Lý thuyết biểu diễn của siêu đại số Lie gl(mn)

VI›N HÀN LÂM KHOA HOC VÀ CƠNG NGH› VI›T NAM
VIfiNTỐNH O C

NGUYEN LƯƠNG THÁI BÌNH

VE CƠNG THÚCĐ¾CTRƯNG CUA BIEU DIENBATKHA
QUY CUA SIÊUĐAISO LIEg l (m|n)

Chuyên ngành: Đai so và Lý thuyet so
Mó so: 9 46 01 04

TểM TAT LUÔN N TIEN SĨ TỐN HOC

HÀ N®I -2 0 2 0


LuÔnỏnochonthnhtai:ViắnToỏnhocViắnHnlõmKhoahocvCụng nghắ ViắtN a m

TÔp the húng dan khoa hoc: GS. TSKH. PHNG HO HAI
TS. NGUYEN CHU GIA VDNG

Phanbiắn1:
Phanbiắn2:
Phanbiắn3:

LuÔn ỏn se oc baovắtrúcHđi ong cham luÔn ỏn cap Viắn
hoptai:ViắnToỏnhoc-ViắnHnlõmKhoahocvCụngnghắViắt Nam
vo hoi... giị ... ngày ... tháng ... năm ...

Có the tỡm hieu ve luÔn ỏn tai:
- Th viắn Quocg i a

- Thư vi¾n Vi¾nTốnhoc


Ma au

SiờuaisoLiecũngoilaisoLieZ2-phõnbÔc,mđtkhỏiniắm ban au
xuat hiắn trong cỏc nghiờn cnuvÔtlý.TrongngnhvÔtlý lý thuyet,đâylà
m®t đoi tưong quan trong, nó mơ ta tốnhoctính
siêuđoixnngcuacáchat.Trongđócácp h antnthuannhat bÔc 0,h ayc
ũn goi l cỏc phan tn chan ai diắnchocỏc hat boson, cỏc phan
tnthuannhatbÔc 1,haycũngoilcỏcphantnle,aidiắnchocỏchatfermi
on. Siờu ai so Lie núichungkhụng phai l ai so Lie,
nhngnúcúthnhphanthuannhatbÔc 0laisoLie.
Siờu ai so Lievàlýthuyetbieu dien cuachúngtương đoi phnc tap.
Có nhieu tính chat quan trong mà đoivóiđai so Lie thì thoa mãn cịn
đoivóisiêu đai so Lie thì khơng. Ví dn như, moi bieu dien cua đai so
Lie đơn hđu han chieu thì hồn tồn khaquy,nhưng
đoivóisiêuđaisoLiethìtínhchatnàykhơngcịnđúngnđa.
V. Kac đã phân loai tat ca các siêu đai so Lie đơn hñu han chieu
thành 3 kieu: siêu đai Lie kieu co đien cơ ban (basic classical), siêu
đai so Lie kieu co đien la (strange classical)vàsiêu đai so Lie kieu
Cartan. Sau đó, Kac tien hành phân loai các bieu dien bat kha quy
hñu han chieu cua siêu đai so Lie kieu co đien cơ ban. Khi xem xét
các bieu dien bat kha quy hñu han chieu cua các siêu đai so Lie
đơnnày,Kac chiachúngra làm 2 loai: bieu dien bat kha quy đien

