về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ DUYÊN
VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ DUYÊN
VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
Thái Nguyên - Năm 2014
i
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy
bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại Học Khoa Học - Đại Học
Thái Nguyên. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu, tới các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian qua.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014
Tác giả

Phạm Thị Duyên
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Bài toán bất đẳng thức biến phân. 3
1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. . . . . . 3
1.1.1 Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Toán tử đơn điệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Phát biểu bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán. . . . . . . . . . 10
1.2.3 Một số ví dụ điển hình. . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với toán tử giả đơn điệu mạnh. 23
2.1 Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi. . . . . . 31
2.3 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo
một hằng số cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo
một hằng số không cho trước. . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
iii
Các kí hiệu và danh mục các từ viết tắt
• A

B: Hợp của hai tập hợp A và B.
• A


B:Giao của hai tập hợp A và B.
• R: Tập số thực.
• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• (a; b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• ∀: Với mọi.
• ∃: Tồn tại
• H: Không gian Hilbert.
• , : Tích vô hướng.
• .: Chuẩn.
• V IP : Bài toán bất đẳng thức biến phân.
• SOL − V IP : Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
1
MỞ ĐẦU
Bài toán Bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm
1966 bởi Hartman và Stampachia. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong
không gian hữu hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới
thiệu trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and
Their Applications” của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm
1980 và trong cuốn sách “Variational and Quasivariational Inequalities:
Applications to Free Boundary Problems” của Baiocci C. và Capelo A.,
xuất bản năm 1984.
Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông
và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài toán bất đẳng
thức biến phân được phát triển trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên
cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lí thuyết
trò chơi và nhiều bài toán khác. Trong bài toán bất đẳng thức biến phân
thì lớp bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh
có một vị trí hết sức quan trọng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả

nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành hai chương với tiêu
đề:
Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với toán tử giả đơn điệu mạnh.
Nội dung chính của các chương là:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực, giải tích
2
lồi, các khái niệm về toán tử đơn điệu. Sau đó, là phát biểu bài toán bất
đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm, trong đó đề cập đến các bài toán
liên quan, các mô hình thực tế.
Chương 2: Trình bày một số phương pháp chiếu để giải bài toán bất
đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh. Cụ thể là trình bày
ba thuật toán:
+ Thuật toán chiếu với độ dài bước có thể thay đổi trong trục số dương.
+ Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi theo các hằng số cho trước
liên quan đến hệ số giả đơn điệu mạnh và hằng số Lipschitz của ánh xạ
giá.
+ Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi nhưng không đòi hỏi biết
hệ số giả đơn điệu mạnh và hằng số Lipschitz của ánh xạ giá.
3
Chương 1
Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Nội dung chính của chương bao gồm: Một số kiến thức cơ sở về không gian
Hilbert thực, giải tích lồi, các khái niệm về toán tử đơn điệu. Tiếp theo là
phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm và một số
bài toán ví dụ có liên quan. Các kiến thức trong chương này lấy từ tài liệu
[1], [2], [3], [4]
1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.
1.1.1 Không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng
xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:
., . : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau:
i). x, y = y, x, ∀x, y ∈ X.
ii). x + y, z = x, y + y, z, ∀x, y, z ∈ X.
iii). λx, y = λx, y, ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X.
iv).x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0.
x, y được gọi là tích vô hướng của hai vec tơ x và y.
4
Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với  x =

x, x với mọi
x ∈ H, thì H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không
gian Unita).
Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert
thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Ơcơlit thực R
n
.
Ví dụ 1.2.
1) Lấy H = R
n
với x = (x
1
, x
2
, , x
n

), y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ H và biểu
thức x, y =
n

i=1
x
i
y
i
xác định một tích vô hướng trên R
n
.
2) Lấy H = C
[0,1]
là không gian các hàm liên tục trên [0,1] nhận giá trị
thực với x, y ∈ H biểu thức
x, y =
1

