Eureka uni giải tích 2 ch3 tích phân đường full

Eureka! Uni - YouTube

1

Eureka Uni (facebook.com)

EUREKA! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo
1. Bùi Xuân Diệu (2017). Bài giảng Giải tích II. Cập nhật 2017. Viện Toán ứng dụng và Tin học.
ĐH BKHN.

2. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Tốn học cao cấp tập
III. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục.

Free Video Playlists
1. ĐẠI SỐ:

/>
3. GIẢI TÍCH:

/>
2. GIẢI TÍCH 1:

/>
4. GIẢI TÍCH 2:

/>
6. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ:

/>
5. TOÁN CAO CẤP NEU:
7. KINH TẾ LƯỢNG:

/> />
8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: />DONATE cho Eureka! Uni

* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

* Ví Momo: 0986.960.312

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


2

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I VÀ II

TÍCH PHÂN
ĐƯỜNG

LOẠI I

LOẠI II

AB dạng

AB dạng

y = f(x)

tham số

Cung mở

Cung kín

Cơng thức
Green

VIDEO HƯỚNG DẪN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA EUREKA UNI
LOẠI 1

LOẠI 2

MỤC LỤC

3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I VÀ II ................................................................................................ 2

3.1.1 Tóm tắt lý thuyết ........................................................................................................................ 3
3.1.2. Bài tập ví dụ ................................................................................................................................. 6

3.1.2.1. Tích phân đường loại I .................................................................................................. 6
3.1.2.2. Tích phân đường loại II ............................................................................................. 10

3.2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ GIẢI CHI TIẾT .................................................................................. 15
3.1.2 Tích phân đường loại I ......................................................................................................... 15
3.2.2. Tích phân đường loại II ...................................................................................................... 21

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

3.1.1 Tóm tắt lý thuyết

3
Eureka Uni (facebook.com)

�)
Loại I (không phụ thuộc hướng của 𝑨𝑨𝑨𝑨

� ⊂ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
TH1. Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐼𝐼11 = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑠𝑠
�
𝐴𝐴𝐴𝐴

�)
Loại II (phụ thuộc hướng của 𝑨𝑨𝑨𝑨

�:
Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐼𝐼21 = � 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦

Cung 𝐿𝐿 khép kín:

�
𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐿𝐿
𝐼𝐼21
= �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦
𝐿𝐿

Chiều dương của L:

• “…là chiều sao cho một người đi dọc L theo chiều
đó sẽ thấy miền giới hạn bởi L gần mình nhất ở
vế bên trái…” (Nguyễn Đình Trí, 2006).

• “…là hướng sao cho một người đi dọc đường

cong ấy theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới

hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía

Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

bên trái…” (Bùi Xuân Diệu, 2017).

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


4
Eureka Uni (facebook.com)

Eureka! Uni - YouTube

• là hướng khi đi trên đó, tay trái ln nằm ở trong

miền phẳng giới hạn bởi cung L (Hồng Bá

� tính bằng:
Chiều dài cung 𝐴𝐴𝐴𝐴

� d𝑠𝑠
�
𝐴𝐴𝐴𝐴

� cho bởi 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) dạng tường minh:
Khi 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥)
�
⇒ d𝑠𝑠 = �1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏

𝑏𝑏

𝐼𝐼11 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥))�1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥
𝑎𝑎

Tương tự với hàm ngược 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑦𝑦).

� cho bởi 𝑦𝑦(𝑥𝑥) cho dạng tham số:
Khi 𝐴𝐴𝐴𝐴

d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)d𝑡𝑡
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
� 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) ⇒ � ′ 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)
𝑦𝑦𝑥𝑥 = ′
𝑡𝑡1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡2
𝑥𝑥 (𝑡𝑡)

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Mạnh, 2023).

