Kinh nghiem 009 Nhung ung dung cua he thuc Vi - et.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu />Phần I - Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng và
phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá
trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phơng pháp dạy học theo chơng trình cải
tiến.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận dụng
kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho
học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh ph-
ơng pháp giải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi
học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn
thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập
có liên quan. Thông qua việc giải bài tập chống t tởng hình thức hoá, t tởng ngại khó
đặc biệt việc xác định các vấn đề thiếu căn cứ. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng
tợng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh.
b) Cơ sở thực tiễn:
hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng và tích các nghiệm
của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
- Nắm đợc những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh :
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai trong các trờng hợp a + b + c = 0 ; a - b +
c = 0 , hoặc các trờng hợp mà tổng, tích của hai nghiệm là những số nguyên với
giá trị tuyệt đối không quá lớn.
+ Tìm đợc hai số biết tổng và tích của chúng .
+ Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các
hệ số của phơng trình.
1
Trong chơng trình giảng dạy bộ môn toán ở lớp 9 tôi nhận thấy học sinh gặp rất
nhiều khó khăn trong việc vận dụng hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi
ét vào tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
t việc việc làm khá mới mẻ. đề bài toán đã cho không phải là những

Một đặc điểm quan trọng của hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào
tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
. Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình
thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể
trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các bài
kiểm tra, thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy Toán ở trờng THCS đợc giao công tác bồi dỡng học
sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên
cứu và hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu
hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình dạng toán chuyển động
2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu :
a) Đối t ợng nghiên cứu : Là học sinh lớp 9
b) Ph ơng pháp nghiên cứu :
- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT toán đại số lớp 8; lớp 9. Đề thi vào trờng THPT, Toán
nâng cao và các chuyên đề đại số 8, 9. Toán bồi dỡng học sinh Đại Số 9. Rèn luyện kĩ
năng giải Toán THCS. Tuyển chọn các đề toán thi vào lớp 10
- Nghiên cứu tài liệu Bồi duõng thờng xuyên chu kì III quyển 1, 2.
2
PHần II - giải quyết vấn đề
A. Một số vấn đề lí thuyết :
1) Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn số:
Đối với phơng trình bậc hai:
2
ax + bx + c = 0 (a 0) (1)

Biệt thức
2
4b ac

=
(Kí hiệu

: đọc là đen ta)
+) Nếu > 0

phơng trình có hai nghiệm:
1

2
b
x
a
+
=
;
2
x
2
b
a

=
+) Nếu = 0

phơng trình có nghiệm kép là:
1 2
2
b
x x

a
= =

+) Nếu < 0

phơng trình vô nghiệm.
2) Các phơng pháp giải phơng trình Hệ ph ơng trình:
a) Giải phơng trình:
+) Phơng trình bậc nhất một ẩn
0ax b
+ =

( )
0a
có 1 nghiệm duy nhất
b
x
a
=
+) Phơng trình bậc hai một ẩn số
2
0ax bx c+ + =

( )
0a
dùng công thức nghiệm.
b) Giải hệ phơng trình:
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng.
+) Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

3) Cách giải bài toán bằng cách giải phơng trình hệ ph ơng trình:
gồm 3 bớc:
B ớc 1: Lập phơng trình Hệ phơng trình.
- Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn số và các số liệu cha biết.
- Lập phơng trình, hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
3
B ớc 2: Giải phơng trình Hệ phơng trình.
Tuỳ thuộc vào dạng phơng trình hay hệ phơng trình mà có phơng pháp giải thích
hợp.
B ớc 3: Chọn kết qua thích hợp và trả lời bài toán.
Chú ý so sánh điệu kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không và trả lời kết quả của
bài toán.
Một số công thức về chuyển động
+) Công thức tính quãng đờng trong chuyển động:
.S v t
=
+) Công thức tính vận tốc trong chuyển động:
S
v
t
=
+) Công thức tính thời gian trong chuyển động:
S
t
v
=
+) Vận tốc xuôi dòng:
xuoi thuc nuoc
v v v= +

