một số bài toán để hình thành các kỹ năng giải các dạng toán mang nội dung hình học.

A ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LỜI NÓI ĐẦU
Bậc tiểu học là bậc học nền tảng rất quan trọng trong việc hình thành và
phát triển nhân cách cho học sinh trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học
ban đầu về tự nhiên và xã hội, phát triển các năng lực nhận thức, trang bị
phương pháp và kỹ năng ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực
tiễn, bồi dưỡng và phát huy tình cảm, thói quen, đức tính tốt đẹp của con người
Việt Nam. Mục tiêu nói trên được thực hiện thông qua việc dạy học các môn
học và thực hiện các hoạt động định hướng theo yêu cầu giáo dục.
Toán học với tư cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt của
thế giới hiện thực có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức
cơ bản cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động. Đó cũng chính là những
công cụ rất cần thiết để học các môn học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới
xung quanh giúp cho hoạt động trong thực tiễn có hiệu quả.
1
Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn nó có nhiều khả
năng để tư duy lô gic, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết để
nhận thức thế giới hiện thực như trừu tượng hóa, khái quát hóa, phân tích và
tổng hợp, so sánh và dự đoán, chứng minh (phân tích tổng hợp) và bác bỏ. Nó
có vai trò to lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy
luận, phương pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác
nó có nhiều tác dụng trong việc rèn luyện nề nếp, tác phong, phong cách làm
việc khoa học rất cần thiết trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người; góp
phần giáo dục ý trí và đức tính tốt như cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn
Với vị trí và tầm quan trọng về khả năng giáo dục của môn Toán nói
chung và môn toán trường tiểu học nói riêng, người giáo viên cần phải làm gì?
làm như thế nào để nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ?
Qua kinh ngiệm giảng dạy đặc biệt là trong việc phụ đạo cho đối tượng
học sinh giỏi môn toán ở các lớp 3;4;5 cùng với việc nghiên cứu các tài liệu, tôi
2
đã tìm ra được một số cách giải các dạng toán ở tiểu học giúp cho người dạy có

thể thuận lợi hơn trong việc hướng dẫn các em, làm cho các em bớt khó khăn
hơn trong việc giải các dạng toán này.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin mạnh dạn đề ra một số cách giải dạng
toán thường gặp mang nội dung hình học chủ yếu dành cho đối tượng học sinh
khá giỏi các lớp 3;4;5 . Hy vọng với sự quan tâm và khả năng sáng tạo phong
phú của thầy cô giáo đồng nghiệp, đề tài sẽ nhận được những ý kiến quý báu để
hoàn thiện hơn và thực sự có ứng dụng thiết thực, rộng rãi trong thực tế giảng
dạy.
II. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN MANG NỘI
DUNG HÌNH HỌC CỦA HỌC SINH TIỂU HỌC
Mục đích của việc dạy các yếu tố hình học ở tiểu học là góp phần củng
cố kiến thức số học phát triển năng lực thực hành và năng lực tư duy đối với
3
học sinh tiểu học, đồng thời dạy các yếu tố hình học là biện pháp quan trọng
gắn học với hành, nhà trường với đời sống.
Trong chương trình môn Toán ở tiểu học, các đối tượng hình học được
đưa vào đều cơ bản, cần thiết và thường gặp trong đời sống như: điểm; đoạn
thẳng, đường thẳng, hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình
tròn, hình trụ
Tuy nhiên các yếu tố hình học không được cấu thành chương trình riêng
mà sắp xếp xen kẽ các kiến thức khác, thậm trí nhiều nội dung hình học đưa vào
dưới dạng bài tập liên quan với các kiến thức khác, do đó việc dạy học hình học
ở bậc tiểu học mang ý nghĩa quan trọng trong việc chuẩn bị học hình học một
cách có hệ thống ở các lớp trên.
Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học ở các lớp đầu cấp là : năng lực
phận tích tổng hợp chưa phát triển, tri giác còn dựa vào những hình dạng bên
ngoài, nhận thức chủ yếu dựa vào cái quan sát được, chưa biết phân tích để
4
nhận ra thuộc tính đặc trưng nên khó phân biệt các hình khi thay đổi kích thước
vị trí đến các lớp cuối cấp, trí tưởng tượng của học sinh đã phát triển nhưng vẫn

