giải tích 12 phần 6 khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức

G
iải

tích

12

August 16 ,2009
/>Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần VI : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần VI
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
/>SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
lim ( ) ; lim ( )
xx
f x f x
→−∞→+∞
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số .
Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số .
i) Tính đạo hàm y’(x) - Giải phương trình y’(x) = 0
( tìm tất cả các điểm mà tại đó y’ = 0 hay đạo hàm không xác định )
ii) Xét dấu y’(x) - Suy ra chiều biến thiên của hàm số
iii) Tìm cực trị của hàm số (nếu có)
iv) Tìm - Tìm tất cả các đường tiệm cận (nếu có)
Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số ( tổng kết các kết quả ở trên vào bảng này )
Bước 4 : Vẽ đồ thị của hàm số .
* Vẽ các đường tiệm cận (nếu có )
* Xác định một số điểm đặc biệt nhất là giao điểm của đồ thị với trục tọa độ.

* Chỉ ra trục và tâm đối xứng (nếu có)
Có thể bỏ qua phần này nếu
phép tính phức tạp
Khảo sát hàm số bậc 3
3 2
( 0, , , )y ax bx cx d a b c d R= + + + ≠ ∈
Bước 1 : Tập xác định : D = R
Bước 2 :
2
' 3 2y ax bx c= + +
( )
2
4 3b ac∆ = −
∆ > 0
' 0 ( )
x a
y a b
x b
=

= ⇔ <

=

∆ 0
≤
1 2
1. ' 00 y x x
α
∆ = = ⇔ = =

y’ luôn cùng dấu với a ,
x
α
∀ ≠
2. ∆ < 0 : y’ luôn cùng dấu với a ,
x R∀ ∈
y’ = 0 có 2 nghiêm phân biệt
y’ = 0 có nghiệm kép hay vô nghiệm
Lướt chuột vào đây để xem tiếp
Click chuột vào đây để xem tiếp
Giải phương trình y’ = 0
Khảo sát hàm số bậc 3 *
lim lim
xx
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
a > 0
' 0 ( )
x a
y a b
x b
=

= ⇔ <

=

x
y’

y
- ∞ +∞
a b
0 0+ +̶
CĐ
CT
+∞
- ∞
0
'' 6 2 '' 0
3
b
y ax b y
a
x= + = ⇔ = −
a < 0
+∞
ba
- ∞
0 0
x
y’
y
+̶ ̶
CT
CĐ
- ∞
+∞
lim lim
xx

y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
2
0
3
0 0 0
ax bxy cx d= + + +
Điểm uốn :
( )
0 0
;I x y
I
I
Điểm đặc biệt
Điểm đặc biệt
trở về
Khảo sát hàm số bậc 3 **

Biên tập pps : vinhbinhpro
∆ < 0
a > 0 a < 0
x
y’
y
x
y’
y
- ∞
+∞

+
- ∞
+∞
̶
lim lim
xx
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
lim lim
xx
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
+∞
- ∞
- ∞
+∞
0
'' 6 2 '' 0
3
b
y ax b y
a
x= + = ⇔ = −
2
0
3
0 0 0
ax bxy cx d= + + +

Điểm uốn :
( )
0 0
;I x y
( )
0 0
;I x y
( )
0 0
;I x y
trở về
Khảo sát hàm số bậc 3 ***

Biên tập pps : vinhbinhpro
∆ = 0
a > 0 a < 0
x
y’
y
x
y’
y
- ∞
+∞
+
- ∞
+∞
̶
lim lim
xx

y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
lim lim
xx
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
+∞
- ∞
- ∞
+∞
0
'' 6 2 '' 0
3
b
y ax b y
a
x= + = ⇔ = −
2
0
3
0 0 0
ax bxy cx d= + + +
Điểm uốn :
( )
0 0
;I x y
( )
0 0

;I x y
( )
0 0
;I x y
trở về
+
̶
0 0
α α
Chú ý :

Biên tập pps:vinhbinhpro
Để việc vẽ đồ thị hàm số được chính xác ta cần bổ sung KiẾN THỨC về :
1. (a ; b) là khoảng lồi của đồ thị (C)
⇔
Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía trên (C)
2. (a ; b) là khoảng lõm của đồ thị (C)
⇔
Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía dưới (C)
Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn
3. Điểm tiếp giáp giữa khoảng lồi và khoảng lõm của (C) gọi là ĐIỂM UỐN của (C)
* ĐỊNH LÝ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( a ; b )
( )
''( ) 0 ; ;xf a bx• ∀ ∈< ⇒
Đồ thị (C) LỒI trên ( a ; b )
( )
''( ) 0 , ;xf a bx• ∀ ∈> ⇒
Đồ thị (C) LÕM trên ( a ; b )
* Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua điểm xₒ thì I (xₒ ; f(xₒ)) là điểm UỐN của (C)
Khoảng lồi

Khoảng lỏm
Điểm uốn
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)
4 2
( 0, , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
Bước 1 : Tập xác định : D = R
Bước 2 :
Xét chiều biến thiên của hàm số
( )
3 2
' 4 2 2 2y ax bx x ax b= + = +
( )
2
2
2
(2)
2 0
' 0 2 2 0
0 (1
2
)
)
0
(*
2
x
y x ax b
a b
b
a

x
x
x

=


= ⇔ + = ⇔ ⇔


+
−=
=
=


Có hai trường hợp xảy ra :
1. a , b cùng dấu (a.b > 0 ) => phương trình (2) vô nghiệm => Pt (*) chỉ có 1 nghiệm
2. a , b trái dấu (a.b < 0 ) => phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
=> Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
Click chuột vào đây để xem tiếp Click chuột vào đây để xem tiếp
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương
)*
2 2
'' 12 2 '' 0
6
b
y ax b y x
a

• = + = ⇔ = −
4 2
0( , , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt
a > 0 a < 0
2
2
2
2 0
' 0
2
(*
0
0
0
)
2
x
y
ax b
x
x
b
b
x
x
a
a



=



= ⇔ ⇔ ⇔



+ =
=
= ±


−

=

−
=

4
4
2
lim lim
x
x
x a
b c
y
x x

→+
+∞→
∞
 
= + + =
 ÷
 
+∞
lim
x
y
→−∞
= +∞
Tương tự
- ∞ +∞
2
b
a
−
0
2
b
a
− −
0 0 0
+
x
y’
y
+

̶̶
ct ct
CĐ
+∞+∞
/>6
do 0 0
6
b
a
b
b
a
xa
 
< ⇒ − > ⇒

= ± −
 ÷

x
y’’
+∞
- ∞
6
b
a
− −
6
b
a

−
0
0
++ ̶
( ) ̶ ( + ) ( ) ̶
4
4
2
lim lim
x
x
x a
b c
y
x x
→+∞
→+∞
 
= + + =
 ÷
 
−∞
Tương tự
lim
x
y
→−∞
= −∞
2
b

a
− −
2
b
a
−
0
0 0 0
x
y’
y
+∞- ∞
̶
++
̶
CĐ CĐ
ct
- ∞
- ∞
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)**
 />4 2
( 0, , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
Vậy đồ thị hàm số có hai ĐIỂM UỐN
1 1 2 2
; ; ;
6 6
b b
a a
I y I y− − −
   

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Bước 3 : Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục Oy ( hàm số chẳn )
y
x
CĐ
ct
ct
0
x
y
ct
CĐ
CĐ
U U
U U
0
Điểm đặc biệt
Trục đối xứng
Trở về
a > 0 a < 0
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)3*
4 2
( 0, , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
a > 0 a < 0
( )
3 2
' 4 2 2 2y ax bx x ax b= + = +

Dấu của y’ phụ thuộc vào :
2
( )( ) 2 2; g x ah bx x x== +
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương
)
4
*

Biên tập pps:vinhbinhpro
4 2
0( , , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
a > 0 a < 0
( )
3 2
' 4 2 2 2y ax bx x ax b= + = +
Dấu của y’ phụ thuộc vào :
2
( )( ) 2 2; g x ah bx x x== +
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
̶ ∞ +∞0x
2x
2
2ax b+
0
y’
y
++
+̶

0 +̶
ct
lim
x
y
→±∞
= +∞
+∞+∞
x
2x
2
2ax b+
y’
y
∞̶ +∞0
0
0
+̶
̶̶
̶+
CĐ
∞̶
∞̶
lim
x
y
→±∞
= −∞
ct
y c=

CD
y c=
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)
5
*
2
'' 12 2y ax b= +
4 2
( 0, , )y ax bx c a b c R= + + ≠ ∈
Trình bày tóm tắt :
a > 0
a < 0
* Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn :
vì a >0 và ab > 0
'' 0 ;y x R⇒ > ∀ ∈
=> Đồ thị luôn lõm
x
y
c
0
2
'' 12 2y ax b= +
vì a <0 và ab > 0
'' 0 ;y x R⇒ < ∀ ∈
=> Đồ thị luôn lồi
x
y
c
0
x

y’
y
∞̶ +∞0
0 +
̶
ct
y c=
+∞
+∞
x
y’
y
+∞
∞̶ 0
0+
̶
CD
y c=
∞̶
∞̶
trở về
B
ài tập
Phần VI : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
Bài tập 1

Biên tập pps : vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
3 2
3 4 2y x x x= − − − +

Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
2 2
' 3 6 4 ' 9 12 0 3 4 ;6 0y x x x x x R∗ = − − − ∆ = − < ⇒ − − − < ∀ ∈
' 0 ;y x R⇒ < ∀ ∈ ⇒
Hàm số luôn nghịch biến trên R
3
2 3
1
3 4 2
lim lim
x x
y
x
x
x x
→+∞ →+∞
 
∗ = − − + =
 ÷
 
− −∞
3
2 3
1
3 4 2
lim lim
x x
y
x

x
x x
→−∞ →−∞
 
∗ = − − + =
 ÷
 
− +∞
x
y’
y
̶
∞̶
+∞
∞̶
+∞
'' 6 6 ; '' 0 1y x y x∗ = − − = ⇔ = −
- 1
+∞
∞̶
0
x
y’’
y
̶
+
lõm
lồiđiểm uốn
4
U

y =
* Đồ thị : Điểm đặc biệt :
2 60 1; x yx y = ⇒⇒ = = −=
Bài tập 1
4
2
- 1
1
- 6
0
x
y
Điểm uốn I (-1 ; 4 )
Tâm đối xứng
Điểm đặc biệt ( 0 ; 2 )
Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )
f(x)=-x^3-3*x^2-4*x+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
f(x)
4
1
- 1
-6
Khoảng lõm
Khoảng lồi
Điểm đặc biệt
Điểm uốn (tâm đối xứng)

Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )
Bài tập 2

/> Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
3 2
6 9 2y x x x= + + +
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số:
( )
2 2
' 3 12 9 3 4 3y x x x x= + + = + +
2
1 3* ' 0 4 3 0y x x x hay x= ⇔ + + = = − = −⇔
3
2 3
6 9 2
* lim lim 1
x x
y x
x x x
→+∞ →+∞
 
= + + + =
 ÷
 
+∞
* lim
x
y

→−∞
= −∞
Bài tập 2

/>x
y’
y
∞̶
+∞- 3 - 1
0 0
+̶+
+∞
∞̶
CĐ
ct
* Hàm số đồng biến trên : ( X ∞ ; - 3 ) ; ( - 1 ; +∞ )
* Hàm số nghịch biến trên : ( - 3 ; - 1 )
( 3) 2
CD
y y∗ = − =
( 1) 2
ct
y y∗ = − = −
Điểm cực đại: ( - 3 ; 2 )
Điểm cực tiểu : ( - 1 ; - 2 )
3
2 3
6 9 2
* lim lim 1
x x

y x
x x x
→+∞ →+∞
 
= + + + =
 ÷
 
+∞
* lim
x
y
→−∞
= −∞
2
1 3* ' 0 4 3 0y x x x hay x= ⇔ + + = = − = −⇔
* Chiều biến thiên của hàm số:
( )
2 2
' 3 12 9 3 4 3y x x x x= + + = + +
* Tập xác định : D = R
Hướng dẫn :
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
3 2
6 9 2y x x x= + + +
Bài tập 2
0
U
y =
* Đồ thị hàm số : Điểm đặc biệt :
x

y
̶ 4
̶ 2
0
2
2
- 2
0- 4
- 3
- 1
* Khoảng lồi , khoảng lõm và điểm uốn
'' 6 12 ; '' 0 2y x y x= + = ⇔ = −
- 2
x
y
∞̶ +∞- 2
điểm uốn
y’’
0 +
_
lồi lõm
x
y
điểm cực đại
điểm cực tiểu
điểm uốn
điểm đặc biệt
điểm đặc biệt
f(x)=x^3+6*x^2+9*x+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5
5
x
f(x)
-2
2
-3
điểm cực đại
điểm uốn
điểm cực tiểu
điểm đặc biệt (-4 ;- 2)
điểm đặc biệt (0 ; 2)
Bài tập 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số:
( )
3 2
24 2' 12y x x x x− = −=
2
2 0
' 0
2
0
1
2
1 0
x
y

x
x
x

=

=
= ±

= ⇔ ⇔


− =



g
1
0 ; ;
2
1 1
(0) 0
4
2
y yx x
 
= ± = −
 ÷
 
= = ±g g

*Bảng biến thiên
4 2
y x x= −
Bài tập 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số:
( )
3 2
24 2' 12y x x x x− = −=
2
2 0
' 0
2
0
1
2
1 0
x
y
x
x
x

=

=
= ±


= ⇔ ⇔


− =



g
1
0 ; ;
2
1 1
(0) 0
4
2
y yx x
 
= ± = −
 ÷
 
= = ±g g
∞̶
+∞0
1
2
−
1
2
0 0 0
x

y’
y
+
_
+
_
4
2
1
lim lim 1
x x
y x
x
→+∞ →+∞
 
= − =
 ÷
 
+∞
4
2
1
lim lim 1
x x
y x
x
→−∞ →−∞
 
= − =
 ÷

 
+∞
ct
ct
CĐ
+∞
+∞
4 2
y x x= −
Bài tập 3
(0) 0
CD
y y= =g
=> Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )
1 1
4
2
ct
y y
 
= ± = −
 ÷
 
g
=> Điểm cực tiểu :
;
1 1 1 1
; ;
4 4
2 2

   
− − −
 ÷  ÷
   
2
1 5
3
'' 12 2 ;
6
1
''
6
0
6
yy x yx = ±
 
∗ = ⇔ ± =
 ÷
 
−= −
=> Điểm uốn :
;
1 5 1 5
; ;
36 36
6 6
   
− − − −
 ÷  ÷
   