� 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦
�
𝐴𝐴𝐴𝐴

= − � 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦
�
𝐵𝐵𝐵𝐵

� cho bởi 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥), (𝑎𝑎 → 𝑏𝑏), d𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′d𝑥𝑥:

Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑏𝑏

𝐼𝐼21 = � [𝑃𝑃 + 𝑄𝑄. 𝑦𝑦 ′ (𝑥𝑥)]d𝑥𝑥
𝑎𝑎

� cho bởi 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑡𝑡𝐴𝐴 → 𝑡𝑡𝐵𝐵 ,
Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴
d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)d𝑡𝑡, d𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)d𝑡𝑡:
𝑡𝑡𝐵𝐵

𝐼𝐼21 = � [𝑃𝑃. 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) + 𝑄𝑄. 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)]d𝑡𝑡
𝑡𝑡𝐴𝐴

Cơng thức Green

Miền phẳng 𝐷𝐷 có đường biên là 𝐿𝐿 (kín).

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube
𝑡𝑡2

𝐼𝐼11 = �

𝑡𝑡1

𝑓𝑓 (𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡))�(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2

+

5
Eureka Uni (facebook.com)

(𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡

Tồn tại 𝑄𝑄𝑥𝑥′ , 𝑃𝑃𝑦𝑦′ liên tục trên miền 𝐷𝐷 thì:

� được cho bởi phương trình trong tọa
Tương tự khi 𝐴𝐴𝐴𝐴
độ cực.

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
� ⊂ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 cho bởi: � 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡)
TH2. Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑡𝑡)
𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏
𝑏𝑏

𝐼𝐼12 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑠𝑠
�
𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐼𝐼12 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥 (𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑧𝑧(𝑡𝑡)��(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 + (𝑧𝑧𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡
𝑎𝑎

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

�𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � �𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐿𝐿

𝐷𝐷

Điều kiện không phụ thuộc đường đi
Nếu 𝐷𝐷 đơn liên, liên thông, 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 và các đạo hàm riêng
liên tục trong 𝐷𝐷. Bốn mệnh đề sau tương đương:
1. 𝑄𝑄𝑥𝑥′ ≡ 𝑃𝑃𝑦𝑦′ với mọi (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷

2. ∮𝐿𝐿 𝑃𝑃d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄d𝑦𝑦 = 0 với mọi 𝐿𝐿 nằm trong 𝐷𝐷

3. ∫𝐴𝐴𝐴𝐴
� 𝑃𝑃d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄d𝑦𝑦 = 0 với mọi đường nối A và B
nằm trong 𝐷𝐷.

4. 𝑃𝑃d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄d𝑦𝑦 ≡ d𝑤𝑤.

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


6

Eureka! Uni - YouTube

3.1.2. Bài tập ví dụ

Eureka Uni (facebook.com)

3.1.2.1. Tích phân đường loại I
2

3

2
3

Ví dụ 1.1. Tính độ dài cung 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4.
Độ dài đường cong tính bởi
�d𝑠𝑠
𝐿𝐿

Do đường cong là đối xứng tâm qua gốc
tọa độ nên:

𝜋𝜋
2

�d𝑠𝑠 = 4 � d𝑠𝑠 = 4 � �(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡
𝐿𝐿

𝐿𝐿′

0

Trong đó 𝐿𝐿′ là phần đường cong 𝐿𝐿 ở góc phần tư thứ nhất.

Tham số hóa đường cong 𝐿𝐿′ : 𝑥𝑥 = 8 cos 3 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 = 8 sin3 𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤

𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = (8 cos3 𝑡𝑡)′ = 8.3. (cos 𝑡𝑡)′ cos2 𝑡𝑡 = −24 sin 𝑡𝑡 cos 2 𝑡𝑡 ,
𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 24 cos 𝑡𝑡 sin2 𝑡𝑡

𝜋𝜋
2

�(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 = �(24 sin 𝑡𝑡 cos2 𝑡𝑡)2 + (24 cos 𝑡𝑡 sin2 𝑡𝑡)2

= 24�sin2 𝑡𝑡 cos 4 𝑡𝑡 + cos 2 𝑡𝑡 sin4 𝑡𝑡 = 24�sin2 𝑡𝑡 cos 2 𝑡𝑡
= 24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡

𝜋𝜋
2

𝜋𝜋
2

𝜋𝜋/2
�d𝑠𝑠 = 4 � 24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = 4 � 12 sin 2𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = −24 cos 2𝑡𝑡 �
0
𝐿𝐿
0
0
= 48

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


7

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

Ví dụ 1.2. Tính tích phân đường ∫𝐿𝐿(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )d𝑠𝑠, với 𝐿𝐿 là biên của hình
tam giác 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂: 𝑂𝑂(0,0), 𝐴𝐴(1,1), 𝐵𝐵(−1,1).
𝑏𝑏

�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥))�1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥
𝐿𝐿

𝑎𝑎

Phương trình các cạnh
OA: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)

AB: 𝑦𝑦 = 1 (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)

BO: 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0)
� (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )d𝑠𝑠 = � (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )d𝑠𝑠 + � (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )d𝑠𝑠 + � (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )d𝑠𝑠
𝐿𝐿

1

𝑂𝑂𝑂𝑂
1

0

1

−1

2

−1
0

= 2√2 � 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 2 + 1)d𝑥𝑥 + 2√2 � 𝑥𝑥 2 d𝑥𝑥
=

0

2

2)

𝐵𝐵𝐵𝐵

= � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 √2d𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 + 1)d𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 )√2d𝑥𝑥
0

2

𝐴𝐴𝐴𝐴
1

−1

−1

2√2 3 0
8 + 4√2
2√2 3 1
1
1
+
=
𝑥𝑥 � + � 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥� �
𝑥𝑥 �
0
−1
−1
3
3
3
3

Ví dụ 1.3. Tính tích phân đường ∫𝐿𝐿 𝑦𝑦𝑒𝑒 −𝑥𝑥 d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường 𝑥𝑥 =
ln(1 + 𝑡𝑡 2 ) , 𝑦𝑦 = 2 arctan 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 3, với 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1.
𝑡𝑡2

2

2

�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)���𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)� + �𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)� d𝑡𝑡
𝐿𝐿

𝑡𝑡1

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

�𝑦𝑦𝑒𝑒
𝐿𝐿

8

Eureka Uni (facebook.com)

2𝑡𝑡
2
′( )
𝑡𝑡
=
,
𝑦𝑦
−1
1 + 𝑡𝑡 2
1 + 𝑡𝑡 2
4𝑡𝑡 2
4
4
′( ) 2
′( ) 2
+

−
+1=1
�𝑥𝑥 𝑡𝑡 � + �𝑦𝑦 𝑡𝑡 � =
(1 + 𝑡𝑡 2 )2 (1 + 𝑡𝑡 2 )2 1 + 𝑡𝑡 2

−𝑥𝑥

𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) =

1

2

d𝑠𝑠 = � (2 arctan 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 3)𝑒𝑒 − ln�1+𝑡𝑡 � d𝑡𝑡
0

1

=�

0
1

2 arctan 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 3
d𝑡𝑡
1 + 𝑡𝑡 2

2 arctan 𝑡𝑡 + 3
1 1 2𝑡𝑡
=�

d𝑡𝑡 − �
d𝑡𝑡
2
2
1
+
𝑡𝑡
2
1
+
𝑡𝑡
0
0
1

1 1 1
= � (2 arctan 𝑡𝑡 + 3)d(arctan 𝑡𝑡) − �
d(1 + 𝑡𝑡 2 )
2
2 0 1 + 𝑡𝑡
0
1
1
= �arctan2 𝑡𝑡 + 3 arctan 𝑡𝑡 − ln(1 + 𝑡𝑡 2 )� �
0
2
1
𝜋𝜋 2 3
+ 𝜋𝜋 − ln 2
=

2
16 4
Ví dụ 1.4. Tính tích phân đường ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường
𝑥𝑥 = 𝑡𝑡,

1
𝑦𝑦 = �8𝑡𝑡 3 ,
3
𝑏𝑏

1
𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 2 ,
2

0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1

� 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑠𝑠 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑧𝑧(𝑡𝑡)��(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 + (𝑧𝑧𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡
�
𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑎𝑎

𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = 1,

𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = √2𝑡𝑡,

𝑧𝑧 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡

�[𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)]2 + [𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)]2 + [𝑧𝑧 ′ (𝑡𝑡)]2 = �1 + 2𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 2 = 𝑡𝑡 + 1
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube
1

9

Eureka Uni (facebook.com)

1
1 2 √2 9
3
�
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 ×
𝑡𝑡 2
8𝑡𝑡 × 𝑡𝑡 =
3
2
3

11
2 13 1
√2 9
√2 1 9
√2 2 11
2
2
2

2
(
)
𝐼𝐼 = �
𝑡𝑡 1 + 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 =
� �𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 =
� 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 2 � �
0
13
3
3
3
11
0
0

=

16√2
143

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

3.1.2.2. Tích phân đường loại II

10

Eureka Uni (facebook.com)

Ví dụ 2.1. ∫𝐿𝐿 𝑦𝑦d𝑥𝑥 − (𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 2 )d𝑦𝑦, 𝐿𝐿 là cung parabol 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 nằm ở
trên trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 theo chiều kim đồng hồ.

𝑏𝑏

�𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � [𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑦𝑦 ′ ]d𝑥𝑥
𝐿𝐿

𝑎𝑎

𝑦𝑦 ′ (𝑥𝑥) = 2 − 2𝑥𝑥

2

𝐼𝐼 = � [(2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ) − (2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 )(2 − 2𝑥𝑥)]d𝑥𝑥
0

2

2
= � (3𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 ) � = 4
0
0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


11

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

Ví dụ 2.2. Tính ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦d𝑦𝑦 theo đường 𝑥𝑥 2 +
điểm 𝐴𝐴(1,0) với 𝐵𝐵(0,2) theo chiều dương.

𝑦𝑦 2
4

= 1 nối

Hướng 1. Biểu diễn tường minh 𝑦𝑦 theo 𝑥𝑥

𝑦𝑦 2
= 1 ⇔ 𝑦𝑦 = 2�1 − 𝑥𝑥 2
𝑥𝑥 +
4
2

𝑦𝑦 ′ = −

2𝑥𝑥

√1 − 𝑥𝑥 2

� (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦d𝑦𝑦
𝐴𝐴𝐴𝐴

0

= � ��𝑥𝑥. 2�1 − 𝑥𝑥 2 − 1� + 𝑥𝑥 2 . 2�1 − 𝑥𝑥 2 �−
1
0

= � �2𝑥𝑥 �1 − 𝑥𝑥 2 − 1 − 4𝑥𝑥 3 � d𝑥𝑥
1
0

= � 2𝑥𝑥 �1 −
1

0

𝑥𝑥 2 d𝑥𝑥

= − � (1 − 𝑥𝑥
1

1
2 )2

2𝑥𝑥

√1 −

𝑥𝑥 2

�� d𝑥𝑥

0

− � (1 + 4𝑥𝑥 3 )d𝑥𝑥
1

d(1 − 𝑥𝑥

2)

0

− � (1 + 4𝑥𝑥 3 )d𝑥𝑥
1

3
2
2
4
0
0
= − (1 − 𝑥𝑥 2 )2 � − (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 4 ) � = − + 2 =
1
1
3
3

3

Hướng 2. Tham số hóa cung 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑥𝑥 = cos 𝑡𝑡 ,

𝑦𝑦 = 2 sin 𝑡𝑡 ,

⇒ 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = − sin 𝑡𝑡 ,

Chiều dương trùng chiều tăng của 𝑡𝑡.
Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

0 ≤ 𝑡𝑡 ≤

𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 2 cos 𝑡𝑡

𝜋𝜋
2

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


12

Eureka! Uni - YouTube

� (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦d𝑦𝑦
𝐴𝐴𝐴𝐴

Eureka Uni (facebook.com)

