TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (329.47 KB, 15 trang )
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN TH
M
I.
ìm hi
ÀM
HÀM NH
ày chúng ta tìm hi
Có d
x m (a bx n ) p dx v
Tùy thu
à m quan h
m 1 m 1
p;
p
;
n
n
p Z thì ta
x t q v q là m
m 1
s
Z, p
, r, s Z , r, s 1
n
r
C
TH 1: N
TH 2: N
-N
r
s
r
s
p
-N
R , m, n , p
p
Z và p
0
m, n, p mà
c
a bx n
p
m và n
ho
t
a bx n
p
t
2 TPTP m
a bx n
t
Z ta ch
Q , n, p
– LOGARIT
qua tích phân hàm nh
vào tính ch
a, b
Email:
2,3,... ta có th
p
3
TPTP hai l
m 1
n
TH 3: N
p
s
, r, s
r
Z, p
Z thì ta
a bx n
xn
tr
Bài t p gi
p
TH 1: N
Z thì ta
tq v
x
4
m và n
dx
Bài 1: Tính tích phân sau I
1
q là m
x 1
x
Gi
4
Ta có I
1
Nh
4
dx
x 1
xét: m
x
x
1
1 x
1
2
1
dx
1
1
,p
2
1, n
1 Z
q
2
Cách 1:
x
t
x
dx
www.mathvn.com
t2
2tdt
1
Giáo viên: Nguy
D
x 4
x 1
t
t
Email:
2
1
2
2
t
2 2
dt
1 t
1 t
I
www.MATHVN.com
ành Long
2
dt
2
t 1 t
1
1
1
t 1 t
2
1
2 ln t
ln 1 t
2
2 ln
2ln
1
4
3
4
3
Cách 2:
2
t
x 4
x 1
2
I
r
s
r
s
p
3
2
3
2
t 1 t
m 1
n
p
-N
t
t
2
2
-N
2 t 1 dt
t 1 dt
2
TH 2: N
t 1
dx
x
1
x
2
s
, r, s
r
Z, p
3
dt
t 1t
Z và p
1
dt
t 1 t
2
2 ln t 1
ln t
p
a bx n
3
2
t
1
ho
t
a bx n
p
Z , r, s
2 TPTP m
a bx n
t
Z ta ch
1
2
2,3,... ta có th
p
3
TPTP hai l
1
Bài 2
x 3 1 x 2 dx
– 1996) Tính tích phân sau I
– A 2003 –
0
Gi
1
1
x 3 1 x 2 dx
Phân tích I
x 2 1 x 2 .xdx
0
m
Nh
0
3, n
2, p
1
2
m 1
n
2
Cách 1:
x2
1 x2
t
1 t2
xdx
x 1
x 0
t
t
tdt
0
1
0
1
2
I
t 1 t
1
2
1
2
dt
t 1 t
0
2
dt
t
0
2
t
4
dt
1 3
t
3
1 5
t
5
1
0
2
15
Cách 2:
www.mathvn.com
2
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
Email:
x2
1 x
t
1 t
dt
xdx
2
t 0
t 1
2
x 1
x 0
0
1
1
1 2
t 1 t dt
21
I
Cách 4:
x cos t
dx
1
t
3
2
3
dt
1 2 2
t
2 3
3
2 2
t
3
1
0
2
15
2
sin 2 t cos 3 tdt
sin 2 t 1 sin 2 t cos tdt
0
0
Cách 4.1.
t u
tdt
1
du
1
u 2 (1 u 2 )du
I
1
1
t2
20
sin tdt
2
I
Kh
1
1 2
t 1 t dt
20
u2
0
u 4 du
0
u3
3
u5 1
5 0
2
15
Cách 4.2.
2
2
sin 2 t 1 sin 2 t d sin t
I
sin 2 t sin 4 t d sin t
0
0
sin 3 t
3
sin 5 t
5
2
0
2
.
15
Cách 4.3.