còn phải phụ thuộc vào mô hình thực, suy luận của học sinh phát triển song vẫn
còn là một dãy phán đoán nhiều khi cảm tính. Do đó việc nhận thức các khái
niệm hình học theo lôgíc Toán học đối với các em không phải dễ dàng, bởi vậy
trong việc giải các bài toán mang nội dung hình học với các em rất khó khăn.
Chính vì vậy trong việc dạy học người giáo viên phải biết khai thác các
bài toán mang nội dung hình học bằng cách từ những bài Toán khó, tổng quát
cần phân tích ra thành các bài toán đơn giản hơn và ngược lại từ những bài toán
đơn giản chúng ta phải đề ra một số bài toán khó hơn, phức tạp hơn và mang
tính tổng quát để hình thành cho các em nắm vững hơn các kỹ năng giải các
dạng toán mang nội dung hình học.
Ở đơn vị trường tiểu học Thống Nhất, việc nâng cao chất lượng thực sự
cho học sinh là việc làm luôn được các đồng chí trong Ban giám hiệu chú trọng
5
nhất và được tất cả các giáo viên nhận thức sâu sắc. Chính vì vậy mà việc học
tập, nghiên cứu tìm ra những biện pháp tối ưu trong dạy học luôn được phát huy
cao ở bất kỳ một môn học nào.
Môn Toán là một trong những môn học chủ đạo được các đồng chí giáo
viên rất quan tâm. Tuy nhiên do các yếu tố hình học trong môn toán tiểu học
được sắp xếp xen kẽ với các yếu tố khác nhiều khi không xây dựng thành bài
dạy mà được đưa ra dưới dạng bài tập nên trong quá trình giáo viên còn khó
khăn trong việc xây dựng hệ thống dạng bài và đề ra các phương pháp dạy hiệu
quả dẫn đến việc học sinh vẫn còn lúng túng và ngại với những loại bài tập này.
1. Ví dụ
: 1. Với dạng đếm hình:
Học sinh thường mắc sai lầm như chỉ đếm các A
B
hình đặt rời nhau hoặc hình đơn lẻ dễ nhận thấy
mà không đếm được các hình tạo thành khi
6
ghép các hình đơn lẻ với nhau do khả năng tưởng D

C
tượng kém và chưa nắm chắc dấu hiệu đặc trưng
và các yếu tố tạo thành hình hình học tương ứng cũng như hạn chế về khả năng
suy luận, không nắm được cách đếm.
Khi dùng chữ để đọc, kể tên các hình học, học sinh thường tự tiện đổi
chỗ các chữ trong tên gọi chẳng hạn: các em coi viết tứ giác ABCD cũng như tứ
giác ACDB; ADBC do khả năng suy luận của các em thường dựa vào phán
đoán không có căn cứ, cũng có thể do các em bị ảnh hưởng tính chất giao hoán
của phép cộng và phép nhân các số tự nhiên, số thập phân, cũng có thể bị ảnh
hưởng của phép đo đạc trong thực hành là đoạn thẳng AB và BA có độ dài như
nhau.
2. Với dạng toán cắt ghép hình.
7
(Các em thường chia theo cảm tính). Đây là dạng toán khó, trừu tượng và rất ít
được quan tâm đối với các em. ở dạng toán này, các em chủ yếu chỉ thực hiện
được trên mô hình vật thật còn thực hiện qua việc vẽ hình là rất khó. Trong qua
trình xác định lát cắt các em chủ yếu làm mô hình mà không có phương pháp
suy luận, bởi vậy các em đa số rất ngại dạng này.
3. Với dạng toán chia hình
:
Các em thường chia theo cảm tính mà ít khi dựa vào mối quan hệ giữa các yếu
tố trong hình, nó thể hiện ở việc học sinh lúng túng trong việc giải thích cách
chia hình
Dựa trên cơ sở khoa học của việc dạy các yếu tố hình học ở bậc tiểu học,
dựa trên những tồn tại của việc dạy và học của bản thân và qua việc nghiên cứu
tài liệu cùng những kinh nghiệm được rút ra trong quá trình giảng dạy, Tôi đã
rút ra những biện pháp giúp học sinh giải một số dạng toán mang nội dung hình
học.
8
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Xây dựng hệ thống ví dụ bài tập cho mỗi dạng từ đơn giản đến phức tạp và
hướng dẫn một số bước giải từ đó khái quát thành các bước chung.
2. Xử lý các tài liệu về môn toán có liên quan đến các yếu tố hình học như SGK
từ lớp 1 đến lớp 5. Tài liệu bồi dưỡng môn toán dành cho học sinh tiểu học. Tài
liệu hướng dẫn giảng dạy môn toán từ lớp 1 đến lớp 5. Một số chuyên san toán
học và tài liệu phương pháp dạy học Toán ở tiểu học.
3. Dự giờ Toán của giáo viên cũng như khảo sát kết quả học tập của học sinh để
rút ra những tồn tại cần giải quyết.
4. Qua quá trình giảng dạy rút ra những kinh nghiệm để tìm cách khắc phục.
II. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Qua việc khai thác các ví dụ theo các mức độ từ đơn giản đến phức tạp,
rút ra cách giải tổng quát hoặc các bước chung để giải từng dạng bài. Cụ thể
như sau:
A- Nhận dạng các hình hình học:
1. Nội dung
: Cho các hình hình học cùng với các điều kiện nào đấy (cụ thể bằng
hình vẽ hoặc đồ vật). Yêu cầu học sinh:
9
- Tô mầu hoặc chỉ ra một loại hình hình học nào đấy.
- Đếm số các hình hình học được tạo thành
- Gọi tên các hình hình học.
2. Ví dụ:
Bài 1
: Cho một đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng đã cho lấy 3 điểm tùy ý không
trùng với đầu mút. Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành ?
Hướng dẫn
: Để làm được bài này, học sinh cần nắm được đặc điểm của đoạn
thẳng là đường nối hai điểm. Từ đó học sinh suy ra cứ chọn hai điểm ta sẽ có
được một đoạn thẳng và sẽ tìm được cách đếm ra số các đoạn thẳng có trên

