GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI LƯỢN G TRUNG BÌNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (217.86 KB, 30 trang )
Mục lục
Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . 2
0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . 2
0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI L ƯỢN G TRUNG BÌNH
NGUYỄN TÀI CHUNG
GV TH PT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai.
Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình đã xuất hiện rải rác trong các kì
thi học sinh giỏi. Bài viết này nhằm trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống các bài toán
về giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình.
0.1 Giới hạn của các dãy số si nh bởi các đại lượng trung bình
Định nghĩa 1. Ta gọi trung bình bậc r của n số dương a
1
, a
2
, . . . , a
n
là biểu thức xác định
bởi:
∆
r
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
1
r
,
nếu r = 0, và
∆
0
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) := lim
r→0
∆
r
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
)
Chú ý 1. Đặc biệt khi r = 1 ta có trung bình cộng, khi r = −1 ta có trung bình điều hòa,
khi r = 2 ta có trung bình bình phương (ha y còn gọi là trung bình toàn phương).
Nhận xét 1. Ta chứng minh được nếu a
1
, a
2
, . . . , a
n
là những số dương khác 1 thì
∆
0
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
n
√
a
1
a
2
. . . a
n
. (*)
Do đó khi r = 0, ta có trung bình nhân. Còn (∗) được chứng minh như sau: Ta có
ln [∆
0
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
)] = ln
lim
r→0
∆
r
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
)
= ln
lim
r→0
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
1
r
= lim
r→0
ln
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
1
r
= l im
r→0
ln
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
r
Lopitan
=
lim
r→0
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
= l im
r→0
a
r
1
ln a
1
+ a
r
2
ln a
2
+ ··· + a
r
n
ln a
n
n
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
=
ln ( a
1
a
2
. . . a
n
)
n
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 2
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
= ln
(a
1
a
2
. . . a
n
)
1
n
.
Do đó
∆
0
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
n
√
a
1
a
2
. . . a
n
.
Nhận xét 2. Theo nhận xét 1, trang 2 ta có ngay: Với a > 0, b > 0 thì
lim
m→∞
a
1
m
+ b
1
m
2
m
=
√
ab.
Tuy nhiên ta có thể chứng minh sơ cấp hơn như sau (không sử dụng quy tắc Lôpitan): Ta có
ln
√
ab
m
= ln(ab )
1
2m
= ln
a
1
2m
b
1
2m
≤ ln
a
1
m
+ b
1
m
2
= ln
1
2
a
1
m
− 1
+
1
2
b
1
m
− 1
+ 1
<
1
2
a
1
m
− 1
+
1
2
b
1
m
− 1
.
Vậy
ln
√
ab ≤ ln
a
1
m
+ b
1
m
2
m
≤
1
2
m
a
1
m
−1
+ m
b
1
m
− 1
, ∀m = 1, 2, . . .
Từ đây, cho m → +∞ ta được
lim
m→∞
ln
a
1
m
+ b
1
m
2
m
= ln
√
ab ⇒ lim
m→∞
a
1
m
+ b
1
m
2
m
=
√
ab.
Nhận xét 3. Ta chứng minh được kết quả: Dãy
∆
r
(a
1
, a
2
, , a
n
) =
a
r
1
+ a
r
2
+ ··· + a
r
n
n
1
r
là sắp được theo r như là một hàm đồng biến của hàm số biến r ∈ R. Kết quả này rất quan
trọng, nó định hướng cho ta trong quá trình so sánh các dãy số được thành lập từ các đại
lượng trung bình.
Nhận xét 4. Đối với các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình thì giới hạn của
các dã y số thường là bằng nhau và thường thì ta tìm được số hạng tổng quát của các dãy số
đó.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 3
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
0.1.1 Trường hợp cùng chỉ số
Bài toán 1 (Cộng cùng-nhân cùng). Cho dãy số (x
n
)
+∞
n=1
và (y
n
)
+∞
n=1
được xác định như
sau
x
1
= a > 0, y
1
= b > 0, x
n
=
x
n−1
+ y
n−1
2
, y
n
=
√
x
n−1
y
n−1
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn và lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
.
Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì x
n
> 0, y
n
> 0. Theo bất đẳng thức
Cauchy ta có:
x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
≥
√
x
n
y
n
= y
n+1
⇒ x
n
≥ y
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Suy ra
y
n+1
=
√
x
n
y
n
≥
√
y
n
y
n
= y
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy
y
n
≥ y
n−1
≥ ··· ≥ y
2
=
√
ab.
Tương tự ta có
x
n+1
≤ x
n
≤ ··· ≤ x
2
=
a + b
2
.
Vậy nên
√
ab ≤ y
2
≤ y
3
≤ ··· ≤ y
n
≤ x
n
≤ ··· ≤ x
3
≤ x
2
=
a + b
2
.
Suy ra dãy số (x
n
) giảm, bị chặn dưới bởi
√
ab, còn dãy (y
n
) tăng và bị chặn trên bởi
a + b
2
.
Do đó chúng hội tụ. Đặt
lim
n→+∞
x
n
= α, lim
n→+∞
x
n
= β.
Khi đó từ giả thiế t x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được
α =
α + β
2
⇔ α = β.
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim
n→+∞
x
n
= lim
n→+∞
x
n
.
Bài toán 2 (Cộng cùng-điều hòa cùng). Cho hai số dương a, b. Xét các dãy số (a
n
)
+∞
n=1
và (b
n
)
+∞
n=1
như sau
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=
a
n
+ b
n
2
, b
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
, ∀n = 1, 2,
Tìm lim
n→∞
a
n
và lim
n→∞
b
n
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 4
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Giải.
Cách 1. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
a
n
> 0, b
n
> 0, b
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
=
2a
n
b
n
a
n
+ b
n
.
Vì vậy
a
n+1
b
n+1
=
a
n
+ b
n
2
.
2a
n
b
n
a
n
+ b
n
= a
n
b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Suy ra
a
n
b
n
= ··· = a
1
b
1
= ab, ∀n = 1, 2, . . .
Ta có
√
a
n
−
√
b
n
√
a
n
+
√
b
n
=
a
n
−
√
a
n
b
n
a
n
+
√
a
n
b
n
=
a
n−1
+ b
n−1
2
−
√
a
n
b
n
a
n−1
+ b
n−1
2
+
√
a
n
b
n
=
a
n−1
+ b
n−1
− 2
√
a
n
b
n
a
n−1
+ b
n−1
+ 2
√
a
n
b
n
=
a
n−1
+ b
n−1
− 2
a
n−1
b
n−1
a
n−1
+ b
n−1
+ 2
a
n−1
b
n−1
=
√
a
n−1
−
b
n−1
√
a
n−1
+
b
n−1
2
.
