Tích phân hàm phân thức

Nguồn: nguyensongminh.com
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Khi gặp tích phân kiểu với hãy chú ý đến kết
quả dưới đây của Chebyshev.
Định lý Chebyshev: Nguyên hàm với biểu diễn
hữu hạn qua lớp các hàm sơ cấp khi và chỉ khi một trong ba số
là số nguyên. Để hữu tỷ hóa loại nguyên hàm này trong ba
trường hợp đó ta cần nhớ:
• Nếu thì đặt với là mẫu số chung của và
• Nếu thì đặt với là mẫu số của .
• Nếu thì đặt với là mẫu số của .
II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tính .
Lời giải: Đây chính là tích phân nhị thức trong trường hợp .
Vậy nên đặt ta sẽ có
Để ý rằng
Lại có
Như vậy
Ví dụ 2: Tính .
Lời giải: Ta có
Để thấy tích phân cần tính chính là tích phân nhị thức trong trường hợp:
nhận thấy .
Đặt tức là:
ta sẽ có
Đến đây lưu ý rằng
.
Như vậy
Ví dụ 3: Tính .
Lời giải: Tích phân cần tính chính là tích phân nhị thức trong trường hợp
.
Nhận thấy

Đặt tức là ta sẽ có