Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn
Ngọc Uy, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình em
thực hiện đề tài.
Em chân thành cảm ơn thầy Lê Tuấn Anh đã góp ý cho
……………
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ
Phương pháp giảng dạy, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn Tin, Phịng Sau
đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu và các
đồng nghiệp tại trường THCS Chu Văn An, Tây Hồ, Hà Nội đã tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hồn
thành luận văn
Và con xin được gửi lời cảm ơn đến bố mẹ kính yêu của
con, bố mẹ đã động viên con rất nhiều và tạo cho con những điều
kiện tốt nhất để con có được ngày hôm nay.
Hà Nội, tháng 11 năm 2008
Tác giả luận văn

VƯƠNG THỊ THU THỦY

1
-


MỤC LỤC
MỤC LỤC.........................................................................................................2
CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT................................................................................3
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................7
I. VAI TRỊ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MƠN TỐN.................................7
I.1. Vai trị, vị trí của mơn Tốn....................................................................7
I.2. Mục tiêu của mơn Tốn ở THCS............................................................8

II. TƯ DUY TOÁN HỌC.................................................................................8
II.1 Tư duy.....................................................................................................8
II.1.1 Khái niệm tư duy..............................................................................8
II.1.2 Các hình thức cơ bản của tư duy......................................................9
II.2 Nội dung của tư duy toán học...............................................................10
II.3 Các thao tác tư duy toán học.................................................................11
II.3.1 Phân tích- Tổng hợp.......................................................................11
II.3.2 So sánh- Tương tự..........................................................................12
II.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa..........................................................13
II.3.4 Trừu tượng hóa...............................................................................14
II.4 Một số loại tư duy toán học..................................................................15
II.4.1 Tư duy phê phán.............................................................................15
II.4.2 Tư duy giải toán.............................................................................15
II.4.3 Tư duy sáng tạo..............................................................................15
II. 4.4 Tư duy thuật toán..........................................................................19
II.4.5 Tư duy hàm.....................................................................................19
III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TỐN HỌC............................20
III.1 Năng lực..............................................................................................20
III.2 Năng lực tốn học................................................................................21
III.3 Năng lực giải tốn...............................................................................21
IV. VAI TRỊ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TỐN.............................22
IV.1 Vai trị, chức năng của bài tập toán.....................................................22
IV.2 Yêu cầu lời giải một bài toán..............................................................23
V. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN.............................................25
V.1 Các bước giải tốn của G.Polya...........................................................25
V.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán.................................27
VI. MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ.......................28
VI.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác.28

2
-


VI.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện
khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới....................28
VI.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST............................29
VI.4 Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả
các khâu của quá trình dạy học...................................................................30
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI
TOÁN CHO HỌC SINH THCS.....................................................................31
I. BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG................................31
I.1. Thế nào là bài tốn cực trị hình học......................................................31
I.2. Dạng của bài tốn cực trị hình học.......................................................31
I.3. Cách trình bày bài tốn cực trị hình học...............................................32
I.4. Cách giải bài toán cực trị......................................................................33
II. MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN CỰC
TRỊ HÌNH HỌC..............................................................................................37
II.1. Sử dụng quan hệ giữa đường vng góc, đường xiên, hình chiếu...37
II.2. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc.....................38
II.3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn...................................40
II.4. Sử dụng bất đẳng thức Côsi..............................................................42
II.5. Sử dụng tỉ số lượng giác...................................................................46
III. RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN
CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO...........................................................49
IV. RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA
GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN...........................................................................60
V. BÀI TẬP TỔNG HỢP...............................................................................80
CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM...................................................89
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................99

3
-


CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
1. TDST: Tư duy sáng tạo
2. THCS: Trung học Cơ sở
3. NXB: Nhà xuất bản
4. ĐHSP: Đại học Sư phạm

4
-


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiến pháp nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đã ghi
ở điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu". Báo cáo chính trị cua
Ban chấp hành Trung ương khố VII tại Đại hội Đại biểu Tồn quốc lần thứ
VIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu
nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài".
"Trong các mơn khoa học và kỹ thuật, tốn học giữ một vị trí nổi bật.
Đây là mơn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương
pháp giải quyết các vấn đề; giúp chúng ta rèn luyện trí thơng minh sáng tạo.
Tốn học cịn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác như
cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, u thích chính xác, ham
chuộng chân lý. Dù các bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các
kiến thức và phương pháp tốn học cũng rất cần cho các bạn". [11, tr1]

Các thầy giáo, cô giáo dạy tốn chính là những huấn luyện viên trong
mơn thể thao trí tuệ này. Cơng việc dạy tốn của giáo viên nhằm rèn luyện
cho học sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động
mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước.
Ở trường phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học.
Các bài toán ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống. Dạy học
giải tốn mang trong mình các chức năng: giáo dưỡng, giáo dục, phát triển và
kiểm tra. Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích

5
-


dạy học tốn. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải tốn có vai trị
quan trọng đối với chất lượng dạy học tốn
Trong chương trình tốn phổ thơng, hình học là một mảng kiến thức lớn
và quan trọng. Ngay từ tiểu học, học sinh đã làm quen với hình học dưới hình
thức đơn giản. Các khái niệm về điểm, đường thẳng, mặt phẳng đã được định
nghĩa tường minh trong chương trình Tốn ở THCS.
Các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất trong hình học
phẳng, cịn gọi là tốn cực trị hình học thường khơng gặp trong các sách giáo
khoa mơn Tốn bởi chúng thường là những bài tốn khó. Bài tốn dạng này
thường khơng cho sẵn điều phải chứng minh, địi hỏi học sinh phải tự mình
tìm lấy kết quả của bài toán. Những bài toán này dẫn dắt học sinh có thói
quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc sống
thực tế. Điều đó cho thấy rằng tốn cực trị là loại tốn rất gần gũi với thực tế
và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Đối với bài toán cực trị,
thường có nhiều con đường để đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắn

gọn hợp lý, đơi khi có những phương án độc đáo, sáng tạo. Do vậy nó giúp
học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, ln mong muốn làm những công việc
đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần khơng nhỏ vào việc phát
triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em
học sinh khá giỏi.
Bài tốn cực trị hình học thường xuất hiện trong các đề thi vào trường
chuyên, lớp chuyên, thi học sinh giỏi nhưng đa số học sinh chưa nắm chắc
được đặc trưng và phương pháp giải, do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó
khăn và hay mắc phải sai lầm.
Để góp phần giải quyết vấn đề này, tơi chọn đề tài:
"RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG".

6
-


2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh THCS nắm vững tri thức tốn học, có kĩ năng thực hành
tốn học và nâng cao năng lực trí tuệ; vận dụng vào các bài tốn trong thực tế
với lý thuyết và ví dụ mẫu làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng
phương pháp giải toán cực trị trong từng dạng bài cụ thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu nội dung rèn luyện năng lực giải tốn phổ thơng.
3.2. Nghiên cứu các dạng bài tốn cực trị trong hình học phẳng và cách
giải cụ thể của từng dạng bài.

4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận: cơ sở lý luận về Tâm lí học, Giáo dục học, lý

luận dạy học mơn tốn để phân tích các ngun nhân và xây dựng các biện
pháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh trong khi giải
tốn, góp phần rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh.
4.2. Điều tra, quan sát.
4.3. Thử nghiệm sư phạm.

5. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khá, giỏi ở lớp 9 bậc THCS

6. Phạm vi nghiên cứu
Chương trình hình học phẳng ở THCS

7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chương.
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh
THCS
7
-


Chương III: Thử nghiệm sư phạm

8
-


CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. VAI TRỊ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MƠN TỐN

1.1. Vai trị, vị trí của mơn Tốn
Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn có một vai trị, vị trí và ý nghĩa
hết sức quan trọng.
Thứ nhất, mơn Tốn có vai trị quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu
chung của giáo dục phổ thơng. Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách.
Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện
kĩ năng Toán học cần thiết, mơn Tốn cịn có tác dụng góp phần phát triển
năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khai thác
hoá… rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính
cẩn thận, chính xác, tính lỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc
thẩm mĩ.
Thứ hai, mơn Tốn cung cấp vốn văn hố Tốn học phổ thơng và tương
đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư duy.
Thứ ba, mơn Tốn cịn là cơng cụ giúp cho việc dạy và học các mơn học
khác. Do tính trừu tượng cao độ, Tốn học có tính thực tiễn phổ thơng. Những
tri thức và kĩ năng tốn học trở thành công cụ để học tập những môn học khác
trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ
để hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần khơng thể
thiếu của trình độ văn hố phổ thơng của con người mới. Cùng với việc kiến
tạo tri thức, mơn Tốn trong nhà trường còn rèn luyện cho học sinh những kĩ
năng tính tốn, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những dụng cụ Tốn học và máy tính
điện tử… Mơn Tốn cịn giúp học sinh hình thành và phát triển những

9
-


phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như: tốn học hố tình huống
thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề…
Trong thời kì phát triển mới của đất nước, mơn Tốn càng có ý nghĩa

quan trọng hơn.
1.2. Mục tiêu của mơn Tốn ở THCS
Mơn tốn ở THCS nhằm
a. Cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp Tốn học phổ
thơng, cơ bản, thiết thực
b. Hình thành và rèn luyện các kĩ năng tính tốn, vẽ hình, đo đạc, ước
lượng. Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức tốn học vào đời
sống và vào các môn học khác.
c. Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lơgic, khả năng quan sát,
dự đốn, phát triển trí tưởng tượng khơng gian. Rèn luyện khả năng sử dụng
ngơn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy. Bước đầu hình
thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác ý tưởng của mình và hiểu được ý
tưởng của người khác. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học
cần thiết của người lao động.
2. TƯ DUY TOÁN HỌC
2.1 Tư duy.
2.1.1 Khái niệm tư duy
Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật và hiện tượng
Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì tư duy là “sản vật
cao cấp của một sụ vật hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của

1
0
-


sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán…
Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một sự vận động của vật chất- với sự hoạt
động của óc… Khoa học hiện đại đã chứng minh được rằng tư duy là đặc tính

của vật chất”. Paplop đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc
là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lí. Ơng viết “… Hoạt động tâm lí là kết
quả của hoạt động sinh lí của một bộ phận nhất định của óc…”
Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có
vấn đề. Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội hàm
của tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính
Con người chủ yếu dùng ngơn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành các
thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả tư duy. Ngôn ngữ được xem là phương
tiện của tư duy.
Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu
đạt bằng những từ ngữ, câu,… kí hiệu, cơng thức, mơ hình,…
Tư duy mang tính khái qt, tính gián tiếp và tính trừu tượng.
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
2.1.2 Các hình thức cơ bản của tư duy.
+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối
tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và
nội hàm. Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên,
cịn tồn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm
1
1
-


của lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính
quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái
niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là
một khái niệm loại của A.
+ Phán đốn: Phán đốn là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một
dấu hiệu thuộc hay khơng thuộc một đối tượng. Phán đốn có tính chất hoặc
đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thơi.
Trong tư duy, phán đốn được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, cịn trong trường hợp thứ hai,
phán đốn được hình thành thơng qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy
luận. Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.
+ Suy luận: suy luận là một q trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất
định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải
tuân theo những quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và
quy nạp. Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng
đến cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.

1
2
-


2.2 Nội dung của tư duy toán học
Hoạt động của tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy.Do vậy, khi đề cập
đến nội dung của tư duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểm của

toán học với tư cách là đối tượng của tư duy toán học.
+ Đối tượng của toán học
Toán học nghiên cứu cái gì?
Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh”: “Đối tượng của tốn học thuần
túy là những hình dạng khơng gian và những quan hệ số lượng của thế giới
hiện thực, tức là một tư liệu rất cụ thể. Tư liệu này biểu hiện dưới hình thức
cực kì trừu tượng, đó chỉ là bức màn bên ngồi che lấp nguồn gốc của nó
trong thế giới hiện thực”
Theo V.I. Lenin trong “Bút kí triết học”: “Cái mà tốn học dạy chúng ta,
đó là những mối quan hệ giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính”
Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Tồn: “…về tốn học thì có hai góc độ để
nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về toán học:
- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dáng
và lơgic trong thế giới khách quan.
-Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có
thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề”
Đối tượng của tốn học được cụ thể hóa và mở rộng dần qua từng giai
đoạn. Giai đoạn toán học hiện đại, ứng với nền sản xuất tự động hóa, toán học
nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán đồng thời với lơgic tốn
Ngày nay, bên cạnh tốn học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta có
tốn học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật tốn, chúng đối lập với nhau
nhưng bổ sung cho nhau, là cơ sở của phương pháp mơ hình hóa và thuật tốn
hóa của điều khiển học.

1
3
-


II.3 Các thao tác tư duy tốn học

II.3.1 Phân tích- Tổng hợp
A. Phép tổng hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa
biết. Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh và A i ( i 1, n ) hoặc là tiên đề,
định lí hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp như sau
A1  A2  ...  An B

Thơng thường phép này được dùng để trình bày lời giải sau một q
trình phân tích. Đây cũng cịn gọi là phép suy xi
B. Phép phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã
biết.
Phép phân tích đi lên (Suy ngược lùi):
B  B1  B2  ...  Bn  A

Phép phân tích đi xuống (Suy ngược tiến): được dùng trong giải toán
mang tính chất dự đốn kết quả, dự đốn con đường chứng minh.
B  B1  B2  ...  Bn  A

II.3.2 So sánh- Tương tự
So sánh

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc
điểm khác nhau ở một số đối tượng. Mục đích thứ nhất dẫn đến tương tự và
thường đi đôi với khái quát hóa
Tương tự

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan
hệ của những đối tượng toán học khác nhau. Kết luận dựa theo sự tương tự có
thể được mơ tả như sau:

1

4
-


Đối tượng A có các tính chất a; b; c
Đối tượng B có các tính chất a; b

 Đối tượng B có tính chất c

Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dung
trong việc giảng dạy toán học. Tuy nhiên cần lưu ý rằng, cũng như phương
pháp quy nạp khơng hồn chỉnh, tương tự có thể dẫn đến kết luận sai lầm.
Ví dụ: Trong mọi tam giác, các đường cao đồng quy tại trực tâm. Nếu
cho rằng, tương tự, trong mọi tứ diện đều có các đường cao đồng quy tại trực
tâm là sai, vì điều này chỉ đúng với các tứ diện có các cặp cạnh đối vng góc
với nhau mà thơi.
II.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa
Khái quát hóa

- Khái quát hóa là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào
đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diên rộng
hơn, bao gồm tập hợp các đối tượng ban đầu (khái quát hóa ngoại diên)
- Khái quát hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính
chất nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng lớn hơn, bao gồm khái niệm
hay tính chất ban đầu (Khái quát hóa nội hàm)
Trong “Phương pháp dạy học mơn Tốn”, các tác giả Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dương Thụy có nêu rõ hơn “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối
tượng sang một tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm
chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” [4]
Theo [10,tr 13] có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên

cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ; con đường thứ hai không dựa trên
sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện
tượng giống nhau

1
5
-


Như vậy, khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm phát hiện những qui luật
phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các
trường hợp riêng lẻ. Với ý nghĩa đó, khái qt hóa thuộc về các phép suy luận
có lí, nên các kết luận rút ra từ khái quát hóa thường mang tính chất giả
thuyết, dự đốn. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp kết luận từ khái quát hóa
có thể thu được nhờ qui nạp hồn tồn
Trong tốn học, khái qt hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy
khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh,…
Đặc biệt hóa
- Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa. Đặc biệt hóa
là thao tác tư duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ ngoại diên
rộng sang tập hợp các đối tượng có ngoại diên hẹp, chứa đựng trong tập hợp
ban đầu (đặc biệt hóa về ngoại diên)
- Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hóa về nội hàm)
- Đặc biệt hóa có thể hiểu là q trình minh họa hoặc giải thích những
khái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt
hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các
định lí, bài tập,… Trong bài tốn quỹ tích, đặc biệt hóa thường được sử dụng
trong mị mẫm, dự đốn quỹ tích, trên cơ sở đó hình thành phương pháp
chứng minh cho tồn bộ bài tốn.

Phương pháp đặc biệt hóa thường được dùng để bác bỏ một mệnh đề,
phát hiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới
Mối quan hệ giữa khái quát hóa và đặc biệt hóa thuờng được vận dụng

trong tìm tịi, giải tốn. Từ một tính chất nào đó ta muốn khái quát hóa (về
ngoại diện hay nội hàm) ta thử đặc biệt hóa. Nếu kết quả của đặc biệt hóa là

1
6
-


đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đốn từ khái qt hóa, nếu sai thì
dừng lại
II.3.4 Trừu tượng hóa
- Trừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối tượng tốn học một tính
chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lơgic của thế giới khách quan)
để nghiên cứu riêng tính chất đó. Trừu tượng hóa thốt ra khi mọi nội dung có
tính chất chất liệu
- Trừu tượng hóa có liên hệ mật thiết với khái quát. Nhờ trừu tượng hóa
ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn. Trừu tượng hóa và khái qt hóa là
nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học
II.4 Một số loại tư duy toán học
II.4.1 Tư duy phê phán
Tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi:
- Tơi sẽ tin vào điều gì?
- Tơi sẽ lựa chọn cách nào?
Loại hình tư duy này được đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự
tin tưởng và hành động, kiên định thái độ của “phản xạ hồi nghi” và chỉ đưa
ra phán đốn cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có.

II.4.2 Tư duy giải toán
Tư duy giải toán hướng về quá trình tổng hợp, phân tích theo đó chúng
ta sử dụng những gì đã biết để tìm ra cái chưa biết
G.Polia đã đưa ra tiến trình 4 bước trong giải tốn như sau:
- Tìm hiểu bài tốn (understand the problem)
- Xây dựng lời giải (devise a plan)
1
7
-


- Trình bày lời giải (Carry out the plan)
- Nghiên cứu sâu lời giải (verification)
II.4.3 Tư duy sáng tạo
- Tư duy sáng tạo (TDST) là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng
mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
- Tư duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản phẩm
hay, quá trình độc đáo. Tư duy sáng tạo được ghi nhận nhờ những tiếp cận
tưởng tượng, phân kì đối với bài toán… và trực giác (hay linh cảm) là nguồn
cung cấp ý tưởng hữu ích
- Lecne cho rằng: “Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới
về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các
thao tác hoặc hành động được mơ tả thật chính xác và được điều hành nghiêm
ngặt”
- GS.TSKH Nguyễn Cảnh Tồn có nói “Người có óc sáng tạo là người
có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đã đặt ra”…
Có hai mức sáng tạo:
Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận gốc
các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng. Như sự phát hiện ra
hình học phi Ơclit của Lơbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa,…

Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng.
Như sự phát triển của máy tính, của lazer
Đối với người học tốn, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ
tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tịi độc lập
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết.
Như vậy một bài tập cũng được xem như là yếu tố sáng tạo nếu các thao tác
giải nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là người giải chưa biết
1
8
-


thuật tốn để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đi chưa biết
trước.
Những thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo
1. Tính mềm dẻo:

1
9
-


Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động này sang hoạt động khác, vận dụng linh
hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hố, cụ thể hoá các
phương pháp suy luận như: Quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ
giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu
gặp trở ngại.
- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hồn cảnh mới, điều kiện

mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi có khả năng thốt khỏi ảnh hưởng
kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có
trước.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng
mới của đối tượng quen biết.
Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tư duy, ta thấy để giải một bài
tập cụ thể có vướng mắc, hoặc thấy cách giải cịn chưa hay thì gợi mở cho
học sinh theo các hướng trên thì hiệu quả đạt được sẽ tốt hơn.
2. Tính nhuần nhuyễn: : Được thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một
vấn đề khi giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề
xuất nhiều phương án khác nhau và từ đó đưa ra được phương án tối ưu.
- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một
cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khơng
phải cái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc.
Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này ta cần phân tích cho
học sinh thấy rõ các bước để giải một bài tốn, tìm sự quan hệ gần gũi giữa

2
0
-