12 2
1 2 1 cos 4t
12
12
sin 2t costdt
cos tdt
cos tdt
cos 4t cos tdt
40
40
2
80
80
Cách 5:
1
1
1 2
1
1 x2 1 1 x 2 d 1 x 2
I
x 1 x2 d 1 x2
20
20
I
1
3
2
1
1 x2
20
Cách 3:
t
1
d 1 x
1
1 x2
20
2
dt
2
x2
d 1 x2
xdx
7
Bài 3: Tính tích phân I
0
Gi
1
2
x 3 dx
3
x2 1
:
x2
Cách 1:
t
3
x
www.mathvn.com
2
1
t3 1
3 2
xdx
t dt
2
3
Giáo viên: Nguy
D
0
7
I
0
3
2
2
3 t 1 .t dt
21
t
x 2 .xdx
3
x
2
Email:
2
1
t
t
7
x
x
www.MATHVN.com
ành Long
1
2
3
t4
21
t dt
3 t5
2 5
t2 2
2 1
93
10
Cách 2:
x2
x2 1
t
x
x
t 1
dt
xdx
2
t 8
7
t 1
0
8
1 t 1 dt
1
21
t3
ó I
Cách 3: Phân tích x 3
2
8
1
t3
21
1
3
t
x x2 1
5
dt
x3
x
3
Cách 4: S
u x2
du
3
3 2
x 1
4
x2 1
4
x
3
x2 1
3
2
dx
– 1999) Tính tích phân I
Bài 4
2
3
2 xdx
v
1d x 1
2 3 x2 1
dx
2
3 3 8
t
1
2
x x2 1
x2 1
2
x
dv
1 3 3
t
2 5
7
x x2
9
Gi
Phân tích
4
I
7
4
dx
x
x x2
9
1, n
x2
4
4
7
x
dx
2
x
2
m 1
n
0
9
tdt
5
4
t
t
5
xdx
I
1
2
t2
xdx
7
x
1
2
9
2, p
x2
9
x
t
x
2
7
m
Nh
1
9
4
5
tdt
t (t
2
9)
4
dt
t
2
9
1 t 3 5
ln
6 t 3 4
1 7
ln
6 4
Cách 2:
www.mathvn.com
4
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
Email:
x2
t
x
2
t 9
dt
xdx
2
dt
...
1
2
t 9 t
9
25
1
2 16
I
1
u2
t2
u
t
2udu
dt
th
…b
1
6
x5 1 x3
KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I
Bài 5
dx
0
Gi
1
5
I
x 1 x
3 6
1
6
x3 1 x3
dx
0
x 2 dx
0
m
Nh
5, n
3, p
6
m 1
n
Z
0
Cách 1:
1 x
t
dt
3
3
x 2 dx
x3
x 1
x 0
ic
1 t
t
t
0
1
0
1
1 6
t 1 t dt
31
I
1
1 6
t 1 t dt
30
1 6
t
30
1 t7
3 7
7
t dt
t8
8
1
168
Cách 2:
1
6
x5 1 x3
I
1
x2 1
dx
0
1 x3
1 x3
6
1
0
1
1
1 x3
30
6
6
x 2 1 x3
dx
1
0
1
d 1 x3
1 x
3 7
0
1 1 x
.
3
7
d 1 x3
0
7
x 2 1 x 3 dx
dx
3 7
1
0
3
1 1 x
.
3
8
8
1
0
1
168
2
2
Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I
x x 1 dx
0
Gi
Cách 1: S
u
x 1
dv
du
2
xdx
I
x 1
v
2
www.mathvn.com
x2 2
2 0
2 x 1 dx
x2
2
2
2
x
0
2
x 1 dx
x3
6
0
x dx
6
x4
4
x3 2
3 0
34
3
5
Giáo viên: Nguy
D
Cách 2:
t
3
3
2
t3
t 1 t dt
1
t4
4
t 2 dt
1
Cách 3: S
Ta có x x 1
2
x x2
I
x
3
2x
2
x4
4
x dx
0
Cách 4: S
Ta có x x 1
2
x 1
2
t3 3
3 1
x3
2x 1
2
p
x2 2
2 0
3
34
3
x 1
2
2
2
3
x 1 dx
x 1 d x 1
0
s
, r, s
r
Z, p
2
Bài 7: Tính tích phân sau I
1
x 1
2
x 1 d x 1
0
m 1
n
x
x 1
2
x 1 dx
0
2x2
2
2
I
34
3
2 x3
3
1 x 1
3
TH 3: N
Email:
x t 1
dx dt
2
t 3
0
t 1
x 1
x
x
I
www.MATHVN.com
ành Long
4
0
a bx n
xn
Z thì ta
4
x 1
3
3
34
3
tr
dx
x 4 1 x2
Gi
xét: m
Nh
2; n
x2
1 x2
x2
1
2
2; p
t2
m 1
n
t
tdt
t
2
5
2
t
x 1
x2 1 2
t
x2
Z
1
t2 1
2
2
1
2
xdx
x
p
2
Ta có
2
I
1
dx
x4 1 x2
2
1
www.mathvn.com
5
2
dx
x6
1
x2
1
2
t2 1
t
3
.