+) Vận tốc ngợc dòng:
nguoc thuc nuoc
v v v=
B. một số ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phơng
trình hệ phơng trình dạng toán chuyển động:
Dạng I: Hai vật chuyển động cùng chiều.
Phần I : Đặt vấn đề
1) lí do chọn đề tài :
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong
chơng trình dạy học toán THCS các bài toán này rất phơng phú đa dạng nó đòi hỏi
phải vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu
cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t duy.
Dạng toán cực trị đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờng gặp khó
khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán cực trị ; có những bài toán các em không
4
biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã học? Làm thế nào để
tìm đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ngắn nhất, dài nhất. v.v. . . trong bài toán ấy?
Toán cực trị là loại toán có nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày chẳng hạn:
Hai nhà máy đợc xây dựng bên cùng một bờ sông tại hai địa điểm A; B. Hãy tìm
cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đa nớc về hai nhà máy sao
cho độ dài đờng ống dẫn nớc là ngắn nhất ? .v.v Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc
trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một
giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, các
kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh giỏi
lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và
hoàn thành đề tài này. Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên
đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
một số phơng phápgiải toán cực trị đại số

2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu :
a, Đối t ợng nghiên cứu : Là học sinh lớp 9
b, Ph ơng pháp nghiên cứu :
* Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9 (7), sách nâng cao, các đề thi vào các trờng
THPT, chuyên đề đại số, Tạp chí Toán tuổi thơ.
Phần II: giải quyết vấn đề
A. Một số vấn đề lí thuyết :
I. Khái niệm : Hệ thuc Vi et
2
0ax bx c+ + =

( )
0a
1. m đợc gọi là một giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều
kiện sau đây:
a, f(x)

m với D
b,

x
0

D sao cho f(x
0
) = m ; Kí hiệu m = max f(x),

x
D
5

2. m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều
kiện sau đây:
a, f(x)

m với
x
D
b,

x
0

D sao cho f(x
0
) = m ; Kí hiệu m = min f(x),

x
D
II. Các kiến thức cần dùng:
1) x
2


0

[ ]
2
( )
n
f x

0 với

x
R, n

Z


[ ]
)(xf
2n
+ M


M

Hoặc -
[ ]
)(xf
2n
+ M



M
2) a,
x

0 với
x
R
b,
yxyx ++
Dấu = xảy ra khi x,y cùng dấu.
c,
yxyx
Dấu = xảy ra khi x,y cùng dấu.
Chứng minh:
a,
x

0 với
x
R theo định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối.
b, Ta có
xyxy



yxyx



yxyx 2 2

suy ra
2222

2 2 yyxxyyxx ++++



( ) ( )
2
2
2
)( yxyxyx +=++



yxyx ++

Hay:
yxyx ++
(đpcm)
Dấu = xảy ra khi x,y cùng dấu.
6
c, Ta có:
yxyx




yxyx

yxxy 22




2222
.2.2 yyxxyxyx ++



( )
( )
2
2
yxyx



yxyx
nếu
yx
(đpcm)
Dấu = xảy ra khi x, y cùng dấu. ( hay x.y

0 )
3) Bất đẳng thức Cô si: (chỉ áp dụng với các số không âm )
a, Dạng công thức:
ab
ba

+
2

3
3
abc
cba

++

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
b, Dạng luỹ thừa:

ab
ba

+
2
2

abc
cba







++
2
3

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

+++
* Hệ quả:
- Nếu x > 0, y > 0 và x.y = k
2
(không đổi) thì x + y nhỏ nhất

x = y
7
- Nếu x > 0, y > 0 và x + y = k
2
(không đổi) thì x.y lớn nhất

x = y
4) Bất đẳng thức Bunhiacospki:
a, Dạng căn thức:
*
byax +



( )( )
2222
yxba ++

*
( )( )
222222
zyxcbaczbyax ++++++
*
nn
xaxaxa +++
2211



( )( )
22
2
2
1
22
2
2
1

nn
xxxaaa ++++++
b, Dạng luỹ thừa:

( )
( )( )
2222
2
yxbabyax +++

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
b
y
a
x
=

( )
( )( )
222222
2
zyxcbaczbyax ++++++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
c
z
b
y
a
x
==

( )
( )( )
22
2
2
1
22
2
2

1
2
2211

nnnn
xxxaaaxaxaxa +++++++++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
n
n
a
x
a
x
a
x
===
2
2
1
1
III. Một số ph ơng pháp giải bài toán cực trị: (tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏnhất)
1) Ph ơng pháp bất đẳng thức :
Giả sử cho hàm số f(x) xác định trên miền D
a, f(x)

m hoặc f(x)

n
b, Chỉ ra x = x
0

D sao cho dấu đẳng thức xảy ra .
2) Ph ơng pháp miền giá trị của hàm số:
Giả sử tìm cực trị của hàm số f(x) với

x
D. Gọi y
0
là một giá trị của tuỳ ý của hàm
số xét trên miền đã cho có nghĩa hệ phơng trình sau có nghiệm :
8






=
)2 (
)1( )(
0
Dx
yxf
Tuỳ dạng phơng trình mà ta có điều kiện thích hợp sau khi rút gọn đa về dạng:
Mym
0
Vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên ta có:

min
)(xf
= m ; max
)(xf
=M


x
D

x
D
1. Bài 1: Cho phơng trình
2
4 1 0x x+ + =

( )
1
a) Giải phơng trình
( )
1
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
( )
1
. Hãy tính giá trị của biểu thức:
B =

3 3
1 2
x x+

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
Giải:
a) Xét phơng trình
2
4 1 0x x+ + =

( )
1
Ta có:
2
' 4 4.1.1 16 4 12 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
4 2 3
2 3
2.1
x
+
= = +
và
2
4 2 3
2 3
2.1
x

= =
b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
4
. 1
x x
x x
+ =


=


Mà:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=

( )
3
4 3.1.4. 64 12 52 = =

Vậy
3 3
1 2
x x+
= 52
2. Bài 2: Cho phơng trình
2
2 7 4 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
9
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
2
1 2
x x
và
2
2 1
x x
là nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
Giải:
1) Xét phơng trình
2
2 7 4 0x x + =
Ta có:
( )
2
7 4.2.4 49 32 17 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x
áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
7
2

. 2
x x
x x

+ =



=

b) Ta có:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
3
7 7
3.2.
2 2

ữ ữ

=
343 42 343 168 175
8 2 8 8

= =
Vậy
3 3
1 2
x x+
=
175
8
2) Đặt u =
2
1 2
x x
và v =
2
2 1
x x

Ta có: u + v =
( )
2
1 2
x x
+

( )
2
2 1
x x
=
2 2
1 2
x x+
-
( )
1 2
x x+
=
( )
2
1 2 1 2
2x x x x+
-
( )
1 2
x x+
=
2
7 7
2.2
2 2

+
ữ

=
49 7 49 16 14 47
4
4 2 4 4
+
+ = =


u + v
47
4
=
Mà: u . v =
( )
2
1 2
x x
.
( )
2
2 1
x x
=
2 2
1 2
.x x
-
( )
3 3
1 2

x x+
-
1 2
.x x
=
( )
2
1 2
x x
-
( )
3 3
1 2
x x+
-
1 2
.x x

= 2
2
-
175
8
- 2 =
175 16 175 159
2
8 8 8

= =

u . v
159
8

=

Vì 2 số u và v có tổng u + v
47
4
=
và tích u.
159
8

=
. Nên u ; v là 2 nghiệm của phơng
trình bậc hai:
2
47 159
0
4 8
X X =
10
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
47 159
0
4 8
X X

=
3. Bài 3: Cho phơng trình
2
2 9 6 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
1 2
2 3x x
và
2 1
2 3x x
là nghiệm.
Giải:
1) Xét phơng trình

2
2 9 6 0x x + =
Ta có:
( )
2
9 4.2.6 81 48 33 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x
áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
9
2
. 3
x x
x x

+ =



=

b) Ta có:
3 3

1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
3
9 9
3.3.
2 2


ữ ữ

=
729 81 729 324 405
8 2 8 8

= =
Vậy
3 3
1 2
x x+

=
405
8
2) Đặt u =
1 2
2 3x x
và v =
2 1
2 3x x

Ta có: u + v =
( )
1 2
2 3x x
+
( )
2 1
2 3x x
=
1 2
2 3x x
+
2 1
2 3x x
= -
( )
1 2
x x+
=
9

2



u + v =
7
2

Mà: u . v =
( )
1 2
2 3x x
.
( )
2
1
2 3x x
=
1 2
4 .x x
-
( )
2 2
1 2
6 x x+
-
1 2
9 .x x
=
1 2

