Hsg huyện yên mô 2015 2016

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN N MƠ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)

NĂM HỌC 2015 – 2016
MƠN TỐN

Câu 1: (6,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính
a) A=

5
15

+

14
25

-

12
9

+

2
7

+

11
25

b) B =

212.35  46.92
510.73  255.492

(22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143

2. Tìm x, y, z biết
a)

9
2 4

  19
 x2  :
 1    1
3
10
5 5

  10

b)

x
y

3 4

,

y
z

3 5

và

2 x  3 y  z 6

Câu 2: (3,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
3n 2  2n2  3n  2n chia hết cho 10

Câu 3: (3,0 điểm)
1. Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 .
a) Chøng minh rằng x= -1 là nghiệm của A(x)
b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x =

1

2

Cõu 4: (6,0 điểm)
Cho ABC ( AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M vng

góc với tia phân giác của góc BAC
cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm
của đường thẳng đó với tia phân giác goch BAC là H). Chứng minh rằng:
a) EH = HF

 .
b) 2BME
 ACB  B
FE 2
c)
 AH 2  AE 2 .
4
d) BE = CF

Câu 5: (2,0 điểm) Giải bằng máy tính cầm tay
a) Tính giá trị của đa thức P(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + .... + x10 tại x = 2,13 (kết quả ghi
dưới dạng số thập phân lấy trên màn hình).
b)Tìm 2 chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016
-------------Hết-----------Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:......................................

Số báo danh:............................................

Chữ ký của giám thị 1:...............................

Chữ ký của giám thị 2:............................


HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015- 2016

PHÒNG GD&ĐT

MƠN: TỐN 7
Câu
Câu 1
(6đ)

ý
A=
1a.
1,0 đ

5
15

+

14
25

 3 25 2
=  
3 25 7

=0+

2
7

=

-

12
9

+

2
7

=   1  1 +

+

Tóm tắt lời giải

Điểm

11
25

0,5

2
7

0,5

2
7
10

212.35  212.34 510.7 3  5 .7 4
A  12 6 12 5  9 3 9 3 3
2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7

1b.
1,5đ



212.34.  3  1 510.73.  1  7 

212.35.  3  1 59.73.  1  23 

10 3
212.34.2 5 .7 .   6 

212.35.4
59.73.9
1  10
7
 


6
3
2



0,5
0,5
0,5

Ta có
9
2 4

  19
 x 2  :
 1    1
3
10
5 5

  10
4
 30 9
  19 10 4 


 x 2  :



 1 
5
 10 10
  10 10 10 

2.a
1,5 đ







 21
 5 1
 x2 :


10

 10 5
21
1 5
1
 x2  .

10
5 10 10

21 1
x2  
2
10 10
x  2  2; 2
x  4; 0

Vậy x = 0; -4

2.b
2,0 đ

x y
x
y
Từ giả thiết: 3  4  9 12
(1)
y z
y
z
 

(2)
3 5
12 20
x
y
z
Từ (1) và (2) suy ra: 9 12  20
(*)

x
y
z
2x 3y
z
2x  3y  z 6
Ta có: 9 12  20  18  36  20 18  36  20  2 3
x
Do đó: 9 3  x 27

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5


y
3  y 36
12
z
3  z 60
20

KL:

a.
(1,0đ
)
Câu 2
(3,0đ)
b.
(2,0đ
)

1.a
(1,0đ
)

Câu 3
(3đ)

1.b
(2,0đ
)

0,5

x 27 , y 36 , z 60

Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 5  y(3x – 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2  9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
 49 chia hết cho 3x – 2  3x – 2    49;  7;  1; 1; 7; 49

 3x    47;  5; 1; 3; 9; 51  x   1; 3; 17
Thay x lần lượt vào (1) ta được y   6; 2; 6
Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
3n 2  2n 2  3n  2n = 3n 2  3n  2n 2  2n
= 3n (32  1)  2n (22  1)
= 3n 10  2n 5 3n 10  2n 1 10

= 10( 3n -2n-1)
Vậy 3n 2  2n2  3n  2n  10 với mọi n là số nguyên dương.
A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+...+ (-1)99 + (-1)100
= - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) +...(-1) + 1 = 0
( vì có 50 số -1 và 50 số 1)
Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x)

0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
1

 2. A 2 (  2  3  ...  98  99  100 ) = 1   2  3  ...  98  99
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
1
1
1
1
1
 2 A =(  2  3  ...  98  99  100 ) +1 - 100  2 A  A  1  100
2 2 2
2
2
2
2
2

0,5

0,5
0,5
0,5

1
2100

Vẽ hình viết gt+ Kl đúng

Câu 4
(6đ)

0,25

0,5

1
1 1 1
1
1
1
+ Víi x= th× giá trị của đa thức A = 2 3  ...  98  99  100
2
2 2 2
2
2
2

A 1

0,25

A

E

(0,5)
B

1

M

C

H

cho 0,5

0,5

D
F

a
(1,0)

C/m đợc AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (®pcm)

1,0


b
(1,5đ)

 F


Tõ AEH AFH Suy ra E
1


XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy ra CMF
 ACB  F
 lµ gãc ngoµi suy ra BME

  B

BME cã E
E
1

1



 )  (E
  B
 )
vËy CMF
 BME
( ACB  F
1

 (đpcm).
hay 2BME
ACB B

áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :
c
FE 2
2 + HA2 = AF2
ta
có
HF
hay
AH 2  AE 2 (®pcm)
(1,5đ)
4
 F

C/m AHE AHF ( g  c  g ) Suy ra AE = AF vµ E
1
Tõ C vÏ CD // AB ( D EF )
C/m đợc BME CMD ( g c g ) BE CD
(1)
d
CDF

và có E
(cặp góc đồng vị)

(1,5)

1

do do đó CDF
F

CDF cân CF = CD ( 2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra BE = CF
2

3

Cách 1: Ta có thức P(x) = 1 + x + x + x + .... + x

a.
(1,0đ)

1,5

10

1,5

0,25
0,5
0,25
0, 5

x11 - 1
=
x-1

2,1311 - 1

 3622,355813.
Thay x = 2,13 ta được kết quả P(2,13) =
2,13 - 1
10

Cách 2: Nhập vào máy:

  2,13 
X

 ta được kết quả P(2,13) 

x=0

Câu 5
(2đ)

3622,355813.

HD: A = 22000(210 + 211 + 212 + 213 + 214 + 215+ 216)
= (220)100 x 130048
mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576
b.
Ta nhận thấy bất kỳ một số có đi là 76 thì lũy thừa ln ln có
(1,0đ) đi là 76 (dùng máy để kiểm tra)
Do đó: A = 130048 x (…76) = ….. 48. Vậy 2 số cuối của A có
giá trị là 48
Ghi chú:
- Bài hình học nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm.
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.

---------------------Hết------------------------

0,5

0,5