0
x(t)y(t)dt
xác định một tích vô hướng trên C
[0,1]
. Khi đó không gian này là một không

gian tiền Hilbert và thường kí hiệu là C
L
[0,1]
.
3) Cho (Ω, β, µ) là không gian độ đo kí hiệu:
L
2
(Ω) = f : Ω → C :

Ω
|f(x)
2
|dµ < ∞
với tích vô hướng f, g =

Ω
f(x)g(x)dµ, L
2
(Ω) là một không gian Hilbert
H.
Định lý 1.3. Cho H là một không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta
luôn có bất đẳng thức sau :
|x, y|
2
≤ x, xy, y.
Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.4.
Cho H là một không gian Hilbert khi đó ,  : H × H → R là một hàm liên
tục.
5

Định lý 1.5 (Đẳng thức hình bình hành).
Với mọi x,y trong không gian tiền Hilbert H ta có:
 x + y 
2
+  x − y 
2
= 2( x 
2
+  y 
2
).
1.1.2 Tập lồi, hàm lồi
Định nghĩa 1.6. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.7. Một tập hợp C ⊆ H được gọi là nón nếu:
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập
lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có tính chất sau:
i) λC ⊆ C, ∀λ > 0.
ii) C + C ⊆ C.
Tập C ⊆ H dưới đây ta luôn giả thiết C là tập lồi (nếu không giải thích
gì thêm).
Định nghĩa 1.8. Cho C là tập lồi khác rỗng trong H và điểm x ∈ C, nón
pháp tuyến của C tại x là một tập được kí hiệu và kí hiệu như sau
N(x/C) = {x
∗
∈ H
∗
: x
∗

, x − x
∗
 ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.9. Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó hàm f được gọi
là
i) lồi trên C nếu:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
ii) lồi chặt trên C nếu:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)β  x − y 
2
.
6
Nhận xét 1.10. Từ định nghĩa 1.9 ta dễ thấy (ii) ⇒ (i), (iii) ⇒ (ii).
Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là lõm trên C nếu -f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa 1.12. Với f(x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dưới
tại x nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho :
f(x) − ε ≤ f(y), ∀y ∈ U.
Với f(x) = +∞, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N > 0,
tồn tại lân cận U của x sao cho:
f(y) ≤ N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.13. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa
liên tục dưới với mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.14. Với f(x) < +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x
nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho :
f(x) + ε ≥ f(y), ∀y ∈ U.
Với f(x) = +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N > 0, tồn tại
lân cận U của x sao cho :
f(x) ≥ −N, ∀y ∈ U.

Định nghĩa 1.15. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H nếu f nửa
liên tục trên với mọi x ∈ H.
Nhận xét 1.16. Hàm f liên tục tại x ∈ H nếu và chỉ nếu f là nửa liên
tục trên và nửa liên tục dưới tại x.
Định nghĩa 1.17. Cho hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ H, hàm
f được gọi là khả vi tại x nếu ∀x
∗
∈ H sao cho
lim
z→x
f(z) − f(x) − x
∗
, z − x
 z − x 
= 0.
Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ H.
7
Nhận xét 1.18. Điểm x
∗
nếu tồn tại xẽ là duy nhất và được gọi là đạo
hàm của hàm f tại x, kí hiệu là ∇f(x) hoặc f

(x).
Định nghĩa 1.19. Giả sử f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ H ta định
nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau
Véc tơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x
0
∈ C nếu:
f(x) − f(x
0

) ≥ w, x − x
0
, ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x
0
∈ C được gọi là dưới vi phân
của f tại x
0
∈ C, kí hiệu là
∂f(x
0
) = {w ∈ H : w, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ C}.
Ví dụ 1.20. Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong H. Xét hàm chỉ của
tập C như sau:
δ
c
(x) =



0, x ∈ C
+∞, x ∈ C
Nếu x
0
∈ C thì
∂δ

c
(x
0
) = {x
∗
|x
∗
, x − x
0
 ≤ δ
c
(x), ∀x ∈ H}.
Nếu x
0
∈ C thì ∂δ
c
(x) = +∞ nên bất đẳng thức
x
∗
, x − x
0
 ≤ δ
c
(x), ∀x ∈ H
luôn đúng.
Do đó ∂δ
c
(x
0
) = {x