1


hìnhvàbieu dien bat kha quy khơng đien hình. Đoivóilóp các

bieudien

2


bat kha quy ien hỡnh, Kac ó thiet lÔp oc cụng thnc tớnh Ôc
trng cuachỳng.õyl cụng thnc tng tu nh cụng thnc Ôc
trngWeylcua bieu dien bat kha quy cua ai so Lie n. Kacvancũn
e ngo cụng thnc Ôc trng nngvúilúp các bieu dien bat kha quy
khơng đien hình. Bài tốn tỡm cụng thnc Ôc trngchobieu dien bat
kha quy khụng ien hỡnh l bi toỏn phnc tap, thuhỳtoc su quan
tõm
nghiờn
cnu
cua
nhieu
nh
toỏnhocvvÔtlý.Cú
theke e n như:I.N.Bernstein vàD.A.Leites(1980);A.B.Balan
tekinvà
I. Bars (1981);P.H.DondivàP.D.Jarvis (1981); J.vanderJ e u g t ,
J.W.BHughes,R.C.KingvJ.Thierry-Mieg (1990);I. Penkovv
V.Serganova(1994)....Trongú,ÔcbiắtphaikeencụngtrỡnhcuaVanderJeu
gtcựngcỏccđngsu.Day,ụngvcỏccđngsuóara
giathuyetvecụng
thnc Ôc trng cua cỏc bieu dien bat kha quy cuagl(m|n).Vane tỡm
cụng thnc Ôc trng bat kha quy cuagl(m|n)vancũn e mochoen
nm
1995,
khiSerganova

kethop
ky
thuÔt
cuaaisovhỡnhhocóaraoccụngthncÔctrngtongquỏt.Tuynhiờn,
cụng thnc cuaSerganoval khỏ phnc tap, khụng ti¾nchovi¾c tính
tốn cn the. Sau đó,vàonăm 2007, SuvàZhang dua trên ky thuÔt cua
Brundan ó a ra mđt cụng thnc Ôc trng khỏc, n
gianvdesndnnghncụngthnccuaSerganova.
Cú mđt cỏch tiep cÔn tu nhiờn e tỡm cụng thnc Ôc trng cua
bieu dien bat kha quy cua siêu đai so Liegl(m|n)là ngưịi ta tìm
cách làm tương tu như đai so Lie. Đó là mơ ta các Ôc trng cua cỏc
bieu dien bat kha quy thụng qua cỏcS-hmsiờu oi xnng (mđt mo
rđngcuahmoixnngSchur).Viắcnythuchiắnocoivúilúp cỏc bieu
dien bat kha quy hi¾p bien (đó là các thành phan bat kha quy trong phân
tích lũy thna cua bieu dien tu nhiên thành tong cua các thành phan bat


kha quy)vàbieu dien bat kha quy phan bien
làcácthànhphanbatkhaquytrongphântíchcualũythnacuabieu

(đó


dien đoi ngau cua bieu dien tu nhiên). Đoivóilóp các bieu dien bat
kha quyny,Ôc trng cuachỳngbangS-hmsiờu oi xnng
liờnketvúicỏcphõnhoach(giongnhvúiaisoLie).Bõygiũtaxộttớchhon hop
gom ly thna cua bieu dien tu nhiênvàlũy thna cua bieu dien đoi ngau
cua bieu dien tu nhiên. Các thành phan bat kha quy trong
tíchnàyđưoc goi là bieu dien ten xơ tr®n bat khaquy.Ôc trng cua
bieu dien ten x trđn bat kha quy nóichungkhơng phai lúc nào cũng

làS-hàmsiêu đoi xnng liênket vóiphân hoach hon hop, trong
đóphânhoachhonhoplàsukethopcua2phânhoach.
Vào năm 2006, Moens và Van der Jeugt đã đưa ra m®t gia thuyet
cho m®t lóp các bieu dien bat kha quy, đưoc goi là tói han, cú Ôc
trng lS-hm siờu oi xnng liờn ket vúi phõn hoach hon hop.
Mnc tiờu cua luÔn ỏn l chi ra mđt so lúp cỏc bieu dien bat kha
quy cuagl(m|n)m Ôc trưng làS-hàm siêu đoi xnng liên ket vói
phân hoach hon hop. Ket qua chính đưoc trình bày trong các chương
3, 4,v5 .
LuÔnỏnocchiathnh5chng.Chng1giúithiắumđtsoký hiắuvkhỏi
niắm c ban, Ôc biắt l cỏc hm siờu oi xnngSchur.õyl oi
tong
mchỳngtụimuon
ketnoivúiÔc
trng
cua
bieu
dienbatkhaquyhủuhanchieucuagl(m|n).
Chng 2 trỡnh by ngan gon ve lý thuyet bieu dien cua siêu đai
soLie,chuyeulàsiêuđaisoLietuyentínhtongqtgl(m|
n).Trongchươngnày,chúngtơi đưa ra m®t lúp trong cuagl(m|
n)mchỳngtụi goi l lúp trong Ôc biắt.õyl mđt lúp trong
úngvaitrũ quan trong trong luÔn ỏn cuachỳngt ụ i .
Chng 3 trỡnhbymđt trong nhủngketqua chớnh cua luÔn
ỏn.Trongchngny,chỳngtụi khao sỏt Ôc trng cua bieu dien bat
khaquycuagl(m|1).Ketquachớnhl
%nhlý3.3.1,oú,chỳngtụichiraÔctrngbatkhaquytngnngvúitron
gÔcbiắtbangvúi

S-hàm siêu đoi xnng liên ket vói phân hoach hon hopm-chuan.
Chương4trìnhbàym®tsoketquamor®ngcuaChương3.Trongchươngn
ày,chúngtơi khao sát lóp các bieu bien bat kha quy tng
nngvúitrong Ôc biắt cúdang:
(1, 2, . . . , m;k,k, . . . ,−k),
vói0≤k≤mvàαm−k≥0≥αm−k+1.Ket qua chính là Đ%nh lý 4.2.1.
TrongChương 5,chỳngtụi sn dnng mđt so ý tongvky thuÔt cua
cỏc chngtrúce áp dnngchotrưòng hop cua đai so Lie co đien.
Cn the, dua trên cácketquachosiêu đai so Lie,chúngtơi thu đưoc m®t
cơng thnc quy nap e tớnh Ôc trng cua bieu dien bat kha quy cua
đai so Lie tuyen tính tong qt. Cơng thnc quy napnàyđưoc phát
bieu trong Đ%nh lý 5.3.1. Như là mđt hắ qua,chỳngtụi a ra mđt
cụng thnc kieu Jacobi-TrudichoÔc trng cua m®tbieu dien bat kha quy
batkỳ.Ket quanàyđưoc phát bieu trong Đ%nh lý 5.3.2.


Chương 1
Các hàm đoixNngvàcác hàm siêu
đoixNngSchur
Mnc đích cua chương này l nham giúi thiắu mđt so ký hiắu v
khỏi niắm c ban m chỳng tụi sn dnng trong luÔn ỏn, Ôc biắt l
cỏc hm oi xnng Schur v hm siờu đoi xnng Schur.
1.1

Phânhoachvàcác phânhoachhonhap

Mncnàygiói thi¾u các khái ni¾m cơ banvephân hoach, phân
hoach hon hop....Chang han như, ta goi m®t phân hoach là
m®tdãycác so ngun khơngâ m
λ= (λ1, λ2, . . .),

thoa mãn
λ1≥λ2≥. . . .
Các so han cua dãy này đưoc goi là các thành phan cuaλ. So các
thành phan khỏc 0 cuaoc goi l đ di cua, ký hiắu làl(λ).
Tong cua các thành phan khác 0 đưoc goi là trong cuaλ, ký hi¾u là
|λ|,
|λ|=λ1+λ2+. . .


MđtphõnhoachcuamđtsonguyờnkhụngõmNlmđtphõnhoach cú trong
bangN.
Phõn hoach hon hop l mđt cÔp cú thn tu cỏc phõn hoach,à,
kýhiắul;à.
1.2

Vnhcỏc athNcoixNng

Trongmncny,chỳngtụi trỡnhbyvecỏc a thnc oi xnngvgiúi
thiắu mđt so c so cuavnhny.Chang han nh, cỏc hm oi
xnngcbaner(x),rlmđtsonguyờndng,ltongcuacỏctớchcuarbien phõn

biắtxi,ngha
ler(x)=1i1.
.
xir,
trongúx=(x1,x2,...,xm)ltÔpcỏcbien;cỏchmoixnngayuhr,rl
mđtsonguyờndng,ltongcuatatcacỏcnthncbÔcrtheombienx1
,x2,...,xm.
1.3

Hm oixNngSchur

MncnygiúithiắucỏcathncSchurliờnketvúiphõnhoachhoÔcphõnho
achhonhopcựngvúicỏctớnhchatcbancuachỳng.Changhannh,choph
õnhoach=(1,2,...,m)cúđdil()m,Jlphõnhoachliờnho
pcuavS mlnhúmoixnng.HmoixnngSchur,theocỏcbienx1,...,x
mliờnketvúiphõnhoach,oc%nhnghanhsau:

+m1 2+m2
s(w)w(x1
x
...xm)
1
wS
m
2
s(x)
Q1i.
=
xj)
xi
Cụng thnc Jacobi-Trudi co ien là công thnc dien đatsλ(x)theo các
hàm đoi xnng cơ ban hoÔc hm oi xnng ay u,
m

s(x) = det(hii+j(x))1i,jl(),
hoÔc

s (
x)
=d
et(
e i
J

i+j(

x))1
i,j
l(J
).

1.4

Hm siờu oixNng

Trongmncny,chỳngtụigiúithiắucỏchmsiờuoixnngcbanvhm
siờu oi xnngayu. Ôc biắt là hàm siêu đoi xnngSchur,còn goi
làS-hàmsiêu đoi xnng. Chang han nh, cỏc hm oc nờu dúiõy.
Chox= (x1,x2,...,xm)vy= (y1,y2,...,yn)l 2 tÔp bienđc
lÔp. Hm siờu oi xnng c ban oc %nh ngha theo các hàm đoi
xnng cơ banvàđoi xnngđayđ u ,
r
Σ
er(x/y)=
ek(x)hr−k(y),
k=0

vóirlà so nguyên dương. Tương tu, hàm siêu đoi xnng đay đu đưoc đ
%nh nghĩa như sau:
r
Σ
hr(x/y)=
hk(x)er−k(y),
k=0

vóirlà so nguyên dương.
Hàm siêu đoi xnng Schur liên ket vói phân hoach hon hop
cịn goi là S-hàm siêu đoi xnng, đưoc đ%nh nghĩa như sau:
˙
sν¯;µ (x/y)=det. h νl +k−l (x/y)h µj −k−j+1(x/y) Σ,
h˙νl −i−l+1(x/y) hµj +i−j(x/y)

ν¯;µ,


trong đó cácchisoi, tương nng,j,k,lchaytn trên xuong dưói,
tntráiquaphai,tndưóilêntrên,tnphaiquatráivàh˙ (x/y)=h (x¯/y¯),
vói x¯=(x ,...,x ),y¯=(y ,...,y ).
−1

1

−1

−1

m

r

−1

1

n

r


Chương 2
Siêu đai so Lie và bieu dien cua
chúng
Trongchươngnày,chúngtơi giói thi¾u tóm tatvesiêu đai so
LievàbieudiencuasiêuđaisoLie,vóitrongtâmlàsiêuđaisoLietuyen
tínhtongqt.Chươngnàygomcó5mnc.
2.1 Siêu đai soLie
Mnc này giói thi¾u khái quát ve siêu đai so Lie.
2.2 Đaiso ba op ho d n n g c u a si ê u đ a i s o Li e
Mnc này trình bày ve đai so bao pho dnng cua siêu đai so Lie cho
trưóc.
2.3 Siêuđaiso Lie tuyentínhtongq t g=gl(m|n)
Mncnàymơ tachitietvesiêu đai so Lie tuyen tính tong qtgl(m|
n). M®t so khái niắm quan trong khỏc cng oc mụ tatũng
minhnhaisoconCartan,hắnghiắm,hắnghiắmn,tÔpnghiắm õm, tÔp nghi¾m
dương,nhómWeyl.

Siêu đai so Liegl(m|n)có các phan tn là các ma trÔn vuụng
capm+n. Khụng gian vộcthbao gom tat ca cỏc ma trÔn ũng
chộo l mđt ai so con Cartan. Khụng gian ny cú chieu lm+n.
TÔphop{Ei,i |i=1,2,...,m+n},E i,ilmatrÔncừ(m+n)ì
(m+n)mhắsothnitrờnũngchộobang1,cỏcv%trớkhỏcbang 0, l
mđt c so cuah.
Không gian đoi ngauh∗cuahđưoc goi là không gian trong. Không
gianh cúmđtcsol{si ,j |
i=1,2,...,m;j=1,2,...,n},trongúsi(Ek,k)=ik,j(Ek,k)=(m+j)kv
úimoii,j,vl ký hiắu Kronecker.Tagoi c sonyl c sos.
Mđt trongoc ký hiắu nh sau
:= (1,Ã Ã Ã, m;à1, µ2, . . . , µn),
neu phan tnΛ∈h∗cód a n g

m

n

i=
1

j=
1



=
à i i .
is i+

Mđt trongoc goi l trong nguyờn (integral) neu các thành phan
cua nóλi,µj,là các so ngun.Λđưoc goi l trong trđi
neu12ÃÃÃmvà 1à2...àn.
TÔp cỏc nghiắm dng chan0+
+={sisj |1i
0

TÔp cỏc nghiắm dng le1+
+={sij |1im,1jn}.

1

Chotrongtrđinguyờn=(1,ÃÃÃ,m;à1,à2,...,àn).Mđtnghiắm
dngles ij,vúii=1,2,...,mvj=1,2,...,n,ocgoil mđt nghiắm
khụng ien hỡnh cuaΛneuλi+m+ 1−i=−µj+j.


Ký hiắul tÔp cỏc nghiắm khụng ien hỡnh
cua,={sij|
i+m+1i=àj+j}.
Mđt trongoc goi là đien hình neu#ΓΓΛ= 0và đưoc goi là khơng
đien hình neu#ΓΓΛ=r≥1(trong trưịng hopnàyΛcũng đưoc goi là
trongr-khơng đienh ì n h ) .
2.4 Bieudien
Mnc này giói thi¾u các bieu dien cua siêu đai so Lie, phân loai
chúng dua vào các bieu dien có trong cao nhat. Ngồi ra, chúng tơi
cũng giói thi¾u các bieu dien đien hình, bieu dien khơng đien hình,
bieu dien hi¾p bien, bieu dien phan bien.
2.5 TRQNGđ¾c bi¾t, phõnhoachhon hapchuanvmoi quan

hắgiẹachỳng
MncnygiúithiắumđtlúpcỏctrongmchỳngtụigoiltrongÔc biắt. Mđt so
tớnh chat cua lúpnycng oc thao luÔn. eketnoi giủa Ôc trng bat
kha quy cua siờu ai so Lie tuyen tớnh tong quỏtvShmsiờuoixnng,chỳngtụinờumđttngnnggiủatrongÔc biắtvúiphõn
hoach hon hop(m|n)-chuan. Cn the, m®t trong tr®i nguyên
Λ = (α1, α2, . . . , αm;β1:=−k, β2, . . . , βn),
vóiso nguyờn0kmvmk0mk+1, oc goi l trong Ôc
biắt. ÔtPkl tÔp hop cỏc trong Ôc biắt cú dang
trờnvÔtPl hop cua tat ca cỏcPk,k= 1,2, . . . , m. M¾nh đe
dưóiđâychot h a y m ® t t r o n g t r ® i n g u y ê n b a t k ỳ c u a g l (m|
n)s a i k h á c


vúimđt trong Ôc biắt trongPboimđtbđiduy nhat cua trong
= (1, . . . ,1;1, . . . ,1).
Mắnhe2.5.1GiasulmđttrQNGtrđinguyờnbatk.Khiú,tontaidu
ynhatmđtsonguyờnjsaocho:=+jcúdang:(1,2,...,m ;
k,2,...,n),trongúklsonguyờn,0kmvthúamón mk0
mk+1 .
Mđtphõn h o a chh o n h op ν¯;µđưocg oi là( m|n)-chuann euton
tai0≤j≤nvà0≤l≤mthoamãn

 µJ +ν J− ≤m
j+1
n j+1

µm−l+1+νl+1≤n,
vóiµ J(tươngnngν J)làp h õ n h o a chliờnh opcuaà(tngnng).Vúimoi
0k m,ÔtQkltÔphopgomcỏcphõnhoachhon
=k. CỏcQkl rũi

hop(m|n)-chuan;àsaochoà J1mkv nJ
nhau.ÔtQlhopcuacỏcQk,k= 1,2,...,m.
Mắnh e 2.5.2Cú mđt song ỏnh i tùPvàoQ.


Chương 3
CơngthNckieuJacobiTrudichođ¾ctrưngcua bieu dien
bat kha quy cuag l (m|1)
Trongchươngnày,chúngtơi thu oc cỏc Ôc trng bat kha quy
cua siờu ai so Lie tuyen tớnhgl(m|1)lS-hmsiờu oi xnng. Hm
siờuoixnngnyl%nhthnccúcỏchắsolcỏcÔctrngcuacỏc ly thna
oi xnng cua bieu dien tu nhiênvàđoi ngau cua nó. Cơng thncnàyđưoc
giathuyetboiJ.vander JeugtvàE. Moenschosiêu đai so Lie tuyen tính
tong qtgl(m|n)vànó đưoc nhìn như là tong qt hóa cua cơng
thncJacobi-Trudi.
3.1

Giáithi¾u

Trong mnc này, chúng tơi giúi thiắu lai k hn bi toỏn.
3.2

Mđt so khỏi niắm cb a n

Trongmncny,chỳngtụi trỡnhbymđt soketquachotrũnghop Ôc
biắtgl(m|1). Cn the nh cỏch bieu dien Ôc trng bat kha quy


cuagl(m|1)theo hm mđt bieny.
Boe3.2.1Giasu=(1,2,...,m;à)lmđttrQNGtrđinguyờn.

a) NeultrQNGien hỡnht h ỡ
chV()=

yà

m

mi
(x)
e
,
i(x)y
sem(x
i=0
)

vỏi= (1, 2,. . . ,λm)v à e0(x), e1(x), e2(x), . . . ,
em(x)làcáchàm đoi xúngcơbantheocácbienx1, x2,. . . ,xm.
b) NeuΛlàtrQNGkhơngđienhìnhvàΓΛ= {sk−δ1},váik∈
{1,2, . . . , m}, thỡ
s (x)y m(i+1),
yà
chV()
A
em(x
=
)
k,

m

i=1
i

trongúAk,iltắpcuacỏctrQNGtrđinguyờnthúamónj j
{0,1}vỏiMQIjv||||=i+1,hnnua kk=1.
3.3

Liờn hắgiẹaắctrngbat kha quyvS-hmsiờu
oixNngliờnket vỏiphõnhoachhonhap

Trongmncny,chỳngtụi chnng minh Ôc trng cua bieu dien bat
kha quy cuagvúitrong cao nhat l trong Ôc biắt bang hm siờu oi
xnngSchur.
%nhlý3.3.1Giasu =(1,2,...,m;k)ltrQNGắcbiắt
v;àlphõnhoachhonhaptngỳngvỏinú.Khiú,
chV() =s;à(x/y).


Hắ qua dúiõychophộp ta tớnh tat ca cỏc Ôc trng bat kha quy
cuag l (m|1).


Hắqua3.3.2Giasu=(1,2,...,m ;)lmđttrQNGtrđinguyờnbatk
cuagl(m|
1).Khiú,tontaiduynhatmđtsonguyờnjsaocho+jlmđttrQNGắ
cbiắtcúdang
(1, 2, . . . , m;k),
v
chV()

=

mi
=1
Qn x
.Q
j=j
1 i

sν¯;µ(x/y),

(3.3.1)

yj

trongđóµ= (α1,α2,. . . ,αm−k)vàν=(1−αm,1−αm−k−2,. . . ,1−
αm−k+1).