ÔN tập Tĩnh Học

PGS. TS. Trương Tích Thiện
ÔN TẬP
Tài liệu tham khảo:
1/ Cơ học (lý thuyết và bài tập)của tác giả Đỗ Sanh.
2/ Cơ học (lý thuyết và bài tập) của tác giả Vũ Duy Cường
3/ Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết của tác giả X. M. Targ.
Nội dung ôn tập:
1/ Tĩnh học
2/ Động học
3/ Động lực học
Bài 1.
Cho khung không gian ABCD nằm dọc theo hình lập phương
nhu hình 4. Các cạnh hình lập phương có chiều dài đơn vị.
1. Thu gọn hệ lực về A.
2. Hệ lực đã cho có hợp lực không
? Tại sao? Nếu hệ lực có hợp
lực hãy tìm vị trí điểm đặt của
hệ lực.
3. Cần bổ sung vào hệ lực đã cho
các thành phần gì (lực,
moment) để tại các khớp cầu A
và D không có phản lực liên kết.
4. Xác định các phản lực liên kết
tại các khớp cầu A và D.
A
B
C
D
E
O
2

F
uur
1
F
uur
2
M
uuur
1
M
uuur
3
M
uuur
z
y
x
1. Thu gọn hệ lực về tâm A
A
B
C
D
E
O
2
F
uur
1
F
uur

2
M
uuur
1
M
uuur
3
M
uuur
z
y
x
Vector chính:
'
i
R F=
∑
uur
uur
( )
1
1; 1; 1F
= − − −
uur
Với
( )
2
1; 1;0F
= −
uur

( )
'
0; 2; 1R⇒ = − −
uur
Vector moment chính:
( )
A
A i j
M m F M= +
∑ ∑
uuur ur uur uuur
Trong đó:
( )
1 2 3
2; 1;1
j
M M M M= + + = −
∑
uuur uuur uuur uuur
A
B
C
D
E
O
2
F
uur
1
F

uur
2
M
uuur
1
M
uuur
3
M
uuur
z
y
x
( )
1
0; 1;1M
= −
uuur
( )
2
1;0;0M
=
uuur
( )
3
1;0;0M
=
uuur
( )
( ) ( ) ( )

1 1
1;1;0 1; 1; 1 1;1;0
A
m F AC F
= ×
= × − − − = −
ur uur uuur uur
( )
( ) ( ) ( )
2 2
0;1;0 1; 1;0 0;0; 1
A
m F AE F
= × = × − = −
ur uur uuur uur
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( )
2; 1;1 1; 1;0 0;0; 1 1;0;0
A
M
= − + − + − =
uuur
Hệ lực thu gọn về A:
( )
( )
'
0; 2; 1
1;0;0
A
R

M

= − −


=


uur
uuur
2. Điều kiện để hệ lực có hợp lực:
'
'
0
. 0
A
R
R M

≠


=


uur
r
uur
uuur
Dễ dàng ta thấy hệ lực đã cho có hợp lực:

* Điểm đặt của hợp lực: Gọi A* là điểm đặt của hợp lực, ta có:

( )
( ) ( )
( )
'
*
2
'
0; 2; 1 1;0;0
1
0; 1;2
5 5
A
R M
AA
R
− − ×
×
= = = −
uur
uuur
uuuur
*
1 7
0; ;
5 5
A
 
⇒ −

 ÷
 
( )
'
0; 2; 1R R
= = − −
uur
ur
3. Cần bổ sung vào hệ lực đã cho các thành phần gì (lực,
moment) để tại ngàm A không có phản lực liên kết.

Để tại A và D không có phản lực liên kết thì các lực tác dụng lên
hệ phải cân bằng. Suy ra ta cần thêm vào hệ lực một lực cùng độ
lớn và ngược chiều với hợp lực đặt tại A*.
4. Xác định các phản lực liên kết tại
A và D.
A
B
C
D
E
O
2
F
uur
1
F
uur
2
M

uuur
1
M
uuur
3
M
uuur
z
y
x
Giải phóng các liên kết tại A và D
ZA
YA
XA
ZD
YD
XD
y1
x1
Các phương trình cân bằng
0
x
F =
∑
1
'
0
A D x
X X R
+ + =

0
y
F =
∑
1
'
0
A D y
Y Y R+ + =
0
z
F =
∑
1
'
0
A D z
Z Z R
+ + =
1
0
x
M
=
∑
0
D D Ax
Y Z M+ + =
1
0

y
M =
∑
0
D D Ay
X Z M− − + =
1
0
z
M =
∑
0
D D Az
X Y M− + + =
Bài 2. Cho cơ hệ có liên
kết và chịu lực như hình
bên. Bỏ qua ma sát tại
D, E và trọng lượng các
vật. Biết a = 0,6m; b =
0,4m; AD = 2BD = 2a;
CD = CE = b; M =
160Nm; Q = 2P; q =
1000N/m.
a) Hệ có luôn cân bằng với
mọi loại tải tác động
không ? Tại sao ?
b) Hãy xác định các phản lực tại
B, khớp bản lề E và ngàm A ứng
với hai trường hợp của lực P: i/ P
=800N; ii/ P = 1200N.

600
E
A
C
D
B
q
P
Q
b
b
a
2
a
M
a) Hệ có ln cân bằng với mọi loại tải tác động khơng ? Tại sao
?
Bậc tự do của hệ:
Dofhệ = 3 x Số vật – t ng số ràng buổ ộc của các
liên kết
Ràng buộc tại ngàm A: 3
Ràng buộc tại khớp bản lề cố định E: 2
Ràng buộc tại D: 0,5
Suy ra: dofhệ = 0,5 > 0
Vậy hệ khơng ln cân bằng với mọi tải tác động vì dofhệ > 0 .
b) Hãy xác định các phản lực tại B, khớp bản lề E và ngàm A
ứng với hai trường hợp của lực P: i/ P =800N; ii/ P = 1200N.
Điều kiện cân bằng của hệ: Phản lực ND > 0
Tách hệ thành 2 bộ phận và khảo sát riêng sự cân bằng của dầm
EC và dầm AB.

* Các phản lực
liên kết tác
dụng lên dầm
ED: XE ,YE ,
N’D

E
C
q
P
b
b
YE
XE
M
600
A
D
B
Q
a
2
a
N’D
F = qb
600
E
A
C
D

B
q
P
Q
b
b
a
2
a
M
ND
XA
YA
MA
N’D
* Các phản lực
liên kết tác
dụng lên dầm
ED: XA ,YA ,
MA , ND

Trong đó N’D = ND (cùng độ
lớn nhưng ngược chiều.

Các phương trình cho dầm ED:
E
C
P
b
b

YE
XE
M
F = qb
D
N’D
( )
0
E i
m F
=
∑
' 0
.cos 60 .2 . .1,5 0
D
N b M P b F b
− + − =
0
x
F
=
∑
' 0
.sin 60 0
E D
X N
− =
0
y
F

=
∑
' 0
.cos 60 0
E D
Y P F N
+ − + =
(1)
(2)
(3)
Các phương trình cân bằng cho dầm AB:
A
D
B
Q
a
2
a
ND
XA
YA
600
( )
.3 .2 0
A i A D
m F M Q a N a
= + − =
∑
0 0
.cos30 .cos3 0 0

x D A
F N X Q
= + − =
∑
300
0 0
.sin 30 .sin 30 0
y D A
F N Y Q
= − + + =
∑
(4)
(5)
(6)
Từ (1):
2
'
. 1,5 .
D
M P b q b
N
b
− +
=
Để hệ cân bằng:
'
0
D
N
>

( )
1,5 . 1000
M
P q b N
b
< + =
(7)
Điều kiện của P để hệ cân bằng:
Trường hợp i: P = 800N.
Ta thấy P = 800N < 1000N => hệ cân bằng
'
200
D
N N
=
Từ (7) ta có:
Từ (2) ta có:
100 3
E
X N
=
Từ (3) ta có:
500
E
Y N
= −
YE ngược chiều đã chọn
Từ (4) ta có:
( )
0

cos30 700 3
A D
X Q N N
= − =
Từ (5) ta có:
( )
0
sin 30 700
A D
Y N Q N
= − = −
Từ (6) ta có:
.2 .3 2640
A D
M N a Q a Nm
= − = −
YA , MA ngược chiều đã chọn.
Trường hợp ii: P = 1200N.
Ta thấy P = 1200N > 1000N => hệ không cân bằng
1 0
ED
dof
= >
Dầm ED không cân bằng
0
AB
dof
=
Dầm AB cân bằng
A

D
B
Q
a
2
a
XA
YA
600
Các phương trình cân bằng cho dầm AB:
( )
.3 0
A i A
m F M Q a
= + =
∑
0
.cos30 0
x A
F X Q
= − =
∑
0
.sin 30 0
y A
F Y Q
= + =
∑
1200 3
A

X N
=
1200
A
Y N
= −
4320
A
M Nm
= −
Bài 3.
Cho hệ dầm giàn chịu lực như
hình bên. Biết DB = AB = BC =
1m
a) Hãy chứng tỏ rằng hệ
luôn cân bằng với mọi
loại tải tác động.
b) Hãy tìm các phản lực của các liên kết
ngoại ( khớp bản lề tại A và E).
P = 20 kN
D
C
A
B
(+)
P1 = 20 kN
E
c) Hãy xác định các ứng lực tác động lên các thanh AB, AD.
1
2

Điều kiện để một hệ được xem là hệ giàn phẳng:
1. Tất cả các vật rắn trong hệ đều là thanh thẳng và cùng nằm
trong 1 mặt phẳng.
2. Trọng lượng các vật rắn trong hệ là rất bé, được phép bỏ qua.
3. Mỗi thanh trong hệ đều có 2 khớp bản lề ở hai đầu.
4. Tất cả các thanh thẳng trong hệ đều không chịu tác động của
lực F và moment M ở giữa thanh, mà chỉ chịu tác dụng của các
lực tập trung F ở đầu thanh.
a) Hãy chứng tỏ rằng hệ ln cân bằng với mọi loại tải tác
động.
Dofhệ = 3 x Số vật –t ng số ràng buổ ộc của các liên
kết
Số thanh: 6
Khớp bản lề ngoại: 2
Khớp bản lề nội: 7
=> Tổng số ràng buộc : 18
Dofhệ = 3 x 6 – 18 = 0
Vậy hệ ln cân bằng với mọi loại tải tác động.
b) Hãy tìm các phản lực của các liên kết ngoại ( khớp bản lề tại
A và E).
P = 20 kN
D
C
A
B
(+)
P1 = 20 kN
E
Tự do hóa toàn hệ
YA

XA
YE
Các phương trình cân bằng:
1
0
x A
F X P
= − + =
∑
0
y A E
F Y Y P
= + − =
∑
( )
1
. . . 0
A i E
m F P AB P DB Y AC
= − − + =
∑
Giải các phương trình cân bằng trên:
15 0
10 0
5 0
E
A
A
Y kN
X kN

Y kN
= >


= >


= >

c) Hãy xác định các ứng lực tác động lên các thanh AB, AD.
Dùng phương pháp tách nút để khảo sát sự cân bằng của nút đối
với các thanh cần tính ứng lực:
- Khảo sát sự cân bằng của nút A.
- Tự do hóa nút A.
S1,
A
S2,
A
YA
XA
A
S1,
A
S2,
A
YA
XA
A
Các phương trình cân bằng cho nút A:
1, 2,

2
. 0
2
x A A A
F X S S
= − − + =
∑
1,
2
. 0
2
y A A
F Y S
= − =
∑
Giải 2 phương trình trên ta được:
1
5 2 0
A
S kN
= >
2
15 0
A
S kN
= >
Ứng lực tác động lên thanh AD (1):
1
SD,1
SA,1

,1 ,1 1,
5 2 0
A D A
S S S kN
= = = >
SA,2
SB,2
,2 ,2 2,
15 0
A B A
S S S kN
= = >
Ứng lực tác động lên thanh AB (2):
Một số bài tập đề nghị:
2a
A
60o
b
b
B
P
M
b
E
C
Hình 2
D
q
Bài 1. Cho cơ hệ có liên
kết và chịu lực như hình

bên. Bỏ qua ma sát tại
D, E và trọng lượng các
vật. Biết a = 0,6m; b =
0,4m; AD = 2BD = 2a;
CD = CE = b; M =
200Nm; Q = 2P; q =
1000N/m.
a) Hệ có luôn cân bằng với
mọi loại tải tác động
không ? Tại sao ?
b) Hãy xác định các phản lực tại
B, khớp bản lề E và ngàm A ứng
với hai trường hợp của lực P: i/ P
=1400N; ii/ P = 1600N.
Bài 2.
P1 =10
kN
P2 =20
kN
D
A
B
C
E
F
Cho hệ dầm giàn chịu lực như hình bên.
Biết DB = AB = BC = FA = 1m
a) Hãy chứng tỏ rằng hệ
luôn cân bằng với mọi
loại tải tác động.

b) Hãy tìm các phản lực của các liên kết ngoại ( ngàm tại F và
khớp bản lề ngoại tại E).
c) Hãy xác định các ứng lực tác động lên các thanh AB, AD.
2
1