Tuyển tập các đề thi dự tuyển học sinh giỏi toán đồng bằng sông Cửu long lần thứ 16
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 87 trang )
Lần thứ 16
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 1
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 2
Mục lục
Tỉnh Trang
An Giang 3(18)
Bạc Liêu 4(22)
Bến Tre 5(25)
Cà Mau 6(29)
Cần Thơ 7(34)
Đồng Tháp (TP.Cao Lãnh) 8(38)
Đồng Tháp (Sa Đéc) 9(42)
Hậu Giang 10(46)
Kiên Giang 11(50)
Long An 12(56)
Sóc Trăng 13(61)
Tiền Giang (Cái Bè) 14(66)
Tiền Giang 15(70)
Trà Vinh 16(76)
Vĩnh Long 17(83)
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 3
ĐỀ DỰ TUYỂN HSG TOÁN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Câu 1: (3 điểm)
Xác định a để hệ phương trình
2
2 2
ax a 1 y sin x
tan x y 1
có nghiệm duy nhất.
Câu 2: (3 điểm)
Cho
ABC
, M là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M
đến cạnh BC, CA, AB. Chứng minh
2 2 2
a b c
x y z
2R
. Dấu bằng xảy ra khi
nào?
a BC;b AC;c AB;R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Câu 3: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số
x; y
với x,y
sao cho:
3 3 2
x y 2y 1
Câu 4: (3 điểm)
Cho dãy số
n
u
thỏa mãn điều kiện
n
n n 1
0 u 1
;n 2,3,4,
1
u 1 u
4
Tìm
n
n
lim u
Câu 5: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên n sao cho n! tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0.
Câu 6: (3 điểm)
Tìm các hàm
f :
thỏa:
f 0 2008,f 2009
2
f x y f x y 2f x .cos y, x, y
Câu 7: (3 điểm)
Cho hình cầu tâm O, bán kính R. Từ điểm S bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau
cắt mặt cầu tại
A,B,C
và đôi một tạo với nhau một góc
. Gọi V là thể tích của tứ diện
S.ABC. Định
để V lớn nhất.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 4
Tỉnh Bạc Liêu
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU
Câu 1: ( 3 điểm )
Giải phương trình
4 3
4
4 4
3x 4 2x 18 3 0
Câu 2: ( 3 điểm )
Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M’, N’, P’ sao cho mỗi đường thẳng MM’,
NN’, PP’ đều chia chu vi tam giác ABC thành hai phần bằng nhau trong đó M, N, P tương
ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh ba đường thẳng MM’, NN’, PP’
đồng qui tại một điểm.
Câu 3: ( 2 điểm )
Cho số nguyên tố p dạng
4k 3
. Chứng minh rằng không có số nguyên x nào thỏa điều
kiện
2
(x 1) p
.
Câu 4: ( 3 điểm )
Cho dãy số nguyên dương
n
a
thỏa mãn điều kiện
2
n n 1 n 1
a a a
n N*
Tính
n
lim
2
1 2 n
1 1 2 n
n a a a
.
Câu 5: ( 3 điểm )
Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 4 cây sao cho
không có 2 cây nào kề nhau bị chặt. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?
Câu 6: ( 3 điểm )
Tìm tất cả các hàm số
f x
liên tục trên R thỏa:
x
f x f x; x R.
2
Câu 7: ( 3 điểm )
Cho 8 số thực
a,b,c,d,x, y,z,t.
Chứng minh rằng trong 6 số sau đây có ít nhất một số
không âm:
ac bd, ax by, az bt,
cx dy, cz dt, xz yt.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 5
Tỉnh Bến Tre
Trường THPT chuyên Bến Tre
Câu 1: (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2 2 2 2
3 3 3 3
(x 3y 4z t) 27(x y z t )
x y z t 93
Câu 2: (3 điểm)
Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ
từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc
với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng
minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng
quy.
Câu 3: (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
3 2 2 2 2 2 2
4y 4x y 4xy x y 5x 4y 4xy 8x 0
Câu 4: (3 điểm)
Cho dãy số
n
(u )
xác định như sau:
1
2
n n 1
2008
u
2009
u 2u 1 0 , n 1,2,3,
Tìm
n
n
lim u
Câu 5: (3 điểm)
Cho hai số tự nhiên n, k thỏa :
0 k n
. Chứng minh rằng :
n n 0 2 1 2 n 2 2
2n k 2n k n n n
C .C ((C ) (C ) (C ) )
Câu 6: (3 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
x y z 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xy yz zx
f .
z x y
Câu 7: (3 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các
cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 6
Tỉnh Cà Mau
Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển
Câu 1: (3 điểm)
Giải phương trình:
2
6 2
2008
6 2
4x 2
log x 3x 1
x x 1
.