∗
|x
∗
, x − x
0
 ≤ 0, ∀x ∈ C} = N
c
(x
0
).
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ C tại một điểm x
∗
∈ C là nón pháp tuyến
ngoài của C tại x
0
.
1.1.3 Toán tử đơn điệu.
Như chúng ta đã biết toán tử F từ không gian X vào không gian Y là
đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X, xác định duy nhất một phần tử
F (x) = y ∈ Y và ta thường kí hiệu là :
F : X → Y.
8
Trong luận văn này ta xét đối với các ánh xạ (toán tử) là đơn trị.
Đối với ánh xạ F thì ánh xạ ngược:
F
−1
: Y → X
được định nghĩa như sau:
F
−1

(y) = {x ∈ X : F (x) = y}.
Định nghĩa 1.21. Cho toán tử F : H → H
∗
và K ⊆ H. Khi đó toán tử
F được gọi là :
a) Đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 thì ta có
F (u) − F(v), u − v ≥ γ  u − v 
2
, ∀u, v ∈ K.
b) Đơn điệu trên K nếu
F (u) − F(v), u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ K.
c) Giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 thì ta có
F (u), v − u ≥ 0 ⇒ F (u), v − u ≥ γ  v − u 
2
, ∀u, v ∈ K.
d) Giả đơn điệu trên K nếu
F (u), v − u ≥ 0 ⇒ F (u), v − u ≥ 0, ∀u, v ∈ K.
Nhận xét 1.22. Ta có (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (b) ⇒ (d) là hiển
nhiên.
Định nghĩa 1.23. Toán tử F gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại
một hằng số L > 0 sao cho:
 F (u) − F (v) ≤ L  u − v , ∀u, v ∈ K.
Ví dụ 1.24.
Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau:
T (x) = 2x, ∀x ∈ R,
9
với T(x) là đạo hàm cấp 1 của hàm lồi x
2
xác định trên R.
Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có :

T (x) − T(y), x − y = 2x − 2y, x − y = 2(x − y)
2
≥ 0.
Mặt khác, T cũng là toán tử giả đơn điệu mạnh vì ∀x, y ∈ R, γ > 0 ta có:
2x, y − x ≥ 0 ⇔ 2x, y + y, y − x ≥ 0
⇔ y, y − x ≥ −y, 2x
⇒ y, y − x ≥ γ  y − x 
2
.
Tổng quát hơn, nếu T là đạo hàm của một hàm lồi khả vi trên H, thì T
sẽ là toán tử đơn điệu.
Thật vậy, giả sử T (x) = ∇f(x) với f(x) là một hàm lồi khả vi trên H.
Với mọi x, y ∈ H:
T (x) − T(y), x − y = ∇f(x) − ∇f(y), x − y
= ∇f(x), x − y + ∇f(y), y − x
≥ f(x) − f(y) + ∇f(y), y − x ≥ 0.
(do f(x) ≥ f(y) + ∇f(y), x − y).
Vậy T là toán tử đơn điệu.
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân.
1.2.1 Phát biểu bài toán.
Định nghĩa 1.25.
Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và cho ánh xạ F : K → H.
Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(K;F) được phát
biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ K : F (x
∗
), x − x
∗

 ≥ 0, ∀x ∈ K
10
Tập hợp các nghiệm của V IP (K; F ) được kí hiệu là SOL − V IP (K; F ).
Ví dụ 1.26.
Trong R, xét tập K = [1; 5] ⊂ R và ánh xạ F : [1; 5] → R được xác định
bởi:
F (x) = x − 1, x ∈ [1; 5].
Khi đó VIP(K; F) là tìm x
∗
∈ [1; 5] sao cho
x
∗
−1, x−x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ [1; 5] (1.2.1)
Ta chứng tỏ rằng: SOL-VIP(K; F)={1}. Thật vậy, hiển nhiên x
∗
= 1 là
một nghiệm.
Nếu x
∗
∈ (0; 1) thì (1.2.1) chỉ thỏa mãn với x ≤ x
∗
. Ngược lại, nếu x
∗
> 1
thì (1.2.1) chỉ thỏa mãn với x ≤ x
∗
. Điều đó chứng tỏ x
∗