𝜋𝜋
2

= � [cos 𝑡𝑡 . 2 sin 𝑡𝑡 − 1)(− sin 𝑡𝑡 d𝑡𝑡)
0

+ cos 2 𝑡𝑡 . 2 sin 𝑡𝑡 . 2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡
𝜋𝜋
2

= � (−2 sin2 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 + sin 𝑡𝑡 + 4 cos 3 𝑡𝑡 sin 𝑡𝑡) d𝑡𝑡
0

𝜋𝜋
2

𝜋𝜋
2

𝜋𝜋
2

= −2 � sin2 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 + � sin 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 + 4 � cos 3 𝑡𝑡 sin 𝑡𝑡 d𝑡𝑡
0
𝜋𝜋
2

0

𝜋𝜋
2

0

𝜋𝜋
2

= −2 � sin2 𝑡𝑡 d(sin 𝑡𝑡) + � sin 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 − 4 � cos 3 𝑡𝑡 d(cos 𝑡𝑡)
0

0

0

𝜋𝜋
2
2 3
4
4
= �− sin 𝑡𝑡 − cos 𝑡𝑡 − cos 𝑡𝑡� � 2 = − + 2 =
3
3
3
0
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢′𝑑𝑑𝑑𝑑

Ví dụ 2.3. Tính tích phân đường sau theo 2 cách:

𝑦𝑦

𝑥𝑥
� 𝑥𝑥𝑥𝑥 �− �𝑥𝑥 + � d𝑥𝑥 + � + 𝑦𝑦� d𝑦𝑦�
2
2
𝐿𝐿

𝐿𝐿 là biên của tam giác ABC theo chiều dương với các đỉnh
𝐴𝐴(−1,0), 𝐵𝐵(1, −2), 𝐶𝐶 (1,2).
Giải

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


13

Eureka! Uni - YouTube

Cách 1. Tính trực tiếp

Eureka Uni (facebook.com)

AB: 𝑦𝑦 = −1 − 𝑥𝑥 , (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1)
⇒ 𝑦𝑦 ′ = −1

1

𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 = � 𝑥𝑥(−𝑥𝑥 − 1) �− �𝑥𝑥 −
−1

𝑥𝑥 + 1
�
2

𝑥𝑥
+ � − 𝑥𝑥 − 1� (−1)� d𝑥𝑥
2
3 1 2
= − � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥) d𝑥𝑥
2 −1
1
3 1
1
= −1
= − � 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 � �
−1
2
2 3

BC: 𝑥𝑥 = 1, (−2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2) ⇒ 𝑥𝑥 ′ (𝑦𝑦) = 0
2

2
1
1
1
1
2
𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = � 𝑦𝑦 � + 𝑦𝑦� d𝑦𝑦 = � � 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 � d𝑦𝑦 = � 𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 3 � �

−2
3
2
4
−2
−2 2
16
=
3
CA: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1, (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ⇒ 𝑦𝑦 ′ = 1
−1

𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = �

1

Vậy

𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) �− �𝑥𝑥 +

𝑥𝑥 + 1
𝑥𝑥
� + � + 𝑥𝑥 + 1�� d𝑥𝑥
2
2

1
1 −1 2
1 1
1

−1
=−
= � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 � �
1
3
2 1
2 3
2
𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = −1 +

16 1
− =4
3 3

Cách 2. Công thức Green
𝑦𝑦
𝑥𝑥
� 𝑥𝑥𝑥𝑥 �− �𝑥𝑥 + � d𝑥𝑥 + � + 𝑦𝑦� d𝑦𝑦�
2
2
𝐿𝐿

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


14

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

�𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � �𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦
𝐿𝐿

𝐷𝐷

1
𝑦𝑦
𝑃𝑃 = −𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥 + � = −𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 2
2
2
⇒ 𝑃𝑃𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
𝑄𝑄 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 � + 𝑦𝑦� = 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 2
2
2
⇒ 𝑄𝑄𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2
𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2
2

2)