2
tdt
t2 1
t
2
5
2
2
1 dt
t3
3
2
t
5
2
7 5 8 2
24
6
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
1
x x3
x4
Bài 8: Tính tích phân sau: I
1
3
1
3
Email:
dx .
HD:
1
1
x2
Ta có I
1
3
1
x2
t
1 .
2, p
dt
2
1
1
1
dx
x3
3, n
m
Nh
1
3
x
3
1
2 3
dx
1
3
1
3
m 1
1 Z
n
dx
….
x3
6 b
I
3
dx
Bài 9: Tính tích phân sau I
(1 x 2 )3
3
2
Gi
1 x
:
Ta có m
0; n
3
2
2; p
1
x
2
x
1
2
t
t2
2
1
3
x
3
2
x2
2
t
2 3
3
t
3
3
3
xdx
I
2
3
2
x4.
1 Z
p
tdt
(t 1) 2
xdx
x
m 1
n
(1 x ) 1 x
.
x2
x
2
2 3
3
3
tdt
(t 2 1)2 .
1
(t
2
1)
2
.t 2 .t
dt
t2
3
2
3
3
1
t 2 3
3
1
2 3
Bài t
2
– A 2000) Tính tích phân I
1
dx
x x3 1
HD:
t
x3 1
dt
3x2
2 x3 1
dx
dx
dt
x x3 1
4
Bài 2
– A 1999) Tính tích phân I
7
www.mathvn.com
t
2
1
dx
x x2 1
1 7
ln
6 4
7
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
2
– 1995) Tính tích phân I
Bài 3
dx
12
x x2 1
2
Email:
3
Cách 1:
x2 1
t
C1:
1
cos t
t x
x2 1
1
,t
cos t
t
Cách 2:
x
dt
0;
t
v
xdx
x x2 1
dx
2
0;
x2 1 t
x2 1 t
1
x
C4:
t
C5: Phân tích 1
x2 1
dx
dx
x x2 1
ho
2
x
dt
x2 x2 1
t
2
1
và t
tanu ,
2
u
,
2 t
dt
2
1
du .
dt
1
sin t
C2:
C3:
1
Bài 4: Tính tích phân I
1
C1:
x tan t
C2: Phân tích x 3
u
C3:
dv
x x2 1
x2
x3
x2 1
dx
0
x
x2
x
x2 1
dx
C4:
x
t
C5: Phân tích x 3 dx
x 2 xdx
x2 1
1 d x2 1
7
Bài 5
– 1997) Tính tích phân I
0
x3
3
1 x
2
2
Bài 6:
dx
x4
– 2004) Tính tích phân I
x5 1
0
141
20
dx
3
Bài 7:
x 3 x 2 1 dx
– 2007) Tính tích phân I
1
14 3
5
9
Bài 8:
x. 3 1 x dx
– 2006) Tính tích phân I
1
1
Bài 9:
2 2 1
3
x x 2 1dx
– 2006) Tính tích phân I
468
7
0
3
Bài 10: (
x 3 1.x5 dx
– 2005) Tính tích phân I
0
www.mathvn.com
848
105
8
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
Email:
1
x3 . x 2
– 2005) Tính tích phân I
Bài 11: (
6 3 8
5
3dx
0
1
x5 1 x 2 dx
– 2005) Tính tích phân I
Bài 12: (
0
1
1
x2 2
Bài 14: Tính tích phân I
0
I
1
dx
x
2
x
2
3
3
1
1
12
2 3
Bài 16: Tính tích phân I
3
dx
2
3
x2 x 2 1
3
2 2
b. Tích phân hàm phân th
M
–
u m x a bu n x
I
1
ln 2
2
2
3 3 2 2
9
– 2007) Tính tích phân
x 3 dx
Bài 15: (
3
x
dx
1 x2
0
ịng – 2006) Tính tích phân I
Bài 13: (
8
105
p
d u x
v
àm nh
a, b
v
R , m, n , p
Q , n, p
0
Và c
N
m 1
n
s
, r, s Z , r, s
r
r
p
Z ta ch
s
Z, p
N
t
1
t
a bu n x
p
ho
t
a bu n x
a bu n x
Ta xét các thí d
ln 5
– B 2003) Tính tích phân sau I
Thí d
ln 2
e2 x
ex 1
dx
L
ln 5
e
ln 2
m
ln 5
e2 x
Ta có I
x
1
1
2
n 1, p
2
I
e x dx
ln 5
ln 2
2
1
t
