UBND HUYỆN THANH SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn Tốn - Lớp 7
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Thời gian làm bài 120 phút khơng kể thời gian giao đề )
( Đề thi có 01 trang )
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Tìm tập hợp các số nguyên x thỏa mãn
b) Tìm các số a, b, c thỏa mãn
1 1 1
1 1 1
x
.
2 3 4
24 8 3
a b b c
; và a - b +c = -49.
2 3 5 4
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm giá trị của m để đa thức g ( x) x 4 m2 x 3 mx 2 mx 1 có nghiệm là -1.
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngoặc và sắp xếp, biết:
2013
2014
f ( x ) 3x 2 12 x 8 x 3 2 x 2 3x 3 .
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số
12n 1
là phân số
30n 2
tối giản.
Câu 3 (3,0 điểm).
Một xe tải chạy từ thành phố A đến hải cảng B gồm ba chặng đường dài bằng
nhau, nhưng chất lượng mặt đường xấu tốt khác nhau nên vận tốc trên mỗi chặng lần
lượt bằng 40; 24 và 60 (km/h). Biết tổng thời gian đi từ A đến B là 5 giờ, tính độ dài
quãng đường AB?
Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vng tại A, có C 300 , kẻ AH BC H BC .
Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE AD . Chứng minh rằng:
a) BAD
600 ;
b) EH song song với AC.
Câu 5 (4,0 điểm).
a) Tính giá trị của biểu thức A 1.3 2.4 3.5 4.6 ... 48.50 .
b) Cho B
1
1 1
1
3
. Chứng minh rằng: B < .
2
2
2
2
4
2
3
4
100
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh
....................................................................................
SBD
Chú ý: Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm
...................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn Tốn - Lớp 7
Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng
dẫn chấm./.
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Tìm tập hợp các số nguyên x thỏa mãn
b) Tìm các số a, b, c thỏa mãn
1
2
1
1 1
x
24
3 4
1 1
;
8 3
a b b c
; và a - b +c = -49.
2 3 5 4
Đáp án
Điểm
1 1 1
1
1
1 1
x
x
24 8 3
2
4
3 4
1
x 2 x 1 . mà x là số nguyên nên x 1, 0
4
a b
a
b
b c
b
c
a
b
c
nên
b) Vì ;
2 3 10 15 5 4 15 12
10 15 12
a)
1
2
1,00
1,00
1,00
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
1,00
a
b
c
a bc
49
7
10 15 12 10 15 12
7
Suy ra: a =10.(-7)=-70; b = 15.(-7) =-105; c = 12.(-7) =-84
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm giá trị của m để đa thức g ( x) x 4 m 2 x 3 mx 2 mx 1 có nghiệm là -1.
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngoặc và sắp xếp, biết:
f ( x) 3 x 2 12 x 8
2013
x 3 2 x 2 3x 3
2014
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số
12n 1
là
30n 2
phân số tối giản.
Đáp án
Điểm
a) Để đa thức g(x) có nghiệm -1 thì
4
3
2
g ( 1) 0 1 m2 1 m 1 m 1 1 0
0,50
1 m2 m m 1 0 m2 0 m 0
0,50
b) Tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngoặc và sắp xếp là f(1)
Mà f (1) 3.12 12.1 8
2013
13 2.12 3.1 3
2014
1
2013
1
2014
1 .
Vậy: Tổng các hệ số của đa thức sau khi phá ngoặc và sắp xếp là -1
*
c) Gọi d =ƯCLN 12n 1,30n 2 d N
0.50
0,50
0,25
1
12n 1d
30n 2d
Vậy: Phân số
60n 5d
60n 5 60n 4 1d d 1
60n 4d
1,50
0,25
12n 1
là phân số tối giản.
30n 2
Câu 3 (3,0 điểm).
Một xe tải chạy từ thành phố A đến hải cảng B gồm ba chặng đường dài
bằng nhau, nhưng chất lượng mặt đường xấu tốt khác nhau nên vận tốc trên mỗi
chặng lần lượt bằng 40; 24 và 60 (km/h). Biết tổng thời gian đi từ A đến B là 5
giờ, tính độ dài quãng đường AB?
Đáp án
Gọi vận tốc và thời gian xe tải đi trên ba chặng đường lần lượt là v1, v2, v3;
t1, t2, t3. Khi đó: t1 t2 t3 5
Vì ba chặng đường dài bằng nhau, vận tốc và thời gian lài hai đại lượng tỷ
1
1
1
1
1
1
lệ nghịch, do đó: t1 : t2 : t3 v : v : v 40 : 24 : 60 3 : 5 : 2
1
2
3
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
Suy ra: t1 = 3.0,5 =1,5(h);
Quãng đường AB là: 3.(40.1,5) = 180(km)
t1 t2 t3 t1 t2 t3 5
0,5
3 5 2
10
10
Điểm
0,50
0,75
0,75
0,50
0,50
Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vng tại A, có C 300 , kẻ
AH BC H BC . Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ
CE AD . Chứng minh rằng:
a) BAD
600 ;
b) EH song song với AC.
Đáp án
Điểm
* Vẽ hình:
C
E
D
0,50
K
H
A
B
2
a) AHB AHD (hai cạnh góc vng tương ứng bằng nhau )
0,50
=> AB = AD
0,50
=> ABD cân tại A.
60 BAD
B
60
b) Kẻ DK AC => DK = DE = DH (tính chất đường phân giác)
DEH cân tại D
0
0
= 1200 (đối đỉnh)
EDH
ADC
DHE
300
( ở vị trí so le trong) => EH // AC
DHE
ACB
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu 5 (4,0 điểm).
a) Tính giá trị của biểu thức A 1.3 2.4 3.5 4.6 ... 48.50
b) Cho B
1
22
1 1
1
3
2 2
. Chứng minh rằng: B <
2
4
3
4
100
Đáp án
a) A 1.3 2.4 3.5 4.6 ... 48.50 1. 2 1 2. 3 1 3. 4 1 ... 48. 49 1
1.2 2.3 3.4 48.49 1 2 3 48
Lại có: T1 1.2 2.3 3.4 48.49
48.49.50
39200
3
1 48
T2 1 2 3 48
48 1176
2
Vậy: A = 39 200 + 1176 = 40 376
1
1 1
1
1
1
; 2
; ;
nên
2
2
3
2.3 4
3.4
100
99.100
1
1
1
1
1 1
1
1
B 2
2.3 3.4
99.100 4 2.3 3.4
99.100
2
1
1
1
1 1
49
Tinh được:
2.3 3.4
99.100 2 100 100
1 49 25 49 74
75 3
Suy ra: B
4 100
100
100 100 4
b) Vì
Điểm
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
---------------------HẾT-------------------
3