Câu 2: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, CA = b, BC = a. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác đã cho. Chứng minh rằng:
2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
.
Câu 3: (2 điểm)
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp nhau sao cho tổng bình phương của ba số đó cũng là một số
nguyên tố.
Câu 4: (3 điểm)
Xét dãy
n
x
trong đó
n
x
là nghiệm dương duy nhất của phương trình:
n 2
x x x 1
Dãy số
n
y
:
n
y
=
n
n(x 1)
.
Chứng minh rằng:
n
y
có giới hạn. Tìm
n
n
lim y
.
Câu 5: (3 điểm)
Cho tập hợp
A 1,3,5, ,2n 1
(n
). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn
tại 12 tập con B
1
, B
2
, …, B
12
của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i)
i j
B B (i 1,12; j 1,12;i j)
;
ii)
1 2 12
B B B A
;
iii) tổng các phần tử trong mỗi tập B
i
(
i 1,12
) bằng nhau.
Câu 6: (3 điểm)
Cho hàm số f liên tục trên
và thoả mãn:
f(x y) f(x).f(y) f(xy) f(x) f (y); x, y
f(0) 2,f(2) 0
Chứng minh rằng: f(x + y) = f(x) + f(y), x,y
.
Câu 7: (3 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc
AD’, DB thoả điều kiện: AM = DN = x (
0 x a 2
).
a. Tìm x để đoạn MN ngắn nhất.
b. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN // A’C.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 7
Thành phố Cần Thơ
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng
Câu 1 : ( 3 điểm )
Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm
1 2 3 4 5
x , x , x , x , x
thỏa đồng
thời các điều kiện
5 5 5
3 2 5 3
k k k
k 1 k 1 k 1
k.x a; k .x a ; k .x a
Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA,
HB, HC với đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh
1 1 1 1 1 1
HA' HB' HC' HA HB HC
Câu 3 : ( 2 điểm )
a) Chứng minh phương trình
2 2 2
z (x 1)(y 1) 2010 (1)
vô nghiệm với x, y, z Z.
b) Chứng minh phương trình
2 2 2
z (x 1)(y 1) 2008 (2)
có nghiệm với x, y, z Z.
Câu 4 : ( 3 điểm )
Cho dãy số (a
n
) bị chặn và
n 2 n 1 n
1 5
a a a n 1
6 6
Chứng minh rằng dãy (a
n
) hội tụ.
Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng
hoặc Sai.
Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài
làm của mỗi thí sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có
dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.)
Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau.
Câu 6 : ( 3 điểm )
Tìm các hàm f: R R khả vi và thỏa điều kiện
f(x f(y)) f (y f(x)) x,y R
Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu.
AB 3.CD, AC 3.DB, AD 3.BC
.
Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC .
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 8
Tỉnh Đồng Tháp
Trường THPT TP.Cao Lãnh
Câu 1 : ( 3 điểm )
Giải bất phương trình:
2
12x 8
2x 4 2 2 x
9x 16
Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M,
AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng :
2 2
NB.AC NC.AB 0
.
Câu 3 : ( 2 điểm )
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho 2a+1 chia hết cho b và 2b+1 chia hết cho
a.
Câu 4 : ( 3 điểm )
Tìm giới hạn của dãy
n
(u )
với
n
n
n 1 n 1 n n
6 36 6
u
(9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3 2 )(3 2 )
Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp
được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khối lập phương đơn vị bằng các mặt
phẳng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp , biết rằng số
các khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng
3
1
tổng số các khối lập
phương đơn vị.
Câu 6 : ( 3 điểm )
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình :
2n 1
x x 1 0
có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là x
n
. Hãy tìm
n
lim x
.
Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O,R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy
một điểm S cố định ( khác P và Q). Với mỗi điểm A thuộc đường tròn ta dựng tia Px vuông
góc với tia PA và nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của
Px và SA. Tìm tập hợp điểm B, khi điểm A di động trên đường tròn (O,R).
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 9
Tỉnh Đồng Tháp
Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu
Câu 1 : ( 3 điểm )
Giải phương trình
2
6 2
2008
6 2
4x 2
log x 3x 1
x x 1
Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC có
2
sin A
,
2
sin B
,
2
sin C
lập thành một cấp số cộng và có tổng
2 2 2
3
sin A sin B sin C
2
. Đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong góc B cắt nhau
tại I, biết I thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
IAC IBC
S S
Câu 3 : ( 2 điểm )
Tìm ba phân số tối giản
a b c
; ;
d d d
tạo thành cấp số cộng biết :
b 1 a c 1 b
;
a 1 d b 1 d
Câu 4 : ( 3 điểm )
Cho dãy (U
n
), biết U
1
= 1, và dãy (V
n
) với V
n
= U
n+1
- U
n
, n = 1,2 …. Lập thành cấp số
cộng, trong đó V
1
= 3; d = 3 .