đoạn AB.
Cách 1
: Sử dụng sơ đồ cây:
D E B
C
A
10
B
E
D
E B
B
-
Chọn A là điểm mút của đoạn thẳng ta sẽ có các đoạn thẳng: AC; AD ;
AE ; AB (theo sơ đồ)
-
Chọn C làm điểm mút ta sẽ có các đoạn thẳng: CD; CE; CB ( theo sơ đồ)
-
Chọn D làm điểm mút ta sẽ có các đoạn thẳng: DE; DB
-
Chọn E làm điểm mút ta có các đoạn thẳng : EB. Vậy số đoạn thẳng được
tạo thành là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ( đoạn thẳng)
Cách 2
: Đánh số thứ tự các đoạn thẳng riêng lẻ:
11
1 2 3 4
A C D E B
Ta đánh 4 đoạn thẳng riêng lẻ theo thứ tự 1; 2; 3; 4 ( như hình vẽ) ta có 4 đoạn
thẳng.
-

Đếm số đoạn thẳng được tạo thành do ghép hai đoạn thẳng riêng lẻ ta có:
3 đoạn (đoạn 1 + 2 ); (đoạn 2 + 3 ); (đoạn 3 + 4 ).
-
Đếm số đoạn thẳng được tạo thành do ghép 3 đoạn thẳng riêng lẻ ta có 2
đoạn thẳng (đoạn 1 + 2 + 3 ) (đoạn 2 + 3 + 4)
-
Đếm số đoạn thẳng được tạo thành do ghép 4 đoạn thẳng riêng lẻ ta có 1
đoạn thẳng [đoạn (1+2+3+4) ]
Vậy số đoạn thẳng được tạo thành là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng)
Bài 2
: Hình vẽ bên có bao nhiêu tam giác
Hướng dẫn: A
12

B E F
C
Để làm được bài này học sinh cần nhận dạng được đặc điểm của tam
giác: có 3 cạnh; 3 góc; 3 đỉnh. Từ đó thấy được cứ 3 điểm không cùng nằm trên
một đoạn thẳng ta sẽ vẽ được một tam giác và sẽ tìm ra cách đếm tam giác.
Cách 1
: Dùng sơ đồ cây E
F
B C
F
A E
C
F C
13
Từ nhánh thứ nhất ta có tam giác : ABE; ABF; ABC
Từ nhánh thứ hai ta có tam giác: AEF; AEC

Từ nhánh thứ ba ta có tam giác: AFC
Vậy số tam giác ở hình bên là: 3+2+1=6 (tam giác)
Cách 2: Đánh số thứ tự các tam giác riêng lẻ A
Ta đánh số 3 tam giác riêng lẻ theo thứ tự
1; 2; 3 (như hình vẽ) Ta có được 3 tam giác.
- Đếm số tam giác tạo thành do 1 2 3
ghép hai tam giác riêng lẻ thành
một tam giác ta có 2 tam giác là: B E F C
Tam giác (1+2) và tam giác (2+3).
-
Đếm số tam giác tạo thành do 3 tam giác riêng lẻ ghép lại thành một tam
giác ta có: 1 tam giác là: Tam giác (1+2+3).
-
Vậy số tam giác đếm được ở hình bên là : 3+2+1= 6 (tam giác)
Cách 3
: Phương pháp suy luận
Ta nhận thấy đỉnh A nối với hai đầu mút của một đoạn thẳng bất kỳ trên
BC bằng hai đoạn thẳng ta sẽ được một tam giác. Do đó để xác định được số
14
tam giác tạo thành ta chỉ cần đếm số đoạn thẳng tạo trên cạnh BC là: 3+2+1=6
(đoạn thẳng). Như vậy số tam giác được tạo thành là 6 tam giác.
Qua hai ví dụ và các cách giải ở trên ta rút ra được các bước chung giải
các dạng toán nhận dạng hình hình học như sau:
Bước 1
: Xác định yêu cầu của bài toán là nhận dạng các hình dựa vào hình
dạng hay đặc điểm của hình.
Bước 2
: Nhắc lại định nghĩa các hình liên quan đến bài toán (bằng cách mô tả
hoặc bằng vật mẫu) và đặc điểm của các hình đó.
Bước 3

: Nhớ lại một số phương pháp đếm hình thường sử dụng
-
Đếm trực tiếp trên hình vẽ hoặc trên đồ vật.
-
Sử dụng sơ đồ để đếm rồi khái quát thành công thức tính số hình cần
nhận dạng.
-
Đánh số thứ tự các hình riêng lẻ dễ nhận biết.
-
Sử dụng phương pháp suy luận lôgic.
15
Với các bước thực hiện như trên, hy vọng các bạn sẽ dễ dàng hướng dẫn các em
nhận dạng hình đầy đủ và chính xác hơn.
B. Dạng cắt, ghép hình:
1. Nội dung
: Cho trước một hoặc một số hình hình học. bằng một số lát cắt hãy
chia một hình đã cho thành những mảnh rời rồi ghép những mảnh rời đó thành
những hình đã học thỏa mãn yêu cầu nào đấy.
2. Ví dụ
:
Bài 1
: Em hãy cho biết, nếu cắt một hình vuông theo một đường chéo của nó
thành hai mảnh thì có thể ghép hai mảnh đó thành những hình nào ?
Nhận xét
: Đây là bài toán đơn giản giúp cho học sinh dựa trên mô hình vật thật
cắt, ghép hình theo yêu cầu từ đó nắm vững hơn về bản chất của dạng cắt, ghép
hình (thực chất là bài toán về diện tích thao tác cắt ghép sao cho diện tích hình
không đổi).
16
Hướng dẫn

: Trước hết ta có thể cho học sinh thao tác trên vật thật và đánh dấu
điểm vào vật đó. Học sinh khi ghép xác định đúng tên các đỉnh lúc đầu và ghép
các hình đó để được các hình. Nhận xét điểm nào trùng với điểm nào, từ đó
hình dung ra cách ghép bằng hình vẽ và cách giải thích cách ghép.
A B C D
1 2
D C A B D A B C
A
(Hình a) (Hình b) (Hình c)
Cắt hình vuông ABCD theo đường chéo AC được hai mảnh hình tam giác
vuông cân bằng nhau (Có thể đặt lên nhau trùng khít) như hình vẽ a.
17
Ghép 2 mảnh sao cho đỉnh B trùng D ta được một hình tam giác vuông cân
(hình b)
Ghép hai mảnh sao cho đỉnh B trùng với đỉnh C được hình bình hành (hình c)
Bài 2
: Hãy cắt một hình chữ nhật có chiều dài 16 cm, chiều rộng 9 cm thành 2
mảnh sao cho khi ghép lại ta được một hình vuông.
Nhận xét
: Bài toán này cho ta biết kích thước của hình đã cho bởi vậy ta có thể
dựa vào diện tích của hình để xác định cạnh hình vuông từ đó tìm ra cách cắt
ghép.
Hướng dẫn
:
Bước 1
: Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là :
16 x 9 =144 (cm
2
)
Vì 144 = 12 x 12 nên hình vuông cần tìm có

cạnh là 12 cm.
18
Bước 2
: Để có hình vuông cần tìm ta cần giảm chiều dài của hình chữ nhật 4cm
và tăng chiều rộng của hình chữ nhật lên 3(cm).
Bước 3
: Cắt hình chữ nhật theo đường gấp khúc EFGHLM sao cho BE=12cm,
các đoạn song song với chiều rộng là 3 cm, các đoạn song song với chiều dài là
4 cm (Hình vẽ).
A E B
F G
I
H
D M C
19
-
Bước 4
: Ghép hình (như hình vẽ): B