Do đó, phép quy nạp theo n chứng tỏ rằng
√
a
n
−
√
b
n
√
a
n
+
√
b
n
=
√
a
1
−
√
b
1
√
a
1
+
√
b
1
2
n−1
=
√
a −
√
b
√
a +
√
b
2
n−1
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy
lim
n→∞
√
a
n
−
√
b
n
√
a
n
+
√
b
n
= lim
n→∞
√
a −
√
b
√
a +
√
b
2
n−1
= 0
do
√
a −
√
b
√
a +
√
b
< 1
.
Theo trên suy ra
√
a
n
−
√
b
n
√
a
n
+
√
b
n
=
a
n
−
√
ab
a
n
+
√
ab
⇒ lim
n→∞
a
n
−
√
ab
a
n
+
√
ab
= 0.
Đặt
a
n
−
√
ab
a
n
+
√
ab
= x
n
⇔ a
n
x
n
+
√
abx
n
= a
n
−
√
ab ⇔ a
n
=
√
ab(x
n
+ 1)
1 − x
n
.
Khi đó
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
√
ab(x
n
+ 1)
1 − x
n
=
√
ab (do lim
n→+∞
x
n
= 0).
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 5
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Vậy
lim
n→∞
b
n
= lim
n→∞
ab
a
n
=
ab
√
ab
=
√
ab.
Cách 2. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
b
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
≤
2
2
1
a
n
.
1
b
n
=
a
n
b
n
≤
a
n
+ b
n
2
= a
n+1
, ∀n = 1, 2, . . .
Với mọi n = 2, 3, . . . ta có
a
n+1
=
a
n
+ b
n
2
≤
a
n
+ a
n
2
= a
n
,
b
n+1
≥ b
n
⇔
2a
n
b
n
a
n
+ b
n
≥ b
n
⇔ a
n
b
n
≥ b
2
n
⇔ a
n
≥ b
n
(đúng).
Hay ta viết lại
2ab
a + b
= b
2
≤ ··· ≤ b
n
≤ b
n+1
≤ a
n+1
≤ a
n
≤ ··· ≤ a
2
=
a + b
2
.
Vậy kể từ số hạng thứ hai trở đi dãy số (a
n
)
+∞
n=1
giảm và bị chặn dưới bởi số
2ab
a + b
nên có
giới hạn, dãy số (b
n
)
+∞
n=1
tăng và bị chặn trên bởi số
a + b
2
nên có giới hạn. Đặt
lim
n→∞
a
n
= α, lim
n→∞
b
n
= β.
Khi đó từ giả thiế t a
n+1
=
a
n
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được
α =
α + β
2
⇔ α = β.
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
.
Từ lim
n→∞
(a
n
b
n
) = lim
n→∞
(ab) = ab ta có lim
n→∞
a
n
. lim
n→∞
b
n
= ab. Do đó αβ = ab, mà α = β ≥ 0
nên suy ra α = β =
√
ab. Vậy
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=
√
ab.
Bài toán 3 (Nhân cùng-điều hòa cùng). Cho các dãy số (a
n
)
+∞
n=1
, (b
n
)
+∞
n=1
xác định như
sau
a
1
= a > 0, b
1
= b > 0, a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
, b
n+1
=
a
n
b
n
(∀n = 1, 2, . . .)
Chứng minh hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 6
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có
1
a
n+1
=
1
a
n
+
1
b
n
2
,
1
b
n+1
=
1
a
n
.
1
b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Đặt
1
a
n
= x
n
,
1
b
n
= y
n
. Khi đó x
1
=
1
a
> 0, y
1
=
1
b
> 0 và
x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, y
n+1
=
√
x
n
y
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy theo bài toán 1 suy ra hai dãy (x
n
), (y
n
) hội tụ và lim
n→+∞
x
n
= lim
n→+∞
y
n
. Do đó hai dãy
(a
n
), (b
n
) hội tụ và
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Bài toán 4 (Trung bình bậc r cùng-nhân cùng). Cho trước ba số dương a, b và r. Xét
hai d ãy số (x
n
)
+∞
n=1
và (y
n
)
+∞
n=1
như sau
x
1
= a, y
1
= b, x
n+1
=
x
r
n
+ y
r
n
2
1
r
, y
n+1
=
√
x
n
y
n
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho hội tụ và lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
.
Giải. Từ giả thiết suy ra với mọi n = 1, 2, . . . thì x
n
> 0, y
n
> 0. Theo bất đẳng thức
Cauchy ta có:
x
n+1
=
x
r
n
+ y
r
n
2
1
r
≥
x
r
n
.y
r
n
1
r
=
√
x
n
y
n
= y
n+1
, ∀n = 1, 2, . . .
Suy ra
y
n+1
=
√
x
n
y
n
≥
√
y
n
y
n
= y
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Vậy
y
n
≥ y
n−1
≥ ··· ≥ y
2
=
√
ab.
Tương tự ta có
x
n+1
=
x
r
n
+ y
r
n
2
1
r
≤
x
r
n
+ x
r
n
2
1
r
= x
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Suy ra
x
n+1
≤ x
n
≤ ··· ≤ x
2
=
a
r
+ b
r
2
1
r
.
Vậy nên
√
ab ≤ y
2
≤ y
3
≤ ··· ≤ y
n
≤ x
n
≤ ··· ≤ x
3
≤ x
2
=
a
r
+ b
r
2
1
r
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 7
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Suy ra dãy số (x
n
) giảm, bị chặn dưới bởi
√
ab còn dãy (y
n
) tăng và bị chặn trê n bởi
a
r
+ b
r
2
1
r
. Do đó chúng hội tụ. Đặt
lim
n→∞
x
n
= α, lim
n→∞
y
n
= β.
Khi đó từ giả thiế t x
n+1
=
x
r
n
+ y
r
n
2
1
r
, ∀n = 1, 2, . . . cho n → +∞ ta được.
α =
α
r
+ β
r
2
1
r
⇔ α
r
=
α
r
+ β
r
2
⇔ α
r
= β
r
⇔ α = β.
Vậy hai dãy số đã cho có giới hạn và lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
.
0.1.2 Trường hợp lệch chỉ số
Bài toán 5 (Cộng cùng-cộng lệch). Cho trước a, b ∈ R. Xét ha i dãy (u
n
)
+∞
n=1
và (b
n
)
+∞
n=1
như sau:
u
1
= a, v
1
= b, u
n+1
=
u
n
+ v
n
2
, v
n+1
=
u
n+1
+ v
n
2
Tìm lim
n→∞
u
n
, lim
n→∞
v
n
.