= 1 là nghiệm
duy nhất.
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán.
Định nghĩa 1.27. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi , đóng của H và
cho ánh xạ F : K → K. Khi đó, x ∈ K được gọi là điểm bất động của
ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện sau:
F (x) = x.
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu về vấn đề tồn tại và tính duy nhất của
nghiệm cuả bài toán bất đẳng thức biến phân. Một trong những công cụ
hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề này là định lí điểm bất động của Brouwer.
Trước khi phát biểu định lí, chúng ta phát biểu một số kết quả sau.
Bổ đề 1.28. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó,
với mỗi x ∈ Hcó duy nhất y ∈ K sao cho :
 x−y = min
η∈K
 x−η  . (1.2.2)
11
Một điểm y thỏa mãn (1.2.2) được gọi là hình chiếu của x trên K và kí
hiệu là : y = Pr
K
x. Dễ thấy Pr
K
x = x, ∀x ∈ K.
Định lý 1.29. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và x là
một điểm bất kì thuộc H. Khi đó : y = P r
K
x khi và chỉ khi:




y ∈ K
y, η − y ≥ x, η − y, η ∈ K.
Hệ quả 1.30. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó
toán tử Pr
K
: H → K là không giãn, tức là :
 P r
K
(u) − P r
K
(v) ≤ u − v , ∀u, v ∈ H.
Định lý 1.31 (Định lí về điểm bất động của Brouwer).
Cho K là một tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và ánh xạ P : K →
K là liên tục yếu. Khi đó, có ít nhất một điểm x ∈ K : x = P (x). Hay,
tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh xạ P.
Định lý 1.32. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và
ánh xạ F : K → H là ánh xạ liên tục yếu. Khi đó, bài toán bất đẳng thức
biến phân V IP (K; F ) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh.
Theo định nghĩa, việc chứng minh định nghĩa tương đương với việc chứng
minh sự tồn tại nghiệm của x thỏa mãn:



x ∈ K;
x, y − x ≥ x − F (x), y − x, ∀y ∈ K.
Dễ nhận thấy, ánh xạ hợp :
P r
K
(I − F ) : K → K

là ánh xạ liên tục, với I là ánh xạ đồng nhất. Theo định lí 1.31, tồn tại
điểm bất động x ∈ K sao cho :
x =

P r
K
(I − F )

(x).
12
Ta sẽ chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ). Thật vậy, do x, F (x) ∈ K
nên P r
K
x = x và P r
K
F (x) = F (x). Kết hợp với Định lí 1.29 ta có:
x, y − x ≥ P r
K
(I − F )x, y − x, ∀y ∈ K
⇔ x, y − x ≥ P r
K
x − P r
K
F (x), y − x, ∀y ∈ K
⇔ x, y − x ≥ x − F (x), y − x, ∀y ∈ K
⇔ F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K.
Điều này chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ), hay V IP (K; F ) có ít
nhất một nghiệm.
Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lí về điểm bất động của
Brouwer không áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng

thức biến phân có thể thiết lập theo cách khác.
Kí hiệu B(O; R) là hình cầu đóng tâm O, bán kính R > 0 trong không
gian H và ta đặt:
K
R
= K ∩ B(O; R).
Hiển nhiên, K
R
lầ tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn và nó là tập compact
yếu. Theo Định lí 1.31 bài toán V IP (K; F ) luôn có nghiệm.
Định lý 1.33. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ
F : K → H là ánh xạ liên tục. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán
VIP(K; F) có nghiệm là tồn tại số thực R > 0 và bài toán VIP(K; F) có
nghiệm x
∗
R
thỏa mãn  x
∗
R
< R.
Chứng minh.
Điều kiện cần
Giả sử rằng x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ). theo định nghĩa ta có :
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.