t
t 2 1 tdt
t
www.mathvn.com
1 ex
1
2
de x thì
ln 2
m 1
2
n
ex t 2 1
ex 1 t 2
x
x
ex
dx
Z và u x
ex
2tdt
2
1
2
2 t 2 1 dt
1
2
2 3 2
2t
t
1
3 1
20
3
9
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguy
ành Long
D
Cách khác:
ex 1 t
e
– B 2004 ) Tính tích phân sau I
Thí d
1
Email:
1 3ln x .ln x
dx
x
L
e
e
1
1 3ln x .ln x
dx
ln x 1 3ln x 3 d ln x thì
x
1
1
1
m 1
2 Z và u x ln x
m n 1, p
2
n
t2 1
ln x
3
1 3ln x t 2
dx 2
tdt
x 3
x e
t 2
Ta có I
x 1
t
1
2
2
2 t2 1 2
t dt
31 3
I
Cách khác: t
2 t5
9 5
2 4 2
(t t )dt
91
t3 2
3 1
116
135
1 3ln x
e
(PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I
Thí d
ln x. 3 2 ln 2 x
dx
x
1
L
e
e
1
ln x. 3 2 ln 2 x
dx
ln x 1 ln 2 x 3 d ln x thì
x
1
1
1
m 1
2, p
1 Z và u x ln x
3
n
Ta có I
m 1, n
t3
2 ln 2 x
x e
x 1
3
I
3 2
t dt
2
t 33
t
3
3
t.t 2 dt
232
Cách khác:
3
ln x
dx
x
2
3
3
3 3
t dt
2 32
2 ln 2 x
3 t4
.
2 4
3
3
3
2
3 3
3 3 23 2
8
t
e
Thí d
– B 2010) Tính tích phân sau I
1
ln x
x 2 ln x
2
dx
L
www.mathvn.com
10
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguy
ành Long
D
e
2
ln x
2
Ta có I
dx
ln x 2 ln x d ln x thì
2
ln x
1 x 2
1
m 1
2 Z, p
n
ln x t 2
m 1, n 1,
t
2 ln x
3
dx
x
t
I
t
2
1 2
dt
t t2
dt
2
ln x
dt
3
2
Z và u x
2
2
ln t
2 3
t 2
ln
ln 3
Thí d
– 2002) Tính tích phân sau I
(
Email:
3
2
1
3
e x dx
ex
0
1
3
L
ln 3
Ta có I
ex
0
m
ln 3
e x dx
1
e
3
x
1
3
1
de x thì
0
1
m 1
1 Z và u x
2
n
e x 1 2tdt e x dx dx 2tdt
2
12
tdt
I 2 3
2.
2 1
t 2
t
2
0, n 1, p
t2
2
dx
Tính tích phân sau I
Thí d
ex
x
1
5
x3
L
2
Ta có I
1
t
x
2
2
dx
x5
x3
x 2
x 1
Ta có I
1
x x
5
I
2
2
1
www.mathvn.com
m
dx
3, n
2, p
1 Z
t 1
xdx
5
2
dx
1
5
dt
t t 1
1
1 x2
2
1
3
3
1
x2
dt
2
t
t
1
2
x
2
1
22
x
x
4
x2 1
1
t 1
dx
1
2
1
dt
t 1 t
1
2
1
t 1
ln
t
5
t 1 2
3
ln 2
8
1 5
ln
2 2
11
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
x 2 dx
Tìm ngun hàm: I
Thí d
Email:
1 x
39
L
x 2 dx
Ta có I
t
39
dx
t
2
dt
1
39
t
m 1
n
dt
1 x
x 1 t
1 x
1 t
I
x2 1 x
39
39
dt 2
1
t
38
dx
2, n 1, p
m
1
dt
t
37
dt
1 1
38 t 38
2 1
37 t 37
1 1
36 t 36
C v
t
39
Z
3
Z
1 x
2
– B 2005) Tính tích phân sau I
Thí d
sin 2 x.cos x
dx
1 cos x
0
L
Phân tích
2
I
v
m
t
2
2, n 1, p
1 Z và u x
1
2
I
t
1
d cos x thì
0
cos x
1
t
2
0
x
2
2 cos 2 x 1 cos x
sin xdx
dt
cos x t 1
1 cos x
x
sin x.cos 2 x
dx
1 cos x
0
2
sin 2 x.cos x
dx
1 cos x
0
2
t 1
t
2
2
2
dt
2
t 2
1
1
dt
t
2
t2
2