Giải. Ta có
u
n+1
=
u
n
+ v
n
2
, v
n+1
=
u
n
+ 3v
n
4
, ∀n = 1, 2, . . .
Suy ra với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
u
n+1
+ λv
n+1
=
u
n
+ v
n
2
+ λ
u
n
+ 3v
n
4
=
1
2
+
λ
4
u
n
+
1
2
+
3λ
4
v
n
.
Ta chọn λ sao cho
1
2
+
3λ
4
= λ
1
2
+
λ
4
⇔ λ
2
− λ − 2 = 0 ⇔
λ = −1
λ = 2.
Vậy với λ ∈ {−1, 2}, ta có:
u
n+1
+ λv
n+1
=
1
2
+
λ
4
(u
n
+ λv
n
) , ∀n = 1, 2, . . .
Đặt u
n
+ λv
n
= x
n
, suy ra
x
n+1
=
1
2
+
λ
4
x
n
, ∀n = 1, 2, . . .
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 8
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Vậy dãy số (x
n
)
+∞
n=1
tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu x
1
= a + λb, công bội
q =
1
2
+
λ
4
. Do đó
x
n
= (a + λb)
1
2
+
λ
4
n−1
, ∀n = 1, 2, . . .
Lần lượt lấy λ = −1, λ = 2 ta được:
u
n
− v
n
= (a −b) .
1
4
n−1
u
n
+ 2v
n
= a + 2b
⇔
u
n
=
1
3
(a + 2b) + (a − b) .
2
3
.
1
4
n−1
v
n
=
1
3
a + 2b − (a − b) .
1
4
n−1
Suy ra lim
n→∞
u
n
= lim
n→∞
v
n
=
1
3
(a + 2b) .
Bài toán 6 (Nhân cùng-nhân lệch). Cho trước hai s ố dương a và b. Xét hai dãy số
(u
n
) , (v
n
) như sau:
u
1
= a, v
1
= b, u
n+1
=
√
u
n
v
n
, v
n+1
=
√
u
n+1
v
n
(∀n = 1, 2, . . . )
Hãy tìm lim
n→∞
u
n
và lim
n→∞
v
n
.
Hướng dẫn. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . ta có u
n
> 0 và v
n
> 0. Gọi x
n
= ln u
n
, y
n
=
ln v
n
(∀n = 1, 2, . . .). Khi đó x
1
= ln a, y
1
= ln b và với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
x
n+1
=
ln u
n
+ ln v
n
2
=
x
n
+ y
n
2
, y
n+1
=
ln u
n+1
+ ln v
n
2
=
x
n+1
+ y
n
2
.
Theo bài tập 5 ta có
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
=
ln a + 2 ln b
3
=
ln ab
2
3
= ln
ab
2
1
3
.
Vì hàm số mũ liên tục nên suy ra
lim
n→∞
u
n
= lim
n→∞
v
n
= lim
n→∞
e
ln u
n
= lim
n→∞
e
x
n
= e
lim
n→∞
x
n
= e
ln
(
ab
2
)
1
3
=
ab
2
1
3
.
Bài toán 7 (Điều hòa cùng-điều hòa lệch). Cho tr ước hai số dương a và b. Xét hai dãy
số (u
n
) , (v
n
) như sau:
u
1
= a, v
1
= b, u
n+1
=
2
1
u
n
+
1
v
n
, v
n+1
=
2
1
u
n+1
+
1
v
n
(∀n = 1, 2, . . . )
Hãy tìm lim
n→∞
u
n
và lim
n→∞
v
n
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 9
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có
1
u
n+1
=
1
u
n
+
1
v
n
2
,
1
v
n+1
=
1
u
n+1
+
1
v
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy đặt
1
u
n
= x
n
,
1
v
n
= y
n
. Khi đó
x
1
=
1
a
> 0, y
1
=
1
b
> 0, x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, y
n+1
=
x
n+1
+ y
n
2
.
Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 5.
Bài toán 8 (Trung bình bậc r cùng-trung bì nh bậc r lệch). Cho trước hai số dương
a, b và cho trước r = 0. Xét hai dãy số (u
n
) , (v
n
) như sau:
u
1
= a, v
1
= b, u
n+1
=
u
r
n
+ v
r
n
2
1
r
, v
n+1
=
u
r
n+1
+ v
r
n
2
1
r
Hãy tìm lim
n→∞
u
n
và lim
n→∞
v
n
.
Hướng dẫn. Dễ thấy rằng với mọi n = 1, 2, . . . ta có u
n
> 0, v
n
> 0. Với mọi n = 1, 2, . . . ,
và với mọi λ ∈ R, ta có:
u
r
n+1
+ λv
r
n+1
=
u
r
n
+ v
r
n
2
+ λ
u
r
n+1
+ v
r
n
2
=
u
r
n
+ v
r
n
2
+ λ
u
r
n
+ v
r
n
2
+ v
r
n
2
=
u
r
n
+ v
r
n
2
+ λ
u
r
n
+ 3v
r
n
4
=
1
2
+
λ
4
u
r
n
+
1
2
+
3λ
4
v
r
n
.
Tương tự như bài tập 5, ta chứng minh được
lim
n→∞
u
r
n
= lim
n→∞
v
r
n
=
a + 2b
3
.
Do đó và vì hàm số f(x) = x
1
r
liên tục trên (0; +∞) nên
lim
n→∞
u
n
= lim
n→∞
v
n
= lim
n→∞
(v
r
n
)
1
r
=
lim
n→∞
v
r
n
1
r
=
a + 2b
3
1
r
.
Chú ý 2. Hàm sin hypebôlic và hàm cos hypebôlic lần lượt là hàm
sinh x =
e
x
−e
−x
2
, cosh x =
e
x
+ e
−x
2
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 10
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 9 (Cộng cùng-nhân lệch). Cho trước hai số dương a, b. Xét các dãy số (a
n
)
+∞
n=1
và (b
n
)
+∞
n=1
như sau:
x
1
= a, y
1
= b, x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, y
n+1
=
√
x
n+1
y
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Tìm lim
n→∞
x
n
, lim
n→∞
y
n
.
Giải.
Trường hợp 1: a = b. Khi đó a
n
= b
n
= a, ∀n = 1, 2, . . . Bởi vậy
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= a.
Trường hợp 2: a < b. Vì 0<a<b nên 0 <
a
b
< 1. Do đó đặt
a
b
= cos v
0 < v <
π
2
.
