Tuyển tập các hệ phương trình, phương trình, bất phương trình hay và khó thi đại học 2014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.52 KB, 15 trang )
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
1
Bài Toán 1. Giải hệ phương trình sau:
x
4
- 4x
2
+ y
2
- 6y + 9 = 0 (1)
x
2
y + x
2
+ 2y - 22 = 0 (2)
(I) (Chuyên Vĩnh Phúc)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải:
Từ (1)
⇔
x
4
- 4x
2
+ y
2
- 6y + 9 = 0
⇔
(x
4
- 4x
2
+
4
) + (y
2
- 6y + 9) =
4
⇔
(x
2
- 2)
2
+ (y - 3)
2
= 4
Từ (2)
⇔
(x
2
+ 2)y + x
2
- 22 = 0
⇔
(x
2
- 2 + 4)(y - 3 + 3) + (x
2
- 2) - 20 = 0
■ Đặt
u = x
2
- 2
v = y - 3
thì hệ (I) thành
u
2
+ v
2
= 4 (3)
(u + 4)(v + 3) + u - 20 = 0 (4)
(II)
Từ (4)
⇔
uv + 4v + 3u + u + 12 - 20 = 0
⇔
uv + 4v + 4u - 8 = 0
⇔
uv + 4(u + v) - 8 = 0
■ Đặt
S = u + v
P = uv
thì hệ (II) thành
S
2
- 2P = 4 (5)
P + 4S - 8 = 0 (6)
Từ (6)
⇔
P = 8 - 4S thay vào (5) ta ñược: S
2
- 2(8 - 4S) = 4
⇔
S
2
+ 8S - 20 = 0
⇔
S = 2⇒ P = 0
S = -10
⇒
P = 48
►Khi ñó u, v là hai nghiệm của phương trình X
2
- 2X = 0 hay X
2
+ 10X + 48 = 0 ⇔
X = 0
X = 2
Vậy hệ (II) có nghiệm là
u = 0
v = 2
hay
u = 2
v = 0
⇔
x
2
- 2 = 0
y - 3 = 2
hay
x
2
- 2 = 2
y - 3 = 0
⇔
x =
±
2
y = 5
hay
x = ± 2
y = 3
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3) (-2;3), (
2;5), (- 2;5)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: (Cách khác)
☺Ý tưởng: HPT trên có bậc khá cao nhưng có thể giảm bậc bằng cách ñặt t = x
2
. Vậy cách tự nhiên nhất chính là ta
ñưa về PT bậc 2. Để ñảm bảo
∆
chính phương ta sẽ dùng hệ số bất ñịnh như sau:
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Ta có (1) + k.(2) ⇔ x
4
- 4x
2
+ y
2
- 6y + 9 + k(x
2
y + x
2
+ 2y - 22) = 0
⇔
x
4
+ (k + ky - 4)x
2
+ y
2
- 6y + 9 + 22ky - 22k = 0
Xem ñây là PT bậc hai theo ẩn là x
2
, ta có
∆ = (k
2
- 4)y
2
+ (2k
2
- 16k + 24)y + k
2
+ 80k - 20
Để
∆
là một bình phương thì trước hết hệ số của y
2
phải là số chính phương, nghĩa là ta ph
ải giải PT nghiệm
nguyên
k
2
- 4 = α
αα
α
2
( với α
αα
α ∈
∈∈
∈ Z)
.
Khi
α
= 0
⇒
k = 2
⇒
2k
2
- 16k + 24 = 0
k
2
+ 80k - 20 = 144
Và như vậy ta chọn k = 2
Lấy (1) + 2.(2) ta có: x
4
+ (2 + 2y - 4)x
2
+ y
2
- 6y + 9 + 4y - 44 = 0
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
2
⇔
x
4
+ 2(y - 1)x
2
+ y
2
- 2y - 35 = 0
Xét
∆
' = (y - 1)
2
- (y
2
- 2y - 35) = 36
≥
0
Khi ñó
x
2
= - y - 5
x
2
= 7 - y
■ Với y = - x
2
- 5 thay vào (2) ta ñược: x
2
(- x
2
- 5) + x
2
+ 2(- x
2
- 5) - 22 = 0
⇔
- x
4
- 6x
2
- 32 = 0 (PT vô nghiệm)
■ Với y = 7 - x
2
thay vào (2) ta ñược: x
2
(7 - x
2
) + x
2
+ 2(7 - x
2
) - 22 = 0
⇔
- x
4
+ 6x
2
- 8 = 0
⇔
x
2
= 4
x
2
= 2
(Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !)
Như vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3), (-2;3); (-
2;5), ( 2; 5).
Bài Toán 2 Giải hệ phương trình sau:
x(x + y) + y
2
= 4x - 1 (1)
x(x + y)
2
- 2y
2
= 7x + 2 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải:
Từ (1)
⇔
x(x + y) + y
2
+ 1= 4x (Nhận xét x = 0 không là nghiệm của pt (1) nên ta chia 2 vế PT cho x)
⇔
(x + y) +
y
2
+ 1
x
= 4.
Từ (2)
⇔
x(x + y)
2
- 2y
2
= 7x + 2
⇔ x(x + y)
2
- 2y
2
- 2 = 7x
⇔
x(x + y)
2
-2(y
2
+ 1) = 7x (Nhận xét x = 0 cũng không là nghiệm của PT (2))
⇔ (x + y)
2
- 2
y
2
+ 1
x
= 7.
■ Đặt
u = x + y
v =
y
2
+ 1
x
thì hệ (I) thành
u + v = 4 (3)
u
2
- 2v = 7 (4)
(II)
Từ (3) ⇔ v = 4 - u thay vào (4) ta ñược:
u
2
- 2(4 - u) = 7
⇔
u
2
+ 2u - 15 = 0
⇔
u = 3
⇒
v = 1
u = -5
⇒
v = 9
►Với
u = 3
v = 1
⇔
x + y = 3
y
2
+ 1
x
= 1
⇔
x = 3 - y
y
2
+ 1 = 3 - y
⇔
x = 3 - y
y
2
+ y - 2 = 0
⇔
x = 2
y = 1
hay
x = 5
y = -2
►Với
u = -5
v = 9
⇔
x + y = -5
y
2
+ 1
x
= 9
(hệ vô nghiệm)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;1), (5;-2)
Bài Toán 3. Giải hệ phương trình sau:
2
x
2
+ 3y - y
2
+ 8x - 1 = 0 (1)
x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: Điều kiện x
2
+ 3y ≥ 0, y
2
+ 8x ≥ 0 (1;1) (-5;-7)
Từ (2)
⇔
x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0
⇔ (x
2
+ 3y) + (y
2
+ 8x) = 13.