1

𝑥𝑥+1

𝐼𝐼 = � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � d𝑥𝑥 �

𝐷𝐷

1

𝑥𝑥+1

= � d𝑥𝑥 �
−1
1

−1

(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )d𝑦𝑦

(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 )d𝑦𝑦

−𝑥𝑥−1

−𝑥𝑥−1

1
𝑥𝑥 + 1
= � d𝑥𝑥 �𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 3 � �
−𝑥𝑥 − 1
3
−1
1

2
= � �2𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 1)3 � d𝑥𝑥

3
−1
1

2
2
= � �2𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + � d𝑥𝑥
3
3
−1
1

2
2
4
1
=4
= � �4𝑥𝑥 2 + � d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥� �
−1
3
3
3
−1

Lưu ý rằng, tích phân của hàm lẻ trên miền đối xứng bằng 0.

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook

Eureka! Uni - YouTube

15

Eureka Uni (facebook.com)

3.2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ GIẢI CHI TIẾT
3.1.2 Tích phân đường loại I
Bài 1.1. Tính độ dài các cung sau
a) 𝑦𝑦 2 = 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ [0,3]

b) 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋)

Bài 1.2. Tính các tích phân đường loại I

a) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 trong đó 𝐿𝐿 là cung ellip
phần tư thứ nhất.

𝑥𝑥 2
4

+ 𝑦𝑦 2 = 1 nằm trong góc

𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường tròn 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 4𝑥𝑥.
Bài 1.3. Tính các tích phân đường loại I:

a) ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 là đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,3).

b) ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 , 𝐿𝐿 là biên của hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,0),

𝐶𝐶 (4,2), 𝐷𝐷 (0,2)

1

1

c) ∫𝐿𝐿 �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 là đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 2 , 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 3 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1.
2

3

Bài 1.1. Tính độ dài các cung sau

c) 𝑦𝑦 2 = 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ [0,3]
d) 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋)

Giải

a) 𝑦𝑦 2 = 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ [0,3]

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


16

Eureka! Uni - YouTube

Đổi về hàm của 𝑦𝑦

Eureka Uni (facebook.com)

1 2
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦
2
Từ hình vẽ ta xác định được
2

𝑦𝑦 ∈ �−√6, √6�

Độ dài cung xác định bởi
√6

𝐼𝐼 = �d𝑠𝑠 = �
𝐿𝐿

�1 + 𝑦𝑦 2 d𝑦𝑦

−√6

√6

= 2 � �1 + 𝑦𝑦 2 d𝑦𝑦
0

Áp dụng tích phân từng phần
𝐼𝐼 = 2 �𝑦𝑦�1 +

𝑦𝑦 2 �√6

0

√6

−�

0

√6

𝑦𝑦 2

�1 +

= 2 �√42 − � �1 +
0

𝑦𝑦 2

d𝑦𝑦�

𝑦𝑦 2 d𝑦𝑦

+�

√6

0

1

�1 +

= 2√42 − 𝐼𝐼 + 2 ln �𝑦𝑦 + �1 + 𝑦𝑦 2 � �√6
0
= 2√42 + 2 ln�√6 + √7� − 𝐼𝐼

𝑦𝑦 2

d𝑦𝑦�

⇒ 2𝐼𝐼 = 2√42 + 2 ln�√6 + √7� ⇒ 𝐼𝐼 = √42 + ln�√6 + √7�

b) 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋)
𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 2 sin 𝑡𝑡
𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = 2(1 − cos 𝑡𝑡),
𝑡𝑡2

𝐼𝐼 = �

𝑡𝑡1

�(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2

+

(𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡

2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

= � �4(1 − cos 𝑡𝑡)2 + 4 sin2 𝑡𝑡 d𝑡𝑡
0

2𝜋𝜋

= 2 � √2 − 2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = 2 �
0

2𝜋𝜋

= 4�

= 16

0

0

𝑡𝑡
�4 sin2 d𝑡𝑡
2

2𝜋𝜋
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡 2𝜋𝜋
�sin � d𝑡𝑡 = 4 � sin d𝑡𝑡 = −8 cos �
2

2
2 0
0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


17

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

Bài 1.2. Tính các tích phân đường loại I

b) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 trong đó 𝐿𝐿 là cung ellip
phần tư thứ nhất.