Ta có
a
1
=
a + b
2
=
b cos v + b
2
=
b(1 + cos v)
2
= b cos
2
v
2
,
b
1
=
a
1
b =
b
2
cos
2
v
2
= b cos
v
2
,
a
2
=
b cos
2
v
2
+ b cos
v
2
2
=
b cos
v
2
1 + cos
v
2
2
= b cos
v
2
cos
2
v
2
2
,
b
2
=
a
2
b
1
=
b cos
v
2
cos
2
v
2
2
b cos
v
2
= b cos
v
2
cos
v
2
2
,
a
3
=
b cos
v
2
cos
2
v
2
2
+ b cos
v
2
cos
v
2
2
2
= b cos
v
2
cos
v
2
2
cos
2
v
2
3
,
b
3
=
a
3
b
2
=
b
2
cos
2
v
2
cos
2
v
2
2
cos
2
v
2
3
= b cos
v
2
cos
v
2
2
cos
v
2
3
,
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
n
= b
cos
v
2
cos
v
2
2
···cos
v
2
n−1
cos
2
v
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
b
n
= b cos
v
2
cos
v
2
2
···cos
v
2
n−1
cos
v
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Theo công thức cos x =
sin 2x
2 sin x
(với sin x = 0), ta có
b
n
= b
sin v
2 sin
v
2
.
sin
v
2
2 sin
v
2
2
. . .
sin
v
2
n−2
2 sin
v
2
n−1
.
sin
v
2
n−1
2 sin
v
2
n
= b
sin v
2
n
sin
v
2
n
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 11
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Do đó
lim
n→∞
b
n
= b lim
n→∞
sin v
2
n
sin
v
2
n
= b
sin v
v
lim
n→∞
v
2
n
sin
v
2
n
= b
sin v
v
.
Từ a
n
= b
n
cos
v
2
n
ta có
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
cos
v
2
n
= lim
n→∞
b
n
. lim
n→∞
cos
v
2
n
= lim
n→∞
b
n
= b
sin v
v
.
Trường hợp 3: a > b. Vì a > b > 0 nên
a
b
> 1. Gọi α là số để
a
b
= cosh α, tức là
a
b
=
e
α
+ e
−α
2
.
Ta có:
1 + cosh x = 1 +
e
x
+ e
−x
2
=
1
2
2 + e
x
+ e
−x
= 2
e
x
2
+ e
−
x
2
2
2
= 2 cosh
2
x
2
.
sinh x =
e
x
−e
−x
2
= 2
e
x
2
+ e
−
x
2
2
.
e
x
2
− e
−
x
2
2
= 2 sinh
x
2
. cosh
x
2
.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
Vì hàm số f(x) = ln x liên tục trên khoảng (0; +∞) nên
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x)
1
x
= ln
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= ln e = 1.
Đặt e
x
− 1 = y, khi đó
lim
x→0
e
x
−1
x
= lim
y→0
y
ln(1 + y)
= lim
y→0
1
ln(1 + y)
y
= 1.
lim
x→0
sinh x
x
= lim
x→0
e
x
− e
−x
2x
= lim
x→0
1
e
x
lim
x→0
e
2x
− 1
2x
= 1.
lim
x→0
cosh x = lim
x→0
e
x
+ e
−x
2
= 1.
Ta có:
a
1
=
a + b
2
=
b cosh α + b
2
=
b(1 + cosh α)
2
= b cosh
2
α
2
,
b
1
=
a
1
b =
b
2
cosh
2
α
2
= b cosh
α
2
,
a
2
=
b cosh
2
α
2
+ b cosh
α
2
2
= b cosh
α
2
.
1 + cosh
α
2
2
= b cosh
α
2
cosh
2
α
2
2
,
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 12
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
b
2
=
a
2
b
1
=
b
2
cosh
2
α
2
cosh
2
α
2
2
= b cosh
α
2
cosh
α
2
2
,
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
n
= b
cosh
α
2
. cosh
α
2
2
. . . cosh
α
2
n−1
cosh
2
α
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
b
n
= b cosh
α
2
. cosh
α
2
2
. . . cosh
α
2
n−1
cosh
α
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Theo công thức cosh x =
sinh 2x
2 sinh x
(với sinh x = 0), ta có
b
n
= b
sinh α
2 sinh
α
2
.
sinh
α
2
2 sinh
α
2
2
···
sinh
α
2
n−2
2 sinh
α
2
n−1
.
sinh
α
2
n−1
2 sinh
α
2
n
=
b sinh α
2
n
sinh
α
2
n
.
Do đó
lim
n→∞
b
n
= lim
n→∞
b sinh α
2
n
sinh
α
2
n
= b
sinh α
α
lim
n→∞
α
2
n
sinh
α
2
n
= b
sinh α
α
Từ a
n
= b
n
cosh
α
2
n
ta có
lim
n→∞
a
n
= l im
n→∞
b
n
. lim
n→∞
cosh
α
2
n
= b
sinh α
α
.
Bài toán 10 (Đề thi Ôlympic 30/04/2004). Cho hai số dương a, b không đổi thỏa mãn
a < b. Xét các dãy số (a
n
) và (b
n
) như sau
a
1
=
a + b
2
, b
1
=
a
1
b, a
2
=
a
1
+ b
1
2
, b
2
=
a
2
b
1
, , a
n
=
a
n−1
+ b
n−1
2
, b
n
=
a
n
b
n−1
.
Tìm lim
n→+∞
a
n
, lim
n→+∞
b
n
.
Hướng dẫn. Bài toán này là trường hợp đặc biệt của bài toán 9.
Bài toán 11 (Điều hòa cùng-nhân lệ ch). Cho các dãy số (a
n
)
+∞
n=1
, (b
n
)
+∞
n=1
xác định như
sau:
a
1
> 0, b
1
> 0, a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
, b
n+1
=
a
n+1
b
n
(∀n = 1, 2, . . .)
Tìm lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
.
Giải. Từ giả thiết suy ra a
n
> 0, b
n
> 0, ∀n = 1, 2, . . . Ta có
1
a
n+1
=
1
a
n
+
1
b
n
2
,
1
b
n+1
=
1
a
n+1
.
1
b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 13
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Vậy đặt
1
a
n
= x
n
,
1
b
n
= y
n
. Khi đó
x
1
=
1
a
1
> 0, y
1
=
1
b
1
> 0, x
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, y
n+1
=
√
x
n+1
y
n
.
Đến đây ta sử dụng kết quả bài toán 9.
Lưu ý. Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải trực tiếp cũng được kết quả.
Bài toán 12 (HSG Quốc gia - 1993 - Bảng A). Cho a
0
= 2, b
0
= 1. Lập hai dãy số
(a
n
) và (b
n
) với n = 0, 1, 2, . . . theo quy tắc sau
a
n+1
=
2a
n
b
n
a
n
+ b
n
, b
n+1
=
a
n+1
b
n
.