2t ln t
2
1
2 ln 2 1
2
– 1999) Tính tích phân sau I
Thí d
2
sin x cos x 1 cos x dx
0
L
2
Ta có I
2
2
sin x cos x 1 cos x dx
0
m 1, n 1, p
t
2
cos x 1 cos x d cos x thì
0
2
1 cos x
www.mathvn.com
Z và u x
cos x
sin xdx
dt
cos x t 1
12
Giáo viên: Nguy
D
x
t
x
2
1
2
t 1 t 2 dt
I
Email:
1
t
2
0
www.MATHVN.com
ành Long
t3
2
t4
4
t 2 dt
1
Nh
N
trong lý thuy
t3 2
3 1
17
12
àt
ì ta v
2
– A 2005) Tính tích phân sau I
Thí d
sin 2 x sin x
1 3cos x
0
dx
L
2
Ta có I
sin x 2 cos x 1
1 3cos x
0
2
dx
2 cos x 1 3cos x
1
2
2
d cos x
0
1 3cos x
u x
Nh
0, n 1
d cos x
0
I1
ta có m
1
2
I2
cos x v
I1 ta có m
n 1
m 1
n
2
Z và v
I2
m 1
1 Z.
n
V
t2 1
3
sin x
dx
1 3cos x
cos x
t2
1 3cos x
x
t
x
2
I
1
4t 2
9
1
t
2
0
2dt
3
2
2
dt
9
4 3
t
27
2 2
t
9 1
34
27
2
QG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I
Thí d
sin 3 x
dx
1 cos x
0
L
2
Ta có I
sin 3 x
dx
1 cos x
0
3sin x 4sin 3 x
dx
1 cos x
0
2
hai tích phân nh
t
1 cos x
www.mathvn.com
m
cos x
dt
2
4cos 2 x 1 1 cos x
1
d cos x thì
0
2, n 1, p
1 Z
m 1
n
3
Z và u x
cos x nên ta
t 1
sin xdx
13
Giáo viên: Nguy
D
x
x
t
I
2
4 t 1
2
t
2
ài vi
1
2
dt
4t
1
3
8 dt
t
2t 2
2
1
8t
ln 2 x
– D 2005) Tính tích phân sau I
x ln x 1
1
ln 2
e2 x
– 2000) Tính tích phân sau I
e
0
e
ln x
– 98) Tính tích phân I =
x. 1 ln x
1
e
Bài 4: (
3ln t
– 2006) Tính tích phân sau I
x
76
15
dx
2 2
3
dx
1
4 2 2
3
dx
3 2 ln x
x 1 2 ln x
ln x
dx
x ln 2 x 1
10 2 11
3
dx
1
e
Bài 5
– 1999) Tính tích phân sau I
1
e
3
2
log x
Bài 7: Tính tích phân sau I
1
dx
2
x 1 3ln x
ln 8
ex
– 2004) Tính tích phân sau I
1.e 2 x dx
ln 3
e
ln 5
Bài 9: Tính tích phân sau I
x
1 e
ex
ln 2
1
(ln 2 1)
2
4
27 ln 3 2
ln 8
Bài 8
3ln 2 2
ày m
e3
Bài 3:
Email:
1
t
2
0
1
www.MATHVN.com
ành Long
ex
1.e x .e x dx
ln 3
x
dx
1
2
Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I
2
3
sin 2 x 1 sin 2 x dx
Bài 11: Tính tích phân sau I
0
sin 4 x
dx
2
0 1 cos x
2 6 ln
3
4
15
4
sin x cos 3 x
dx
1 cos 2 x
0
2
Bài 12
– 1997) Tính tích phân sau I
sin 3 x sin 3 3 x
dx
1 cos 3 x
0
6
Bài 13: Tính tích phân I
www.mathvn.com
1
6
1
ln 2
3
14
Giáo viên: Nguy
D
www.MATHVN.com
ành Long
3
Bài 14:
– B 2004) Tính tích phân sau I
0
3
Bài 15: Tìm nguyên hàm I
S
à 15 – Khu ph
www.mathvn.com
–
x dx
( x 1)10
1 1
6 ( x 1)6
dx
x x3
ln
3 1
7 ( x 1)7
Email:
6
2
3 1
8 ( x 1)8
ho
– Th ã b
– Thành ph
1 1
9 ( x 1)9
C
ành Long
15
