TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12

KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12

MỤC LỤC
PHẦN I. GIẢI TÍCH...........................................................................................................................................2
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN...............................................2
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ............................................................................................................................2
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ....................................................................................................2
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:.........................................................................................................................2
II. PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:..............................................................3
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ..................................................................................................................4
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:.........................................................................................................................4
II. PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:..............................................................4
Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ...................................................6
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:.........................................................................................................................6
II. PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:..............................................................6
Bài 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ...............................................................................................................8
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:.........................................................................................................................8
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ........................................................................................................................9
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:.........................................................................................................................9
Bài 6: SỰ TƯƠNG GIAO...........................................................................................................................11
Bài 7: ĐỒ THỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI..........................................................................................13
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT.................................14
Bài 1: LŨY THỪA.......................................................................................................................................14
Bài 2: LOGARIT.........................................................................................................................................15
Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT..................................................16
Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT................................................17
CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.................................................................20
Chủ đề: ĐẠO HÀM.....................................................................................................................................20
Bài 1: NGUYÊN HÀM................................................................................................................................21
Bài 2: TÍCH PHÂN.....................................................................................................................................23
Bài 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN...............................................................................25

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC.............................................................................................................................26
PHẦN II. HÌNH HỌC.....................................................................................................................................28
CHUYÊN ĐỀ 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10........................................................28
CHUYÊN ĐỀ 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11..............................................................29
CHUYÊN ĐỀ 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12..............................................................32
Chương I: KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN..................................................................32
Chương II: KHỐI TRÒN XOAY..............................................................................................................34
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN..............................................................36

1


KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12

PHẦN I. GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên K .
○ Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
 Trên khoảng K , đồ thị là một “đường đi lên” từ trái sang phải.

○ Hàm số y  f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
 Trên khoảng K , đồ thị là một “đường đi xuống” từ trái sang phải.

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .
○ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '( x ) 0, x  K .
○ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '( x ) 0, x  K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .

○ Nếu f '( x )  0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
○ Nếu f '( x )  0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
○ Nếu f '( x ) 0, x  K thì hàm số khơng đổi trên khoảng K .
4. Hàm số bậc 3: y ax 3  bx 2  cx  d (với a 0 )
○ TXĐ: D 
○ y ' 3ax 2  2bx  c
a  0

► Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y ' 0, x  D  

  0
a  0
► Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi y ' 0, x  D  
  0
ax  b
d
(với x  )
cx  d
c
 d 
a.d  b.c
○ TXĐ: D  \   .
○ y' 
.
(cx  d )2
 c 
► Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y '  0, x  D  a.d  b.c  0
► Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi y '  0, x  D  a.d  b.c  0

5. Hàm số nhất biến: y 

2


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12

II. PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
1. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) trên tập xác định:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2: Tính y ' . Cho y ' 0 giải phương trình tìm nghiệm (nếu có).
Bước 3: Lập bảng biến thiên (xét dấu y ' ).
Kết luận:  Khoảng y ' mang dấu “–”thì hàm số nghịch biến.
 Khoảng y ' mang dấu “+”thì hàm số đồng biến.

2. Tìm m để hàm số đồng biến – nghịch biến trên tập xác định: Cho hàm số y  f ( x, m)
. TXĐ: D ?
. Tính y '  f '( x , m)
a  0

► Hàm số y  f ( x, m) đồng biến trên D khi y ' 0, x  D  

, giải điều kiện tìm m .

  0
a  0
► Hàm số y  f ( x, m) nghịch biến trên D khi y ' 0, x  D  
, giải điều kiện tìm m .


0


y

f
(
x
)
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho

trước:

Cho hàm số y  f ( x, m) có tập xác định D và khoảng (a; b)  D
► Hàm số nghịch biến trên (a; b)  y ' 0, x  (a; b) .
► Hàm số đồng biến trên (a; b)  y ' 0, x  (a; b)
☺ Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp Max, Min (Cơ lập tham số m ).
. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên (a; b) :
Hàm số đồng biến trên (a; b)  f '( x , m) 0, x  (a; b)
Hàm số nghịch biến trên (a; b)  f '( x , m) 0, x  (a; b)
 m g( x )

. Tách m ra khỏi biến và đặt 

 m g( x )
. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g( x ) trên (a; b)
 m g( x )  m max g( x )
 a; b 

 tìm m
. Từ bảng biến thiên, kết luận: 

m g( x )  m min g( x )
 a; b 

4. Tìm m để hàm số y ax 3  bx 2  cx  d (với a 0 ) có độ dài khoảng đồng biến (hoặc nghịch
biến) ( x1 , x2 ) bằng d:
. Tính y '
 a 0

. Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 

   0

. Biến đổi x1  x2 d thành ( x1  x2 )2  4 x1 .x2 d 2 (2)
. Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
. Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm  kết quả.
☺ Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
Cho tam thức g( x ) ax 2  bx  c, (a 0)
3

(1)


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
a  0
a). g( x ) 0, x    
 0
a  0

c). g( x ) 0, x    

 0

a  0

b). g( x )  0, x    

  0
a  0
d). g( x )  0, x    
  0

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì
f '( x0 ) 0 .
2. Định lý 2: (điều kiện đủ thứ nhất để hàm số có cực trị). Quy tắc 1.
Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục trên (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; x0 ) và ( x0 ; b) .
f '( x )  0, x0  (a; x0 ) 

f '( x )  0, x0  ( x0 ; b)
 hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 .

Khi đó: a).

f '( x ) đổi dấu từ “trừ” sang “cộng” khi qua x0
f '( x )  0, x0  (a; x0 )
b).

f '( x )  0, x0  ( x0 ; b) 

 hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 .
f '( x ) đổi dấu từ “cộng” sang “trừ” khi qua x0

3. Định lý 3: (điều kiện đủ thứ hai để hàm số có cực trị). Quy tắc 2.
Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên (a; b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) 0 và f ( x ) có đạo hàm
cấp hai khác khơng tại điểm x0 .
Khi đó:
a). f "( x0 )  0  hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0
b). f "( x0 )  0  hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0
II. PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Dạng 1: Định giá trị tham số m để hàm số y  f ( x ) có cực trị hoặc khơng có cực trị.
a). Hàm số bậc ba: y  f ( x ) ax 3  bx 2  cx  d , (a 0)
a 0

. Hàm số có hai cực trị  y ' 0 có hai nghiệm phân biệt  

  0
a 0

. Hàm số khơng có cực trị  y ' 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép  

 0

b). Hàm số trùng phương: y  f ( x ) ax 4  bx 2  c, (a 0)
. Hàm số có 3 cực trị  y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt a.b  0
4


KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12
. Hàm số có 1 cực trị  y ' 0 có 1 nghiệm duy nhất  a.b 0

 x 0
3
☺ Chú ý: Ta có: y ' 4ax  2bx 0  
2
 2ax  b 0

Hàm số có 3 cực trị  2ax 2  b 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
2. Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị (đạt cực đại, cực tiểu) tại điểm x0 .
 f '( x0 ) 0
 f "( x0 ) 0

a). Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0  

 f '( x0 ) 0
 f "( x0 )  0

b). Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x0  

 f '( x0 ) 0
 f "( x0 )  0

c). Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại x0  

3. Dạng 3: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
. TXĐ: D  ?
. Tính y '  ?
. Lập luận:
- Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi. Để làm được dạng toán
này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết
hợp với một số kiến thức khác về đại số, hình học, …

4. Dạng 4: Định m để hàm trùng phương dạng: y ax 4  bx 2  c, (a 0) có 3 cực trị tạo thành
tam giác vng.
. Với a.b  0 thì hàm số có ba điểm cực trị.
. Do điểm A(0; c) luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C . Nên ABC vuông tại A. Điều
này tương với AB  AC (do AB  AC có sẵn rồi)



  b b2 
 b b 2 
AB


;

;
AC

;




. Mặt khác ta có:


 2a 4a 
2
a
4

a





4
b
b
b3



0
 8
. Do AB  AC nên AB . AC 0 
2a 16a 2
a
5. Dạng 5: Định m để hàm trùng phương dạng: y ax 4  bx 2  c, (a 0) có 3 cực trị tạo thành

tam giác đều.
. Với a.b  0 thì hàm số có ba điểm cực trị.
. Do AB  AC , nên ta chỉ cần tìm điều kiện để AB BC
b4

16a2
b
b4



. Do vây: AB  AC  
2a 16a2

. Mặt khác ta có: AB  AC 

b
b
; BC 2 
2a
2a
2b
b3

 24 
a
a

b3
 24
a

6. Dạng 6: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
a). Hàm số bậc ba: y  f ( x ) ax 3  bx 2  cx  d , (a 0)
. Hàm số có điểm cực đại A( x A ; y A ) và cực tiểu B( x B ; yB ) thì phương trình đường thẳng qua
hai điểm cực trị A, B là:

x  xA
y  yA

xB  x A yB  y A

7. Dạng 7: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị:
5


KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12

. Hàm số có điểm cực đại A( x A ; y A ) và cực tiểu B( x B ; yB ) thì khoảng cách giữa hai điểm cực
trị A, B là: AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2

Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên D
○ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x ) trên D
 f ( x ) M , x  D
y M
, ta kí hiệu max
D
x0  D : f ( x 0 ) M

nếu 

○ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên D
 f ( x ) m, x  D
y m
, ta kí hiệu min
D
x0  D : f ( x 0 ) m

nếu 

y m
► Chú ý: Nếu f ( x ) m thì chưa thể suy ra min
D

II. PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Dạng 1: (quy tắc 1) Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng
Cho hàm số y  f ( x )
. TXĐ:
. Tính y ' . Cho y ' 0  tìm nghiệm
. Bảng biến thiên:
. Kết luận: - GTLN = yCÑ
- GTNN = yCT
2. Dạng 2: (quy tắc 2) Tìm GTLN – GTNN trên đoạn  a; b 
Cho hàm số y  f ( x )
. Hàm số xác định trên đoạn  a; b 
. Tính y ' . Cho y ' 0  tìm nghiệm x1 , x2 , ...   a; b 
. Tính f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),...
 số lớn nhất
. Kết luận: GTLN
 a; b 
GTNN  số nhỏ nhất
 a ;b 

► Chú ý: Nếu tìm GTLN – GTNN của hàm số y  f ( x ) mà không chỉ rõ GTLN – GTNN trên tập
nào thì ta hiểu là trên tập xác định của hàm số y  f ( x )
3. Dạng 3. Tìm GTLN – GTNN của hàm số bằng phương pháp gián tiếp
Cho hàm số y  f (sin ax,cos ax )
. Biến đổi hàm số về dạng: y F ( ( x ))
. Đặt: t  ( x ) , ta có:

6


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
- Điều kiện của ẩn t là Dt
- Đưa hàm số về y F (t )

. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y F (t ) trên Dt
4. Dạng 4. Tìm điều kiện (tham số m ) để hàm số y  f ( x, m) có GTLN – GTNN trên đoạn  a; b 
là một số cho trước M
► Cách 1:
. Hàm số xác định và liên tục trên  a; b 
. Tính đạo hàm f '( x, m)
. Giải PT f '( x, m) 0 tìm nghiệm x1 , x2 , ..., xi   a; b 
. Tính các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xi ) và f (a), f (b)
. Lần lượt giải các PT:
f ( x1 ) M , f ( x2 ) M , ..., f ( xi ) M và f (a) M , f (b) M
 tìm nghiệm m ?
. Thay m ? vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị m ? có thỏa bài toán (nhận hoặc loại)
► Cách 2: Sử dụng định nghĩa.

Bài 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
7


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
Cho hàm số y  f ( x ) . Nếu thỏa một trong các điều kiện sau:

1. Tiệm cận đứng:

 lim
 x  x0
 lim
 x  x0
 lim
 x  x0

 xlim
  x0

f ( x ) 
f ( x )  

thì x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

f ( x ) 
f ( x )  

2. Tiệm cận ngang:
lim f ( x ) y0 ; lim f ( x ) y0 thì y y được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
0
x  
x  
3. Hàm số nhất biến: y 

ax  b
(c 0, ad  bc 0)
cx  d

 d


 c

. D  \ 
.

lim  y  ? 

 d
x 
 c

a
c

;

lim  y ? 

 d
x 
 c

. lim y  ; lim y 
x  

x  

 TCĐ: x 

d
c

a
a
 TCN: y 
c
c

☺ Chú Ý:
. Cho hàm số dạng: y 

P( x )
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x )

- Xác định tiệm cận đứng:
. Cho Q( x ) 0 tìm nghiệm x0
Ta lấy x0 thế vào P( x ) ta được:
. Nếu P( x0 ) 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x0 .
. Nếu bậc ( P( x ) Q( x ) ) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
8


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
Hàm đa thức: y ax 3  bx 2  cx  d (a 0)

Hàm phân thức: y 

y ax  bx  c (a 0)
4

2

1. TXĐ: D 
y ?  ; lim y ? 
2. Tính: xlim
 
x  

ax  b
(c 0, ad  bc 0)
cx  d

 d

 c

1. TXĐ: D  \ 

2. Tiệm cận:
3. Tính: y ' . Cho y ' 0 tìm nghiệm (nếu có)
y
'
lim y  ? 
lim y ? 

4. Lập BBT (xét dấu ).
. x    d 
; x    d 
KL các khoảng đồng biến, nghịch biến, CĐ –
 c
 c
CT.
d
 TCĐ: x 
5. Đồ thị:




c

(C )  Ox : x 0  y  ?
(C )  Oy : y 0  x ?

a
c

a
a
 TCN: y 
x  
x  
c
c
ad  bc

3. Tính y ' 
(kết luận y '  0, x  D
(cx  d )2
hoặc y '  0, x  D )

. lim y  ; lim y 

Hoặc: lập bảng giá trị (cho 5 giá trị). Vẽ đồ thị.
* Cách tìm điểm uốn của đồ thị h.số bậc 3:
y ax 3  bx 2  cx  d (a 0)
. Giải pt: y " 0 tìm nghiệm x ?  y ?
 điểm uốn I ( x; y )

4. Lập BBT (xét dấu).
KL khoảng đồng biến – nghịch biến và khơng
có cực trị.
5. Đồ thị:
(C )  Ox : y 0  x ?
(C )  Oy : x 0  y ?

* Chú ý: có cực đại, cực tiểu
 x  xCT yCĐ  yCT 
I  CÑ
;

2
2



2. Hàm số bậc 3: y ax 3  bx 2  cx  d (a 0)
. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
. Đồ thị có 2 dạng: - Có 2 cực trị khi y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt.
- Khơng có cực trị khi y ' 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

3. Hàm số trùng phương: y ax 4  bx 2  c (a 0)
. Đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
. Đồ thị có 2 dạng: - Có 3 cực trị khi y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt.
- Có 1 cực trị khi y ' 0 có 1 nghiệm.
9


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12

ax  b
(c 0; ad  bc 0)
cx  d
 d a
. Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận I   ;  làm tâm đối xứng.
 c c

4. Hàm số nhất biến: y 

. Đồ thị khơng có cực trị.

y

y

0

0

x

ad – bc > 0

ad – bc < 0

Bài 6: SỰ TƯƠNG GIAO.
I. Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số y  f ( x ) :
1. Tiếp tuyến của hàm số y  f ( x ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) :
. Dạng: y  f '( x0 ).( x  x 0 )  y0 (1)
 x0 ?

. Ta phải tìm đủ 3 yếu tố:  y0 ?
 f '( x )  ?
0


x

sau đó thế vào PTTT (1)

2. Biết tọa độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) :
. Ta có: x0 và y0 . Tìm f '( x )  f '( x0 )
10


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12

. Suy ra: PTTT y  f '( x0 ).( x  x0 )  y0

3. Biết hồnh độ tiếp điểm x0 :
. Ta có x0 .
Tìm y0  f ( x0 )
Tìm f '( x )  f '( x0 )
. Suy ra: PTTT y  f '( x0 ).( x  x0 )  y0
4. Biết tung độ tiếp điểm y0 :
. Ta có y0 .
Giải pt y0  f ( x0 )  x0
Tìm f '( x )  f '( x0 )
. Suy ra: PTTT y  f '( x0 ).( x  x0 )  y0
5. Biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
. Ta có f '( x0 ) k .
Tìm y ' Giải pt y '  f '( x0 ) tìm x0
Tìm y0  f ( x0 )
. Suy ra: PTTT y  f '( x0 ).( x  x0 )  y0
6. Biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng d : y kx  b
. Ta có f '( x0 ) k .
Tìm y ' Giải pt y '  f '( x0 ) tìm x0
Tìm y0  f ( x0 )
. Suy ra: PTTT y  f '( x0 ).( x  x0 )  y0
7. Biết tiếp tuyến vng góc với một đường thẳng d : y kx  b
. Ta có f '( x0 ).k  1 . Tìm y ' Giải pt y '  f '( x0 ) tìm x0
Tìm y0  f ( x0 )
. Suy ra: PTTT y  f '( x0 ).( x  x0 )  y0
8. Tại giao điểm của (C) với trục hồnh Ox :
. Ta có y0 0 . Tìm x0 và f '( x0 )
9. Tại giao điểm của (C) với trục tung Oy :
. Ta có x0 0 . Tìm y0 và f '( x0 )

II. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số:
1. Tìm tọa độ giao điểm của (C ) : y  f ( x ) và (C ') : y g( x )
. Phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x ) g( x )  f ( x )  g( x ) 0 (1)
. Giải phương trình (1) tìm x ? , từ đó tìm y  ?
. Kết luận: giao điểm là A( x; y )
2. Tìm tham số m để đường thẳng d : y kx  b cắt (C ) : y  f ( x ) tại 2 điểm hoặc 3 điểm phân
biệt:
. Lập pt hoành độ giao điểm của (C ) và d .
. Ta được: f ( x ) kx  b  f ( x )  (kx  b) 0 (1) (rút gọn pt)  về dạng pt bậc 2 hoặc pt bậc 3
* Dạng 1: Nếu (1) là ax 2  bx  c 0
 a 0
 2
   0
 b  4ac  0
 a 0