Chứng minh rằng các dãy (a
n
) và (b
n
) có cùng một giới hạn chung khi n dần tới dương vô
cực. Tìm giới hạn chung đó.
Hướng dẫn. Bài toán này chỉ là một trường hợp riêng của bài toán 11.
Bài toán 13 (Nhân cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số (a
n
)
và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=
a
n
b
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N
∗
ta có a
n
> 0 và b
n
> 0.
Trường hợp 1. a = b. Khi đó a
n
= a = b
n
, ∀n = 1, 2, . . . , suy ra
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Trường hợp 2. a > b. Khi đó a
1
> b
1
. Giả sử a
k
> b
k
(với k ∈ N
∗
). Khi đó
b
k
<
a
k
b
k
< a
k
⇒ b
k
< a
k+1
< a
k
.
Suy ra
b
k
=
b
k
+ b
k
2
<
a
k+1
+ b
k
2
<
a
k
+ b
k
2
<
a
k
+ a
k
2
= a
k
⇒ b
k
< b
k+1
< a
k
.
Do đó
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
<
a
k+1
+ b
k+1
2
⇒ 2b
k+1
< a
k+1
+ b
k+1
⇒ a
k+1
> b
k+1
.
Theo nguyên lí quy nạp suy ra
a
n
> b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 14
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Do đó
a
n+1
=
a
n
b
n
<
√
a
n
a
n
= a
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
>
b
n+1
+ b
n
2
⇒ b
n+1
> b
n
.
Vậy
b = b
1
< b
2
< ··· < b
n
< b
n+1
< a
n+1
< a
n
< ··· < a
2
< a
1
= a.
Suy ra dãy (a
n
) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (b
n
) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim
n→+∞
a
n
= x, lim
n→+∞
b
n
= y. Từ b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . ,
cho n → +∞ ta được
y =
x + y
2
⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Trường hợp 3. a < b. Khi đó a
1
< b
1
. Giả sử a
k
< b
k
(với k ∈ N
∗
). Khi đó
a
k
<
a
k
b
k
< b
k
⇒ a
k
< a
k+1
< b
k
.
Suy ra
b
k
=
b
k
+ b
k
2
>
a
k+1
+ b
k
2
>
a
k
+ b
k
2
>
a
k
+ a
k
2
= a
k
⇒ b
k
> b
k+1
> a
k
.
Do đó
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
>
a
k+1
+ b
k+1
2
⇒ 2b
k+1
> a
k+1
+ b
k+1
⇒ a
k+1
< b
k+1
.
Theo nguyên lí quy nạp suy ra
a
n
< b
n
, ∀n = 1, 2, . . .
Do đó
a
n+1
=
a
n
b
n
>
√
a
n
a
n
= a
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
<
b
n+1
+ b
n
2
⇒ b
n+1
< b
n
.
Vậy
a = a
1
< a
2
< ··· < a
n
< a
n+1
< b
n+1
< b
n
< ··· < b
2
< b
1
= b.
Suy ra dãy (a
n
) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (b
n
) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim
n→+∞
a
n
= x, lim
n→+∞
b
n
= y. Từ b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . ,
cho n → +∞ ta được
y =
x + y
2
⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (a
n
), (b
n
) có giới hạn hữu hạn và
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 15
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 14 (Đi ều hoà cùng-cộng lệch). Cho trước hai số dương a và b. Xét hai dãy số
(a
n
) và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Giải. Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra với mọi n ∈ N
∗
ta có a
n
> 0 và b
n
> 0.
Trường hợp 1. a = b. Khi đó a
n
= a = b
n
, ∀n = 1, 2, . . . , suy ra
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Trường hợp 2. a > b. Khi đó a
1
> b
1
. Giả sử a
k
> b
k
(với k ∈ N
∗
). Khi đó
1
a
k
<
1
b
k
⇒
2
a
k
<
1
a
k
+
1
b
k
<
2
b
k
.
Suy ra
b
k
<
2
1
a
k
+
1
b
k
< a
k
⇒ b
k
< a
k+1
< a
k
.
Do đó
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
<
a
k+1
+ a
k+1
2
⇒ b
k+1
< a
k+1
.
Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra a
n
> b
n
, ∀n = 1, 2, . . . Vậy
1
a
n
+
1
b
n
>
1
a
n
+
1
a
n
. Do
đó
a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
<
2
1
a
n
+
1
a
n
= a
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
>
b
n+1
+ b
n
2
⇒ b
n+1
> b
n
.
Ta viết lại
b = b
1
< b
2
< ··· < b
n
< b
n+1
< a
n+1
< a
n
< ··· < a
2
< a
1
= a.
Suy ra dãy (a
n
) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (b
n
) tăng và bị chặn trên bởi số a, do đó
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim
n→+∞
a
n
= x, lim
n→+∞
b
n
= y. Từ b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . ,
cho n → +∞ ta được
y =
x + y
2
⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Trường hợp 3. a < b. Khi đó a
1
< b
1
. Giả sử a
k
< b
k
(với k ∈ N
∗
). Khi đó
1
a
k
>
1
b
k
⇒
2
b
k
<
1
a
k
+
1
b
k
<
2
a
k
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 16
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Suy ra
a
k
<
2
1
a
k
+
1
b
k
< b
k
⇒ a
k
< a
k+1
< b
k
.
Vậy
b
k+1
=
a
k+1
+ b
k
2
>
a
k+1
+ a
k+1
2
⇒ b
k+1
> a
k+1
.
Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra a
n
< b
n
, ∀n = 1, 2, . . . Vậy
1
a
n
+
1
b
n
<
1
a
n
+
1
a
n
. Do
đó
a
n+1
=
2
1
a
n
+
1
b
n
>
2
1
a
n
+
1
a
n
= a
n
, b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
<
b
n+1
+ b
n
2
⇒ b
n+1
< b
n
.
Ta viết lại
a = a
1
< a
2
< ··· < a
n
< a
n+1
< b
n+1
< b
n
< ··· < b
2
< b
1
= b.
Suy ra dãy (a
n
) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (b
n
) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó
hai dãy số này hội tụ. Đặt lim
n→+∞
a
n
= x, lim
n→+∞
b
n
= y. Từ b
n+1
=
a
n+1
+ b
n
2
, ∀n = 1, 2, . . . ,
cho n → +∞ ta được
y =
x + y
2
⇔ x = y ⇒ lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (a
n
), (b
n
) có giới hạn hữu hạn và
lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
Bài toán 15 (Cộng cùng-điều hoà lệch). Cho trước h ai số dương a và b. Xét hai dãy số
(a
n
) và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=
a
n
+ b
n
2
, b
n+1
=
2
1
a
n+1
+
1
b
n
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Hướng dẫn. Đặt
1
a
n
= x
n
,
1
b
n
= y
n
. Ta đươc
x
n+1
=
2
1
x
n
+
1
y
n
, y
n+1
=
x
n+1
+ y
n
2
.
Sau đó sử dụng kết quả bài toán 14
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 17
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Bài toán 16 (Nhân cùng-điều hoà lệch). Ch o trước hai số dương a và b. Xét hai dãy
số (a
n
) và (b
n
) như sau:
a
1
= a, b
1
= b, a
n+1
=
a
n
b
n
, b
n+1
=
2
1
a
n+1
+
1
a
n
.
Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau.
Hướng dẫn. Đặt
1
a
n
= x
n
,
1
b
n
= y
n
. Ta đươc
x
n+1
=
√
x
n
y
n
, y
n+1
=
x
n+1
+ y
n
2
.
Sau đó sử dụng kết quả bài toán 13
Bài toán 17 (Trung bình bậc r cùng-nhân lệch). Cho r = 0, a > 0, b > 0, xét các dãy
số (a
n
)
+∞
n=0
và (b
n
)
+∞
n=0
như sau:
a
0
= a, b
0
= b, a
n+1
=
a
r
n
+ b
r
n
2
1
r
, b
n+1
=
a
n+1
b
n
(∀n = 0, 1, 2, . . .) .
Tìm lim
n→+∞
a
n
và lim
n→+∞
b
n
.
Giải.
Trường hợp 1: r > 0.
Trường hợp 1.1: a = b. Khi đó a
n
= a = b
n
, ∀n ∈ N. Suy ra
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= 1.
Trường hợp 1.2: a < b. Khi đó
a
r
< b
r
⇒ 0 <
a
r
b
r
< 1.
Do đó đặt
a
r
b
r
= cos v
0 < v <
π
2
.
Ta có
a
r
1
=
a
r
+ b
r
2
=
b
r
cos v + b
r
2
=
b
r
(1 + cos v)
2
= b
r
cos
2
v
2
,
b
r
1
=
a
1
b
r
=
b
2
cos
2
r
v
2
r
=
b cos
1
r
v
2
r
= b
r
cos
v
2
,
a
r
2
=
b
r
cos
2
v
2
+ b
r
cos
v
2
2
=
b
r
cos
v
2
1 + cos
v
2
2
= b
r
cos
v
2
cos
2
v
2
2
,
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 18
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
b
r
2
=
a
2
b
1
=
b
2
cos
2
r
v
2
cos
2
r
v
2
2
r
= b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
,
a
r
3
=
b
r
cos
v
2
cos
2
v
2
2
+ b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
2
= b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
cos
2
v
2
3
,
b
3
=
a
3
b
2
= b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
cos
v
2
3
.
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
r
n
= b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
···cos
v
2
n−1
cos
2
v
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
b
r
n
= b
r
cos
v
2
cos
v
2
2
···cos
v
2
n−1
cos
v
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Theo công thức cos x =
sin 2x
2 sin x
(với sin x = 0), ta có
b
r
n
= b
r
sin v
2 sin
v
2
.
sin
v
2
2 sin
v
2
2
···
sin
v
2
n−2
2 sin
v
2
n−1
.
sin
v
2
n−1
2 sin
v
2
n
= b
r
sin v
2
n
sin
v
2
n
.
Do đó
lim
n→∞
b
r
n
= b
r
lim
n→∞
sin v
2
n
sin
v
2
n
= b
r
sin v
v
lim
n→∞
v
2
n
sin
v
2
n
= b
r
sin v
v
Từ a
r
n
= b
r
n
cos
v
2
n
ta có
lim
n→∞
a
r
n
= lim
n→∞
b
r
n
cos
v
2
n
= lim
n→∞
b
r
n
. lim
n→∞
cos
v
2
n
= lim
n→∞
b
r
n
= b
r
sin v
v
.
Do đó
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b
sin v
v
1
r
.
Trường hợp 1.3: a > b > 0. Khi đó
a
r
b
r
> 1. Gọi α là số để
a
r
b
r
= cosh α.
Ta có
a
r
1
=
a
r
+ b
r
2
=
b
r
cosh α + b
r
2
=
b
r
(1 + cosh α)
2
= b
r
cosh
2
α
2
,
b
r
1
=
a
1
b
r
=
b
2
cosh
2
r
α
2
r
= b
r
cosh
α
2
,
a
r
2
=
b
r
cosh
2
α
2
+ b
r
cosh
α
2
2
= b
r
cosh
α
2
.
1 + cosh
α
2
2
= b
r
cosh
α
2
cosh
2
α
2
2
,
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 19
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
b
r
2
=
b
2
cosh
2
r
α
2
cosh
2
r
α
2
2
r
= b
r
cosh
α
2
cosh
α
2
2
,
Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:
a
r
n
= b
r
cosh
α
2
. cosh
α
2
2
. . . cosh
α
2
n−1
cosh
2
α
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
b
r
n
= b
r
cosh
α
2
. cosh
α
2
2
. . . cosh
α
2
n−1
cosh
α
2
n
, ∀n = 2, 3, . . .
Theo công thức cosh x =
sinh 2x
2 sinh x
(với sinh x = 0), ta có
b
r
n
= b
r
sinh α
2 sinh
α
2
.
sinh
α
2
2 sinh
α
2
2
···
sinh
α
2
n−2
2 sinh
α
2
n−1
.
sinh
α
2
n−1
2 sinh
α
2
n
=
b
r
sinh α
2
n
sinh
α
2
n
.
Do đó
lim
n→∞
b
r
n
= lim
n→∞
b
r
sinh α
2
n
sinh
α
2
n
= b
r
sinh α
α
lim
n→∞
α
2
n
sinh
α
2
n
= b
r
sinh α
α
.
Từ a
r
n
= b
r
n
cosh
α
2
n
ta có
lim
n→∞
a
r
n
= lim
n→∞
b
r
n
. lim
n→∞
cosh
α
2
n
= b
r
sinh α
α
.
Bởi vậy
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b
sinhα
α
1
r
.
Trường hợp 2: r < 0.
Trường hợp 2.1: a = b. Khi đó a
n
= a = b
n
, ∀n ∈ N. Suy ra
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= 1.
Trường hợp 2.2: a > b. Khi đó
a
r
< b
r
⇒ 0 <
a
r
b
r
< 1.
Do đó đặt
a
r
b
r
= cos v
0 < v <
π
2
.
Tương tự như trường hợp 1.2, ta chứng minh được
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b
sin v
v
1
r
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 20
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Trường hợp 2.3: a < b. Khi đó
a
r
b
r
> 1. Gọi α là số để
a
r
b
r
= cosh α. Tương tự như trường
hợp 1.3, ta chứng minh được
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= b
sinhα
α
1
r
.
Lưu ý. Bài toán 9 là trường hợp riêng của bài toán 17 khi r = 1. Bài toán 11 là trường
hợp riêng của bài toán 17 khi r = −1. Bài toán 13 có thể xem là bổ sung cho trường hợp
r = 0 chưa được xét ở bài toán 17.
0.1.3 Phối hợp ba, bốn dãy số.
Bài toán 18. Cho ba số thực a, b, c. Xét 3 dã y số (x
n
)
+∞
n=1
, (y
n
)
+∞
n=1
, (z
n
)
+∞
n=1
như sau:
x
1
= a, y
1
= b, z
1
= c,
x
n+1
=
y
n
+ z
n
2
, y
n+1
=
z
n
+ x
n
2
, z
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Chứng minh rằng các dãy số này h ội tụ và tính giới hạn của chúng.
Giải. Với mọi n = 2, 3, . . . Ta c ó
x
n
+ y
n
+ z
n
=
y
n−1
+ z
n−1
2
+
z
n−1
+ x
n−1
2
+
x
n−1
+ y
n−1
2
= x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
.
Sử dụng liên tiếp các kế t quả trên ta thu được:
x
n
+ y
n
+ z
n
= x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
= ··· = x
1
+ y
1
+ z
1
= a + b + c. (1)
Đặt M = a + b + c, khi đó từ (1) ta có
y
n
+ z
n
=
z
n−1
+ x
n−1
2
+
x
n−1
+ y
n−1
2
=
x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
2
+
x
n−1
2
=
a + b + c
2
+
x
n−1
2
=
M
2
+
x
n−1
2
, ∀n = 2, 3, . . .
Suy ra
x
n
= M − (y
n
+ z
n
) =
1
2
M −
1
2
x
n−1
, ∀n = 2, 3, . . .
Sử dụng liên tiếp các kế t quả trên ta thu được:
x
n
=
M
2
−
x
n−1
2
=
M
2
−
1
2
M
2
−
x
n−2
2
= M
1
2
−
1
2
2
+
1
2
2
x
n−2
= M
1
2
−
1
2
2
+
1
2
2
M
2
−
x
n−3
2
= M
1
2
−
1
2
2
+
1
2
3
−
1
2
3
x
n−3
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 21
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
= ··· = M
1
2
−
1
2
2
+
1
2
3
− ··· + (−1)
n−1
1
2
n−1
+ (−1)
n
1
2
n−1
x
1
=
M
2
.
1 +
1
2
n−1
1 +
1
2
+
(−1)
n
2
n−1
x
1
=
M
3
1 +
1
2
n−1
+
(−1)
n
2
n−1
a, ∀n = 2, 3, . . .
Ta có
lim
n→+∞
1
2
n−1
= 0, lim
n→+∞
(−1)
n
2
n−1
= lim
n→+∞
1
2
n−1
= 0 ⇒ lim
n→+∞
(−1)
n
2
n−1
= 0.
Do đó
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
M
3
1 +
1
2
n−1
+
(−1)
n
2
n−1
a
=
M
3
=
a + b + c
3
.
Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
z
n
=
a + b + c
3
.
Cách khác. Ta có
x
n
−y
n
=
y
n−1
+ z
n−1
2
−
z
n−1
+ x
n−1
2
= −
1
2
(x
n−1
−y
n−1
) , ∀n ≥ 2.
Do đó
x
n
− y
n
=
−
1
2
n−1
(a −b) ⇒ lim
n→∞
(x
n
− y
n
) = 0.
Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
(y
n
− z
n
) = 0, lim
n→∞
(z
n
− x
n
) = 0.
Ta có
x
n
−
a + b + c
3
=
x
n
−
x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
3
=
y
n−1
− x
n−1
6
+
z
n−1
−x
n−1
6
≤
1
6
|x
n−1
− y
n−1
| +
1
6
|x
n−1
− z
n−1
|.
Do đó lim
n→∞
x
n
=
a + b + c
3
. Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
y
n
=
a + b + c
3
, lim
n→∞
z
n
=
a + b + c
3
.
Bài toán 19. Cho 3 số dương a, b , c . Lập 3 dãy (u
n
)
+∞
n=1
, (v
n
)
+∞
n=1
,(w
n
)
+∞
n=1
theo quy luật sau:
u
1
= a, v
1
= b, w
1
= c và
u
n+1
=
√
v
n
w
n
, v
n
=
√
w
n
u
n
, w
n+1
=
√
u
n
v
n
, ∀n = 1, 2, . . .
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 22
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Tìm lim
n→∞
u
n
, lim
n→∞
v
n
, lim
n→∞
w
n
.
Hướng dẫn.
Cách 1. Giải trực tiếp, tương tự như bài toán 18.
Cách 2. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . thì u
n
> 0, v
n
> 0, w
n
> 0. Do đó từ giả thiết ta có
ln u
n+1
=
ln v
n
+ ln w
n
2
, ln v
n+1
=
ln w
n
+ ln u
n
2
, ln w
n+1
=
ln u
n
+ ln v
n
2
.
Gọi x
n
= ln u
n
, y
n
= ln v
n
, z
n
= ln w
n
. Khi đó
x
1
= ln a, y
1
= ln b, z
1
= ln c,
x
n+1
=
y
n
+ z
n
2
, y
n+1
=
z
n
+ x
n
2
, z
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Đến đây ta sử dụng bài toán 18.
Bài toán 20. Cho 3 số dương a, b, c. Lập dãy (u
n
)
+∞
n=1
, (v
n
)
+∞
n=1
,(w
n
)
+∞
n=1
theo quy luật sau:
u
1
= a, v
1
= b, w
1
= c và
u
n+1
=
2v
n
w
n
v
n
+ w
n
, v
n+1
=
2w
n
u
n
w
n
+ u
n
, w
n+1
=
2u
n
v
n
u
n
+ v
n
(n = 1, 2, . . .) .
Tìm lim
n→∞
u
n
, lim
n→∞
v
n
, lim
n→∞
w
n
.
Hướng dẫn. Đặt
1
u
n
= x
n
,
1
v
n
= y
n
,
1
w
n
= z
n
. Khi đó
x
1
=
1
a
, y
1
=
1
b
, z
1
=
1
c
,
x
n+1
=
y
n
+ z
n
2
, y
n+1
=
z
n
+ x
n
2
, z
n+1
=
x
n
+ y
n
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Đến đây ta sử dụng bài toán 18.
Bài toán 21. Cho ba số dương a, b, c và cho r = 0. Xét ba dãy số (x
n
)
+∞
n=1
, (y
n
)
+∞
n=1
, (z
n
)
+∞
n=1
như sau: x
1
= a, y
1
= b, z
1
= c và với mọi n = 1, 2, . . . thì
x
n+1
=
y
r
n
+ z
r
n
2
1
r
, y
n+1
=
z
r
n
+ x
r
n
2
1
r
, z
n+1
=
x
r
n
+ y
r
n
2
1
r
Chứng minh rằng các dãy số này h ội tụ và tính giới hạn của chúng.
Giải. Dễ thấy với mọi n = 1, 2, . . . t hì x
n
> 0, y
n
> 0, z
n
> 0. Gọi Gọi M = a
r
+ b
r
+ c
r
.
Khi đó với mọi n = 1, 2, . . . , ta có
x
r
n+1
+ y
r
n+1
+ z
r
n+1
= x
r
n
+ y
r
n
+ z
r
n
= ··· = x
r
1
+ y
r
1
+ z
r
1
= a
r
+ b
r
+ c
r
= M.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 23
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Do đó
y
r
n+1
+ z
r
n+1
=
z
r
n
+ x
r
n
2
+
x
r
n
+ y
r
n
2
=
1
2
(x
r
n
+ y
r
n
+ z
r
n
) +
x
r
n
2
=
M
2
+
x
r
n
2
⇒ M − x
r
n+1
=
M
2
+
x
r
n
2
⇒ x
r
n+1
= −
x
r
n
2
+
M
2
.
Đặt x
r
n
= g
n
. Khi đó
g
n+1
= −
1
2
g
n
+
M
2
, ∀n = 1, 2, . . .
Bởi vậy bằng quy nạp ta chứng minh được:
g
n
= 2
M
3
− a
r
−
1
2
n
+
M
3
, ∀n = 1, 2, . . .
Do đó lim
n→∞
g
n
=
M
3
. Suy ra lim
n→∞
x
n
=
M
3
1
r
. Tương tự ta chứng minh được:
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
z
n
=
M
3
1
r
Vậy
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
y
n
= l im
n→∞
z
n
=
a
r
+ b
r
+ c
r
3
1
r
.
Nhận xét 5. Các bài toán 18, 19 là trường riêng của bài toán 21 này ứng với r = 1,
r = −1. Bài toán 20 cũng có thể xem là bổ sung cho trường hợp r = 0 không được xét ở bài
tập 21.
Bài toán 22. Cho bốn số thực a, b, c, d. Lập bốn dãy s ố (x
n
)
+∞
n=1
, (y
n
)
+∞
n=1
, (z
n
)
+∞
n=1
, (g
n
)
+∞
n=1
theo quy luật sau: x
1
= a, y
1
= b, z
1
= c, g
1
= d và
x
n+1
=
y
n
+ z
n
+ g
n
3
, y
n+1
=
z
n
+ g
n
+ x
n
3
, ∀n = 1, 2, . . .
z
n+1
=
g
n
+ x
n
+ y
n
3
, g
n+1
=
x
n
+ y
n
+ z
n
3
, ∀n = 1, 2, . . .
Tìm
lim
n→∞
x
n
, lim
n→∞
y
n
, lim
n→∞
z
n
, lim
n→∞
g
n
.
Giải. Với mọi n = 2, 3, . . . Ta c ó
x
n
+ y
n
+ z
n
+ g
n
=
y
n−1
+ z
n−1
+ g
n−1
3
+
z
n−1
+ g
n−1
+ x
n−1
3
+
g
n−1
+ x
n−1
+ y
n−1
3
+
+x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
3
= x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
+ g
n−1
.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 24
Chương 0. Nguyễn Tài Chung. GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai.
Sử dụng liên tiếp các kế t quả trên ta thu được:
x
n
+ y
n
+ z
n
+ g
n
= x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
+ g
n−1
= ··· = a + b + c + d. (1)
Đặt M = a + b + c + d, khi đó từ (1) ta có
y
n
+ z
n
+ g
n
=
z
n−1
+ g
n−1
+ x
n−1
3
+
g
n−1
+ x
n−1
+ y
n−1
3
+
x
n−1
+ y
n−1
+ z
n−1
3
=
2(a + b + c + d)
3
+
x
n−1
3
=
2M
3
+
x
n−1
3
, ∀n = 2, 3, . . .
Suy ra
x
n
= M − (y
n
+ z
n
+ g
n
) =
1
3
M −
1
3
x
n−1
, ∀n = 2, 3, . . .
Sử dụng liên tiếp các kế t quả trên ta thu được:
x
n
=
M
3
−
x
n−1
3
=
M
3
−
1
3
M
3
−
x
n−2
3
= M
1
3
−
1
3
2
+
1
3
2
x
n−2
= M
1
3
−
1
3
2
+
1
3
2
M
3
−
x
n−3
3
= M
1
3
−
1
3
2
+
1
3
3
−
1
3
3
x
n−3
= ··· = M
1
3
−
1
3
2
+
1
3
3
− ··· + (−1)
n−1
1
3
n−1
+ (−1)
n
1
3
n−1
x
1
=
M
3
.
1 +
1
3
n−1
1 +
1
3
+
(−1)
n
3
n−1
x
1
=
M
4
1 +
1
3
n−1
+
(−1)
n
3
n−1
a, ∀n = 2, 3, . . .
Ta có
lim
n→+∞
1
3
n−1
= 0, lim
n→+∞
(−1)
n
3
n−1
= lim
n→+∞
1
3
n−1
= 0 ⇒ lim
n→+∞
(−1)
n
3
n−1
= 0.
Do đó
lim
n→∞
x
n
= lim
n→∞
M
4
1 +
1
3
n−1
+
(−1)
n
3
n−1
a
=
M
4
=
a + b + c + d
4
.
Tương tự ta chứng minh được
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
z
n
= lim
n→∞
g
n
=
a + b + c + d
4
.
Bài toán 23. Cho a, b, c, d ∈ (0; +∞). Lập bốn dãy số (u
n
)
+∞
n=1
, (v
n
)
+∞
n=1
, (w
n
)
+∞
n=1
, (t
n
)
+∞
n=1
theo quy luật sau: u
1
= a, v
1
= b, w
1
= c, t
1
= d và
u
n+1
=
3
√
v
n
w
n
t
n
, v
n+1
=
3
√
w
n
t
n
u
n
, w
n+1
=
3
√
t
n
u
n
v
n
, t
n+1
=
3
√
u
n
v
n
w
n
Chứng minh các dãy s ố này hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
0.1. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 25