Tính :
1 2 n
S U U U
Câu 5 : ( 3 điểm )
Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống
nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy
sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ?
Câu 6 : ( 3 điểm )
Cho
z
y
x
,
,
thỏa điều kiện
2 2
2
x y 2
z 2z(x y) 8
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A z(y x)
Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đường thẳng tùy ý cắt các đường thẳng
BC, CA, AB. Gọi x, y, z tương ứng là các góc giữa đường thẳng (d) và các đường thẳng
BC, CA, AB. Chứng minh
2 2 2 2 2 2
1
sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z
16
.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 10
Tỉnh Hậu Giang
SỞ GD&ĐT HẬU GIANG
Bài 1: Cho hệ:
2 2
2 2
x y 4
u v 16
xu yv 8
Tìm nghiệm của hệ để biểu thức
A x 1 u 1
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 : Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm bất ký trên cạch BC, AC, AB sao cho các
đường thẳng AA’ , BB’ CC’ đồng qui. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
T = AB’.CA’.BC’.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
195(x y z t) 1890xyzt 2008 0
Bài 4 : Cho a
1. Tìm GTNN của hàm số
y a cosx a sin x
.
Bài 5 : Cho dãy số
n
u
với
1 n 1 1 2 n
u 1, u 1 u u u n 1
Đặt
n
1 2 n
1 1 1
S
u u u
. Hãy tính
n
limS
.
Bài 6: Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R và thỏa mãn các điều kiện sau đây:
a.
f 0 1969
và
f 2008
2
.
b.
2f x y 9f(x y) f(x).cos y,
với mọi
x,y R
.
Bài 7: Cho hình nón có góc ở đỉnh của thiết diện qua trục là
3
, mặt cầu
1
S
nội tiếp trong hình
nón.
1. Tính tỉ số
1
V
V
trong đó
1
V
,
V
lần lượt là thể tích hình cầu
1
S
và hình nón.
2. Gọi
2
S
là hình cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
1
S
;
3
S
là hình cầu tiếp
xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
2
S
; ;
2009
S
là hình cầu tiếp xúc với tất cả các
đường sinh của nón và với
2008
S
. Gọi
2 3 2009
V ,V , ,V
lần lượt kà thể tích của các hình cầu
2 3 2009
S ,S , ,S
. Chứng minh rằng :
1 2 2009
1
V V V V
2
.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 11
Tỉnh Kiên Giang
Trường THPT Huỳnh Mẫn Đạt
Câu 1 : ( 3 điểm )
Tìm tất cả các số nguyên tố x,y thoả mãn phương trình:
2
[ 1] [ 2] [ 3] [ x 1] y
Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho hình vuông cạnh bằng 1. Có hai tam giác đều cạnh lớn hơn
2
3
nằm bên trong hình
vuông. Chứng minh rằng hai tam giác ấy có điểm chung.
Câu 3 : ( 2 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2
x 3y 4xy 2x 4y 13 0
(1)
Câu 4 : ( 3 điểm )
Dãy số
n
u
xác định như sau :
n
u
=
n
3 5
,
ở đây
chỉ phần nguyên của số
(là số nguyên lớn nhất không vượt quá
).
Chứng minh rằng
n
, thì
n
u
là số lẻ.
Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho A là tập tất cả các phần tử
1 2 6
x x ,x , ,x
với
1 2 6
x ,x , ,x 1,4
. Một chương trình
máy tính chọn ngẫu nhiên 2008 phần tử từ tập A ( các phần tử khác nhau ) được một
dãy
n
u
. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho lấy bất kì n số hạng của dãy
n
u
ta luôn tìm
được 16 số hạng mà 2 số hạng bất kì trong 16 số hạng đó có ít nhất là 2 thành phần khác
nhau.
Câu 6 : ( 3 điểm )
Cho
i i
a 0,a R,i 1, ,2008
và
1 2008
a a 1
. Chứng minh rằng
1 2008 1 2008
1 1 4.2007 4.2007
2008
a a a a 2008
Câu 7 : ( 3 điểm )
Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SB = b với
a b 2
.
Có một mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy ABCD tại A và tiếp xúc với đường thẳng SB tại K.
Hãy tính bán kính của mặt cầu này.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 12
Tỉnh Long An
Trường THPT Lê Quý Đôn
Câu1 : (3 điểm)
Giải phương trình:
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2x 3x 18 y y
2y 3y 18 z z
2z 3z 18 x x
Câu 2 : (3 điểm)
Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó sao cho
DE = FG = HK = R. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, GH và KD.
Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.