A F
G
I
H
M C
20
Bài 3
: Cắt hình chữ thập (hình bên) bằng hai lát cắt và ghép lại thành hình
vuông.
Nhận xét
:

Đây là bài toán khó tưởng tượng, khó xác định được cơ sở để xác định
lát cắt. Giáo viên cần giúp học sinh lựa chọn điểm cắt trên hình chữ thập sao
cho độ dài các lát cắt bằng nhau để khi ghép các mảnh cắt ta được hình vuông.
Hướng dẫn:
Lát cắt thứ nhất theo đường AC
Lát cắt thứ hai ta cắt theo đường BD
Ghép các mảnh 1; 2; 3 như hình vẽ ta được hình vuông.
21
B
2
3 A B
1
C
D 1 2 3
A
D B
3. Các bước giải : Qua việc hướng dẫn các ví dụ trên theo mức độ từ dễ đến khó
, ta có thể rút ra cách giải các dạng toán này như sau:
Bước 1
: Nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của những hình học có liên
quan.
Bước 2
: Tính diện tích của hình ban đầu để suy ra cạnh của hình cần ghép (nếu
có)
Bước 3
: Xác định điểm cắt và cắt hình.
22
Bước 4
: Ghép hình theo yêu cầu.
C/ Dạng “Chia một hình hình học theo một yêu cầu nào đó”

1. Nội dung: Bằng một số nét kẻ hãy chia một hình cho trước ra thành
những phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước.
2. Ví dụ: 1
Bài 1: Một sợi dây dài 1 m. Hãy cắt một đoạn dây 0,5m mà không dùng
thước.
3
Hướng dẫn: Tỉ số giữa đoạn dây cắt và đoạn dây đã có là:
1 1 4 3
0,5 : 1 = : =
3 2 3 8
Vậy ta có cách cắt sợi dây như sau:
Gập đôi sợi dây ; rồi tiếp tục gập đôi sợi dây vừa gập, gập đôi một lần nữa.
Bằng cách đó sợi dây sẽ được chia thành 8 phần bằng nhau, lấy ra 3 phần từ
phía đầu sợi dây thì đoạn dây đó dài 0,5 m.
Bài 2
Hãy chia một hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng
nhau.
23
Nhận xét hướng dẫn: Để làm được bài toán này cần hướng dẫn học sinh nắm
được :
-
Hai tam giác có cùng chiều cao và số đo của đáy bằng nhau thì diện tích
bằng nhau. ( Hai tam giác tương đương)
-
Hai tam giác có chung đáy và số đo của đường cao bằng nhau thì diện
tích bằng nhau.
Để giải được bài toán này trước hết ta kẻ đường chéo AC để chia hình
chữ nhật thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Sau đó ta chia mỗi tam giác
ABC và ADC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Vậy ta sẽ được lời giải
một bài toán.

Cách 1
: Chọn AC làm đáy chung của B C
hai tam giác sẽ chia ra.
Như vậy để được hai tam giác có diện O
tích bằng nhau có cùng đường cao hạ từ
24
B (và từ D) xuống AC, thì ta phải chia
đáy AC thành hai phần bằng nhau tại
điểm O. Nối BO và DO ta được các tam A D
Giác ABO; BOC; COD và DOA có diện tích bằng nhau.
Cách 2
: Chọn hai cạnh BCvà AD làm đáy của các tam giác sẽ chia ra. Như vậy
các tam giác được chia ra từ tam giác ABC có chung đường cao AB cho nên ta
phải chia đáy BC thành hai phần có số đo

B M C
bằng nhau bởi điểm M và điểm N
(Chia AD bởi điểm N) Nối AM, CN
Ta được 4 tam giác ABM; AMC;
CAN; CND có diện tích bằng nhau.
Cách 3: A N
D
Chọn 2 cạnh AB và CD làm đáy của tam
giác sẽ chia ra . Như vậy các tam giác
25