(C) cắt d tại 2 điểm phân biệt thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khi: 

Giải điều kiện tìm tham số m
11


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
* Dạng 2: Nếu (1) là ax 3  bx 2  cx  d 0
 x  x0
2
ax  bx  c 0 (2)

Ta nhẩm được một nghiệm x0  pt (1)  ( x  x0 ).(ax 2  bx  c 0)  

(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì pt (1) có 3 nghiệm phân biệt
 pt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác x0

 a 0
 a 0


    0
  b2  4ac  0
giải điều kiện tìm tham số m
 a( x )2  b( x )  c 0
 a( x )2  b( x )  c 0
0
0
 0
 0
3. Biện luận theo m số nghiệm của pt f ( x , m) 0 bằng đồ thị (C ) : y  f ( x )
. Bước 1: Biến đổi pt đã cho về dạng f ( x ) g(m) (1)
Với (C ) : y  f ( x ) (với (C) là hàm số vừa vẽ ở câu trước)
(C ) : y  f ( x )
d : y g(m) ,(với d cùng phương với trục Ox )

. Bước 2: Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của 

. Bước 3. Biện luận (dựa vào yCT, yCĐ để biện luận có 5 trường hợp)
☺ g(m)  yCT  m  ?
☺ g(m) yCT  m  ?
☺ yCT  g(m)  yCÑ  m  ?
☺ g(m) yCÑ  m  ?
☺ g(m)  yCÑ  m  ?

4. Tìm m để pt f ( x , m) 0 có n nghiệm (dựa vào đồ thị (C) ):
. Bước 1: Biến đổi pt đã cho về dạng f ( x ) g(m) (1)
Với (C ) : y  f ( x ) (với (C) là hàm số vừa vẽ ở câu trước)
(C ) : y  f ( x )
d : y g(m) ,(với d cùng phương với trục Ox )
. Bước 3. pt f ( x , m) 0 có n nghiệm khi (C) cắt d tại n điểm  điều kiện g(m)  ?

. Bước 2: Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của 

Bài 7: ĐỒ THỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI.
Dạng 1: Từ đồ thị (C ) : y  f ( x) suy ra đồ thị (C ') : y  f  x 
 f ( x) khi x 0
và y  f  x  là hàm chẵn nên đồ thị (C ') nhận trục Oy
 f ( x) khi x  0

Ta có: y  x  

làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C ') từ (C ) :
+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C ) : y  f ( x)
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C ) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .
3
Ví dụ: Từ đồ thị (C ) : y  f ( x) x 3  3 x suy ra đồ thị (C ') : x  3 x
Biến đổi (C ) :
12


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C ) , giữ nguyên phần bên phải của (C ) .
+ Lấy đối xứng phần giữ nguyên qua Oy .

Dạng 2: Từ đồ thị (C ) : y  f ( x) suy ta đồ thị (C ') : y  f  x 
 f ( x) khi f ( x) 0
 f ( x) khi f ( x)  0
Cách vẽ (C ') từ (C ) :
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox (C ) .
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C ) , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .
3
Ví dụ: Từ đồ thị (C ) : y  f ( x) x 3  3 x suy ra đồ thị y  x  3x

Ta có: y  f ( x) 

Biến đổi (C ) :
+ Bỏ phần phía dưới Ox của (C ) , giữ nguyên phần phía trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần bỏ qua Ox .

* Chú Ý: y  f  x  ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y  x  và y  f ( x)

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT.
Bài 1: LŨY THỪA.
I. Công thức lũy thức:
(Với a  R, n  N * , m  Z , n  N * , rn  Q )
1. a n a.a......a và a1 a
2. a 0 1 ; 00 và 0  n khơng có nghĩa
1
3. a n   n
a
m

4. a n  n a m , (tử trong mẫu ngồi)

III. Tính chất:
1. a m . a n a m  n
am
a m  n
n
a
3. (ab)m a m . b m
2.

m

 a
am
4.    m
b
 b
13


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
5. n a b  a b n
II. Tính chất của căn bậc n:
1. n a . n b  n a . b
2.
3.

n



a na

b nb
n

a

m

m

 a
 b
5.    
 b
 a

6. a m  a n  m  n , (nếu a > 1)

,(b  0)
n

 a

m

 m

7. a m  a n  m  n , (nếu 0 < a < 1)

,(a  0)

Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

III. Cơng thức lãi kép:
Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần
lãi của kì trước.
Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).
- Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A (1  r )n .
n
n
- Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A (1  r )  A  A  (1  r )  1
IV. Các dạng tốn:
1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa.
2. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa.
3. Bài tốn lãi kép.

Bài 2: LOGARIT.
III. Tính chất: với a > 0, a  1, b, c > 0, ta coù:
1. loga (bc) loga b  loga c

I. Định nghĩa:
 Với a > 0, a  1, b > 0 ta coù:
loga b   b a

 a  0, a 1
Chú ý: loga f ( x ) có nghóa khi  f ( x )  0


 Logarit thập phân: lg b log b log10 b
 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
ln b loge b

n

b
2. loga   loga b  log a c
c
3. loga b  log a b
1
4. loga  b  loga b




(với e lim  1  1  2,718281 )
 n
14


KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12

II. Tính chất:
1. loga 1 0

2. loga a 1

3. loga a b b

4. a loga b b , (b  0)


loga b

1
6. log a n b  log a b
n
1
7. loga  log a b
b
IV. Đổi cơ số: với a > 0, a  1, b, c > 0, ta coù:
log c
1. loga b.logb c loga c hay logb c  a
loga b

5. loga  b 

5. Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:
+ loga b  log a c  b  c , (neáu a > 1)
+ loga b  log a c  b  c , (nếu 0 < a < 1)

2. loga b 

1
 loga b . logb a 1
logb a

☺ Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số.
 f (x)  0


 Hàm số y loga f ( x ) xác định khi: a  0
 a 1

a  0

 Hàm số y a x xác định khi: 

 a 1

 Hàm số lũy thừa:
y [u( x )]

y  x

 nguyên dương  TXĐ:


D 





 nguyên dương  TXĐ:


D 

 nguyên âm hoặc bằng  = 0:

. Hàm số xác định khi x 0
. TXĐ: D R \  0



 không nguyên:
. Hàm số xác định khi x  0
. TXĐ: D (0; )



 nguyên âm hoặc bằng  = 0:
. Hàm số xác định khi u( x ) 0

. TXĐ: D R \  ... 
 không nguyên:
. Hàm số xác định khi u( x )  0
. TXĐ: D (... ; ...)

☺ Lưu Ý:
 Các dạng tìm tập xác định của hàm số:
• y

u( x )
xác định khi v( x ) 0
v( x )

• y  u( x ) xác định khi u( x ) 0
• y

u( x )
v( x )

xác định khi v( x )  0

 Một số hằng đẳng thức ghi nhớ:
 a 2  b 2 (a  b)2  2ab
• (a  b)2 a2  2ab  b2
15


KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12
• (a  b)2 a2  2ab  b2

•
•
•
•
•

a 2  b 2 (a  b).(a  b)
(a  b)3 a3  3a2 b  3ab2  b3

 a3  b3 (a  b)3  3ab.(a  b)

(a  b)3 a3  3a2 b  3ab2  b 3
a3  b3 (a  b).(a2  ab  b 2 )
a3  b3 (a  b).(a2  ab  b2 )

Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y  x ( là hằng số)
1

Chú ý: Hàm số y  x n không đồng nhất với hàm số y  n x (n  N *) .
b). Hàm số mũ y a x (a > 0, a  1).
D  .
 Tập xác định:
T (0; ) .
 Tập giá trị:
 Khi a  1 hàm số đồng biến, khi 0  a  1 hàm số nghịch biến.
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Đồ thị:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
c) Hàm số logarit y log a x (a > 0, a  1)

D (0; ) .
 Taäp xác định:
T  .
 Tập giá trị:
 Khi a  1 hàm số đồng biến, khi 0  a  1 hàm số nghịch biến.
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thị:
y

O

y

y=logax

y=logax

x

1

O

0
a>1

2. Giới hạn đặc biệt: 

1
lim (1  x ) x
x 0

x

1

x


1
 lim  1   e
x   
x
16

ln(1  x )
1
x 0
x

 lim

ex  1
1
x 0 x

 lim


KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12
3. Đạo hàm: 
 x    x  1 ( x  0) ;
Chú ý:

 n x  

1
n

n x n 1

 u    u  1.u

 với x  0 nếu n chẵn 
 với x 0 nếu n lẻ  .





 a x   a x ln a ;

 au   au ln a.u ;



 loga x    x ln1 a ;  loga u   u lnu a

 n u  

 e x   e x ;
;

 ln x    1
x

u
n

n u n 1

 eu   eu .u
(x > 0);

 ln u    u
u

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT.
I. Phương trình mũ:
. Bước 1: Đặt điều kiện của pt (nếu có)
Lưu ý: a f ( x )

II. Phương trình logarit:
. Bước 1: Đặt điều kiện của pt (nếu có)

 f ( x ) có nghóa


xác định khi a  0
 a 1


 f (x)  0

Lưu ý: loga f ( x ) xác định khi a  0
 a 1


. Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương
trình về một trong các dạng sau đây:

. Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương
trình về một trong các dạng sau đây:

☺ Dạng 1: Phương trình mũ cơ bản.

☺ Dạng 1: Phương trình logarit cơ bản.

a

f (x)

loga f ( x ) b

b

Cách giải:

. Nếu b 0 thì phương trình vơ nghiệm.
. Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm.

Cách giải:
loga f ( x ) b  f ( x ) a b

a f ( x ) b  f ( x ) log a b

☺ Dạng 2: Đưa về cùng cơ số.
f ( x)

Cách giải: a

f ( x)

g( x )

a
a
g ( x )  f ( x ) g( x )
a

☺ Dạng 3: Đặt ẩn phụ.
A.(a

f (x) 2

)  B.a

f (x)

☺ Dạng 2: Đưa về cùng cơ số.
log a f ( x ) log a g( x )

Cách giải: loga f ( x ) loga g( x )  f ( x ) g( x )
☺ Dạng 3: Đặt ẩn phụ.
A.(loga f ( x ))2  B.log a f ( x )  C 0

 C 0

Cách giải:
. Đặt: t a f ( x ) , t  0
. Ta được pt: A . t 2  B . t  C 0
. Giải tìm t , so điều kiện nhận t

Cách giải:
. Đặt: t loga f ( x )
. Ta được pt: A . t 2  B . t  C 0
. Giải tìm t , so điều kiện nhận t

. Kết hợp với điều kiện ban đầu ta chọn nghiệm

. Kết hợp với điều kiện ban đầu ta chọn nghiệm

 t log a f ( x )  x  ?

 t a f ( x )  x  ?



Lưu ý: nếu không thuộc các dạng trên ta
sử dụng phương pháp logarit hóa.


17

Lưu ý: nếu khơng thuộc các dạng trên ta
sử dụng phương pháp mũ hóa.


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
Dạng: a f ( x ) . b g( x ) c
 log a (a f ( x ) . b g ( x ) ) log a c

Dạng: loga f ( x ) b
loga f ( x ) b  a loga f ( x ) a b

 log a a f ( x )  log a b g ( x ) log a c

 từ đó đưa về dạng phương trình dạng cơ bản.

 f ( x )  g( x ).loga b log a c
 …
 từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản.

☺ Đưa về phương trình các phương trình đặc

☺ Đưa về phương trình các phương trình đặc

 A 0

 Phương trình tích A.B = 0  
 B 0

 A 0
 Phương trình tích A.B = 0  
 B 0

III. Bất phương trình Mũ.

Bất phương trình mũ cơ bản:
Dạng: a f ( x )  b , a f ( x )  b
a f ( x ) b , a f ( x ) b
Với a  0, a 1

IV. Bất phương trình logarit.

Bất phương trình logarit cơ bản:
Dạng: loga f ( x )  b , loga f ( x )  b
loga f ( x ) b , loga f ( x ) b
Với a  0, a 1

bieät:



Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương
trình về một trong các dạng sau đây:

. Bước 1: Đặt điều kiện bpt (nếu có)
. Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương

trình về một trong các dạng sau đây:
☺ Dạng 1: Bất phương trình mũ cơ bản.
a f ( x )  b (1)
Cách giải:
. b 0 thì (1) thỏa mãn với mọi x .
. b0
• Nếu a  1 : bpt (1)  f ( x )  log a b
• Nếu 0  a  1 : bpt (1)  f ( x )  loga b
. Giải tìm x sau đó so với điều kiện  nghiệm

biệt:



Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương
trình về một trong các dạng sau đây:

. Bước 1: Đặt điều kiện bpt (nếu có)
. Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương
trình về một trong các dạng sau đây:
☺ Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bản.
loga f ( x )  b (1)
Cách giải:
• Nếu a  1 : bpt (1)  f ( x )  a b
• Nếu 0  a  1 : bpt (1)  f ( x )  a b
. Giải tìm x sau đó so với điều kiện  nghiệm

☺ Dạng 2: Đưa về cùng cơ số.
☺ Dạng 2: Đưa về cùng cơ số.
a f ( x )  a g ( x ) (1)

loga f ( x )  loga g( x ) (1)
Cách giải:
Cách giải:
• Nếu a  1 : bpt (1)  f ( x )  g( x )
• Nếu a  1 : bpt (1)  f ( x )  g( x )
• Nếu 0  a  1 : bpt (1)  f ( x )  g( x )
• Nếu 0  a  1 : bpt (1)  f ( x )  g( x )
Giải tìm x sau đó so với điều kiện  nghiệm
Giải tìm x sau đó so với điều kiện  nghiệm
☺ Dạng 3: Đặt ẩn phụ.
A.(a

f (x) 2

)  B.a

f (x)

C  0

☺ Dạng 3: Đặt ẩn phụ.
A.(loga f ( x ))2  B.log a f ( x )  C  0

Cách giải:
. Đặt: t a f ( x ) , t  0

Cách giải:
. Đặt: t loga f ( x )
18

KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
. Ta được pt: A . t 2  B . t  C  0
. Giải tìm t , so điều kiện nhận t
 t a f ( x )  x  ?

. Ta được pt: A . t 2  B . t  C  0
. Giải tìm t , so điều kiện nhận t
 t log a f ( x )  x  ?

. Kết hợp với điều kiện ban đầu ta chọn nghiệm

. Kết hợp với điều kiện ban đầu ta chọn nghiệm

 Lưu ý: Khi giải bất phương trình ta chú ý đến cơ số a.
• Nếu a  1 thì giữ ngun chiều – dấu bpt.
• Nếu 0  a  1 thì đổi chiều – dầu bpt.

CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.
Chủ đề: ĐẠO HÀM.
1). Các quy tắc tính đạo hàm:
a). Đạo hàm của một tổng:  u v ..... w /
b). Đạo hàm của một tích: (u . v)' u '. v  u . v '
* Chú Ý: (C . x )' C với C là hằng số.

u 'v '.... w'

/

c). Đạo hàm của một thương:

u '.v  u.v '
u
  
( v 0 )
v
v2
 

19


KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12
'

 1
v'
* Chú Ý:    w ,(v 0)
v
 v

2). Các cơng thức tính đạo hàm:
Hàm số sơ cấp cơ bản
Hàm hợp ( Hàm mở rộng)
* Ghi Chú: Các hàm số đều có nghĩa.
(
C
)'

0

1).
, (với C là hằng số)
(
x
)'

1
2).
3). (C . x )' C , (với C là hằng số)
* (C . u)' C . u '
* u   /  .u   1 .u '
4).  x   / x   1 ; (  R)
/
5). ( x ) 

1

*

2 x

 u

/



1
2 u

.u ' (

u'
2 u

) ; (u  0)

/

/

1
 u'
1
   2 .u ' (  2 ) ;  u 0 
u
u
u

1
1
6).    2
x
 x

*

7). (sin x) ' cos x
8). (cos x) '  sin x

* (sin u ) ' u '. cos u
* (cos u )'  u '.sin u

1
1  tan 2 x
2
cos x
1
10).  cot x  '  2  (1  cot 2 x)
sin x

9). (tan x) ' 

*

1
.u '
cos 2 u
1
 2 .u '
sin u

 tan u  ' 

*  cot u 

/

11). (e x ) ' e x

* (eu ) ' u '. eu

12). (a x ) ' a x .ln a ; ( a : hằng số; a  0 )

* (a u ) ' u '. a u .ln a

1
;( x  0)
x
1
;  1 a  0; x  0 
14). (log a x )' 
x ln a

u'
;(u  0)
u
u'
;  1 a  0; u  0 
* (log a u)' 
u .ln a

13). (ln x )' 

* (ln u)' 

Bài 1: NGUN HÀM.
I. Định Nghĩa: Cho hàm số f xác định treân K
Hàm số F ( x ) gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên (a; b) nếu F '( x )  f ( x ) , x  (a; b )
Kí hiệu: f ( x ) dx .

Tóm lại: f ( x ) dx F ( x )  C
II. Tính Chất:
a). kf ( x )dx k f ( x )dx ,(k 0)
c). Nếu

f ( x )dx F ( x )  C

thì

b).

f (u) dx F (u)  C

III). Nguyên hàm của các hàm số thường gặp:
20

 f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx