 2 .


P X
ˆ =
 , trong đó P, X, Y và Z là các ma trận
Bổ đề 2.5. [6] Cho N
Y Z

thực có số chiều thích hợp sao cho các phép tốn đại số về ma trận thực
ˆ +N
ˆ T < 0. Khi đó Z không suy biến và
hiện được và N
P + P T − XZ −1 Y − Y T Z −T X T < 0.


22

2.2.

Tính chấp nhận được của hệ tuyến tính suy biến phân
thứ

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính chấp
nhận được của hệ tuyến tính suy biến phân thứ (2.2).
Định lý 2.1. [16] Hệ (2.2) chấp nhận được khi và chỉ khi tồn tại các ma

trận X, Y ∈ Rn×n sao cho

 

T T
T T
EX EY
X E −Y E

=
 ≥ 0,
T T
T T
−EY EX
Y E
X E
A (aX − bY ) + (aX − bY )T AT < 0,

(2.8a)
(2.8b)

trong đó a = sin α π2 , b = cos α π2 .
Chứng minh. * Điều kiện đủ: Đối với hệ (2.2) ta ln tìm được hai ma
trận không suy biến M và N thỏa mãn điều kiện (2.7). Đặt




X 1 X2
Y Y

 , N −1 Y M T =  1 2  .
N −1 XM T = 
Y3 Y4
X 3 X4

(2.9)

Từ điều kiện (2.8a) ta suy ra X2 = Y2 = 0 và X1 = X1T ≥ 0, Y1 = −Y1T .
Từ các điều kiện (2.7) và (2.8b), ta suy ra


U U2
 1
 < 0,
T
U2 U3
trong đó
U1 = A1 (aX1 − bY1 ) + (aX1 − bY1 )T AT1 + A2 (aX3 − bY3 )
+ (aX3 − bY3 )T AT2 ,
U2 = A2 (aX4 − bY4 ) + (aX1 − bY1 ) AT3 + (aX3 − bY3 )T AT4 ,
U3 = A4 (aX4 − bY4 ) + (aX4 − bY4 )T AT4 .
Từ (2.10) ta suy ra
A4 (aX4 − bY4 ) + (aX4 − bY4 )T AT4 < 0.

(2.10)


23

Từ đó suy ra ma trận A4 (aX4 − bY4 ) khơng suy biến. Do đó ma trận A4

khơng suy biến. Suy ra hệ (2.2) chính quy và khơng xung. Đặt


T T
A (aX1 − bY1 ) + (aX3 − bY3 ) A2 A2 (aX4 − bY4 )
ˆ = 1
.
N
A3 (aX1 − bY1 ) + A4 (aX3 − bY3 ) A4 (aX4 − bY4 )
Từ (2.10) suy ra

ˆ +N
ˆT = 
N

U1 U2
U2T

U3


 < 0.

Áp dụng Bổ đề 2.5 và sử dụng một số tính tốn trực tiếp, ta suy ra
T
A1 − A2 A−1
A1 − A2 A−1
4 A3 (aX1 − bY1 ) + (aX1 − bY1 )
4 A3

T

< 0.
(2.11)

Từ điều kiện (2.11) và Bổ đề 2.1 ta suy ra bộ (E, A, α) ổn định. Từ đó
suy ra hệ (2.2) chấp nhận được.
Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.2) chấp nhận được. Khi đó theo Bổ đề 2.2
và Bổ đề 2.4 tồn tại hai ma trận không suy biến M1 và N1 thỏa mãn
(2.5)
π
| arg(spec(A1 , α))| > α .
2
Từ bất đẳng thức trên và áp dụng Bổ đề 2.1, ta suy ra tồn tại các ma
trận X1 và Y1 sao cho (2.4a) thỏa mãn và
T

A1 (aX1 − bY1 ) + (aX1 − bY1 )T A1 < 0.
Đặt




X1
0
Y 0
 M1−T , Y = N1  1  M1−T .
X = N1 
0 0
0 −In−m

Bằng các tính tốn trực tiếp, ta kiểm tra được các ma trận X và Y thỏa
mãn điều kiện (2.8a) và (2.8b).
Chú ý rằng điều kiện (2.8a) trong Định lý 2.1 chứa dấu bằng nên điều
kiện này không thật sự là bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Do đó điều
kiện (2.8a) khó kiểm tra bằng MATLAB. Định lý dưới đây đưa ra một