Câu3 : (2 điểm)
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương :
1 1 1
x y 2009
Câu 4 : (3 điểm)
Cho dãy số
n
(x )
xác định như sau :
0 1
x 1, x 5
,
2
n 1 n
n 2
x x 6
x
3
(n = 0,1, 2,…)
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
x
và tìm giới hạn của nó.
Câu 5 : (3 điểm)
Cho đa giác đều A
1
A
2
A
3
… A
6n
(n nguyên dương) nội tiếp trong đường tròn bán kính R.
Xét các đa giác lồi có các đỉnh là các điểm trong 6n điểm A
1
, A
2
, … , A
6n
và các cạnh
của đa giác đều khác R. Biết rằng trong số các đa giác ấy số các đa giác với số cạnh lớn
nhất bằng 32768, hãy tìm n.
Câu 6 : (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục
f :R R
thỏa mãn điều kiện:
2 2
2
x y
f(xy) f (x y) x,y R
2
Câu 7 : (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip (E):
2 2
x y
1
3 2
và đường
thẳng (
): x + 2y – 4 = 0. Xét điểm M chuyển động trên
. Các tiếp tuyến của (E) kẻ từ
M tiếp xúc với (E) tại A và B. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên
thì đường thẳng
AB luôn qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định ấy.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 13
Tỉnh Sóc Trăng
SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG
Câu 1: (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
2 y 4y 4
2
2 x 4x 4
2
log (x 4x 5) 1 2
log (y 4y 5) 1 2
Câu 2: (3 điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt đường
tròn tại D (D khác A). Chứng minh AB + AC < 2AD.
Câu 3: (2 điểm)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
3 3 3
x 15y 18z
Câu 4: (3 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
3 2
n 1 n n
1
u
2
1 3
u u u n 1
2 2
Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số.
Câu 5: (3 điểm)
Phương trình x + y + z + t = 2009 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
(Nghiệm (x, y, z, t) với x, y ,z, t là các số nguyên dương)
Câu 6: (3 điểm)
Tìm tất cả các đa thức P(x) có bậc nhỏ hơn 2009 và thỏa mãn điều kiện:
2
P(x 1) P(x) 6x 6x 5 x R
Câu 7: (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn:
2 2
1
2 2
2
(C ) :x y 4x 6y 0
(C ) :x y 4x 0
Một đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (C
1
) và (C
2
) lần lượt cắt lại (C
1
) và (C
2
) tại M và
N. Tìm giá trị lớn nhất của đoạn MN.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 14
Tỉnh Tiền Giang
Trường THPT Trương Định
Câu 1 : ( 3 điểm )
Giải phương trình :
Câu 2 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC không cân tại A thỏa điều kiện
2
A
sin B.sinC sin
2
. Gọi H, I, M lần
lượt là chân đường cao, đường phân giác trong , đường trung tuyến dựng từ A . Chứng
minh rằng I là trung điểm của đoạn HM
Câu 3 : ( 2 điểm )
Cho a, b, c là 3 số nguyên sao cho hai phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 và ax
2
+ bx – c
= 0 đều có nghiệm hữu tỉ . Chứng minh rằng tích a.b.c chia hết cho 30
Câu 4 : ( 3 điểm )
Cho dãy số u
0
= 2009 ,
k 1 k
k
1
u u (k 1,2, )
u
Tìm phần nguyên của số hạng
u
2009
?
Câu 5 : ( 3 điểm )
Trên mặt phẳng cho 4 đường thẳng song song và 2009 đường thẳng cát tuyến đôi một cắt
nhau. Biết rằng không có 3 đường thẳng nào đồng quy . Hỏi mặt phẳng được chia thành
mấy phần?
Câu 6 : ( 3 điểm )
Tìm hàm số liên tục y = f (x) thỏa mãn : f (x
4
).f (x) = 2009
4
với mọi x
Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a
3
; Gọi N là
điểm trên cạnh SC sao cho CN =
2
3
SC ; mặt phẳng ( ) thay đổi đi qua AN và cắt SB, SD
tại M, P. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện AMNP khi mặt phẳng ( ) thay đổi
x x
2 2
2 2 2 2 x 1
x 10x 5 x 10x 11 x 10x 5 x 10x 11 2
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 15
Tỉnh Tiền Giang
Trường THPT chuyên Tiền Giang
Câu 1 : ( 3 điểm )
Giải phương trình :
3
3 2 2
x 4x 5x 6 7x 9x 4
Câu 2 : ( 3 điểm )
Gọi I và O lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC. Các tia
AI, BI, CI cắt lại đường tròn tâm O tương ứng tại A’,B’,C’ . Gọi
a b c
r ,r ,r
lần lượt là bán
kính đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC ứng với các góc A,B,C.Gọi
a b c
r ',r ',r '
lần lượt
là bán kính đường tròn bàng tiếp của tam giác A’B’C’ ứng với các góc A’, B’ ,C’.
Chứng minh rằng:
a b c a b c
r ' r ' r ' r r r
Câu 3 : ( 2 điểm )
Cho 3 số nguyên dương a, b, c đôi một không có cùng số dư trong phép chia cho 5.
Đặt A = 3a + b + c
B = a + 3b + c
C = 2a + 2b + c
Chứng minh rằng trong 3 số A, B, C có một và chỉ một số chia hết cho 5.
Câu 4 : ( 3 điểm )
Cho dãy số
*
n
n
u
được xác định bởi
n
1 1 1
u
1! 2! n!
n 1
1) Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn
n
n
lim u
2) Đặt
n
n
lim u
. Chứng minh
là số vô tỉ.
Câu 5 : ( 3 điểm )
Trong chiến dịch vận động bầu cử tổng thống Mỹ năm 2008 có N các Đảng phái chính trị
khác nhau ( N > 1), mỗi Đảng đề cử ra 1 người để tranh cử tổng thống với các Đảng khác.
Mỗi người ra ứng cử phải nêu một số lời hứa hẹn sẽ thực hiện nếu được bầu làm tổng
thống. Biết rằng có tất cả n lời hứa hẹn bởi tất cả những ứng viên tranh cử tổng thống và tất
cả các ứng viên đều hứa rằng sẽ đưa nền kinh tế Mỹ thoát khỏi tình trạng khủng hoảng hiện
nay. Do các Đảng phái có quan điểm chính trị khác nhau nên các lời hứa đưa ra của 2 ứng
viên bất kì không hoàn toàn giống nhau nhưng có chung ít nhất là 2 lời hứa. Chứng minh :
n 2
N 2
Câu 6 : ( 3 điểm )
Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn : x
2
+ y
2
+ z
2
+ xyz = 4.
Chứng minh :
0 xy yz zx xyz 2
Câu 7 : ( 3 điểm )
Cho tứ diện SABC , M là điểm bất kì nằm trong tứ diện. Một mặt phẳng
tùy ý qua M
cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại
A',B',C'
.
Đặt V, V
A
, V
B
, V
C
lần lượt là thể tích của các tứ diện SABC, SMBC, SMCA, SMAB.
Chứng minh :
A B C
V V V
V
SA' SB' SC'
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 16
Tỉnh Trà Vinh
Trường THPT chuyên Trà Vinh
Câu 1: (3 điểm)
Giải phương trình:
5 4 3 2
32x 32x 16x 16x 2x 1 0 (1)
.
Câu 2 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
IA IB IC
1
a b c
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 3 : (2 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x,y) của phương trình:
x
(y 1) 1 y! (1)
Câu 4 : (3 điểm)
Cho dãy số (
n
U
) xác định bởi:
1
3
3
n 1 3 n
U 1
4
U log U 1 , n 1
3
Tìm
n
n
lim U
Câu 5 : (3điểm)
Trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, ta vẽ một số đường tròn có tổng các chu vi bằng
10. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 4 đường tròn trong các đường tròn
trên.
Câu 6 : (3 điểm)
Cho 3 số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện:
y x z 2009
4 1 2009
3
x y z
4 2009
2
x z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4 4 4
P x y z
Câu 7 : (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm AB và SC. Một mặt phẳng
thay đổi quay xung quanh MN cắt các
cạnh SA và BC theo thứ tự ở P và Q không trùng với S.
1) Chứng minh rằng
AP b
BQ a
2) Xác định tỉ số
AP
AS
sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 17
Tỉnh Vĩnh Long
Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
Bài 1: (3 điểm)
Giải phương trình
3 2
3 2
log x 1 3 x 1 3x 4 2log x 1
(1)
Bài 2: (3 điểm)
Tứ giác lồi nội tiếp
ABCD
có đường tròn nội tiếp tâm I. Gọi P là giao điểm của AC và
BD. Chứng minh rằng
2
2
AP AI
CP CI
.
Bài 3: (2 điểm)
Tìm các số nguyên tố
p,q,r
thỏa mãn các điều kiện sau:
2 2
5 p q r;2p r 49
và
2 2
2q r 193
.
Bài 4: (3 điểm)
Cho dãy số
n
U
được xác định bởi :
1
u 5
2
n 1 n n
1
u u u 9 ; n N ;n 1
5
. Đặt
n
n
k 1
k
1
v ;n N ; n 1
u 2
Tính
n
n
lim v
Bài 5: (3 điểm)
Cho hai hàm số
x
x
2
f x m 1 6 2m 1
6
1 x
h x x 6
Tìm m để hàm số tích
h x .f x
có giá trị nhỏ nhất là 0 với mọi
x 0 ; 1
.
Bài 6: (3 điểm)
Xác định tất cả các hàm số f :
thỏa mãn điều kiện
f 2008 2009
và với mọi
x,y
, ta luôn có:
f 4xy 2y f x y f x y
.
Bài 7: (3 điểm)
Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, lấy một điểm M sao cho
AM x(0 x a)
và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy một điểm S với
SA y y 0
. Giả sử
2 2 2
x y a
. Xác định vị trí của M để hình chóp S.ABCM có thể
tích lớn nhất.
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 18
ĐÁP ÁN
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Câu 1: (3.0 điểm)
Nhận xét: Nếu
0 0
;
x y
là nghiệm của hệ thì
0 0
;
x y
cũng là nghiệm. 0.5 điểm
Điều kiện cần để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất là
0
0
x
.
Thay
0
0
x
vào hệ, ta được
0
2
0
1
1
1
a y
y
0.5 điểm
Từ
1
ta có
0
2
a
a
* Xét
0
a
, hệ trở thành
2 2
sin 1
2
tan 1
y x
x y
2
có vô số nghiệm là
, 1x k y k
0.5 điểm
* Xét
2
a
, hệ trở thành
2
2 2
2 1 sin 3
tan 1 4
x y x
x y
Dễ dàng
3 & 4
có nghiệm là
0;1
. 0.5 điểm
Giả sử
1 1
;
x y
là một nghiệm bất kỳ của
3 & 4
. Khi đó:
2 2
1 1 1
1 tan 1 1
y x y
. 0.5 điểm
Mặt khác
2
1 1 1
2 1 sin 0
x y x
1
1
0
1
x
y
0.5 điểm
Vậy
0;1
là nghiệm duy nhất.
Đáp số:
2
a
Câu 2: (3.0 điểm)
z
x
y
h
b
h
c
h
a
A
B
C
M
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 19
Gọi
, ,
a b c
h h h
lần lượt là đường cao
ABC
kẻ từ
, ,
A B C
và
1 2 3
, , ,
S S S S
lần lượt là diện
tích tam giác
, , ,
MBC MCA MAB ABC
. Ta có:
1 2 3
1 2 3
1 1
a b c
S S S
x y z
S S S S
S S S h h h
1.0 điểm
2
a b c a b c
a b c
x y z
h h h h h h x y z
h h h
0.5 điểm
sin sin sin
2
a b c
x y z h h h
bc ca ab
x y z b C c A a B
R
0.5 điểm
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
b c a c a b
a b c
R R
0.5 điểm
Dấu bằng xảy ra
2 2 2
a b c
h h h
x y z
x y z
a b c
a b c
M
là trọng tâm tam giác đều
ABC
.0.5 điểm
Câu 3: (2.0 điểm)
Ta có
3 3 2 3
2 1
x y y y x y
Mặt khác
3
3 2
1 2 1 1
x y y y y
0.5 điểm
3 0 3
y y y
hoặc
0
y
Vậy nếu
3
y
hoặc
0
y
thì phương trình vô nghiệm 0.5 điểm
Với
3
3 8 2
y x x
Với
3
2 1 1
y x x
Với
0 1
y x
0.5 điểm
Vậy phương trình có ba nghiệm
2; 3 ; 1; 2 ; 1;0
0.5 điểm
Câu 4: (3.0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
1
;1
n n
u u
, ta có
1 1
1
1 2 . 1 2. 1
2
n n n n
u u u u
0.5 điểm
1
,
n n
u u n
Như vậy, dãy số
n
u
là dãy đơn điệu tăng 0.5 điểm
Ngoài ra dãy số
n
u
bị chặn bởi
1
. 0.5 điểm
Tồn tại giới hạn
lim
n
n
u a
0.5 điểm
Mặt khác
1
1
. 1 ,
4
n n
u u n
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 20
1
1
lim . 1
4
n
n
n
u u
0.5 điểm
1
. 1
4
a a
2
1
0
2
a
1
2
a
0.5 điểm
Vậy
1
lim
2
n
n
u
Câu 5: (3.0 điểm)
Giá trị của
n
phải thỏa mãn việc khi phân tích
!
n
ra thừa số nguyên tố thì thừa số 5 xuất
hiện 1987 lần.
Khi đó những số chẵn nhân với 5 thì cho thừa số 10. 0.5 điểm
Gọi
x
là phần nguyên của
x
. Ta có lũy thừa của 5 lớn nhất chia hết
!
n
được cho bởi.
2 3
5
5 5 5
k
n n n n
h n
0.5 điểm
Trong đó
k
là số lớn nhất mà
5
k
n
.
Số
n
nhỏ nhất sao cho
1987
h n
rõ ràng là bội của 5 và nó có thể viết dưới dạng
1
5
k
i
i
i
n a
trong đó
0;1;2;3;4
i
a
0.5 điểm
Từ đó:
1
5
k
i
i
i
h n a h
Trong đó
2 1
1
5 1 5 5 5 5 1
4
n n n
h
0.5 điểm
Thì
2 3 4 5
5 1, 5 6, 5 31; 5 156, 5 781
h h h h h
. 0.5 điểm
Ta có thể kết luận rằng
5 4 3 2
2.5 2.5 3.5 3.5 2.5 7960
n
thỏa mãn
1987
h n
Vậy giá trị nhỏ nhất của
n
là 7960 0.5 điểm
Câu 6: (3.0 điểm)
* Cho ;
2 2
x y t
, ta có:
2 cos 2 sin
2 2 2
f t f t f t f t
1
0.5 điểm
* Cho ;
2 2
x t y
, ta có:
0
f t f t
2
0.5 điểm
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 21
* Cho
0,
x y t
, ta có:
2 0 cos 2 0 cos
f t f t f t f t
3
0.5 điểm
Lấy
1
cộng với
2
:
2 2 .sin
2
f t f t f t f t
4
0.5 điểm
Từ
3
và
4
, ta có:
0 .cos sin
2
f t f t f t
0.5 điểm
Suy ra:
2008 cos 2009sin
f x x x
0.5 điểm
Câu 7: (3.0 điểm)
* Dễ dàng chứng minh
ABC
đều. 0.5 điểm
* Đặt
SA x
;
H
là hình chiếu của
S
trên
ABC
.
Ta tính được
2 sin
2
BC x
0.5 điểm
2
2 sin
4
2
; 1 sin 1
3 2
3
x
AH SH x
0.5 điểm
Mặt khác
2
2
2
x
SH
R
1 ; 2
ta có :
2
4
2 1 sin 3
3 2
x R
0.5 điểm
2 4
2
1 3 3
. . .sin
4
3 4 6 2
BC x
V SH
R
Thay
3
vào
4
, ta được :
2
3 2 2
8 3 4
sin 1 sin
3 2 3 2
V R
0.5 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
3 3
max
8 3 8 3
27 27
R R
V V
khi và chỉ khi
2 0
1
sin 60
2 4
0.5 điểm
Đáp số :
0
60
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 22
Tỉnh Bạc Liêu
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU
Câu 1: ( 3 điểm )
Giải phương trình
4 3
44 4
3 4 2 18 3 0
x x
(1)
Ta thấy
0
x
không là nghiệm của phương trình (1). (0,5đ)
Với
0
x
,
4
3
2 18
(1) 4 0
3
x
x
4
3
18 2
4
3
x
x
(2) (0,5đ)
Do
0
x
nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số:
3
18
; ; ;
3 3 3
x x x
x
ta có:
4 4
3 3 3
18 18 18 2
4 4
3 3 3 3 3
x x x
x
x x
(1đ)
Do đó (2) xãy ra khi và chỉ khi:
3
18
3
x
x
4
54
x
4
54
x
( do
0
x
)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
4
54
x . (1đ)
Câu 2: ( 3 điểm )
Không mất tính tổng quát ta giả sử:
AB AC BC
.
Gọi
' '
K MM NN
và I là giao điểm của đường
thẳng PK với BC.
Ta chứng minh '
M AC
:
Thật vậy giả sử M’ ở ngoài đoạn AC thì
'
M AB
:
Nên
1 1
' '
2 2
BM BM BC BM BC BA
1 1
2 2
BC AB AB AB BC CA
Tương tự ta cũng chứng minh được
'
N BC
:
(1đ)
Ta lại có:
1 1
'
2 2
CM AB BC CA CM AB CA
Suy ra
1 1
' '
2 2
CM CN CM CA AB
1
'
2
M N AB MN
(0,5đ)
Tương tự
1
'
2
MN AB MN
suy ra tam giác MNM’ cân tại N, tam giác NMN’ cân tại M
(0,5đ)
' '
' '
MNN MN N
NMM NM M
mà
' . .
' . .
KNP MN N sl t
KMP NM M s l t
nên MK, NK là các phân
giác trong của tam giác MNP.
(0,5đ)
N
M
P
A
B
C
M'
N'
P'
I
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 23
Suy ra
//
MPI IPN MIP do NP MI
IMP
cân tại M
1
2
MI MP AC
1
2
BP BI BP BM MI AB BC AC
'
P I
Vậy MM
1
, NN
1
, PP
1
đồng qui tại một điểm. (đpcm). (0,5đ)
Câu 3: ( 2 điểm )
Giả sử có số nguyên a để
2
( 1)
a p
ta có:
2
1 mod
a p
(0,25đ)
Suy ra
1
1
2
1 mod
p
p
a p
hay:
1
1
2
1 1 1 mod
p
p
a p
(0,5đ)
Nhưng theo định lí Fhec-ma thì:
1
1 0 mod
p
a p
(0,5đ)
Nên
1
2
1 1 0 mod
p
p
(*) mà p là số nguyên tố dạng
4 3
k
nên:
(*) 2 0 mod
p
(0,5đ)
Điều vô lí trên suy ra bài toán được chứng minh. (0,25đ)
Câu 4: ( 3 điểm )
Ta có dãy
n
a
là một dãy tăng thực sự, (0,5đ)
Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho
1
k k
a a
thì do giả thiết
2
1 2
k k k
a a a
ta thu
được
1 2
k k
a a
(do
*
k
a N
) và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực
sự, điều này không thể xãy ra vì dãy
n
a
là dãy vô hạn.
(1đ)
Do
1 0
1
a a
nên theo phương pháp quy nạp ta có ngay
, *
n
a n n N
.
Suy ra:
1 2
1 2
n
n
n
a a a
(0,5đ)
Đặt
2
1 2
1 1 2
n
n
n
u
n a a a
thì
1
0
n
u
n
(0,5đ)
Vậy
lim
n
2
1 2
1 1 2
0
n
n
n a a a
(theo nguyên lí kẹp) (0,5đ)
Câu 5: ( 3 điểm )
Chọn 1 cây bất kì trong hàng cây, đánh dấu là cây A. Có hai trường hợp sau xãy ra:
Trường hợp 1: Cây A không bị chặt. Khi đó xét hàng cây gồm 16 cây còn lại. Ta sẽ chặt 4
cây trong số 16 cây đó sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt.
(0,5đ)
Giả sử đã chặt được 4 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 12 cây
(không kể cây A). Việc phục hồi lại hàng cây là đặt 4 cây đã chặt vào 4 vị trí đã chặt, số
cách làm này bằng với số cách đặt 4 cây vào 4 trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây (kể cả 2
đầu), nên:
Số cách chặt 4 cây ở trường hợp 1 là:
4
13
715
C
(cách).
(1đ)
Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16
Trang 24
Trường hợp 2: Cây A bị chặt. Khi đó hàng cây còn lại 16 cây. Ta sẽ chặt 3 cây trong số 16
cây còn lại sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt ( hai cây ở hai phía của cây A
cũng không đư
ợc chặt).
0,5đ)
Giả sử đã chặt được 3 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 13 cây.
Do hai cây ở hai phía cây A vừa chặt không được chặt nên ta xét hàng cây gồm 11 cây còn
lại.
Lập luận tương tự như trường hợp 1, ta có số cách chặt cây là:
3
12
220
C (cách).
Suy ra: số cách chặt cây thỏa yêu cầu đề bài là:
715 220 935
(cách).
(1đ)
Câu 6: ( 3 điểm )
x R
ta có:
2
x
f x f x
2
2 3 3
x x x
f x f
2
3 2 3
x x x
f x f
(2) (0,5đ)
Từ (1) ta có:
0 0
f
.
Đặt
2
( )
3
x
g x f x , ta có: (0,5đ)
0 0
g
, g(x) liên tục trên R và ( ) ,
2
x
g x g x R
(do(2)). (0,5đ)
Suy ra:
2
1
2 2 2
n
n
x x x
g x g g g
với
n N
, mà g(x) liên tục trên R,
0 0
g
nên:
0,
g x x R
.
(0,5đ)
Suy ra:
2
, .
3
x
f x x R
(0,5đ)
Thử lại, ta thấy
2
3
x
f x thỏa (1), vậy có duy nhất một hàm số thỏa yêu cầu đề bài
(0,5đ)
Câu 7: ( 3 điểm )
Trong mặt phẳng Oxy, đặt
1
;
u a b
,
2
;
u c d
,
3
;
u x y
,
4
;
u z t
.
(0,5đ)
Ta có:
1 2 1 3 1 4
. , . , . ,
u u ac bd u u ax by u u az bt
2 3 2 4 3 4
. , . , . .
u u cx dy u u cz dt u u xz yt
(1đ)
Vì trong 4 góc tạo bởi 4 vectơ
1 2 3 4
, , ,
u u u u
có ít nhất một góc không vượt quá 90
0
nên tồn
tại cặp vectơ
,
i j
u u
1 4
i j
sao cho
.
cos ; 0
.
i j
i j
i j
u u
u u
u u
(1đ)
Suy ra
. 0
i j
u u
vì vậy ta có điều phải chứng minh. (0,5đ)
