Chuyên đề lượng giác

Nguyễn Hải Hà 0983325739 1

PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

HAI CUNG ĐỐI NHAU –x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
 
  
  
  


HAI CUNG BÙ NHAU
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x





 
  
  
  


HAI CUNG PHỤ NHAU
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
 
 
   
   
   
   
   
   
   
   


HAI CUNG HƠN KÉM π
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan

cot( ) cot
x x
x x
x x
x x




  
  
 
 


HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

.








+





=
1


.





1
+




=

1





.

1
+




=

1





.






.

=

1


CÔNG THỨC CỘNG
.cos( ) cos .cos sin .sin
.cos( ) cos .cos sin .sin
.sin( ) sin .cos sin .cos
.sin( ) sin .cos sin .cos
a x y x y x y
b x y x y x y
c x y x y y x
d x y x y y x
  
  
  
  

tan tan
.tan( )
1 tan tan
tan tan
.tan( )
1 tan tan
x y
e x y
x y
x y
f x y
x y


 


 



CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin2 2sin cos
: sin 2sin cos
2 2
x x x
nx nx
TQ nx



2 2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
x x x x x
x
x
x
     



CÔNG THỨC NHÂN BA
3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
x x x
x x x
 
 

2
2
(3 tan )tan
tan3
1 3tan
x x
x
x




CÔNG THỨC HẠ BẬC
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2

cos
2
x
x
x
x





3
3
3sin sin3
sin
4
3cos cos3
cos
4
x x
x
x x
x






CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

 
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
x y x y x y
x y x y x y
   
   

 
 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x x x y x y
   
   


Nguyễn Hải Hà 0983325739 2

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
 
 
 
  
 
 
 
 

sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan

cos cos
sin( )
cot cot
sin sin
sin( )
cot cot
cos cos
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y x
x y
x y

 

 

 

 


CÔNG THỨC RÚT GỌN

sin cos 2sin( ) 2 cos( )
4 4
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x
x x x x
 
 
    
     

2
cot tan
sin 2
cot tan 2cot 2
x x
x
x x x
 
 


CÔNG THỨC TÍNH Sin, Cos, Tan THEO tan



2
2
sin
1

t
x
t



2
2
1
cos
1
t
t




2
2
tan
1
t
x
t





PHẦN II. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I.Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx = a

* Nếu

 < −1
 > 1
 Phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu −1 ≤ ≤1
+ Nếu a là các số đặc biệt


,
√


,
√


thì đổi a thành sin của các góc tương ứng, ta có:
(1)  sinx = sin 

=

+ 2
 = −

+ 2

k  Z
+ Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:
(1)  
= arcsin
(

)
+ 2
= −arcsin
(

)
+ 2
k  Z
* Các phương trình đặc biệt
sinx = 0  x = kπ k  Z
sinx = 1  x =


+ 2 k  Z
sinx = -1  x = −


+ 2 k  Z
2. Phương trình cosx = a

* Nếu

 < −1
 > 1

 Phương trình (2) vô nghiệm
* Nếu −1 ≤ ≤1
+ Nếu a là các số đặc biệt


,
√


,
√


thì đổi a thành cos của các góc tương ứng, ta có:
(2)  cosx = cos 

 =  + 2
 = − + 2
k  Z
Nguyễn Hải Hà 0983325739 3

+ Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:
(2)  
= arccos
(

)
+ 2
= −arccos
(


)
+ 2
k  Z
* Các phương trình đặc biệt
cosx = 0  x =


+  k  Z
cosx = 1  x = 2 k  Z
cosx = -1  x = π + 2 k  Z

3. Phương trình tanx = a
Điều kiện x
≠


+  k  Z
* Nếu a là các giá trị đặc biệt
√
3,1,
√


, thì đổi a thành tan của các góc tương ứng, ta có:
(3)  tanx = tan  x =  + kπ k  Z
* Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:
(3)  x = arctan(a) + kπ k  Z

4. Phương trình cotx = a

Điều kiện x
≠
 k  Z
* Nếu a là các giá trị đặc biệt
√
3,1,
√


, thì đổi a thành cot của các góc tương ứng, ta có:
(4)  cotx = cot  x =  + kπ k  Z
* Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:
(4)  x = arccot(a) + kπ k  Z

II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1.Phương trình Asin
2
f(x) + Bsinf(x) + C = 0 (1)
Đặt sinf(x) = t
Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ t ≤ 1
(1)  At
2
+ Bt + C = 0
Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của sin

2.Phương trình Acos
2
f(x) + Bcosf(x) + C = 0 (2)
Đặt cosf(x) = t

Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ t ≤ 1
(2)  At
2
+ Bt + C = 0
Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của cos

3.Phương trình Atan
2
f(x) + Btanf(x) + C = 0 (3)
Điều kiện: x
≠


+  k  Z
Đặt tanf(x) = t
(3)  At
2
+ Bt + C = 0
Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của tan

4.Phương trình Acot
2
f(x) + Bcotf(x) + C = 0 (4)
Điều kiện: x ≠  k  Z
Đặt tanf(x) = t
(4)  At
2
+ Bt + C = 0
Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của cot
Nguyễn Hải Hà 0983325739 4

III.PHƯƠNG TRÌNH Asinf(x) + Bcosf(x) = C (1)
Chia cả 2 vế của phương trình cho
√


+ 


(1) 




 


(

)
+




 


(


)
=




 

(2)
 Nếu




 

và




 

là các giá trị đặc biệt


,
√



,
√


thì chuyển đổi sang các cung lượng giác
tương ứng, ta có:
(2)  sinf(x).cos + cosf(x).sin =




 


 sin [f(x) + ] =




 


Đây là phương trình cơ bản. Nếu trong bài toán có chứa tham số m và yêu cầu biện luận nghiệm thì cần
có thêm điều kiện -1 ≤




 


≤ 1
 Nếu




 

và




 

không là các giá trị đặc biệt trên thì:
Đặt




 

= cos và




 


= sin, ta nhận được lời giải tương tự như trên
IV.PHƯƠNG TRÌNH Asin
2
f(x) + Bsinf(x).cosf(x) + Ccos
2
f(x) = D (1)

Cách 1: Dùng công thức hạ bậc
(1)  A.
()

+ B.
()

+ C.
 ()

= D
 B.sin2f(x) + (C – A).cos2f(x) = 2D – A – C Đây là phương trình ở dạng III
Cách 2:
Xét cosf(x) = 0
(1)  A = D
Nếu A = D đúng  cosf(x) = 0 là một nghiệm của phương trình
Nếu A = D sai  cosf(x) = 0 là không là nghiệm của phương trình
Xét cosf(x) ≠ 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos
2
f(x)
(1)  A.tan
2
f(x) + B.tanf(x) + C = D.(1 + tan

2
f(x))
 (A – D).tan
2
f(x) + B.tanf(x) + (C – D) = 0 Đây là phương trình ở dạng II.3

Một số dạng phương trình có cách giải tương tự cách 2
1. Asin
3
f(x) + Bsin
2
f(x).cosf(x) + Ccos
2
f(x).sinf(x) + D.cos
3
f(x) = 0
2. Asin
3
f(x) + B.cosf(x) + Ccos
2
f(x).sinf(x) + D.cos
3
f(x) = 0
3. Asin
3
f(x) + B.sin
2
f(x).cosf(x) + C.sinf(x) + D.cos
3
f(x) = 0

V.PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ PHẢN ĐỐI XỨNG
1.Phương trình A[sinf(x) + cosf(x)] + B.sinf(x).cosf(x) + C = 0 (1)
Đặt t = sinf(x) + cosf(x)  sinf(x).cosf(x) =





Điều kiện có nghiệm: −
√
2 ≤ ≤
√
2
(1)  A.t + B.

2
−1
2
 + C = 0 Đây là phương trình bậc 2 ẩn t

2.Phương trình A[sinf(x) - cosf(x)] + B.sinf(x).cosf(x) + C = 0 (2)
Đặt t = sinf(x) - cosf(x)  sinf(x).cosf(x) =
 



Điều kiện có nghiệm: −
√
2 ≤ ≤

√
2
(2)  A.t + B.
1− 
2
2
 + C = 0 Đây là phương trình bậc 2 ẩn t
Nguyễn Hải Hà 0983325739 5

BÀI TẬP
Để giải các phương trình lượng giác nên chú ý phân tích bài toán theo các hướng sau:
1. Trong phương trình có bao nhiêu loại góc, các góc có thể chuyển đổi qua lại với nhau được không? (Sử
dụng công thức nhân đôi, nhân ba kết hợp với các công thức hạ bậc hai, bậc 3)
2. Trong phương trình có cùng một loại góc, nên phân tích để đặt nhân tử chung (nếu gặp bài toán không
theo các dạng cơ bản)
3. Sử dụng tốt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
4. Có thể sử dụng cách giải đặc biệt: coi một hàm là tham số, hàm còn lại tạo thành 1 phương trình bậc 2
hoặc bậc 3 (có thể nhẩm nghiệm)
5. Phương trình siêu việt có cách giải đặc biệt

Bài 1.Tìm tập xác định của các hàm số
1
-
2
x
1
siny4/ cot2x;y3/ ;
3
tan/2 ;
1

2
cos/1 


x
y
x
x
y
x1
x-1
sin8/y ;1-2xcos7/y ;
32
cot/6 ;
12
sin/5












x
y

x
x
y

1-cotx
cot2x
y12/ ;
6
sin
cos
y11/ ;
2cos1
3
/10 ;
3
2
cot/9 




















x
x
x
yxy

2 cos
)
1 tan
3
x
a y
x



 
 
 
 
,
tan cot
)
1 sin2x
x x

b y




Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số
1/ y= 2+3cosx; 2/ y= 3 - 4sinx; 3/ y= 2sin
2
x – 3
2cos3)7 2cos2cos)6
cossin2)5 sin34)4
2
22


xyxxy
xxyxy

8)y=3-4sinx;
) 2 cos
b y x
 
Bài 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
1/ y= xcos3x; 2/y= x
2
sin2x; 3/ y= x
3
cos4x; 4/ y= sin
2
x

5) y= sin
3
x; 6) y = cos
3
x 7) y= sin
4
x; 8) y= tan2x
9) y = sin
2
2x+1; 10) y= cos
2
x- sin
2
x
10)y=sin
3
x-tanx,
2
cos cot
)
sin
x x
b y
x


Bài 4 .Giải các phương trình


1x2sin)c,

2
1
60xsin)b
2
3
x2sin)a
0
 ,
Bài 5 .Giải các phương trình


2
1
10
2
x
sin)c,
2
2
15x2sin)b
2
3
x3sin)a
00








 ,

Bài 6 .Giải các phương trình


 
3
1
5x2cos)c,
2
3
12
x3cos)b
2
1
15x2cos)a
0








 ,

Nguyễn Hải Hà 0983325739 6

Bài 7 .Giải các phương trình
 


2
1
3
x2cos)c,
2
3
45x3cos)b
3
1
3xcos)a
0








 ,

Bài 8 .Giải các phương trình



 


315x2cot)c,23x2tan)b,
3
1
30xtan)a
00


Bài 9 .Giải các phương trình


8
tan
43
x
tan)c,3
3
xcot)b,145x2tan)a
0



















Bài 10. Giải các phương trình
a/ cos3x-sin2x=0; b/sin3x+sin5x=0; c/sin2xcotx=0
Bài 11. Giải các phương trình
a/ sin
2
3x=sin
2
x; b/ sin
2
4x=cos
2
x; c/ cos
2
3x=cos
2
x;
Bài 12. Giải các phương trình
a/ tanx.tan2x=-1; b/ cot2x.cot3x=1; c/tan(x-30
0
)cos(2x-150
0

)=0

Bài 13. Giải các phương trình
a/ 2cosx-
3
=0; b/
3
tan3x-3=0
Bài 14. Giải các phương trình
a/ sin2x-2cosx=0; b/ 2sinx.cosx.cos2x=1; c/ 2sinx.cosx.sin2x=1
Bài 15. Giải các phương trình
a/ cos3x-cos4x+cos5x=0; b/ sin7x-sin3x=cos5x; c/cos2x-sinx-1=0
Bài 16. Giải các phương trình
a/ cos2x-sinx-1=0; b/ cosxcos2x=1+sinxsin2x; c/ 4sinxcosxcos2x=-1
Bài 17. Giải các phương trình
a/ cos5xcosx=cos4x; b/ sinxsin2xsin3x=
4
1
sin4x; c/ sin
4
x+cos
4
x= -
2
1
cos
2
2x
Bài 18. Giải các phương trình
a/ cos2x+cos4x+cos6x=0; b/ sinx-sin3x+sin5x+sin6x=0;

c/ sin5xcos3x=sin2x+
2
1
sin3x; d/ cos2xcos4x=cos6x -
2
1
sin4x
Bài 19. Giải các phương trình
1/ 2cos
2
x-3cosx+1=0; 2/ cos
2
x+sinx+1=0; 3/ 2sin
2
x+5sinx-3=0;
4/ 3cos
2
x-2sinx+2=0; 5/ 5sin
2
x+3cosx+3=0; 6/ -
4
1
+sin
2
x = cos
4
x
7/ 2sin
2
x-5cosx+1=0; 8/ 2sin