■
u =
x
2
+ 3y
v =
y
2
+ 8x
(u,v
≥
0) thì hệ (I) thành
2u - v = 1 (3)
u
2
+ v
2
= 13 (4)
Từ (3)
⇔
v = 2u - 1 thay vào (4), ta ñược
(4)
⇔
u
2
+ (2u - 1)
2
= 13
⇔
5u
2
- 4u - 12 = 0
⇔
u = 2 (nhận)
u =
-6
5
(loại)
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
3
►Với u = 2
⇒
v = 3. vậy
x
2
+ 3y = 4
y
2
+ 8x = 9
⇔
y =
4 - x
2
3
4 - x
2
3
2
+ 8x = 9
⇔
y =
4 - x
2
3
x
4
- 8x
2
+ 72x - 65 = 0
⇔
y =
4 - x
2
3
(x - 1)(x
3
+ x - 7x + 65) = 0
⇔
y =
4 - x
2
3
x = 1
x = -5
⇔
x = 1
⇒
y = 1
x = -5
⇒
y = -7
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (-5;-7)
Bài Toán 4. Giải hệ phương trình sau:
x - 1 + y + 1 = 4 (1)
x
4
+ (y + 1)
2
= x
3
(y + 2) + xy + 1 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1, y ≥ -1
Từ (2)
⇔
x
4
+ (y + 1)
2
= x
3
(y + 2) + xy + 1
⇔ x
4
+ y
2
+ 2y + 1 = x
3
y + 2x
3
+ xy + 1
⇔
y
2
+ (2 - x - x
3
)y + x
4
- 2x
3
= 0.
Xét ∆ = (2 - x - x
3
)
2
- 4(x
4
- 2x
3
) = (4 + x
2
+ x
6
- 4x - 4x
3
+ 2x
4
) - 4x
4
+ 8x
3
= (4 + x
2
+ x
6
- 4x + 4x
3
- 2x
4
) = (x
3
- x + 2)
2
≥
0
Vậy PT (2)
⇔
y = x - 2
y = x
3
►Với y = x - 2 thay vào (1), ta ñược: (1)
⇔
x - 1 + x - 1 = 4
⇔
x - 1 = 2
⇔
x = 5
⇒
y = 3
►Với y = x
3
thay vào (1), ta ñược: (1)
⇔
x - 1 + x
3
+ 1 = 4
⇔
x - 1 - 1 + x
3
+ 1 - 3 = 0
⇔
x - 2
x - 1 + 1
+
x
3
- 8
x
3
+ 1 + 3
= 0
⇔
(x - 2)
1
x - 1 + 1
+
x
2
+ 2x + 4
x
3
+ 1 + 3
= 0
⇔ x = 2 hay
1
x - 1 + 1
+
x
2
+ 2x + 4
x
3
+ 1 + 3
= 0 (vô nghiệm)
Do ñó x = 2
⇒
y = 8.
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;8), (5;3)
Bài Toán 5. Giải hệ phương trình sau:
8(x + 1)
3
=
8y
3
- 12y
2
+ 2y - 3 + 12x
2
+ 10x + 3 (1)
2y - 4(x
2
+ 2) +
y
2
- 6x + 3 = 0 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: Điều kiện y
≥
3
2
, 2y - 4(x
2
+ 2)
≥
0.
Từ (1)
⇔
8(x + 1)
3
- 12x
2
- 10x - 3 =
8y
3
- 12y
2
+ 2y - 3
⇔
8x
3
+ 12x
2
+ 14x + 5 = 4y
2
(2y - 3) + 2y - 3
■ Xét VP = 2|y| 2y - 3 + 2y - 3 (do y
≥
3
2
)
= (2y + 1)
2y - 3 = (2y - 3 + 4) 2y - 3 = (2y - 3) 2y - 3 + 4 2y - 3
■ Xét (2x + b)
3
+ 4(2x + b) = 8x
3
+ 12x
2
+ 14x + 5
⇔ 8x
3
+ 12bx
2
+ (6b + 8)x + 4b + b
3
= 8x
3
+ 12x
2
+ 14x + 5
⇔
12b = 12
6b + 8 = 14
b
3
+ 4b = 5
⇔ b = 1
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
4
Vậy từ (1)
⇔
(2x + 1)
3
+ 4(2x + 1) = (
2y - 3)
3
+ 4
2y - 3
⇔
f (2x + 1) = f (
2y - 3) (3)
■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t
3
+ 4t (t ∈ R) có f '(t) = 3t
2
+ 4 > 0 ∀t ∈ R.
Do ñó (3) tương ñương 2x + 1 =
2y - 3
⇔
2x + 1 ≥ 0
4x
2
+ 4x + 1 = 2y - 3
⇔
x
≥
-1
2
2y = 4x
2
+ 4x + 4
Thay vào (2) ta ñược:
4x
2
+ 4x + 4 - 4(x
2
+ 2) + x
2
+ x + 1 - 6x + 3 = 0 (với x ≥
-1
2
)
⇔
4x - 4 + x
2
- 5x + 4 = 0
⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 4) = 0 (x ≥
≥≥
≥ 1)
⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 1 - 3) = 0
⇔ 2 x - 1 + (x - 1)
2
- 3(x - 1) = 0 (4)
► Đặt t =
x - 1
≥
0 thì (4)
⇔
2t + t
4
- 3t = 0
⇔
t(t
3
- 3t + 2) = 0
⇔
t = 0 (nhận)
t = 1 (nhận)
t = -2 (loại)
Với t = 0
⇔
x - 1 = 0
⇔
x = 1
⇒
y = 6
Với t = 1
⇔
x - 1 = 1
⇔
x = 2
⇒
y = 14
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;14), (1;6)
Bài Toán 6.
Giải hệ phương trình sau:
(x +
x
2
+ 4)(y + y
2
+ 1) = 2 (1)
12y
2
- 10y + 2 = 2
3
x
3
+ 1 (2)
(TTL1 - 2014 - Amsterdam)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
■ Ta có
y
2
+ 1 > y
2
= ± y ⇒ y
2
+ 1 + y > 0.
Xét (y +
y
2
+ 1)( y
2
+ 1 - y) = 1 ⇔ y
2
+ 1 - 1=
1
y +
y
2
+ 1
Từ (1)
⇔
(x + x
2
+ 4)(y +
y
2
+ 1) = 2
⇔
x +
x
2
+ 4 = 2
1
y +
y
2
+ 1
⇔
x + x
2
+ 4 = 2(
y
2
+ 1 - y)
⇔
x +
x
2
+ 4 =
(-2y)
2
+ 4 + (-2y)
⇔
f (x) = f(-2y) (3).
■ Xét hàm ñặc trưng: f (t) = t +
t
2
+ 4 (t ∈ R) có f '(t) = 1 +
t
t
2
+ 4
=
t
2
+ 4 + t
t
2
+ 4
>
|t| + t
t
2
+ 4
≥ 0 ∀t
Do ñó (3) tương ñương với x = - 2y.
► Thay 2y = -x vào (2) ta ñược: 3x
2
+ 5x + 2 = 2
3
x
3
+ 1
⇔ x
3
+ 1 + (3x
2
+ 5x + 2) = 2
3
x
3
+ 1 + x
3
+ 1
Xét VT = x
3
+ 3x
2
+ 5x + 3 = (x + b)
3
+ 2(x + b)
⇔
x
3
+ 3x
2
+ 5x + 3 = x
3
+ 3bx
2
+ (3b
2
+ 2)x + b
3
+ 2b
⇔
3 = 3b
5 = 3b
2
+ 2
3 = b
3
+ 2b
⇔
b = 1
Vậy (2)
⇔
(x + 1)
3
+ 2(x + 1) = x
3
+ 1 + 2
3
x
3
+ 1
⇔
g(x + 1) = g(
3
x
3
+ 1) (4).
■ Xét hàm ñặc trưng: g(u) = u
3
+ 2u (u ∈ R) có g '(u) = 3u
2
+ 2 > 0 ∀u ∈ R.
Do ñó (4) tương ñương với x + 1 =
3
x
3
+ 1
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
5
⇔
x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 = x
3
+ 1
⇔
3x
2
+ 3x = 0
⇔
x = 0 ⇒ y = 0
x = -1
⇒
y =
1
2
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;0), (-1;
1
2
)
Bài Toán 7. Giải hệ phương trình sau:
x
4
-
x
3
y
+
x
2
y
2
= 1 (1)
x
3
y - x
2
+ xy = - 1 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải:
Cộng vế theo vế hai phương trình (1) và (2) ta ñược: x
4
+ x
2
y
2
- x
2
+ xy = 0 (không ñi tiếp ñược
→
"kẹt")
Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2), ta ñược: x
4
- 2x
3
y + x
2
y
2
+ x
2
- xy - 2 = 0
⇔ (x
4
- 2x
3
y + x
2
y
2
) + (x
2
- xy) - 2 = 0
⇔
x
2
(x
2
- 2xy + y
2
) + x(x - y) - 2 = 0
⇔ x
2
(x - y)
2
+ x(x - y) - 2 = 0. ( ñặt t = x(x - y))
Thì PT thành t
2
+ t - 2 = 0 ⇔
t = 1
t = -2
⇔
x
2
- xy = 1
x
2
- xy = -2
■ TH1: với x
2
- xy = 1 ⇔ xy = x
2
- 1. Thay vào pt (2) ta ñược:
(2)
⇔
x
3
y - x
2
+ xy = - 1
⇔
x
2
(xy) - x
2
+ xy + 1 = 0
⇔
x
2
(x
2
- 1) - x
2
+ x
2
- 1 + 1 = 0
⇔
x
2
= 0
x
2
= 1
Với x = 0
⇒
vô nghiệm
Với x = 1
⇒
y = 0, x = -1
⇒
y = 0.
■ TH2: với x
2
- xy = -2
⇔
xy = x
2
+ 2. Thay vào pt (2) ta ñược:
(2)
⇔
x
2
(xy) - x
2
+ xy + 1 = 0
⇔ x
2
(x
2
+ 2) - x
2
+ x
2
+ 2 + 1 = 0
⇔
x
4
+ 2x
2
+ 3 = 0 (vô nghiệm).
Kết luận, từ hai trường hợp thì hệ phương trình có hai nghiệm là
x = 0
y = 1
hay (x;y) = (0;-1).
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: ( Giải bằng cách thử rút thế)
Ta có phương trình (2)⇒ (x
3
+ x)y = x
2
- 1.
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) nên ta có
y =
x
2
- 1
x(x
2
+ 1)
Thay vào (1) ta ñược: x
4
- 1 - x
3
x
2
- 1
x(x
2
+ 1)
+ x
2
x
2
- 1
x(x
2
+ 1)
2
= 0
⇔
(x
2
- 1)(x
2
+ 1) - (x
2
- 1)
x
2
x
2
+ 1
+ (x
2
- 1)
x
2
- 1
x
2
+ 1
2
= 0
⇔ (x
2
- 1)
(x
2
+ 1) -
x
2
x
2
+ 1
+
x
2
- 1
x
2
+ 1
2
= 0
⇔ x
2
= 1
hay
(x
2
+ 1) -
x
2
x
2
+ 1
+
x
2
- 1
(x
2
+ 1)
2
= 0
■
TH1: x
2
= 1 ⇒
⇒⇒
⇒
x = 1
⇒
⇒⇒
⇒
y = 0
x = - 1 ⇒
⇒⇒
⇒ y = 0
■ TH2: (x
2
+ 1)
3
- x
2
(x
2
+ 1) + (x
2
- 1) = 0 (Đặt t = x
2
> 0)
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
6
⇔
(t + 1)
3
- t
2
- t + t - 1 = 0
⇔
(t + 1)
3
- t
2
- 1 = 0
⇔
t
3
+ 3t
2
+ 3t + 1 - t
2
- 1 = 0
⇔
t
3
+ 2t
2
+ 3t = 0 ( loại vì t > 0)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;1), (0; -1)
Bài Toán 8. Giải hệ phương trình sau:
x + 1 + y - 1 = 4 (1)
x + 6 + y + 4 = 6 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: ( Giải bổ sung!!!! ^^^)
Điều kiện x ≥ -1, y ≥ -1.
Cộng trừ hai PT (1) và (2) vế theo vế ta ñược:
(I) ⇔
x + 1 + x + 6 + y + 4 + y - 1 = 10
x + 6 - x + 1 + y + 4 - y - 1 = 2
(II). Đặt
u =
x + 6 + x + 1
v = y + 4 + y - 1
⇔
x + 6 - x + 1 =
1
u
y + 4 - y - 1 =
1
v
Do ñó (II) thành:
u + v = 10
5
u
+
5
v
= 2
(Đây là hệ Đối xứng loại 1 - việc giải hệ này xin dành cho bạn ñọc !)
⇔
u = 5
v = 5
⇔
x + 6 + x + 1 = 5
y + 4 + y - 1 = 5
(Việc giải các PT căn này cũng xin dành cho bạn ñọc!)
⇔
x = 3
y = 5
(Nhận)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;5)
Bài Toán 9. Giải hệ phương trình sau:
x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9 (1)
x
2
+ 2
xy
= 6
x
+ 6 (2)
(I) (ĐH Khối B - 2008)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế )
Nhận xét, không hẳn trong một bài hệ PT ta sẽ rút x theo y (hoặc y theo x) mà cũng có thể rút "một cụm" - một
nhóm của PT này sao cho nó có mối liên hệ với PT kia.
Từ PT (2)
⇔
xy = 3x + 3 -
x
2
2
thay vào (1) ta ñược:
(1)
⇔
x
4
+ 2x
2
(3x + 3 -
x
2
2
) +
3x + 3 -
x
2
2
2
= 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược)
⇔
x(x
3
+ 12x
2
+ 48x + 64) = 0
⇔
x = 0
x = -4
Với x = 0 thì (2) vô nghiệm
Với x = -4 thì (2) ⇒ y =
17
4
. Vậy hệ PT có một nghiệm là (x;y) = (0;
17
4
)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: ( Giải bằng cách rút thế )
Nhận xét x = 0 không nghiệm của (2) nên từ (2)
⇔
y =
6x + 6 - x
2
2x
(với x ≠ 0)
Thay vào (1) ta ñược: x
4
+ 2x
3
.
6x + 6 - x
2
2x
+ x
2
6x + 6 - x
2
2x
2
= 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta ñược)
⇔
x(x
3
+ 12x
2
+ 48x + 64) = 0
⇔
x = 0
x = -4
(tương tự như cách làm trên).
Bài Toán 10. Giải hệ phương trình sau:
x
2
+ 1 + y
2
+ yx = 4y (1)
x+ y - 2 =
y
x
2
+ 1
(2)
(I)
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
7
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Từ (1)
⇔
x
2
+ 1 = - y
2
- yx + 4y = y(4 - x - y) thay vào (2), ta ñược
(2)
⇔
x + y - 2 =
y
y(4 - x - y)
( nhận y = 0 không là nghiệm của PT (2))
⇔
(x + y) - 2 =
1
4 - (x + y)
(3). Đặt t = x + y thì (3)
⇔
6t - t
2
- 9 = 0
⇔
t = 3 = x + y
(Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc !)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1; 2), (-2 ; 5)
Bài Toán 11. Giải hệ phương trình sau:
x
2
- 4y
2
- 8x + 4y + 15 = 0 (1)
x
2
+ 2y
2
- 2xy = 5 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta )
(1)
⇔
x
2
- 8x - 4y
2
+ 4y + 15 = 0. (xem x là ẩn, y là tham số).
Xét ∆' = 16 - (- 4y
2
+ 4y + 15) = 4y
2
- 4y
2
+ 1 = (2y - 1)
2
≥ 0
Vậy x =
-b'
±
∆
'
a
⇔
x = 5 - 2y
x = 3 + 2y
■ TH1: với x = 5 - 2y thay vào (2), ta ñược:
(2) ⇔ (5 - 2y)
2
+ 2y
2
- 2y(5 - 2y) = 5
⇔
10y
2
- 30y + 20 = 0
⇔
y = 1 ⇒ x = 3
y = 2 ⇒ x = 1
■ TH2: với x = 3 + 2y thay vào (2), ta ñược:
(2) ⇔ (3 + 2y)
2
+ 2y
2
- 2y(3 + 2y) = 5
⇔
2y
2
+ 6y + 4 = 0
⇔
y = -1
⇒
x = 1
y = -2 ⇒ x = -1
Kết luận: hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2)
Bài Toán 12. Giải hệ phương trình sau:
2
x
2
+
y
2
- 3
xy
+ 3
x
- 2
y
+ 1 = 0 (1)
4x
2
- y
2
+ x + 4 =
2x + y + x + 4y (2)
(I) (ĐH khối B - 2013
)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: ( Giải bằng cách xét delta )
Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ 0.
(1)
⇔
2x
2
+ 3(1 - y)x + y
2
- 2y + 1 = 0
Xét ∆ = 9(1 - y)
2
- 4.2.(y
2
- 2y + 1) = y
2
- 2y + 1 = (y - 1)
2
≥ 0
Khi ñó
x = y - 1
x =
y - 1
2
■ TH1: thay y = x + 1 vào (2) ta ñược: 3x
2
- x + 3 =
3x + 1 + 5x + 4 (Việc giải này xin dành cho bạn ñọc)
⇔
x = 0 ⇒ y = 1
x = 1
⇒
y = 2
■ TH2: thay y = 2x + 1 vào (2) ta ñược: 3 - 3x =
4x + 1 + 9x + 4 (HSTL)
⇔
x = 0
⇒
⇒⇒
⇒
y = 1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0;1), (1;2).
Bài Toán 13. Giải hệ phương trình sau:
y + xy
2
= 6x
2
1 + x
2
y
2
= 5x
2
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Khi x = 0 thì hệ phương trình (I) thành
y = 0
1 = 0 (vô nghiệm)
⇒
x = 0 là không là nghiệm của (I)
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
8
Khi x ≠ 0 nên chia hai vế của hệ phương trình cho x
2
ta ñược:
(I) ⇔
y
x
2
+
y
2
x
= 6
1
x
2
+ y
2
= 5
⇔
y
x
(
1
x
+ y
)
= 6
1
x
2
+ y
2
= 5
(II)
Đặt
u =
1
x
+ y
v =
y
x
thì hệ (II) thành:
uv = 6
u
2
- 2v = 5
⇔
v =
u
2
- 5
2
(1)
uv = 6 (2)
Thay (1) vào (2), ta ñược (2) ⇔ (u
2
- 5)u = 12 ⇔ u
3
- 5u - 12 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 2
Với
u = 3
v = 2
⇔
1
x
+ y = 3
y
x
= 2
⇔
y = 2x
2x
2
- 3x + 1 = 0
⇔
y = 2x
x = 1 v x =
1
2
⇔
x = 1
y = 2
hay
x =
1
2
y = 1
Vậy nghiệm
(x;y)
của hệ là
(1;2), (
1
2
;1).
Bài Toán 14.
Giải hệ phương trình sau:
xy + x + 1 = 7y (1)
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
(2)
(I) (ĐH Khối B - 2009)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Khi y = 0 thì (2) vô nghiệm.
Khi y ≠ 0 thì hệ (I) ⇔
x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
+
x
y
+
1
y
2
= 13
⇔
x +
1
y
+
x
y
= 7
x +
1
y
2
-
x
y
= 13
(II)
Đặt S = x +
1
y
và P =
x
y
thì hệ (II) thành
S + P = 7
S
2
- P = 13
⇔
P = 7 - S
S
2
+ S - 20 = 0
⇔
S = -5
P = 4
hay
S = 4
P = 5
Khi ñó x và
1
y
là 2 nghiệm của phương trình X
2
+ 5X + 4 = 0 hay X
2
- 4X + 5 = 0 (Đối xứng loại 1)
⇔
X = -1
X = -4
⇔
x = -1
1
y
= -4
hay
x = -4
1
y
= -1
⇔
x = -1
y =
-1
4
hay
x = -4
y = -1
Kết luận vậy hệ (I) có 2 nghiệm là (-1;
-1
4
) hay (-4;-1)
Bài Toán 15. Giải hệ phương trình sau:
x
+ 1 +
4
x
- 1 -
4
y
4
+ 2 =
y
(1)
x
2
+ 2x(y - 1) + y
2
- 6y + 1 = 0 (2)
(I) (ĐH Khối A - 2013
)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: Điều kiện x
≥
1.
Đặt u =
4
x - 1 suy ra u
≥
0. PT (1) trở thành: u
4
+ 2 + u =
y
4
+ 2 + y (3).
(Như bạn thấy u
≥
0, nhưng liệu
y ≥
≥≥
≥ 0 ???
cái khó của bài toán nằm ở ñây ! Vì nếu các em học sinh xét hàm
ñặc trưng thì sẽ không chỉ rõ ñược tập xác ñịnh cho cả 2 biến u và y).
Từ (2) ta ñược x
2
+ 2xy + y
2
- 2x - 2y + 1 = 4y ⇔ 4y = (x + y - 1)
2
⇒
⇒⇒
⇒ y ≥
≥≥
≥ 0.
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
9
Xét f(t) = t
4
+ 2 + t với t
≥
0. Ta có f '(t) =
2t
3
t
4
+ 2
+ 1 > 0
∀
t > 0.
Do ñó PT (3) tương ñương với y = u, nghĩa là x = y
4
+ 1.
Thay vào PT (2) ta ñược y(y
7
+ 2y
4
+ y - 4) = 0 ⇔
y = 0
y
7
+ 2y
4
+ y - 4 = 0
Với y = 0 ⇒ x = 1
Với y
7
+ 2y
4
+ y - 4 = 0 (4). Xét hàm g(y) = y
7
+ 2y
4
+ y - 4 (y
≥
0)
g'(y) = 7y
6
+ 8y
3
+ 1 > 0 ∀y ≥ 0
Mà g(1) = 0 nên (4) có nghiệm không âm là y = 1
⇒
x = 2 .
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0) và (2;1)
Bài Toán 16.
Giải hệ phương trình sau:
(8x - 3)
2x - 1 - y - 4y
3
= 0 (1)
4x
2
- 8x + 2y
3
+ y
2
- 2y + 3 = 0 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: Điều kiện x
≥
1
2
Từ PT (1)
⇔
(8x - 3)
2x - 1 = 4y
3
+ y. (Do VP có dạng f(t) = 4t
3
+ t nên ta sẽ biến ñổi VT có dạng như VP).
Đặt u =
2x - 1
≥
0
⇒
u
2
= 2x - 1
⇒
2x = u
2
+ 1 thay vào PT (1) ta ñược:
(1)
⇔
(4u
2
+ 4 - 3)u = 4y
3
+ y
⇔ 4u
3
+ u = 4y
3
+ y (3).
Xét hàm f(t) = 4t
3
+ t (t
∈
R) thì có f '(t) = 12t
2
+ 1 > 0
∀
∀∀
∀
t
∈
∈∈
∈
R.
Do ñó PT (3) ⇔ u = y ⇔
2x - 1 = y ⇔ y
2
= 2x - 1 (Do u ≥ 0 ⇒ y ≥ 0)
■ Cách 1: thay vào PT (2) ta ñược: 4x
2
- 8x + 2y(y
2
- 1) + y
2
+ 3 = 0
⇔ 4x
2
- 8x + 2 2x - 1(2x - 2) + 2x + 2 = 0
⇔ 2x
2
- 3x + 1 + 2 2x - 1(x - 1) = 0
⇔ 2(x - 1)(x -
1
2
) + 2 2x - 1(x - 1) = 0
⇔
(x - 1)
2x - 1 + 2
2x - 1
= 0
⇔
x = 1
2x - 1 + 2
2x - 1 = 0 (4)
Với x = 1
⇒
⇒⇒
⇒
y
2
= 1
⇒
⇒⇒
⇒
y = 1 (nhận)
y = -1 (loại)
Với PT (4), ñặt t =
2x - 1
≥
0 nên (4)
⇔
t
2
+ 2t = 0
⇔
t = 0
⇔
x =
1
2
⇒
⇒⇒
⇒
y = 0
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (
1
2
; 0), (1;1).
■
Cách 2:
PT (2)
⇔
4x
2
- 8x
+ 2y
3
+ y
2
- 2y +
3
= 0
⇔
(4x
2
- 4x + 1) - 4x + 2 + 2y
3
+ y
2
- 2y = 0
⇔
(2x - 1)
2
- 2(2x - 1) + 2y
3
+ y
2
- 2y = 0
Thay 2x - 1 = y
2
≥
0 vào PT (2) ta ñược: y
4
+ 2y
3
- y
2
- 2y = 0
⇔
y(y
3
+ 2y
2
- y - 2) = 0
⇔
y = 0 ⇒ x =
1
2
y = 1⇒ x = 1
y = -1 (loại)
y = -2 (loại)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (
1
2
; 0), (1;1).
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
10
Bài Toán 17.
Giải hệ phương trình sau:
x
5
+ xy
4
= y
10
+ y
6
(1)
4x + 5 + y
2
+ 8 = 6 (2)
(I)
☺Nhận xét: nhìn vào hệ trên ta thấy rằng không thể dùng "PP rút thế ". PT (1) có 2 ẩn ñộc lập với nhau nên ta nghĩ
tới việc thử nhóm lại và phân tích nhận tử, lại có x - y
2
là một nhân tử chung, tuy vậy việc phân tích ra là tương ñối
phức tạp khi dùng hằng ñẳng thức liên quan tới A
5
- B
5
. Ta cùng xét cách khác ñơn giản hơn, với dự ñoán x = y
2
là
mối quan hệ duy nhất của x, y
⇒
ta nghĩ tới dùng tính ñơn ñiệu của hàm số. Thử nhé !
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: Điều kiện x
≥
-5
4
Dễ thấy y = 0 không là nghiệm của hệ (I). Với y ≠ 0, chia cả 2 vế của PT (1) cho y
5
, ta ñược:
(1)
⇔
x
5
y
5
+
x
y
= y
5
+ y (3).
Xét hàm ñặc trưng f (t) = t
5
+ t (t
∈
R) có f '(t) = 5t
4
+ 1 > 0
∀
t
∈
R.
Do ñó PT (3)
⇔
x
y
= y
⇔
x = y
2
≥
0
Thay x = y
2
vào (2) ta ñược
4x + 5 + x + 8 = 6 (việc giải PT vô tỉ này xin dành cho bạn ñọc !)
⇔ ⇔ x = 1 ⇒
y = 1
y = -1
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (1;-1)
Bài Toán 18. Giải hệ phương trình sau:
4x
4
+ y
4
= 4x + y (1)
x
3
+ y
3
= xy
2
+ 1 (2)
(I)
☺Nhận xét:
Giả sử kí hiệu DEG là bậc của PT. ta có Deg(VTPT1) = 4 > Deg(VPPT1) = 1
PT (2)
⇔
x
3
+ y
3
- xy
2
= 1 có Deg(VTPT2) = 3 > Deg(VPPT2) = 0.
Như vậy ñể PT (1) trở thành PT ĐẲNG CẤP, ta sẽ nhân thêm một lượng ñể VPPT(1) có Deg = 4.
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: Ta có 4x
4
+ y
4
= (4x + y).1 = (4x + y)(x
3
+ y
3
- xy
2
)
⇔ 4x
4
+ y
4
= (4x + y)(x
3
+ y
3
- xy
2
)
⇔
3xy
3
- 4x
2
y
2
+ yx
3
= 0
⇔ xy(3y
2
- 4xy + x
2
) = 0
⇔
x = 0 hay y = 0 hay 3y
2
- 4xy + x
2
= 0
■ Với x = 0, thay vào (2) ta ñược y = 1.
■ Với y = 0, thay vào (2) ta ñược x = 1.
■ Với 3y
2
- 4xy + x
2
= 0 (3).
+ Xét x = 0
⇒
y = 0 không là nghiệm của hệ (I)
+ Xét x ≠ 0 thì (3) ⇔ 3
y
2
x
2
- 4
y
x
+ 1 = 0 ⇔
y = x
y =
x
3
Thay y = x vào (2) ta ñược x = 1 = y
Thay y =
x
3
vào (2) ta ñược x = 1
⇒
y =
1
3
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0), (0;1), (1;1), (1;
1
3
).
Bài Toán 19. Giải hệ phương trình sau:
x
3
- 8x = y
3
+ 2y (1)
x
2
- 3y
2
= 6 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Hệ (I) có thể viết lại
x
3
- y
3
= 2(4x + y)
x
2
- 3y
2
= 6
Ta nghĩ ñến cách ñồng bậc PT (1) bằng phép thế từ PT (2). Nhưng trước ñó ta phải làm xuất hiện số 6 ở PT(1)
nên ta làm như sau.
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
11
(1)
⇔
x
3
- y
3
= 2(4x + y)
⇔
3
(x
3
- y
3
) =
6
(4x + y)
⇔
3x
3
- 3y
3
= (x
2
- 3y
2
)(4x + y)
⇔
x
3
+ x
2
y - 12xy
2
= 0
⇔ x(x
2
+ xy - 12y
2
) = 0 ( giải tương tự như bài toán 6.1)
⇔
x = 0
x = 3y
x = -4y
(việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;1), (1;3), ( -4
6
13
;
6
13
), (4
6
13
; -
6
13
)
Bài Toán 20.
Giải hệ phương trình sau:
x + 1 + x + 2 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5 (1)
x
2
+ y
2
+ x + y = 80 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải: Điều kiện x
≥
-1, y
≥
5.
►Nếu x + 1 > y - 5 thì x + 3 > y - 3 và x + 5 > y - 1
Nên
x + 1 + x + 2 + x + 5 > y - 1 + y - 3 + y - 5
⇒
PT(1) vô nghiệm.
►Nếu x + 1 < y - 5 thì x + 3 < y - 3 và x + 5 < y - 1
Nên x + 1 + x + 2 + x + 5 < y - 1 + y - 3 + y - 5
⇒
PT(1) vô nghiệm.
►Do ñó từ (1) ta suy ra x + 1 = y - 5
⇔
x = y - 6.
Thay vào (2) ta ñược: y - 6 + y + (y - 6)
2
+ y
2
= 80
⇔
⇔
y =
5 -
125
2
(loại)
y =
5 +
125
2
(nhận)
⇒
x = y - 6 =
125 - 7
2
Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (
125 - 7
2
;
5 + 125
2
)
Bài Toán 21. Giải hệ phương trình sau:
x +
4
32 - x - y
2
= - 3 (1)
4
x + 32 - x + 6y = 24 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Cộng vế theo vế hai PT (1) và (2) ta ñược:
(
x
+
32 -
x
) + (
4
32 -
x
+
4
x
) = y
2
- 6y + 21
(3).
Lại có:
■ VP = y
2
- 6y + 21 = (y - 3)
2
+ 12
≥
12
■ ( x + 32 - x)
2
≤ (1 + 1)(x + 32 - x) = 64 ⇒ x + 32 - x ≤ 8
(BĐT Bunhiacốpxki (ax + by)
2
≤
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
), dấu "=" xảy ra khi
a
x
=
b
y
)
■ (
4
32 - x +
4
x)
2
≤
≤≤
≤
2(
x + 32 - x)
≤
2.8 = 16
⇒
4
32 - x +
4
x
≤
4.
■ VT = ( x + 32 - x) + (
4
32 - x +
4
x) ≤
≤≤
≤ 8 + 4 = 12.
Do ñó dấu ñẳng thức chỉ xảy ra
⇔
⇔⇔
⇔
y - 3 = 0
x = 32 - x
4
32 - x =
4
x
⇔
⇔⇔
⇔
x = 16
y = 3
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (16;3).
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
12
Bài Toán 22. Giải hệ phương trình sau:
x
4
+ 2(3y + 1)x
2
+ (5y
2
+ 4y + 11)x - y
2
+ 10y + 2 = 0 (1)
y
3
+ (x - 2)y + x
2
+ x + 2 = 0 (2)
(I)
☺Ý tưởng:
Để giải bài toán trên ta sẽ tiến hành 4 bước:
Bước 1
: tìm nghiệm của hệ ? Nếu biết ñược nghiệm thì ý tưởng của ta sẽ rõ ràng hơn nhiều. Ở ñây lần lượt
thử x = -2;-1;0;1;2;3; ta tìm ñược 2 nghiệm của hệ là (x;y) = (-1;1) , (2;-2).
Bước 2: tìm quan hệ tuyến tính giữa hai nghiệm này ? Dễ thấy y = -x.
Bước 3
: thay vào hệ và phân tích thành nhân tử ? ta thay x bởi y (hoặc y bởi x) tùy trường hợp xem cách nào
phù hợp và có lợi hơn. Với bài này ta thay y = -x vào 2 PT của hệ và thu ñược:
x
4
+ 2(-3x + 1)x
2
+ (5x
2
- 4x + 11)x - x
2
- 10x + 2 = 0
- x
3
- (x - 2)x + x
2
+ x + 2 = 0
⇔
(x + 1)
2
(x - 1)(x - 2) = 0
(x + 1)
2
(x - 2) = 0
Việc phân tích trên là không khó vì ta ñã nhẩm ñược trước nghiệm.
Bước 4
: Lựa chọn biểu thức thích hợp ? Như thế, so với PT (1) vừa nhận ñược thì PT (2) thiếu ñi biểu thức
là x - 1, nhưng chú ý rằng biểu thức này cũng tương ñương với - y - 1. Ta sẽ chọn một trong hai biểu thức này ñể nhân
vào. Rõ ràng nếu chọn (- y - 1) thì việc nhân sẽ tạo ra ña thức có chứa biến y ñồng bậc với ña thức ở PT (1). Ta tiến
hành như sau:
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Nhận xét y = -1 không là nghiệm của hệ (1) - (y + 1).(2) ta nhận ñược:
x
4
+ 2(3y + 1)x
2
+ (5y
2
+ 4y + 11)x - y
2
+ 10y + 2
- [y
3
+ (x - 2)y + x
2
+ x + 2](y + 1) = 0
⇔
x
4
+ (6y + 2 - y - 1)x
2
+ (5y
2
+ 4y + 11 - y
2
- 2y - 1)x - y
2
+ 10y + 2 - y
4
+ 2y
2
- 2 - y
3
= 0
⇔
x
4
+ (
5y + 1
)x
2
+ (
4y
2
+ 2y + 10
)x
- y
4
- y
3
+ y
2
+ 10y
= 0
(Nhẩm nghiệm x = - y )
⇔ (x + y)
x
3
- (y)x
2
+ (y
2
+ 5y + 1)x - y
3
- y
2
+ y + 10
= 0
⇔
x = - y (3) hay x
3
- (y)x
2
+ (y
2
+ 5y + 1)x - y
3
- y
2
+ y + 10 = 0 (4)
Với PT (4), chúng ta ñã nhẩm ñược nghiệm x = 2, thay vào PT (4) thì có 1 nghiệm y = 4 ⇒ x = y - 2 nghiệm
tuyến tính thứ hai. do ñó từ PT (4) ta sẽ nhẩm nghiệm x = y - 2
(4) ⇔ (x - y + 2)(x
2
- 2x + y
2
+ 3y + 5) = 0 ⇔
x = y - 2
x
2
- 2x + y
2
+ 3y + 5 = 0
■ Với x = - y thay vào PT (2) ta ñược: y
3
+ (- y - 2)y + y
2
+ - y + 2 = 0
⇔ y
3
- 3y + 2 = 0 ⇔
y = - 2 ⇒
⇒⇒
⇒ x = 2
y = 1 ⇒
⇒⇒
⇒ x = -1
■ Với x = y - 2 thay vào PT (2) ta ñược: y
3
+ (y - 2 - 2)y + (y - 2)
2
+ y - 2 + 2 = 0
⇔ y
3
+ 2y
2
- 7y + 4 = 0 ⇔
y = - 4
⇒
⇒⇒
⇒
x = - 6
y = 1⇒
⇒⇒
⇒ x = - 1
■ Với x
2
- 2x + y
2
+ 3y + 5 = 0 ⇔ (x
2
- 2x + 1) + y
2
+ 2.
3
2
y +
9
4
+
7
4
= 0
⇔
(x - 1)
2
+ (y +
3
2
)
2
+
7
4
= 0 (vô nghiệm)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (-1;1), (2;-2), (-6;-4)
Bài Toán 23. Giải hệ phương trình sau:
x +
3x - y
x
2
+ y
2
= 3 (1)
y -
x+ 3y
x
2
+ y
2
= 0 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: Điều kiện x
2
+ y
2
≠ 0.
Đặt z = x + yi (x, y ∈ R, i
2
= -1) và
1
z
=
x - yi
x
2
+ y
2
và z.
_
z = |z|
2
Lấy (1) + i(2) ta ñược x +
3x - y
x
2
+ y
2
+ i
y -
x + 3y
x
2
+ y
2
= 3
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
13
⇔
x + iy +
3x - y - i(x + 3y)
x
2
+ y
2
= 3
⇔
x + iy +
3x - 3yi - ix + yi
2
x
2
+ y
2
= 3 ( do i
2
= - 1)
⇔ x + iy +
3(x - yi) - (x - yi)i
x
2
+ y
2
= 3
⇔
z + (3 - i)
x - yi
x
2
+ y
2
= 3 ( do
1
z
=
x - yi
x
2
+ y
2
)
⇔
z +
3 - i
z
= 3
⇔
z
2
- 3z + 3 - i = 0 (Việc giải PT phức này xin dành cho bạn ñọc !)
⇔
z = 2 + i
z = 1 - i
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;1) và (1;-1).
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: Điều kiện x
2
+ y
2
≠ 0. (cách khác)
Hệ (I) ⇔
xy +
3xy - y
2
x
2
+ y
2
= 3y
xy -
x
2
+ 3yx
x
2
+ y
2
= 0
Lấy vế cộng vế 2 PT ta ñược 2xy - 1 = 3y ⇒ x =
3
2
-
1
2y
Thay vào một trong hai PT của hệ, giải (x;y) = (2;1), (1;-1)
Bài Toán 24. Giải hệ phương trình sau:
3x( 1 +
1
x + y
) = 2 (1)
7y(1 -
1
x + y
) = 4 2 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải: Điều kiện x + y ≠ 0, x ≥ 0, y ≥ 0.
Đặt
a =
x
b =
y
(a,b > 0) thì hệ (I) thành
a(1 +
1
a
2
+ b
2
) =
2
3
b(1-
1
a
2
+ b
2
) =
4
2
7
(II)
Đặt z = a + bi (a,b
∈
R
+
). Ta có
1
z
=
a - bi
a
2
+ b
2
.
Lấy (1) + i(2), ta ñược: a + bi +
a - bi
a
2
+ b
2
=
2
3
+
4
2
7
i
⇔ z +
1
z
=
2
3
+
4
2
7
i
⇔
z
2
- (
2
3
+
4
2
7
i)z + 1 = 0 (Việc giải PT phức này xin dành cho bạn ñọc!)
⇔
z =
1
3
+
2
21
+ (
2
2
7
+ 2)i
z =
1
3
-
2
21
+ (
2
2
7
- 2)i
Vậy nghiệm (a;b) của hê (II) là (
1
3
+
2
21
;
2 2
7
+ 2)
Nên nghiệm (x;y) của hê (I) là (
11 + 4
7
21
;
22 + 8
7
7
)
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
14
Bài Toán 25.
Giải hệ phương trình sau:
x
3
- 3xy
2
= - 1 (1)
y
3
- 3x
2
y= -
3 (2)
(I)
☺Nhận xét: Đây là hệ ñẳng cấp bậc 3, tuy nhiên nếu giải bằng phương pháp thông thường sẽ ñi ñến phương tr
ình
bậc ba: 3t
3
+ 3t
2
- 3
3t - 1 = 0. PT này không có nghiệm ñặc biệt !
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải:
Đặt z = x + yi (x,y
∈
R, i
2
= -1).
Xét z
3
= (x + yi)
3
= x
3
- 3xy
2
+i(3x
2
y - y
3
), nên từ hệ (I) ñã cho ta có:
z
3
= - 1 +
3i = 2(cos
2π
3
+ isin
2π
3
) (3).
Mặt khác z = r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
⇒
z
3
= r
3
(cos3
ϕ
+ sin3
ϕ
) (4)
Từ (3) và (4) ta có nghiệm z thỏa mãn là
r
3
= 2
cos3
ϕ
= cos
2
π
3
sin3ϕ = sin
2
π
3
⇔
r =
3
2
ϕ =
2
π
9
+
k2
π
3
(k ∈ Z)
⇔
r =
3
2
ϕ ∈ {
2
π
9
;
8
π
9
;
14
π
9
}
Nên nghiệm (x;y) của hê (I) là (
3
2cos
2
π
ππ
π
9
;
3
2sin
2
π
ππ
π
9
), (
3
2cos
8
π
ππ
π
9
;
3
2sin
8
π
ππ
π
9
), (
3
2cos
14
π
ππ
π
9
;
3
2sin
14
π
ππ
π
9
)
Bài Toán 26. Giải hệ phương trình sau:
x
2
+ y + x
3
y + xy
2
+ xy =
-5
4
(1)
x
4
+ y
2
+ xy(1 + 2x) =
-5
4
(2)
(I) (ĐH Khối A - 2006)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải:
Hệ (I)
⇔
x
2
+ y + xy + xy(x
2
+ y) =
-5
4
(x
2
+ y)
2
+ xy =
-5
4
. Đặt
u = x
2
+ y
v = xy
thì hệ thành
u + v + uv =
-5
4
u
2
+ v =
-5
4
(I).
(Việc giải hệ II xin dành cho bạn ñọc !)
⇔
x =
3
5
4
⇒ y = -
3
25
16
x = 1
⇒
y =
-3
2
.
Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;
-3
2
), (
3
5
4
; -
3
25
16
)
Bài Toán 27. Giải hệ phương trình sau:
2 + 6
y
=
x
y
-
x
- 2
y
(1)
x + x - 2y = x + 3y - 2 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒ HD giải:
Điều kiện x - 2y ≥ 0, y ≠ 0, x +
x - 2y ≥ 0.
(1) ⇔
x
y
- 2 - x - 2y - 6y = 0
⇔
x - 2y
y
- x - 2y - 6y = 0
⇔
x - 2y
y
2
-
x - 2y
y
- 6 = 0 (3). Đặt t =
x - 2y
y
thì (3)
⇔
t
2
- t - 6 = 0
⇔
t = 3
t = -2
Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
Thy Lâm Phong
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý
của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích ñề thi Cao ñẳng khối C & D 2012 )
15
(Việc giải tiếp xin dành cho bạn ñọc!)
Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (12; -2), (
24
9
;
4
9
)
Bài Toán 28.
Giải hệ phương trình sau:
(x +
1 + x
2
)(y + 1 + y
2
) = 1 (1)
x
3x - 2xy + 1 = 4xy + 3x + 1 (2)
(I)
⇒
⇒⇒
⇒
HD giải:
Ta có
1 + y
2
>
y
2
= |y| =
±
y
⇒
⇒⇒
⇒
1 + y
2
±
±±
±
y > 0, tương tự ta có
1 + x
2
±
x > 0.
Xét (
1 + y
2
+ y)(
1 + y
2
- y) = 1
⇒
1 + y
2
- y =
1
1 + y
2
+ y
Do ñó từ phương trình (1)
⇔
1 + x
2
+ x = 1 + y
2
- y
⇔
(x + y) +
1 + x
2
-
1 + y
2
= 0
⇔
(x + y) +
x
2
- y
2
1 + x
2
+
1 + y
2
= 0
⇔
(x + y)
x +
1 + x
2
+
1 + y
2
- y
= 0 (do
1 + y
2
- y +
1 + x
2
+ x > 0)
⇔ x = - y
Thay vào (2) ta ñược: x
3x + 2x
2
+ 1 = - 4x
2
+ 3x + 1. (Việc giải PT căn này xin dành cho bạn ñọc!)
⇔
⇔
x =
3 +
37
14
v x =
3 -
17
4
Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (
3 +
37
14
;
- 3 -
37
14
), (
3 -
17
4
;
-3 +
17
4
)
Thay cho lời kết, thầy tin là chuyên ñề vẫn không dừng lại ở những dạng trên. Vẫn sẽ có những phương
pháp mới mẻ hơn, sáng tạo hơn từng ngày từng ngày ñược nhiều người yêu toán tìm ra. Hy vọng chuyên
ñề ñã mang ñến cho các bạn một số kỹ năng bổ ích trong việc tiếp cận hệ phương trình. Dù ñã dành rất
nhiều tâm huyết cho chuyên ñề, song khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong bạn ñọc bỏ qua. Mọi
góp ý và chia sẻ vui lòng gửi về ñịa chỉ: hoặc
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP HIỆU QUẢ VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO NHẤT
TRONG KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2014