𝑥𝑥 2
4

+ 𝑦𝑦 2 = 1 nằm trong góc

c) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường trịn 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 4𝑥𝑥.

Giải

a) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 trong đó 𝐿𝐿 là cung

ellip

𝑥𝑥 2
4

+ 𝑦𝑦 2 = 1 nằm trong góc

phần tư thứ nhất.

Cách 1: Tính trực tiếp

Do 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0 nên phương

trình của 𝐿𝐿 là hàm số 𝑦𝑦 = �1 −
𝑦𝑦 ′ =

𝑏𝑏

𝑥𝑥 2
4

, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2

−𝑥𝑥

2√4 − 𝑥𝑥 2

𝐼𝐼 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥)��1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥
𝑎𝑎

2

𝑥𝑥 2
𝑥𝑥 2
= � 𝑥𝑥 �1 − �1 +
d𝑥𝑥
4
4(4 − 𝑥𝑥 2 )
0
2

1 2
4 − 𝑥𝑥 2 16 − 3𝑥𝑥 2
�
= � 𝑥𝑥 �
d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥�16 − 3𝑥𝑥 2 d𝑥𝑥
2
4 0
4
4(4 − 𝑥𝑥 )
0
1
1 2
2
= − � (16 − 3𝑥𝑥 )2 d(16 − 3𝑥𝑥 2 )
24 0
3
3
14
1

1 3
2
= − (16 − 3𝑥𝑥 2 )2 � = − �42 − 162 � =
0
9
36
36

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


18

Eureka! Uni - YouTube

Cách 2: Tham số hóa

𝑥𝑥 = 2 cos 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 = sin 𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤
𝑡𝑡2

Eureka Uni (facebook.com)

𝜋𝜋
⇒ 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = −2 sin 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = cos 𝑡𝑡
2

𝐼𝐼 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)��(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡
𝑡𝑡1

𝜋𝜋
2

= � (2 cos 𝑡𝑡 sin 𝑡𝑡)�(−2 sin 𝑡𝑡)2 + (cos 𝑡𝑡)2 d𝑡𝑡
0

𝜋𝜋
2

= 2 � sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 �1 + 3 sin2 𝑡𝑡 d𝑡𝑡
0
𝜋𝜋
2

= 2 � sin 𝑡𝑡 �1 + 3 sin2 𝑡𝑡 d(sin 𝑡𝑡)
0
𝜋𝜋
2

= � �1 + 3 sin2 𝑡𝑡 d(sin2 𝑡𝑡)
0

𝜋𝜋

1
1 2
= � (1 + 3 sin2 𝑡𝑡)2 d(1 + 3 sin2 𝑡𝑡)
3 0
3

2
14
2 3
𝜋𝜋/2
2
= (1 + 3 sin 𝑡𝑡)2 �
= �42 − 1� =
0
9
9
9

b) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường trịn 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 4𝑥𝑥.
Tham số hóa L: 𝑥𝑥 = 2(1 + cos 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2 sin 𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋
𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = −2 sin 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 2 cos 𝑡𝑡
2𝜋𝜋

𝐼𝐼 = � �4(1 + cos 𝑡𝑡)2 + 4 sin2 𝑡𝑡 �4 sin2 𝑡𝑡 + 4 cos2 𝑡𝑡 d𝑡𝑡
0

2𝜋𝜋

2𝜋𝜋

= � �8(1 + cos 𝑡𝑡)2d𝑡𝑡 = 2 �
0

2𝜋𝜋

= 8�

= 32

0

0

𝑡𝑡
�16 sin2 d𝑡𝑡
2

2𝜋𝜋
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡 2𝜋𝜋
�sin � d𝑡𝑡 = 8 � sin d𝑡𝑡 = −16 cos �
2
2
2 0
0

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


19

Eureka! Uni - YouTube

Eureka Uni (facebook.com)

Bài 1.3. Tính các tích phân đường loại I:

d) ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 là đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,3).

e) ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 , 𝐿𝐿 là biên của hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,0), 𝐶𝐶 (4,2),
𝐷𝐷(0,2)

1

1

f) ∫𝐿𝐿 �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 là đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 2 , 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 3 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1.
2
3

Giải

a) ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 là đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,3).
3

Phương trình AB: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
4

3
5 4
5 2 4 5
3 2
𝐼𝐼 = � �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥� �1 + � � d𝑥𝑥 =
� 𝑥𝑥d𝑥𝑥 =

𝑥𝑥 � =
0 2
4
16
32
4
0
0
4

b) ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 là biên của hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,0), 𝐶𝐶 (4,2),
𝐷𝐷(0,2)

Phương trình các cạnh:
AB: 𝑦𝑦 = 0 (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4)

BC: 𝑥𝑥 = 4 (0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2)
CD: 𝑦𝑦 = 2 (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4)

DA: 𝑥𝑥 = 0 (0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2)

�𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 =
𝐿𝐿

𝐴𝐴𝐴𝐴

4

𝐵𝐵𝐵𝐵

2

𝐶𝐶𝐶𝐶

4

𝐷𝐷𝐷𝐷

2

= � 𝑥𝑥. 0. d𝑥𝑥 + � 4𝑦𝑦d𝑦𝑦 + � 𝑥𝑥. 2. d𝑥𝑥 + � 0. 𝑦𝑦. d𝑦𝑦
0
2

0
4

0

0

2
4
= � 4𝑦𝑦d𝑦𝑦 + � 2𝑥𝑥d𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 2 � + 𝑥𝑥 2 � = 24
0
0
0
0
1

1

c) ∫𝐿𝐿 �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 là đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 2 , 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 3 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1.

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

2

3

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook


Eureka! Uni - YouTube

20

𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = 1,

𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡,

1

Eureka Uni (facebook.com)

𝑧𝑧 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 2

1 2
�
𝐼𝐼 = � �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 = � 2 � 𝑡𝑡 � �1 + 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 4 d𝑡𝑡

2
𝐿𝐿
0
1

1
1 2
2
4
= � �2 � 𝑡𝑡 � �1 + 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � 𝑡𝑡�1 + 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 4 d𝑡𝑡
2
0
0
2
1
3
= � 𝑡𝑡 × ��𝑡𝑡 2 + � + d𝑡𝑡
2
4
0
1

2
1
3
1
= � ��𝑡𝑡 2 + � + d �𝑡𝑡 2 + �
2
4
2

0
1

3/2
1
1
Đặt 𝑢𝑢 = 𝑡𝑡 2 + , 𝑡𝑡 � ⇒ 𝑢𝑢 �
2
1/2
0

3
3
2
2
3
3
𝑢𝑢
2
𝐼𝐼 = � �𝑢𝑢2 + d𝑢𝑢 = 𝑢𝑢�𝑢𝑢2 + � − �
d𝑢𝑢
1
1
4
4 1
3
2
2 �𝑢𝑢 2 +
2
4

3
2

3

3

2
1
3
3 2
3
= � √3 − � − � �𝑢𝑢2 + d𝑢𝑢 + �
1
2
4
4 1
2
2

2

3
3√3 − 1
3
3
=
− 𝐼𝐼 + ln �𝑢𝑢 + �𝑢𝑢2 + � �2
4
4 1

2
2
3√3 − 1 3
2√3
=
+ ln �1 +
� − 𝐼𝐼
4
3
2
⇒ 2𝐼𝐼 =
⇒ 𝐼𝐼 =

1

�𝑢𝑢2 + 3
4

d𝑢𝑢

3√3 − 1 3
2√3
+ ln �1 +
�
4
3
2

2√3
3√3 − 1 3

+ ln �1 +
�
8
3
4

Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook

Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook