Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng 1

Lời cảm ơn
Em xin đợc bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Ngọc Uy,
ngời đà tận tình hớng dẫn em trong suốt quá trình em thực hiện đề tài.
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới TS. Lê Tuấn Anh đÃ
góp ý để hoàn thiện luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Phơng
pháp giảng dạy, Ban Chủ nhiệm khoa Toán Tin, Phòng Sau đại học trờng Đại
học S phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp tại trờng THCS Chu
Văn An, Tây Hồ, Hà Nội đà tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành luận văn
Và con xin đợc gửi lời cảm ơn đến bố mẹ kính yêu của con, bố mẹ
đà động viên con rất nhiều và tạo cho con những điều kiện tốt nhất để con
có đợc ngày hôm nay.
Hà Nội, tháng 11 năm 2008
Tác giả luận văn

Vơng Thị Thu Thủy

1
-


Mục lục
Mục lục.........................................................................................................2
Các kí hiệu viết tắt................................................................................1
Mở đầu...........................................................................................................2
Chơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn..............................................1
1. Vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn Toán.............................1
1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán.................................................................1
1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS.........................................................2
2. T duy To¸n häc..................................................................................2

2.1 T duy....................................................................................................2
2.1.1 Kh¸i niƯm t duy.............................................................................2
2.1.2 Các hình thức cơ bản của t duy....................................................3
2.2 Nội dung cđa t duy to¸n häc................................................................4
2.3 C¸c thao t¸c t duy toán học..................................................................5
2.3.1 Phân tích- Tổng hợp.....................................................................5
2.3.2 So sánh- Tơng tự...........................................................................6
2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa........................................................7
2.3.4 Trừu tợng hóa................................................................................8
2.4 Một số loại t duy toán học...................................................................9
2.4.1 T duy phê phán..............................................................................9
2.4.2 T duy giải toán..............................................................................9
2.4.3 T duy sáng tạo...............................................................................9
2.4.4 T duy thuật toán..........................................................................13
2.4.5 T duy hàm...................................................................................13
3. Một số khái niệm về năng lực toán học...........................14
3.1 Năng lực.............................................................................................14
3.2 Năng lực toán học..............................................................................14
3.3 Năng lực giải toán..............................................................................15
4. Vai trò và chức năng của bài tập toán.............................16
4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán...................................................16
4.2 Yêu cầu lời giải một bài toán.............................................................17
4.2.1 Lời giải không sai lầm.................................................................17
4.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác.....................................................18
4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ........................................................18
4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất..............................................18
4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý............................................................19
5. Phơng pháp chung để giải toán..............................................19
5.1 Các bớc giải toán của G.Polya...........................................................19
5.2 Cách thức dạy, phơng pháp chung để giải toán.................................21

6. một số Phơng hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học
sinh khá, giỏi ở trờng trung học cơ sở....................................22
6.1 Bồi dỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác...22
6.2 Bồi dỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện
khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tëng míi.......................23
6.3 Chó träng båi dìng tõng u tè cơ thể của TDST.............................23
6.4 Bồi dỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các
khâu của quá trình dạy học..........................................................................24

2
-


Chơng ii: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán
cho học sinh THCS.................................................................................25
1. Truyền thụ cho học sinh một số kháI niệm, cách
trình bày và cách giảI Bài toán cực trị trong hình học
phẳng...........................................................................................................25
1.1 Thế nào là bài toán cực trị hình học...................................................25
1.2 Dạng của bài toán cực trị hình học....................................................25
1.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học............................................26
1.4 Cách giải bài toán cực trị...................................................................27
2. truyền thụ cho học sinh Một số kiến thức thờng
dùng để giải bài toán Cực trị trong hình học phẳng.......31
2.1 Quan hệ giữa đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu.......................31
2.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc......................................32
2.3 Các bất đẳng thức trong đờng tròn.....................................................34
2.4 Bất đẳng thức Côsi.............................................................................36
2.5 Tỉ số lợng giác...................................................................................40
3. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần

cơ bản của t duy sáng tạo..............................................................43
4. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua
giải các bài tập toán...........................................................................54
5. Bài tập tổng hợp..............................................................................73
Chơng III Thực nghiệm s phạm.........................................................82
Tài liệu tham khảo...............................................................................92

3
-


Các kí hiệu viết tắt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

TDST: T duy sáng tạo
THCS: Trung học Cơ sở
NXB: Nhà xuất bản
ĐHSP: Đại học S phạm
VD: Ví dụ
TH: Trờng hợp
GV: Giáo viên
HS: Học sinh

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Hiến pháp nớc Cộng hoà Xà hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đà ghi ở
điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu". Báo cáo chính trị của
Ban chấp hành Trung ơng khoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần thứ
VIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu
nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài".
"Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật.
Đây là môn thể thao của trÝ t, gióp chóng ta nhiỊu trong viƯc rÌn lun phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải
quyết các vấn đề; giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo.
Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác nh
cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vợt khó, yêu thích chính xác, ham
chuộng chân lý. Dù các bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các
kiến thức và phơng pháp toán học cũng rất cần cho các bạn". [11, tr1]
Các thầy giáo, cô giáo dạy toán chính là những huấn luyện viên trong
môn thể thao trí tuệ này. Công việc dạy toán của giáo viên (GV) nhằm rèn
luyện cho học sinh (HS) t duy toán học cùng những phẩm chất của con ngời
lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tơng lai của đất
nớc.
ở trờng phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học.
Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống. Dạy học
giải toán mang trong mình các chức năng: giáo dỡng, giáo dục, phát triển và
kiểm tra. Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò
quan trọng đối với chất lợng dạy học toán
Trong chơng trình toán phổ thông, hình học là một mảng kiến thức lớn và
quan trọng. Ngay từ tiểu học, học sinh đà làm quen với hình học dới hình thức

đơn giản. Các khái niệm về điểm, đờng thẳng, mặt phẳng đà đợc định nghĩa tờng minh trong chơng trình To¸n ë THCS.


Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất trong hình học
phẳng, còn gọi là toán cực trị hình học thờng không gặp trong các sách giáo
khoa môn Toán bởi chúng thờng là những bài toán khó. Bài toán dạng này thờng không cho sẵn điều phải chứng minh, đòi hỏi học sinh phải tự mình tìm
lấy kết quả của bài toán. Những bài toán này dẫn dắt học sinh có thói quen đi
tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều
đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tÕ vµ cã nhiỊu
øng dơng trong thùc tÕ hµng ngµy. Đối với bài toán cực trị, thờng có nhiều
con đờng để đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắn gọn hợp lý, đôi khi
có những phơng án độc đáo, sáng tạo. Do vậy nó giúp học sinh rèn luyện nếp
nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất,
tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy
niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi.
Bài toán cực trị hình học thờng xuất hiện trong các đề thi vào trờng
chuyên, lớp chuyên, thi học sinh giỏi nhng đa số học sinh cha nắm chắc đợc
đặc trng và phơng pháp giải, do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn và
hay mắc phải sai lầm.
Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài:
"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh Trung học Cơ sở
thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng".

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thông
qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Nghiên cứu nội dung rèn luyện năng lực giải toán phổ thông.
3.2 Nghiên cứu các dạng bài toán cực trị trong hình học phẳng và cách

giải cụ thể của từng dạng bài.
3.3 Nghiên cứu một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh THCS

4. Phơng pháp nghiên cứu
4.1 Nghiên cứu lý luận: cơ sở lý luận về Tâm lí học, Giáo dục học, lý
luận dạy học môn toán để phân tích các nguyên nhân và xây dùng c¸c biƯn


pháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh trong khi giải
toán, góp phần rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
4.2 Thực nghiệm s phạm.

5. Đối tợng nghiên cứu
Quá trình dạy học các bài toán cực trị hình học cho học sinh khá giỏi ở
lớp 9 (trờng THCS)

6. Phạm vi nghiên cứu
Chơng trình hình học phẳng ở THCS

7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chơng.
Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chơng II: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh
THCS
Chơng III: Thực nghiệm s ph¹m


Chơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn Toán

1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán
Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết
sức quan trọng.
Thứ nhất, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu
chung của giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.
Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện
kĩ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển
năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khai thác hoá...
rèn luyện những đức tÝnh, phÈm chÊt cđa ngêi lao ®éng míi nh tÝnh cẩn thận,
chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dỡng óc thẩm mĩ.
Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ thông và tơng
đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phơng pháp t duy.
Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học
khác. Do tính trừu tợng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng. Những
tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác
trong nhà trờng, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ
để hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần không thể
thiếu của trình độ văn hoá phổ thông của con ngời mới. Cùng với việc kiến tạo
tri thức, môn Toán trong nhà trờng còn rèn luyện cho học sinh những kĩ năng
tính toán, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính điện
tử... Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phơng pháp,
phơng thức t duy và hoạt động nh: toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện
và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề...
Trong thời kì phát triển mới của đất nớc, môn Toán càng có ý nghĩa quan
trọng hơn.
1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS
Môn toán ở THCS nhằm


a. Cung cấp cho học sinh những kiến thức, phơng pháp Toán học phổ

thông, cơ bản, thiết thực
b. Hình thành và rèn luyện các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc, ớc lợng. Bớc đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống
và vào các môn học khác.
c. Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic, khả năng quan sát,
dự đoán, phát triển trí tởng tợng không gian. Rèn luyện khả năng sử dụng
ngôn ngữ chính xác, bồi dỡng các phẩm chất của t duy. Bớc đầu hình thành
thói quen tự học, diễn đạt chính xác ý tởng của mình và hiểu đợc ý tởng của
ngời khác. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết
của ngời lao động.
2. T duy Toán học
2.1 T duy.
2.1.1 Khái niệm t duy
T duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật và hiện tợng
Theo quan ®iĨm cđa chđ nghÜa duy vËt biƯn chøng th× t duy là sản vật
cao cấp của một sụ vật hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của
sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tợng, khái niệm, phán đoán... T
duy bao giờ cũng liên hƯ víi mét sù vËn ®éng cđa vËt chÊt- víi sự hoạt động
của óc. Khoa học hiện đại đà chứng minh đợc rằng t duy là đặc tính của vật
chất. Paplop đà chứng minh một cách không thể chối cÃi rằng bộ óc là cơ cấu
vật chất của hoạt động tâm lí. Ông viết ...Hoạt động tâm lí là kết quả của hoạt
động sinh lí của một bộ phận nhất ®Þnh cđa ãc...”
T duy cã quan hƯ mËt thiÕt víi nhận thức cảm tính, thờng bắt đầu từ nhận
thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn
đề. Dù cho t duy có khái quát và trừu tợng đến đâu thì trong nội hàm của t duy
cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính
Con ngời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các
thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả t duy. Ngôn ngữ đợc xem là phơng tiện
của t duy.

Sản phẩm của t duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đợc biểu
đạt bằng những từ ngữ, câu,... kí hiệu, công thức, mô hình,...
T duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tợng.
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
T duy có tác dơng to lín trong ®êi sèng x· héi. Ngêi ta dựa vào t duy để
nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xà hội và lợi dụng những
quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
2.1.2 Các hình thức cơ bản của t duy.
+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối tợng và do đó nó có thể đợc xem xét theo hai phơng diện: Ngoại diên và nội
hàm. Bản thân lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên, còn toàn
bộ các thuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của lớp đối tợng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội
hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngợc lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái
niệm A đợc gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B đợc gọi là
một khái niệm loại của A.
+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức t duy, trong đó khẳng định một
dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tợng. Phán đoán có tính chất hoặc
đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trờng hợp đó mà thôi.
TTrong t duy, phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu: trực
tiếp và gián tiếp. Trong trờng hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên
cứu của quá trình tri giác một đối tợng, còn trong trờng hợp thứ hai, phán đoán
đợc hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận. Cũng
nh các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về
những đối tợng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai của các luận
điểm.
+ Suy luận: suy luận là một quá trình t duy có quy luật, quy tắc nhất
định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải
tuân theo những quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và

quy nạp. Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng
đến cái chung.


Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngợc lại suy
diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
2.2 Nội dung của t duy toán học
Hoạt động của t duy phụ thuộc vào đối tợng t duy. Do vậy, khi đề cập
đến nội dung của t duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểm của
toán học với t cách là đối tợng của t duy toán học.
+ Đối tợng của toán học
Toán học nghiên cứu cái gì?
Theo P.Ănghen trong Chống Duyrinh: Đối tợng của toán học thuần
túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện
thực, tức là mét t liƯu rÊt cơ thĨ. T liƯu nµy biĨu hiện dới hình thức cực kì trừu
tợng, đó chỉ là bức màn bên ngoài che lấp nguồn gốc của nó trong thÕ giíi
hiƯn thùc”
Theo V.I. Lenin trong “Bót kÝ triÕt học: Cái mà toán học dạy chúng ta,
đó là những mối quan hệ giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính
Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: ...về toán học thì có hai góc độ để
nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về toán học:
- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lợng, hình dáng và
lôgic trong thế giới khách quan.
-Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lợng mà ngời ta có thể
trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề
Đối tợng của toán học đợc cụ thể hóa và mở rộng dần qua từng giai đoạn.
Giai đoạn toán học hiện đại, ứng với nền sản xuất tự động hóa, toán học
nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán đồng thời với lôgic toán
Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta có

toán học kiÕn thiÕt, cïng víi cÊu tróc ta cã tht to¸n, chúng đối lập với nhau
nhng bổ sung cho nhau, là cơ sở của phơng pháp mô hình hóa và thuật toán
hóa của điều khiển học.


2.3 Các thao tác t duy toán học
2.3.1 Phân tích- Tổng hợp
A. Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận ®i tõ c¸i ®· biÕt ®Õn c¸i cha
biÕt. NÕu gäi B là phán đoán cần chứng minh và Ai ( i 1, n ) hoặc là tiên đề,
định lí hoặc là giả thiết đà biết thì sơ đồ của phép tỉng hỵp nh sau
A1  A2  ...  An B
Thông thờng phép này đợc dùng để trình bày lời giải sau một quá trình
phân tích. Đây cũng còn gọi là phép suy xuôi
B. Phép phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha biết đến cái đÃ
biết.
Phép phân tích đi lên (Suy ngợc lùi):
B B1 B2 ... Bn A
Phép phân tích đi xuống (Suy ngợc tiến): đợc dùng trong giải toán mang
tính chất dự đoán kết quả, dự đoán con đờng chứng minh.
B  B1  B2  ...  Bn  A
2.3.2 So sánh- Tơng tự
So sánh

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc
điểm khác nhau ở một số đối tợng. Mục đích thứ nhất dẫn đến tơng tự và thờng đi đôi với khái quát hóa
Tơng tự

Tơng tự là thao tác t duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
của những đối tợng toán học khác nhau. Kết luận dựa theo sự tơng tự có thể đợc mô tả nh sau:
Đối tợng A có các tính chất a; b; c

Đối tợng B có các tính chất a; b

Đối tợng B có tính chất c

Sự tơng tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thờng đợc áp dụng trong
việc giảng dạy môn Toán. Tuy nhiên cần lu ý rằng, cũng nh phơng pháp quy
nạp không hoàn chỉnh, tơng tự có thể dẫn đến kết luận sai lầm.


Ví dụ: Trong mọi tam giác, các đờng cao đồng quy tại trực tâm. Nếu cho
rằng, tơng tự, trong mọi tứ diện đều có các đờng cao đồng quy tại trực tâm là
sai, vì điều này chỉ đúng với các tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với
nhau mà thôi.
2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa
Khái quát hóa

- Khái quát hóa là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào
đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diên rộng
hơn, bao gồm tập hợp các đối tợng ban đầu (khái quát hóa ngoại diên)
- Khái quát hóa cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng lớn hơn, bao gồm khái niệm hay
tính chất ban đầu (Khái quát hóa nội hàm)
Trong Phơng pháp dạy học môn Toán, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ
Dơng Thụy có nêu rõ hơn Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tợng
sang một tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung
của các phần tử của tập hợp xuất phát [4]
Theo [10,tr 13] có hai con đờng khái quát hóa: con đờng thứ nhất trên cơ
sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ; con đờng thứ hai không dựa trên sự so
sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tợng trong hàng loạt hiện tợng
giống nhau

Nh vậy, khái quát hóa là thao tác t duy nhằm phát hiện những qui luật
phổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện tợng từ một hoặc một số các trờng hợp riêng lẻ. Với ý nghĩa đó, khái quát hóa thuộc về các phép suy luận có
lí, nên các kết luận rút ra từ khái quát hóa thờng mang tính chất giả thuyết, dự
đoán. Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp kết luận từ khái quát hóa có thể thu đợc nhờ qui nạp hoàn toàn
Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác t duy
khác nh: phân tích, tổng hợp, so sánh,...
Đặc biệt hóa
- Đặc biệt hóa là thao tác t duy ngợc của khái quát hóa. Đặc biệt hóa là
thao tác t duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ ngoại diên rộng


sang tập hợp các đối tợng có ngoại diên hẹp, chứa đựng trong tập hợp ban đầu
(đặc biệt hóa về ngoại diên)
- Đặc biệt hóa cũng là thao tác t duy chun tõ kh¸i niƯm hay tÝnh chÊt
tỉng qu¸t vỊ khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hóa về nội hàm)
- Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những
khái niệm, định lí tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt
hóa thờng đợc sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các
định lí, bài tập,... Trong bài toán quỹ tích, đặc biệt hóa thờng đợc sử dụng
trong mò mẫm, dự đoán quỹ tích, trên cơ sở đó hình thành phơng pháp chứng
minh cho toàn bộ bài toán.
Phơng pháp đặc biệt hóa thờng đợc dùng để bác bỏ một mệnh đề, phát
hiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới
Mối quan hệ giữa khái quát hóa và đặc biệt hóa thuờng đợc vận dụng
trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào đó ta muốn khái quát hóa (về
ngoại diện hay nội hàm) ta thử đặc biệt hóa. Nếu kết quả của đặc biệt hóa là
đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai thì
dừng lại
2.3.4 Trừu tợng hóa
- Trừu tợng hóa là thao tác tách ra từ một đối tợng toán học một tính chất

(về quan hệ số lợng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế giới khách quan) để
nghiên cứu riêng tính chất đó. Trừu tợng hóa thoát ra khi mọi nội dung có tính
chất chất liệu
- Trừu tợng hóa có liên hệ mật thiết với khái quát. Nhờ trừu tợng hóa ta
có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn. Trừu tợng hóa và khái quát hóa là nguồn
gốc của sự hình thành các khái niệm toán học
2.4 Một số loại t duy toán học
2.4.1 T duy phê phán
T duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi:
- Tôi sẽ tin vào điều gì?
- Tôi sẽ lựa chọn cách nào?


Loại hình t duy này đợc đặc trng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin tởng và hành động, kiên định thái độ của phản xạ hoài nghi và chỉ đa ra phán
đoán cuối cùng khi đà xem xét hết các t liệu đà có.
2.4.2 T duy giải toán
T duy giải toán hớng về quá trình tổng hợp, phân tích theo đó chúng ta sử
dụng những gì đà biết để tìm ra cái cha biết
G.Polia đà đa ra tiến trình 4 bớc trong giải toán nh sau:
- Tìm hiểu bài toán (understand the problem)
- Xây dựng lời giải (devise a plan)
- Trình bày lời giải (Carry out the plan)
- Nghiên cứu sâu lời giải (verification)
2.4.3 T duy sáng tạo
- T duy sáng tạo (TDST) là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới độc
đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
- T duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản phẩm
hay, quá trình độc đáo. T duy sáng tạo đợc ghi nhận nhờ những tiếp cận tởng
tợng, phân kì đối với bài toán... và trực giác (hay linh cảm) là nguồn cung cấp
ý tởng hữu ích

- Lecne cho rằng: Sự sáng tạo là quá trình con ngời xây dựng cái mới về
chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem nh là hệ thống các
thao tác hoặc hành động đợc mô tả thật chính xác và đợc điều hành nghiêm
ngặt
- GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói Ngời có óc sáng tạo là ngời có
kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết đợc vấn đề đà đặt ra...
Có hai mức sáng tạo:
Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay ®ỉi tËn gèc
c¸c quan niƯm cđa mét hƯ thèng, tri thức và sự vận dụng. Nh sự phát hiện ra
hình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa,...
Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đà biết, mở réng lÜnh vùc øng dơng. Nh
sù ph¸t triĨn cđa m¸y tính, của lazer
Đối với ngời học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ tự
đơng đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lập


những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết. Nh
vậy một bài tập cũng đợc xem nh là yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó
không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là ngời giải cha biết thuật toán
để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bớc đi cha biết trớc.
Những thành phần cơ bản của cấu trúc t duy sáng tạo
1. Tính mềm dẻo:
Tính mềm dẻo của t duy có các đặc trng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động này sang hoạt động khác, vận dụng linh
hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, cụ thể hoá các
phơng pháp suy luận nh: Quy nạp, suy diễn, tơng tự, dễ dàng chuyển từ giải
pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hớng suy nghĩ nếu gặp trở
ngại.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đà có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện

mới, trong đó có những yếu tố đà thay đổi có khả năng thoát khỏi ảnh hởng
kìm hÃm của những kinh nghiệm, những phơng pháp, những suy nghĩ đà có trớc.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng
mới của đối tợng quen biết.
Qua cơ sở lý ln tÝnh mỊm dỴo trong t duy, ta thÊy để giải một bài tập
cụ thể có vớng mắc, hoặc thấy cách giải còn cha hay thì gợi mở cho học sinh
theo các hớng trên thì hiệu quả đạt đợc sẽ tốt hơn.
2. Tính nhuần nhuyễn: : Đợc thể hiện rõ nét ở 2 đặc trng sau:
- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm đợc
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trớc một
vấn đề khi giải quyết, ngời có t duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất
nhiều phơng án khác nhau và từ đó đa ra đợc phơng án tối u.
- Khả năng xem xét đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, có một
cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tợng chứ không phải
cái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc.
Khi thực hành giải toán, để thực hiện đợc điều này ta cần phân tích cho
học sinh thấy rõ các bớc để giải một bài toán, tìm sự quan hệ gần gũi giữa bài
toán đà cho với các bài toán đà biết... Qua đó thể hiện đợc tính nhuần nhuyễn
của t duy, tính độc lập trong suy nghĩ.


3. Tính độc đáo: tìm kiếm và quyết định phơng thức mới
Tính độc đáo của TDST đợc đặc trng bởi các khả năng
- Khả năng tìm ra những liên tởng và những kết hợp mới.
- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau.
4. Tính hoàn thiện: lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động
5. Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tởng tốt
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan
hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện

cho việc tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phơng án khác nhau mà có thể tìm
đợc những phơng án lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có
quan hệ khăng khít với các yếu tố khác nh: tính chính xác, tính hoàn thiện,
tính nhạy cảm vấn đề... Tất cả các yếu tố đặc trng nói trên cùng góp phần tạo
nên t duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngời.
Những biểu hiện đặc trng của hoạt động sáng tạo
1. Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức kĩ năng, kĩ xảo sang tình
huống mới gần hay xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến
thức
2. Nhìn thấy những nội dung mới trong những tình huống bình thờng
3. Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng
4. Độc lập kết hợp các phơng thức hoạt động đà biết, tạo thành cái mới
5. Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tợng quen thuộc
6. Nhìn thấy mọi cách giải quyết có thể có, tiến hành giải theo từng cách
và lựa chọn cách tối u
7. Xây dựng phơng pháp mới về nguyên tắc, khác với phơng pháp quen
thuộc đà biết
8. Khái quát hóa tri thức và phơng pháp quen thuộc đà biết (vì khái quát
hóa là năng lực cơ bản của các năng lực toán học)
Mối quan hệ giữa t duy phê phán, t duy giải toán và t duy sáng tạo
(a) T duy phê phán
(b) T duy giải toán
(a)
(b)
(c) T duy sáng tạo
(c)

Hình 1

2.4.4 T duy thuật toán
Thuật toán là một bản qui định chính xác mà mọi ngời đều hiểu nh nhau
về việc hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác định nhằm
giải quyết một loạt bài toán bất kì thuộc một loại hay một kiểu nào đó
Các thuật toán phải thỏa mÃn 3 yêu cầu cơ bản:

- Tính xác định: Ai cũng hiểu theo cùng một cách, mỗi giai đoạn của quá
trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất
- Tính số đông: Phải dùng đợc để giải một loạt (một kiểu) xác định bài
toán
- Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đà vạch ra
thì nhất thiết giải đợc bài toán theo loại đà chọn
2.4.5 T duy hàm
- T duy hàm thể hiện ở sự nhận thức đợc tiến hành những tơng ứng riêng
và chung giữa các đối tợng toán học hay những tính chất của chúng (kể cả kĩ
năng vận dụng chúng) thể hiện rõ nét t tởng lớn trong giáo trình toán học ở trờng phổ thông- t tởng hàm
- Những hoạt động trí tuệ liên quan đến t duy hàm đợc định hớng theo
bốn t tởng chủ đạo sau đây:
1. Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng
những sự tơng øng trong khi häc vµ nh»m vµo viƯc trun thơ kiến thức và rèn
luyện kĩ năng toán học
2. Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động t duy hàm trở thành
khả năng gợi động cơ nội tại toán học
3. Hình thành ở học sinh những biểu tợng tiến tới những tri thức về tơng
ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức về
t duy hàm
4. Phân bậc hoạt động về t duy hàm theo số lợng biến, theo mức độ trực
quan của đối tợng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động của
học sinh.

Ngoài ra còn cã t duy biƯn chøng, t duy l«gic


3. Một số khái niệm về năng lực toán học
3.1 Năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con ngời, đáp ứng đợc
yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành tốt hoạt động đó.
Thông thờng, một ngời đợc coi là có năng lực nếu ngời đó nắm vững tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt đợc kết quả tốt hơn,
cao hơn so với trình độ trung bình của những ngời khác cũng tiến hành hoạt
động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tơng đơng.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất
định của con ngời. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đợc trong hoạt động giải
quyết những yêu cầu đặt ra.
3.2 Năng lực toán học
Theo V.A Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ đợc giải thích
trên hai bình diện:
- Nh là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toán
học tạo ra đợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
- Nh là các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh
chóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tơng ứng.
Nh vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trớc hết là các
đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng đợc yêu cầu của hoạt động giải toán và
tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nh nhau
3.3 Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm
tâm lí cá nhân của con ngời đáp ứng đợc yêu cầu của hoạt động giải toán, và
là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó.
Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giải

toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có
tính hớng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng t duy tích cực và sáng tạo,
nhằm đạt đợc kết quả sau một số bớc thực hiện


Thông thờng, một ngời đợc coi là có năng lực giải toán nếu ngời đó nắm
vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt đợc kết quả tốt
hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những ngời khác cũng tiến hành
hoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tơng đơng.
Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực t duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực t duy
thuận nghịch, trí nhớ toán học,...
Năng lực giải toán của học sinh chỉ phát triển dới tác động liên hoàn của
các biện pháp cụ thể, thực sự đa học sinh vào vị trí hoạt động hóa ngời học.
4. Vai trò và chức năng của bài tập toán
4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán
ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong
thực tiễn dạy học, bài tập toán học đợc sử dụng với những dụng ý khác nhau.
Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc
với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Tất nhiên việc dạy giải một bài
tập cụ thể thờng không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thờng
bao hàm những ý đồ nhiều mặt nh đà nêu.
Mỗi bài tập toán cụ thể đợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy
học đều chứa đựng một cách tờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác
nhau. Những chức năng này đều hớng đến việc thực hiện các mục đích dạy
học. Trong môn Toán, các bài tập mang chức năng sau:
+ Chức năng dạy học: bài tập hình thành củng cố cho học sinh những tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

+ Chức năng giáo dục: bài tập hình thành cho häc sinh thÕ giíi quan
duy vËt biƯn chøng, høng thó học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức ngời lao
động mới.
+ Chức năng phát triển: bài tập phát triển năng lực t duy của học sinh,
đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chÊt cña t
duy khoa häc.