2
2x+3cos
2
x=3; 9/3sin2x+2cosx=0;
10/4sin
2
x-cos2x=2 11/ 2tanx-3cotx-2=0; 12/ cotx-cot2x=tanx+1;
13/
3
tan
2
x-(1+
3
)tanx+1=0 14/ 4cos
2
x+3sinxcosx-sin
2
x=3, 15/ 2sin
2
x-sinxcosx-cos
2
x=2,
16/ 4sin
2
x-4sinxcosx+3cos
2
x=1 17/ cos
2
x+2sinxcosx+5sin
2

x=2,
18/ 3cos
2
x-2sin2+sin
2
x=1, 19/ 4cos
2
x-3sinxcosx+3sin
2
x=1
Bài 20. Giải các phương trình
1/
3sin3cos  xx
, 2/
cos 3sin 1
x x
 

3/
3sin cos 3
x x 
, 4/
cos sin 2
x x 

5/
cos sin 1
x x
 
, 6/

2cos 2sin 2
x x 

7/3sinx+4cosx=5, 8/
23cos33sin  xx

Nguyễn Hải Hà 0983325739 7

9/ 024sin34cos  xx , 10/
xxx sin22cos2sin 

11/ 3cosx-4sinx=5, 12/ 2sin2x-2cos2x=
3

13/ 5sin2x-6cos
2
x=13, 14/ sin3x - 3 cos3x =2sin2x
Bài 21. Giải các phương trình
a)cos2x-sinx-1=0, b)cosxcos2x=1+sinxsin2x
c)4sinxcosxcos2x= -1, d)tanx=3cotx
Bài 22. Giải các phương trình
a)sinx+2sin3x=-sin5x, b)cos5xcosx=cos4x
c)sinxsin2xsin3x=
1
4
sin4x, d)sin
4
x+cos
4
x= -

1
2
cos
2
2x
Bài 23. Giải các phương trình
a)3cos
2
x-2sinx+2=0, b)5sin
2
x+3cosx+3=0,
c)sin
6
x+cos
6
x=4cos
2
2x, d)
1
4

+sin
2
x=cos
4
x
Bài 24. Giải các phương trình
a)2tanx-3cotx-2=0, b)cos
2
x=3sin2x+3, c)cotx-cot2x=tanx+1,

Bài 25. Giải các phương trình
a)cos
2
x+2sinxcosx+5sin
2
x=2, b)3cos
2
x-2sin2x+sin
2
x=1
c)4cos
2
x-3sinxcosx+3sin
2
x=1
Bài 26. Giải các phương trình
a)2cosx-sinx=2, b)sin5x+cos5x= -1
c)8cos
4
x-4cos2x+sin4x-4=0, d)sin
6
x+cos
6
x+
1
2
sin4x=0
Bài 27. Giải các phương trình
a)sin
2

x-cos
2
x=cos4x, b)cos3x-cos5x=sinx
c)3sin
2
x+4cosx-2=0, d)sin
2
x+sin
2
2x=sin
2
3x
e)2tanx+3cotx=4 f)2cos
2
x-3sin2x+sin
2
x=1,
g)2sin
2
x+sinxcosx-cos
2
x=3
Bài 28.Giải các phương trình
a) cos4x + 12sin
2
x -1 =0( CĐ KD 2011)
b)sin3x - 3 cos3x =2sin2x (CĐ KA,B,D /08)
c)cos
2
x -2sinx +2=0 ( CĐ Nguyễn Tất Thành /07)

d)cos
4
x-sin
4
x +cos4x =0 ( CĐXD2/07)
e)sin
2
x +sin
2
2x= sin
2
3x +sin
2
4x ( CĐKTKTCN2/07)
f)sin2xsinx +cos5xcos2x=
2
8cos1 x

(CĐKTtpHCM/07)
g)
1cos44cos32
4
sin2
22








 xxx

( CĐGTVT3/07)
h)







4
sin2
sin
1
cos
1

x
xx
(CĐCNTPtpHCM/07)
i)cosxcos2xsin3x=
x2sin
4
1
(CĐTCHQ/07)
k)sin
4
x+cos

4
x =
x2sin
2
1
(ĐHSGK
D,M
/07)
l)1+sinx+cosx+tgx= 0 (ĐHSGK
B
/07)
m)















x
x
xtg

sin
sin1
2
2
3
2

(ĐHSGK
A
/07)
Nguyễn Hải Hà 0983325739 8

n)2sin
3
x +4cos
3
x =3sinx (CĐKTCT/07)
p)cos4x -2sin
2
x+2=0 (CĐXD2/05)
q)cos2x +cos
4
x -2=0 (CĐTCKTIV/05)

Bài 29. Giải các phương trình
1)
sin2x 2cosx sin x 1
0
tan x 3
  



(ĐHKD2011)
2)
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos
x x x x x x x
   
(ĐHKB 2011)
2
1 sin 2 cos2
3) 2 sin sin 2 .
1 cot
x x
x x
x
 


(ĐHKA 2011)

4)(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx=0 (ĐHK
B
/2010)
5)
 
xcos
2
1
xtan1
4

xsinx2cosxsin1










(ĐHK
A
/2010)
6) 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 (ĐHK
D
/2009)
7)sinx+cosx.sin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin
2
x) (ĐHK
B
/2009)
8)


  
3
xsin1xsin21
xcosxsin21




(ĐHK
A
/2009)
9)2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx ( ĐHK
D
/08)
10)sin
3
x - 3 cos
3
x = sinx.cos
2
x - 3 sin
2
x.cosx (ĐHK
B
/08)
11)















 x
x
x 4
7
sin4
2
3
sin
1
sin
1


( ĐHK
A
/08)
12)Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2

) của phương trình:
5( sinx +
32cos)
2
sin
2
1
3sin3cos




x
x
xx
(ĐH/2002).
13)
,2cos3
2
cos
2
sin
2







 x
xx
( ĐHK
D
/07)
15)2.sin
2
2x+sin7x-1=sinx ( ĐHK
B

/ 07)
16)(1+sin
2
x )cosx +(1+cos
2
x)sinx =1 +sin2x (ĐHK
A
/07)
17)cos3x +cos2x -cosx-1=0 (ĐHK
D
/06)
18)cotgx +sinx







2
.1
x
tgtgx
= 4 (ĐHK
B
/06)
19)


0

sin22
cossinsincos2
66



x
xxxx
(ĐHK
A
/06)
20)cos
4
x+sin
4
x + 0
2
3
4
3sin
4
cos 
















xx (ĐHK
D
/05)
21) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 0 (ĐHK
B
/05)
22) cos
2
3xcos2x -cos
2
x = 0 (ĐHK
A
/05)
24) 5sinx-2 =3(1-sinx ) tg
2
x (ĐHK
B
/04)
25) (2cosx-1)(2sinx+cosx) =sin2x -sinx (ĐHK
D
/04)
26)
0

2
x
cosxtan
42
x
sin
222









(ĐHK
D
/03)
Nguyễn Hải Hà 0983325739 9

27) cotx -tanx +4sin2x =
x
2
sin
2
(ĐHK
B
/03)
28) x2sin

2
1
xsin
x
tan
1
x2cos
1xcot
2


 (ĐHK
A
/03)
Bài 30. Giải các phương trình sau:
1. 2sin2x -2(sinx+cosx) + =0 (HVHCQG/2000)
2. cotgx- tgx = sinx +cosx(ĐHNNHN99).
3. cos
3
x+sin
3
x =cos2x( ÑHYHN/2000).
4. cos
2
x +2(sinx+cosx)
3
-3sin2x – 3 =0(ĐHGQHN/99).
5. 2sin
3
x –cos2x +cosx = 0(ĐHNN1/99).

6. 2 (sinx+cosx) = tgx +cotgx(ĐHCÑ00).
7. 1+sin
3
x+cos
3
x =
2
3
sin2x(ĐHGTVT00).
8. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0(ĐHCÑ/00)
9. 1+sin
3
x+cos
3
x =
2
3
sin2x(ĐHGTVT00).
10. sin
3
xcos3x +cos
3
x.sin3x =sin
3
4x.(ĐHNTK
A
/99).
11. cos
3
x+cos

2
x +2sinx-2=0(HVNH/99).
12. 1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x(ĐHNT/2000)
13. (2sinx+1)(3cos4x+2sinx-4)+4cos
2
x =3.(ĐHHH/2000)