7 .x x
( )
2
1 2
6 x x +

=
2
9 81 84 81 3
7.3 21
2 4 4 4


= = =
ữ




u . v
3
4
=

11
Vì 2 số u và v có tổng u + v =
7
2

và tích u. v

3
4
=
.
Nên u; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:
2
7 3
0
2 4
X X =
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
7 3
0
2 4
X X =
Bài 1: Cho phơng trình
2
2 5 1 0x x =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2

.x x
b)
2 2
1 2 1 2
2x x x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
2
1
x
và
2
2
x
là nghiệm.
2. Bài 2: Cho phơng trình
2
2 5 6 0x x
+ =

( )
1
a) Giải phơng trình
( )
1
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình

( )
1
. Hãy tính giá trị của biểu thức: B =
3 3
1 2
x x+

Giải:
a) Xét phơng trình
2
2 5 6 0x x
+ =

( )
1
Ta có:
( )
2
5 4.2. 6 25 48 73 0 = = + = >



73 =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
5 73 5 73
2.2 4
x
+ +

= =
và
2
5 73 5 73
2.2 4
x

= =
b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
5
2
. 3
x x
x x

+ =



=


Mà:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )

3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
( )
3
5 5 125 45 125 180 205
3. 3 .
2 2 8 2 8 8


= = =
ữ ữ


Vậy
3 3
1 2
x x+
=
205
8

3. Bài 3 Cho phơng trình
2

2 7 1 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
1 1
x x+

Giải:
12
a) Xét phơng trình
2
2 7 1 0x x + =
- Ta có:
( )
2
7 4.2.1 49 8 41 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
x

;
2
x
- áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2
1 2
7
2
1
.
2
x x
x x

+ =




=





1
0;x >

2
0x >

;
1 2
. 0x x >



1
0;x >

2
0x >
;
1 2
. 0x x >
;
1 2
0x x+ >
b) Đặt A =
1 1
x x+
( A > 0)



( )
( )
2
2
1 1 1 1 2 2 1 2 1 2
A = 2 . 2x x x x x x x x x x+ = + + = + +

2
7 1 7 2 7 2 2
A 2 2.
2 2 2 2 2
+
= + = + =
( Vì A > 0 )



7 2 2
A
2
+
=

Vậy
1 1
x x+
=
7 2 2
2
+
Phần bài tập tổng hợp về hệ phơng trình
1. Bài 1: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 2x + m (*)
1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua:
a) A (- 1; 3) b) B

( )
2; 5 2
c) C ( 2; - 1)
2) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x-2 trong góc phần t thứ
IV
(
Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 2005
)
Giải:
1) a) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)

3 = 2.(-1) + m

3 = - 2 + m

m = 5
Vậy với m = 5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: A (- 1; 3)
b) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B
( )
2; 5 2



5 2
= 2.
2
+ m
13

m =

7 2

Vậy với m =
7 2
thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B
( )
2; 5 2

c) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)

-1 = 2.2+ m

-1 = 4 + m

m = - 5
Vậy với m = -5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)
2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2 là
nghiệm của hệ phơng trình
y = 2x + m
y = 3x - 2






3x - 2 = 2x + m
y = 3x - 2

3x - 2x = m + 2
y = 3x - 2






( )
x = m + 2
y = 3. m + 2 - 2







x = m + 2
y = 3m + 6 - 2

x = m+ 2
y = 3m +4



Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2
là
( )
m+ 2 ; 3m +4
Để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
thì
0
0
x
y
>


<



m + 2 > 0
3m + 4 < 0

m > - 2
4
m < -
3








4
- 2 < m < -
3
Vậy với
4
- 2 < m < -
3
thì đồ thị hàm số y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = 3x
2 trong góc phần t thứ IV
Câu II: ( 2 điểm)
1) Cho hàm số f(x) = 4x + 1. So sánh f(1) và f(2).
2) Cho hàm số
2
1
2
y x=
có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình y = x
+ m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x

1
, x
2
thỏa
mãn
2 2
1 2
1 1
2
x x
+ =
.
14
Câu
1)
f(1) = - 4.1+1 = - 3 f(2) = 4.2 + 1 = - 7
Có 3 > - 7 nên f(1) >f(2)
2)
1,0điểm
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng
trình:
2 2
1
2 2 0
2
x x m x x m= + =
(1)
Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

'
>0
<=> 1+2m > 0 <=> m >
1
2

Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m
Ta có
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
1 1

2 2 2
x x x x
x x
x x x x x x
+
+
+ = = =
(*)
Thay x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m vào (*) ta có
2 2
2
1
4 4
2 1 2 2 1 0
1
4
2
m
m
m m m m
m
m

=

+

= + = =

=

Câu V: ( 1 điểm)
Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá
7
3 5
2

+
ữ
ữ

.
Câu
V
Đặt
1 2
3 5 3 5
;
2 2
x x
+
= =
=> x

1
+ x
2
= 3 và x
1
x
2
= 1 0,25
Có
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 7x x x x x x+ = + =
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 3 ( ) 27 3.1.3 18x x x x x x x x+ = + + = =
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 7 2.1 47x x x x x x+ = + = =
0,25
7 7 3 3 4 4 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( )( ) ( ) 18.47 1.3 743x x x x x x x x x x+ = + + + = =
7
7 7
2 1
3 5
743
2
x x

+
= =
ữ
ữ

0,25
Do
7
7 7
1 2
3 5
0 1 0 1 742 743
2
x x


< < => < < < <
ữ
ữ

Vậy số nguyên lớn nhất không vợt quá
7
3 5
2

+
ữ
ữ

là 742

0,25
15
1) Cho phơng trình ( ẩn x): x
2
2x 2m = 0 . Tìm m để phơng trình có 2
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn :
2 2
1 2
(1 )(1 ) 5x x
+ + =
.
2)
1,0điểm
Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt


'
>0
<=> 1+2m > 0 <=> m >
1
2

Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn:
x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m
Có (1+x
1
2
)(1+x
2
2
) = 5
<=>
2 2 2 2
1 2 1 2
1 5x x x x+ + + =

2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 4x x x x x x + + =
(*)
Thay x
1
+ x
2

= 2 và x
1
x
2
= -2m vào (*) có

2
4 4 4 4m m+ + =
2
4 4 0m m + =
0
1
m
m
=



=

Kết hợp với m >
1
2

ta có m = 0 thỏa mãn.
Vậy với m= 0 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn

(1+x
1
2
)(1+x
2
2
) = 5
Cho x, y thoả mãn:
(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008x x y y+ + + + =
. Tính:
x y
+
.
Ta có
(
)
(
)
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008x x x x x x+ + + = + =
2
2
2008
2008
2008

x x
x x
+ =
+ +
(a)
Tơng tự có
2
2
2008
2008
2008
y y
y y
+ =
+ +
(b)
Cộng từng vế của (a) và (b) ta có
2 2
2 2
2008 2008
2008 2008
2008 2008
x x y y
x x y y
+ + + = +
+ + + +
(
)
(
)

(
)
2 2
2 2
2 2
2008 2008 2008
2008 2008
2008 2008
x x y y
x y x y
x x y y
+ + + + +
+ + + =
+ + + +
(
)
2 2
2 2
2008 2008 2008
2008 2008
2008
x x y y
x y x y
+ + + + +
+ + + =
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008x y x y x x y y
+ + + = + + + + +
2 2 0x y
=

0x y
+ =
Vậy x + y = 0
1) Cho phơng trình
( )
2
4 3 3 0x m x m + + + =
(m là tham số)
16
a) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3 3
1 2
0x x+
Cho Parabol
2
1
2
y x=
và điểm
( )
M -1; 2
1) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2)Gọi
A

x
,
B
x
là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để
( )
2 2
2
A B A B A B
x x x x x x+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Câu 5: (1đ) Gọi y
1
và y
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
y + 5y +1 = 0
.
Tìm a; b sao cho phơng trình
2
x + ax + b = 0
có hai nghiệm là:

2
1 1 2
x = y + 3y
và
2
2 2 1

x = y + 3y
Câu II: ( 2,5 điểm)
Cho Parabol
2
1
2
y x=
và điểm
( )
M -1; 2
2) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2) Gọi
A
x
,
B
x
là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để
( )
2 2
2
A B A B A B
x x x x x x+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Câu II: ( 2,5 điểm)
Cho Parabol
2
1
2

y x=
và điểm
( )
M 1; - 2
3) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2)Gọi
A
x
,
B
x
là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để
( )
2 2
2
A B A B A B
x x x x x x+ +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình
2
2x - 7x + 1 = 0
Tính
1221
xxxx +
( x
1
và

x

2
là hai nghiệm của phơng trình)
Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình
2
2x - 5x + 1 = 0
Tính
1221
xxxx +
( x
1
và

x
2
là hai nghiệm của phơng trình)
Câu I:
Cho phơng trình
( )
2
2 1 2 15 0x m x m
+ + =
1) Giải phơng trình khi m = 0
17
2) Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để phơng trình có

nghiệm thỏa mãn
2 1
5 4x x+ =
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình:
( )
2
2 1 2 2 0x a x a + =
1) Tìm a để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
2) Gọi
1
x
;
2
x
là các nghiệm của phơng trình. Tìm a để phơng trình có tổng bình
phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Cho Parabol (P)
2
1
4
y x=
và đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm A và B nằm trên P có
hoành độ lần lợt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
x

[ ]
2;4
sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất ?
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình:

( )
2
2 3 0x m x m + =
3) Giải phơng trình khi m = - 2
4) Gọi

;

là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để
2 2

+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình:
( )
2
2 3 0x m x m + =
5) Giải phơng trình khi m = - 2
6) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
7) Gọi

;

là các nghiệm của phơng trình.

Tìm m để
2 2

+
đạt giá trị nhỏ

nhất.
8) Hãy lập một phơng trình bậc hai nhận
1
2 3




;
1
2 3




là nghiệm.
Dề thi vào THPT Tỉnh thai bình.
Câu3: (2,0điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình : y =
2x
2
, một đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I(0;2).
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x
1
, x
2
. CMR :
2 x- x
21

Bài 3: (1,5 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + 2 và Parabol (P):
y = x
2
4) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)
5) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với 1 m 2). CMR: S
MAB

28
8
1. Chứng minh:
3 3 3
2 1
3
3 3
x x x
x
x
x x

+ +
=
ữ ữ
ữ ữ

+

(với
0x

và
3x

).
Bài 2: (1,25 điểm) Cho phơng trình:
2
2 1 0mx mx + =
(
m
là tham số)
18
1. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình có nghiệm và tính các nghiệm của phơng
trình theo
m
.
2. Tìm giá trị của
m
để phơng trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi
nghiệm kia.
6) Đề thi vào THPT Quôc học huê 005- 006
Bài 2: (2,5 điểm)
Cho parabol (P) có đỉnh ở gốc toạ độ O và đi qua điểm
1
1;
4
A

ữ

.
7) Viết phơng trình của parabol (P).
8) Viết phơng trình đờng thẳng
d
song song với đờng thẳng
2 1x y+ =
và đi qua
điểm
(0; )B m
. Với giá trị nào của
m
thì đờng thẳng
d
cắt parabol (P) tại hai
điểm có hoành độ
1 2
,x x
sao cho
1 2
3 5 5x x+ =
.
Bài III ( 1,50 điểm). Chứng minh rằng, nếu phơng trình:
02
2
=++ nmxx
(1) có nghiệm, thì phơng trình:
0
11

2
2
2
=






++






++
k
knmx
k
kx
(2) cũng có nghiệm.
(
knm ,,
là các tham số;
0k
).
Bài 3: (2,50 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị

(P) của hàm số
2
y ax=
và điểm B không thuộc (P).
a) Tìm hệ số
a
và vẽ (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B.
Xác định tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và đờng
thẳng AB.
Bài 1: (1 điểm)
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
3 7+
và
19
.
Bài 2: (1 điểm)
a) Biến đổi
3 1x x +
về dạng
2
A b+
với b là hằng số và A là một biểu thức.
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức
1
3 1x x +
. Giá trị đó đạt đợc khi
x
bằng
bao nhiêu ?

19
Bµi 3: (1,25 ®iĨm)
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
d
song song víi ®êng th¼ng
2 1x y+ =
vµ ®i qua giao
®iĨm cđa hai ®êng th¼ng
1
: 2 3 4d x y− =
vµ
2
: 3 5d x y+ =
.
Bµi 4: (1,25 ®iĨm)
Cho ph¬ng tr×nh
2
6 4 0x mx− + =
. T×m gi¸ trÞ cđa
m
, biÕt r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã
hai nghiƯm x
1
vµ x
2
tháa m·n ®iỊu kiƯn
2 2
1 2
1 1 7
2x x

+ =
.
Cho phương trình :
− + − + =
2 2
x 2mx m m 1 0

vớim là tham số và x là ẩn số.
a)Giải phương trình với m = 1.
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ,x
.
c)Với điềukiện câu b hãy tìm m để biểu thức
= − −
1 2 1 2
A x x x x

đạt giá trò
nhỏ nhất.
C©u 1 : (1.5 ®iĨm)
Cho ph¬ng tr×nh : x
2
- mx + m -1 = 0 (1)
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 1.
2. Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m .
C©u 2. (1.5 ®iĨm)
C©u 4 (1.0 ®iĨm)
Gäi x
1

, x
2
lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m +3 = 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc
1 2 1 2
2 2A x x x x= − −
Cho y = ax
2
(P) vµ y = -x+m (D)
a) T×m a biÕt (P) lu«n ®i qua A(2;-1)
b) T×m m biÕt (D) tiÕp xóc víi (P). T×m to¹ ®é tiÕp ®iĨm
c) Gäi B lµ giao cđa (D) víi trơc tung; C lµ ®iĨm ®èi xøng cđa A qua trơc tung.
CMR: C n»m trªn (P) vµ ∆ABC vu«ng c©n.
a) T×m sè nguyªn x ®Ĩ K lµ sè nguyªn lín h¬n 5
Bµi 2(2,0 ®iĨm):
Cho x
2
-2(m+1)x+m-4 = 0 (1)
a) T×m m ®Ĩ (1) cã ®óng mét nghiƯm b»ng 2? t×m nghiƯm cßn l¹i
b) CMR: (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt
c) CMR: A = x
1
(1-x
2
)+ x

2
(1-x
1
) kh«ng phơ thc vµo m
Bµi 3(2,0 ®iĨm)
Cho y = ax
2
(P)
a) T×m a biÕt (P) ®i qua ®iĨm A(1;
1
2
)
b) Trªn (P) lÊy M, N cã hoµnh ®é lÇn lỵt lµ 2 vµ 1. ViÕt ph¬ng tr×nh MN
c) X¸c ®Þnh hµm sè y = ax+b (D) biÕt (D) song song víi MN vµ tiÕp xóc víi (P)
20
Cho phơng trình (m+1)x
2
-2(m-1)x+m-3 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm âm
c) Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng dấu thoả mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 2(2,0 điểm):
Cho phơng trình : mx
2
+2(m-2)x+m-3 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn
c) Gọi x
1

, x
2
là nghiệm của phơng trình. Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
không phụ thuộc m .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
x x+
Bài 2(2,0 điểm):
Cho phơng trình : mx
2
+2(m-2)x+m-3 = 0 (1)
e) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
f) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn
g) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình. Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
không phụ thuộc m .
h) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
x x+
Bài 3(2,0 điểm):
Cho y =
1
2
x

2
(P) và mx+y = 2 (d)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định C.
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định m để AB ngắn nhất. Khi đó hãy tính diện tích AOB
d) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi
Xét phơng trình: x
2
-12x+m = 0 (x là ẩn).
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện x
2
=x
1
2
.
câu 2: (3,5 điểm)
Cho Parabol y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m
2
+4.
a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng
b. Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung
độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất?
câu 4: (2 điểm)

Cho hàm số:
y=x
2
(P)
y=3x=m
2
(d)
21
1. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P)
tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi y
1
và y
2
là tung độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P). Tìm m để có
đẳng thức y
1
+y
2
= 11y
1
y
2
câu 2: (3 điểm)
Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x
2
/2 ; (d): y=mx-m+2 (m là tham số).
1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x=4.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2

điểm phân biệt.
3. Giả sử (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là toạ độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
Chứng minh rằng
( )
( )
2121
122 xxyy ++
.
bài 2: (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng
trình:
(P): y=x
2

(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x
1
, x
2
. Tìm a để

x
1
2
+x
2
2
=6.
câu II:
Cho phơng trình x
2
+px+q=0 ; q0 (1)
1. Giải phơng trình khi
2;12 == qp
.
2. Cho 16q=3p
2
. Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia.
3. Giả sử phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, chứng minh phơng trình qx
2
+px+1=0 (2) cũng
có 2 nghiệm trái dấu. Gọi x
1
là nghiệm âm của phơng trình (1), x
2
là nghiệm âm của phơng
trình (2). Chứng minh x
1
+x
2

-2.
câu III:
Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) của hàm số y=-x
2
và đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-
1;-2) có hệ số góc k.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại 2 điểm A, B.
Tìm k cho A, B nằm về hai phía của trục tung.
2. Gọi (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là toạ độ của các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng S=x
1
+y
1
+x
2
+y
2
đạt giá trị lớn nhất.
câu III:(2,5 điểm)
Cho phơng trình: x
2
- (m-1)x-m=0 (1)
1. Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x

1
, x
2
. Lập phơng trình bậc hai có 2
nghiệm là t
1
=1-x
1
và t
2
=1-x
2
.
22
2. Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều
kiện: x
1
<1<x
2
.
2. Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:
2
53
;
2
53

21
+
=

= xx
.
3. Tính giá trị của P(x)=x
4
-7x
2
+2x+1+
5
, khi
2
53
=x
.
câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho 2 số sau:
623
623
=
+=
b
a
Chứng tỏ a
3
+b
3
là số nguyên. Tìm số nguyên ấy.

2. Số nguyên lớn nhất không vợt quá x gọi là phần nguên của x và ký
hiệu là [x]. Tìm [a
3
].
câu 2: (2,5 điểm)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình là y=mx-m+1.
1. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố
định. Tìm điểm cố định ấy.
2. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt y=x
2
tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho
3=AB
.
bài 2: (1,5 điểm)
Đặt
24057;24057 =+= NM
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1. M-N
2. M
3
-N
3
bài 3: (2,5 điểm)
Cho phơng trình: x
2
-px+q=0 với p0.
Chứng minh rằng:
1. Nếu 2p
2
- 9q = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm

kia.
2. Nếu phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì 2p
2
- 9q
= 0.
bài 2: (2,5 điểm)
Gọi u và v là các nghiệm của phơng trình: x
2
+px+1=0
Gọi r và s là các nghiệm của phơng trình : x
2
+qx+1=0
ở đó p và q là các số nguyên.
1. Chứng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) là số nguyên.
2. Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3.
bài 3: (2 điểm)
Cho phơng trình:
23
(x
2
+bx+c)
2
+b(x
2
+bx+c)+c=0.
Nếu phơng trình vô nghiệm thì chứng tỏ rằng c là số dơng.
bài 3(1,5 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parabol (P) có phơng trình là :
2
2

1
xy

=
1. Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A.
2. Chứng minh rằng bất cứ đờng thẳng nào đI qua điểm A và không song song
với trục tung bao giờ cũng cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
bài 2(2,5 điểm):
Cho phơng trình: x
2
-2mx+m
2
- 0,5 = 0
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm của phơng trình có giá trị
tuyệt đối bằng nhau.
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
bài 3(1 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho (P) có phơng trình: y=x
2
Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=3x+12 và có với (P)
đúng một điểm chung.
Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có 2 nghiệm là:
53
4
;
53
4
21

=
+
= xx
Tính:
44
53
4
53
4









+








+
=P
bài 3(2 điểm):

Tìm m để phơng trình:
012
2
=+ mxxx
, có đúng 2 nghiệm phân biệt.
bài 2(2 điểm):
Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y=
10
. Tính giá trị của x và
y để biểu thức sau: P=(x
4
+1)(y
4
+1), đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất
ấy?
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình: x
2
-2(m+1)x+m
2
-1 = 0 với x là ẩn, m là số cho trớc.
1. Giải phơng trình đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để phơng trình đã cho có 2 nghiệm dơng x
1
,x
2
phân biệt thoả mãn điều kiện x
1
2
-

x
2
2
=
24
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình x
2
+x-1=0. Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái
dấu. Gọi x
1
là nghiệm âm của phơng trình. Hãy tính giá trị của biểu thức:
11
8
1
1310 xxxP +++=
bài 3.(3 điểm)
24
Cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh:
(P): y=mx
2
(d): y=2x+m
trong ®ã m lµ tham sè, m≠0.
1. Víi m=
3
, t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P).
2. Chøng minh r»ng víi mäi m≠0, ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai
®iÓm ph©n biÖt.
3. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm cã hoµnh ®é lµ
( )

.)21(;21
3
3
−+

Bµi 4.(3 ®iÓm)
25