Lấy R > 0 sao cho  x
∗
R
< R. Hiển nhiên:
F (x
∗
), x−x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
. (1.2.3)
13
Tức là x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ).
Điều kiện đủ :
Giả sử tồn tại R > 0, x
∗
R
∈ K
R
thỏa mãn  x
∗
R
< R và
F (x
∗
R
), y − x
∗

R
 ≥ 0, ∀y ∈ K
R
.
Do tính lồi của tập hợp K, với mỗi x ∈ K, ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ
sao cho :
y = x
∗
R
+ ε(x − x
∗
R
) ∈ K.
Hiển nhiên :
 y ≤ x
∗
R
 +ε  (x − x
∗
R
)  .
Mặt khác, do  x
∗
R
< R, nên ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho :
 y ≤ x
∗
R
 +ε  (x − x
∗

R
) ≤ R.
Hay y ∈ K
R
. Theo (1.2.3) ta có :
0 ≤ F (x
∗
R
), y−x
∗
R
 = F (x
∗
R
), [x
∗
R
+ε(x−x
∗
R
)]−x
∗
R
 = εF (x
∗
R
), x−x
∗
R
.

Hay :
F (x
∗
R
), x − x
∗
R
 ≥ 0
và điều này đúng với mọi x ∈ K. Vậy chứng tỏ x
∗
R
∈ SOL − V IP (K; F ).
Định lí được chứng minh.
Trên đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân trong trường hợp ánh xạ F là liên tục. Sau đây là một số
kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với
toán tử F là đơn điệu.
Định lý 1.34. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ
F : K → H là đơn điệu mạnh. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(K; F).
Chứng minh.
Chứng minh sự tồn tại nghiệm:
14
Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh, điều này suy ra F thỏa mãn điều kiện
bức, nghĩa là :
lim
x∈K,x→+∞
F (x) − F(y), x − y
 x − y 
= +∞, y ∈ K. (1.2.4)

Vì F thỏa mãn điều kiện (1.2.4) nên ta có thể chọn hằng số c > 0, R > 0
sao cho : c > F (y) > 0 và R > y > 0 thỏa mãn :
F (x) − F(y), x − y ≥ c  x − y , ∀x ∈ K,  x ≥ R.
Từ đó suy ra :
F (x), x − y ≥ c  x − y  +F (y), x − y,
Sử dụng công thức Cauchy-Schwarz ta có :
F (x), x − y ≥ c  x− y  −  F (y)  x − y = (c−  F(y) )  x− y 
≥ (c−F (y))( x  −  y ) > 0 (1.2.5)
ở đó  x = R.
Do F là ánh xạ liên tục, K
R
là một tập lồi compact nên theo Định lí 1.32
,V IP (K; F ) luôn có nghiệm x
∗
R
. Theo Định lí 1.33 , để chứng tỏ x
∗
R
là
nghiệm của V IP (K; F ), ta cần chỉ ra rằng  x
∗
R
< R.
Thật vậy, vì x
∗
R
∈ SOL − V IP (K; F ) nên :
F (x
∗
R

), x − x
∗
R
 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
.
Đặc biệt, với x = y thì :
F (x
∗
R
), y − x
∗
R
 ≥ 0 ⇒ F (x
∗
R
), x
∗
R
− y ≤ 0.
Khi đó, theo (1.2.5) thì  x
∗
R
= R hay  x
∗
R
< R và ta có điều chứng
minh.
Kết luận x
∗

R
là nghiệm của V IP (K; F ).
Chứng minh duy nhất nghiệm :
15
Giả sử rằng x
∗
vá x

là hai nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V IP (K; F ), và x
∗
= x

. Khi đó, chúng đều thỏa mãn :
F (x
∗
), x−x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
. (1.2.6)
F (x

), x−x

 ≥ 0, ∀x ∈ K
R
. (1.2.7)
Sau đó thay thế x bởi x


trong (1.2.6) và thay thế x bởi x
∗
trong (1.2.7),
ta thu được :
F (x
∗
), x

− x
∗
 ≥ 0.
F (x

), x
∗
− x

 ≥ 0.
Cộng các bất đẳng thức vừa có ta được :
F (x
∗
) − F (x

), x

− x
∗
 ≥ 0
Hay
F (x

∗
)−F (x

), x
∗
−x

 ≤ 0 (1.2.8)
Nhưng bất đẳng thức (1.2.8) mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của F .
Như vậy điều giả sử là sai hay x
∗
= x

.
Kết luận: Bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) luôn có nghiệm duy nhất
và định lí được chứng minh.
1.2.3 Một số ví dụ điển hình.
Bài toán điểm bất động Brouwer
Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H là
ánh xạ đơn trị. Bài toán điểm bất động của ánh xạ F được phát biểu như
sau :
Tìm
x
∗
∈ K : x
∗
= F (x
∗
). (1.2.9)
Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài toán điểm bất

động (1.2.9) thông qua mệnh đề sau:
16
Mệnh đề 1.35. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi
F (x
∗
) = x − T (x), ∀x ∈ K.
Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(K; F) tương đương với bài
toán điểm bất động theo nghĩa (1.2.9) tức là nghiệm của VIP(K; F) và tập
điểm bất động của (1.2.9) là trùng nhau.
Chứng minh.
Giả sử x
∗
là nghiệm của bài toán V IP (K; F ) và F (x) = x − T (x), tức là:
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Do F (x
∗
) = x
∗
− T(x) nên tồn tại ε
∗
∈ T (x
∗
). Ta có :
x
∗
− ε

∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Cho x = ε
∗
ta được
 x
∗
− ε
∗
≤ 0.
Suy ra x
∗
= ε
∗
hay x
∗
∈ T (x
∗
). Vậy x
∗
là nghiệm của bài toán (1.2.9)
Chiều ngược lại là hiển nhiên đúng .
Bài toán bù phi tuyến
Trước tiên chúng ta trình bày mối quan hệ giữa V IP (K; F ) và nón pháp
tuyến của một tập lồi .
Mệnh đề 1.36. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H và cho
ánh xạ F : K → H, x
∗

là nghiệm của bất đẳng thức biến phân V IP (K; F )
khi và chỉ khi −F (x
∗
) thuộc nón pháp tuyến của K tại x
∗
, túc là :
x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ) ⇔ −F (x
∗
) ∈ N
K
(x
∗
).
Chứng minh.
Theo định nghĩa ta có :
x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ) ⇔ F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K
17
⇔ −F (x
∗
), x − x
∗
 ≤ 0, ∀x ∈ K

⇔ −F (x
∗
) ∈ N
K
(x
∗
).
Mệnh đề được chứng minh.
Nói một cách khác, x
∗
là nghiệm của V IP (K; F ) khi và chỉ khi :
0 ∈ F(x
∗
) + N
k
(x
∗
).
Định nghĩa 1.37. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H,
nón đối ngẫu của K, kí hiệu là K
∗
, là một tập được xác định như sau:
K
∗
= {y ∈ H : y, x ≥ 0, ∀x ∈ K}.
Về mặt hình học, K
∗
là tập hợp bao gồm tất cả các véc tơ y ∈ H tạo
thành một góc không tù với mọi véc tơ x ∈ K.
Một trong những lớp bài toán quan trọng và một trường hợp riêng của

bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù phi tuyến. Bài toán được
phát biểu như sau:
Phát biểu bài toán
Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H và K
∗
là nón đối
ngẫu của K, cho ánh xạ F : K → H. Bài toán bù phi tuyến, kí hiệu là
NCP (K; F ), là bài toán :
Tìm
x
∗
∈ K : F (x
∗
) ∈ K; x
∗
, F(x
∗
) = 0.
Tập các nghiệm của NCP (K; F ) được kí hiệu là SOL − NCP (K; F ).
Ta sẽ tìm mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài toán NCP (K; F )
thông qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.38. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của
bài toán NCP(K; F) và bài toán VIP(K; F) là trùng nhau, tức là:
SOL − NCP (K; F ) = SOL − V IP (K; F ).
18
Chứng minh.
Giả sử x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ). Theo định nghĩa ta có :
x

∗
∈ K : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Bằng cách lấy x = 0 ∈ K, suy ra:
F (x
∗
), −x
∗
 ≥ 0. (1.2.10)
Bằng cách lấy x = 2x
∗
∈ K ta thu được:
F (x
∗
), x
∗
 ≥ 0. (1.2.11)
Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta kết luận:
F (x
∗
), x
∗
 = 0. (1.2.12)
Mặt khác từ định nghĩa ta có :
0 ≤ F (x
∗
), x − x

∗
 = F (x
∗
), x − F(x
∗
), x
∗
 = F (x
∗
), x, ∀x ∈ K.
Điều này chứng tỏ F (x
∗
) ∈ K
∗
. Kết hợp với (1.2.12) ta có:
x
∗
∈ SOL − NCP (K; F ).
SOL − V IP (K; F ) ⊂ SOL − NCP (K; F ).
Ngược lại, giả sử x
∗
∈ SOL − NCP (K; F ). Theo định nghĩa ta có :
F (x
∗
) ∈ K
∗
: x
∗
, F(x
∗

) = 0.
Mặt khác, vì F (x
∗
) ∈ K
∗
, nên vơi mọi x ∈ K ta có :
F (x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − F(x
∗
), x
∗
 = F (x
∗
), x ≥ 0.
Điều này suy ra:
x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ).
Hay
SOL − NCP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ).
Kết luận lại ta có :
SOL − NCP (K; F ) = SOL − V IP (K; F ).
Mệnh đề được chứng minh
19
Bài toán qui hoạch lồi

Cho K ⊆ R
n
là một tập lồi, đóng. Hàm f ∈ C
1
(K) và đặt:
F (x) = ∇f(x).
Bài toán qui hoạch lồi được phát biểu như sau:
min
x∈K
f(x). (1.2.13)
Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài toán quy hoạch
lồi thông qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.39. (i) Nếu x
∗
là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2.13) thì x
∗
cũng là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ).
(ii) Ngược lại, nếu f là hàm lồi thì nghiệm của V IP (K; F ) cũng là nghiệm
của bài toán (1.2.13).
Chứng minh. (i) Giả sử x
∗
là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2.13). Hiển
nhiên, với mọi x ∈ K và 0 ≤ t ≤ 1 ta có :
z = x
∗
+ t(x − x
∗
) ∈ K.
Từ giả thiết suy ra hàm một biến :
ϕ(t) = f


x
∗
+ t(x − x
∗
)

, 0 ≤ t ≤ 1
là hàm khả vi và đạt cực tiểu tại điểm t = 0. Vì vậy ta có :
0 ≤ ϕ

(0) = ∇f(x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − x
∗
.
Điều đó chứng tỏ x
∗
là nghiệm của V IP (K; F ).
(ii) Ngược lại, giả sử f là hàm lồi và x là nghiệm của V IP (K; F ). Theo
định nghĩa ta có :
F (x), y −x ≥ 0, ∀y ∈ K. (1.2.14)
Mặt khác, do f là hàm lồi nên:
f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x = F (x), y − x.
20
Kết hợp với (1.2.14) suy ra :

f(y) ≥ f(x), ∀y ∈ K.
Chứng tỏ x là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2.13). Mệnh đề được chứng
minh.
Dưới đây là các ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Bài toán cân bằng mạng giao thông
Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi
+ N: tập hợp các nút mạng.
+ A: là tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng). Giả
sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅ Mỗi phần tử của O được gọi là
một điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm
nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh
(được gọi là một tuyến đường). Kí hiệu:
+ f
i
a
: là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt
f là véc tơ có các thành phần là f
i
a
với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các
phương tiện giao thông).
+ c
i
a
: là chi phí sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A. Đặt
c là véc tơ có các thành phần là c
i
a
với i ∈ I và a ∈ A.
+ d

i
w
: là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w =
(O, D) với O ∈ O, D ∈ D.
Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f)
là một hàm của f.
+ λ
i
w
: là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông
i.
+ x
i
w
: là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D.
Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:
d
i
w
=

p∈P
w
x
i
p
, ∀i ∈ I, w ∈ O×D. (1.2.15)
Trong đó, P
w
kí hiệu là tập các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm